2.8 直线与圆锥曲线的位置关系 教学设计（表格式）

课程基本信息
课题 直线与圆锥曲线的位置关系
教科书 书名： 《普通高中教科书·数学（B版）·选择性必修·第一册》 出版社：人民教育出版社 出版日期： 2020 年 6 月
教学目标
教学目标： 1、能够从代数方程的角度来研究直线与椭圆，直线与双曲线的公共点个数问题，掌握其步骤； 2、能够判断直线与椭圆，直线与双曲线的位置关系，体会直线与圆锥曲线相切的含义. 教学重点：利用代数方程来研究直线与椭圆、直线与双曲线的公共点个数问题. 教学难点：利用代数方程来研究直线与椭圆、直线与双曲线的公共点个数问题，能够分析直线与双曲线的渐近线的位置关系来得到直线与双曲线的公共点个数.
教学过程
时间 教学环节 主要师生活动
2 分 钟 复习直线与圆的位置关系 老师：复习直线与圆的位置关系的定义和判断，强调可以从几何和代数两个方面来判断，如下表： 位置关系公共点个数图形判断方法（几何）判断方法（代数）相交2相切1 相离0
学生：回顾直线与圆的位置关系的定义和判断方法.
6分 钟 探索直线与椭圆的位置关系 活动：研究直线与椭圆的公共点个数. 例1、判断直线与椭圆是否有公共点，如有，求出公共点的坐标，如公共点有两个，求出以这两个公共点为端点的线段长. 老师：引导学生利用代数方程求解公共点，提问： 公共点的坐标和直线的方程、椭圆的方程有什么关系？ 联立直线和椭圆的方程后消元得到的二次方程的解和公共点的坐标有什么关系？ 设计意图：通过具体的例子让学生体会判断直线与椭圆是否有公共点的方法。 例2、已知直线与椭圆，分别求直线与椭圆有两个公共点、只有一个公共点和没有公共点时的取值范围. 老师：引导学生利用代数方程判断公共点的个数，提问： 1、公共点的个数问题可以转化为什么问题？ 2、对于联立直线和椭圆的方程消元得到的二次方程，如何判断它的解的个数？ 设计意图：让学生体会用代数方程的方法判断直线与椭圆的公共点个数问题。 结合图形得到直线与椭圆相交、相切、相离的定义： 相交：直线与椭圆有2个公共点 相切：直线与椭圆只有一个公共点 相离：直线与椭圆没有公共点 判断直线与椭圆的位置关系. 老师：引导学生从图形和代数方程两个角度来判断，提问： 1、这条直线有什么特点，启发我们可以从什么角度思考问题？ 设计意图：让学生从图形和代数方程两个角度来判断直线与椭圆的位置关系。
10分 钟 探索直线与双曲线的位置关系 活动1、研究直线与双曲线的公共点个数. 例4、已知直线与双曲线只有一个公共点，求的取值. 老师：引导学生正确求解消元得到的方程，提问： 消元得到的方程出现了，一定是二次方程吗？如果不是，我们应该怎么办？ 设计意图：让学生能够正确求解消元得到的方程. 活动2、体会直线与双曲线相切的含义. 老师：引导学生体会相切的含义，提问： 例4中4条直线都与双曲线只有一个公共点，那它们与双曲线都给人以相切的形象吗？ 如果不给人以相切的形象，背后的原因在哪，直线有什么特殊之处？ 活动3、归纳直线与圆锥曲线相切的含义. 老师：我们将例2和例4中直线与圆锥曲线给人以相切的形象的情形放在一起，提问： 这两种情形有什么公共点？你会如何去刻画直线与圆锥曲线相切呢？ 一般地，给定直线与圆锥曲线（圆、椭圆、双曲线、抛物线），如果联立它们的方程并消去一个未知数后，得到的是一个一元二次方程且该方程只有一个实数解（即有两个相等的实数解），则称直线与圆锥曲线相切.
2分 钟 课堂总结 直线与圆锥曲线的位置关系的判断方法： 联立直线方程与圆锥曲线的方程，消去y或者x，得到 关于x或y的一元方程或，记其判别式为（当时），那么： a=0时，得到一个一元一次方程，与“相交”，由且只有一个公共点，此时，若为双曲线，则直线与双曲线的渐近线平行； 时， 若，直线与圆锥曲线“相交”，有两个不同的公共点； 若，直线与圆锥曲线相切，有唯一的公共点； 若，直线与圆锥曲线“相离”，没有公共点；