2.7.1 抛物线的标准方程 教学设计（表格式）
文档属性
| 名称 | 2.7.1 抛物线的标准方程 教学设计（表格式） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 420.7KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教B版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-09-23 17:45:36 | ||
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文档简介
课程基本信息
课题 2.7.1抛物线的标准方程
教科书 书名：普通高中教科书数学选择性必修第一册B版 出版社：人民教育出版社 出版日期： 2020 年 8 月
教学目标
教学目标：类比椭圆、双曲线，理解抛物线的概念；会推导和应用抛物线的标准方程 教学重点：抛物线的概念与标准方程 教学难点：抛物线的标准方程的推导
教学过程
时间 教学环节 主要师生活动
2分 情境与问题 抛物线这个几何对象，我们并不陌生. 例如，从物理学中我们知道，一个向上斜抛的乒乓球，其运动轨迹是抛物线的一部分，如图所示；二次函数的图像是一条抛物线；等等. 到底什么是抛物线呢？抛物线有没有一个类似于圆、椭圆或双曲线的定义呢？ 本节课我们要探讨的就是抛物线的定义及其标准方程.
5分 抛物线的定义 一般地，设 F 是平面内的一个定点，l 是不过点 F 的一条定直线，则平面上到 F 的距离与到 l 的距离相等的点的轨迹称为抛物线，其中定点 F 称为抛物线的焦点，定直线 l 称为抛物线的准线. 另外，从本章导语中可以看出，抛物线也可以通过用平面截圆锥面得到，因此抛物线是一种圆锥曲线.
10分 抛物线的标准方程 《尝试与发现》 怎样从数学上证明满足抛物线定义的点一定是存在的？这样的点有多少个？你能想到什么办法来解决这两个问题？ 同椭圆、双曲线的情形一样，下面我们用坐标法来探讨尝试与发现中的问题，并求出抛物线的标准方程. 《探究》 为了方便，过抛物线的焦点 F 作准线 l 的垂线，记垂足为 K ，设 （即 F 到准线 l 的距离为 ），因为直线 l 不过点 F，所以 >0. 如图，以直线 KF 为 x 轴，线段 KF 的垂直平分线为 y 轴建立平面直角坐标系. 此时，抛物线的焦点为 ，准线为 . 设 M(x，y) 是抛物线上一点，则 M 到 F的距离为 ， M 到 F 直线 l 的距离为 ，所以 上式两边平方，整理可得 . ① 方程①就是抛物线的方程，通常称为焦点在 x 轴正半轴上的抛物线的标准方程. 显然，满足方程①的点的坐标有无穷多组，这无穷多组解对应的点组成的抛物线如图所示. 《尝试与发现》 如果建立的平面直角坐标系分别如图（1）（2）（3）所示，其他不变，则抛物线的焦点坐标和准线方程有变化吗？ 此时能够通过①式得到抛物线的标准方程具有的形式呢？ 可以看出，如果按照图（1）的方式建立平面直角坐标系，则抛物线的焦点为 ，准线为 ；只要将①中的 x 变为－x 即可得到抛物线的方程为 . ② 通常称②为焦点在 x 轴负半轴上的抛物线的标准方程 . 类似地，如果按照图（2）的方式建立平面直角坐标系，则抛物线的焦点为 ，准线为 ；只要将①中的 x 与 y 互换即可得到抛物线的方程为 . ③ 通常称③为焦点在 y 轴正半轴上的抛物线的标准方程 . 如果按照图（3）的方式建立平面直角坐标系，则抛物线的焦点为 ，准线为 ；只要将①中的 x 变为 － y 且 y 变为 － x即可得到抛物线的方程为 . ④通常称④为焦点在 y 轴负半轴上的抛物线的标准方程. 由上可以看到，抛物线的标准方程是由焦点到准线的距离 p 以及焦点的位置确定的. 如不特别声明，以后总认为抛物线有相应的 p （ p >0）值，而且以后谈到抛物线的标准方程时，总是指①②③④这四种形式之一，具体如下： ①； ②； ③； ④.
6分 抛物线的定义与标准方程的应用 例1 分别根据下列条件，求抛物线的标准方程和准线方程：（1）抛物线的焦点到准线的距离是 3 ，而且焦点在 x 轴的正半轴上； 解 （1）根据题意可知，抛物线的标准方程具有 的形式，而且 3，因此所求标准方程为 . 准线方程为 . （2）抛物线的焦点是 . 解 （2）因为抛物线的焦点是 ，所以抛物线的标准方程具有 的形式，而且 3，因此 = 6，从而所求抛物线的标准方程是. 准线方程为. 例2 已知平面直角坐标系中，动点 M 到 的距离比 M 到 x 轴的距离大 2，求 M 的轨迹方程，并在平面直角坐标系中作出轨迹曲线. 解 设 M 坐标是 ，则根据题意可知 ，化简得 . 当 时，方程可变为 ，这表示的是端点在原点、方向为 轴正方向的射线，且不包括端点，如图所示； 当 时，方程可变为 ，这表示的是焦点为 的抛物线，如图所示.
1分 课堂小结 1. 抛物线的定义： 抛物线的焦点；抛物线的准线. 2. 抛物线的标准方程： ①； ②； ③； ④； ①②③④这四种形式之一.
课题 2.7.1抛物线的标准方程
教科书 书名：普通高中教科书数学选择性必修第一册B版 出版社：人民教育出版社 出版日期： 2020 年 8 月
教学目标
教学目标：类比椭圆、双曲线，理解抛物线的概念；会推导和应用抛物线的标准方程 教学重点：抛物线的概念与标准方程 教学难点：抛物线的标准方程的推导
教学过程
时间 教学环节 主要师生活动
2分 情境与问题 抛物线这个几何对象，我们并不陌生. 例如，从物理学中我们知道，一个向上斜抛的乒乓球，其运动轨迹是抛物线的一部分，如图所示；二次函数的图像是一条抛物线；等等. 到底什么是抛物线呢？抛物线有没有一个类似于圆、椭圆或双曲线的定义呢？ 本节课我们要探讨的就是抛物线的定义及其标准方程.
5分 抛物线的定义 一般地，设 F 是平面内的一个定点，l 是不过点 F 的一条定直线，则平面上到 F 的距离与到 l 的距离相等的点的轨迹称为抛物线，其中定点 F 称为抛物线的焦点，定直线 l 称为抛物线的准线. 另外，从本章导语中可以看出，抛物线也可以通过用平面截圆锥面得到，因此抛物线是一种圆锥曲线.
10分 抛物线的标准方程 《尝试与发现》 怎样从数学上证明满足抛物线定义的点一定是存在的？这样的点有多少个？你能想到什么办法来解决这两个问题？ 同椭圆、双曲线的情形一样，下面我们用坐标法来探讨尝试与发现中的问题，并求出抛物线的标准方程. 《探究》 为了方便，过抛物线的焦点 F 作准线 l 的垂线，记垂足为 K ，设 （即 F 到准线 l 的距离为 ），因为直线 l 不过点 F，所以 >0. 如图，以直线 KF 为 x 轴，线段 KF 的垂直平分线为 y 轴建立平面直角坐标系. 此时，抛物线的焦点为 ，准线为 . 设 M(x，y) 是抛物线上一点，则 M 到 F的距离为 ， M 到 F 直线 l 的距离为 ，所以 上式两边平方，整理可得 . ① 方程①就是抛物线的方程，通常称为焦点在 x 轴正半轴上的抛物线的标准方程. 显然，满足方程①的点的坐标有无穷多组，这无穷多组解对应的点组成的抛物线如图所示. 《尝试与发现》 如果建立的平面直角坐标系分别如图（1）（2）（3）所示，其他不变，则抛物线的焦点坐标和准线方程有变化吗？ 此时能够通过①式得到抛物线的标准方程具有的形式呢？ 可以看出，如果按照图（1）的方式建立平面直角坐标系，则抛物线的焦点为 ，准线为 ；只要将①中的 x 变为－x 即可得到抛物线的方程为 . ② 通常称②为焦点在 x 轴负半轴上的抛物线的标准方程 . 类似地，如果按照图（2）的方式建立平面直角坐标系，则抛物线的焦点为 ，准线为 ；只要将①中的 x 与 y 互换即可得到抛物线的方程为 . ③ 通常称③为焦点在 y 轴正半轴上的抛物线的标准方程 . 如果按照图（3）的方式建立平面直角坐标系，则抛物线的焦点为 ，准线为 ；只要将①中的 x 变为 － y 且 y 变为 － x即可得到抛物线的方程为 . ④通常称④为焦点在 y 轴负半轴上的抛物线的标准方程. 由上可以看到，抛物线的标准方程是由焦点到准线的距离 p 以及焦点的位置确定的. 如不特别声明，以后总认为抛物线有相应的 p （ p >0）值，而且以后谈到抛物线的标准方程时，总是指①②③④这四种形式之一，具体如下： ①； ②； ③； ④.
6分 抛物线的定义与标准方程的应用 例1 分别根据下列条件，求抛物线的标准方程和准线方程：（1）抛物线的焦点到准线的距离是 3 ，而且焦点在 x 轴的正半轴上； 解 （1）根据题意可知，抛物线的标准方程具有 的形式，而且 3，因此所求标准方程为 . 准线方程为 . （2）抛物线的焦点是 . 解 （2）因为抛物线的焦点是 ，所以抛物线的标准方程具有 的形式，而且 3，因此 = 6，从而所求抛物线的标准方程是. 准线方程为. 例2 已知平面直角坐标系中，动点 M 到 的距离比 M 到 x 轴的距离大 2，求 M 的轨迹方程，并在平面直角坐标系中作出轨迹曲线. 解 设 M 坐标是 ，则根据题意可知 ，化简得 . 当 时，方程可变为 ，这表示的是端点在原点、方向为 轴正方向的射线，且不包括端点，如图所示； 当 时，方程可变为 ，这表示的是焦点为 的抛物线，如图所示.
1分 课堂小结 1. 抛物线的定义： 抛物线的焦点；抛物线的准线. 2. 抛物线的标准方程： ①； ②； ③； ④； ①②③④这四种形式之一.