2.5.2 椭圆的几何性质 教学设计（表格式）
文档属性
| 名称 | 2.5.2 椭圆的几何性质 教学设计（表格式） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 357.3KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教B版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-09-23 17:45:36 | ||
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文档简介
课程基本信息
课题 2.5.1 椭圆的标准方程
教科书 书名：普通高中教科书数学选择性必修第一册（B版） 出版社：人民教育出版社 出版日期： 2020年8月
教学目标
教学目标：在学习掌握椭圆的几何定义的基础上，学习在解析几何中用代数方法研究椭圆的几何性质，为后续其他圆锥曲线的学习奠定基础 教学重点：从方程的角度研究椭圆的几何性质 教学难点：椭圆离心率概念的理解
教学过程
时间 教学环节 主要师生活动
一、从具体例子出发，由椭圆的方程来研究椭圆的几何性质 问题一 已知椭圆的方程为，根据这个方程完成下列任务： （1）观察方程中与是否有取值范围，由此指出椭圆在平面直角坐标系中的位置特征； （2）指出椭圆是否关于轴、轴、原点对称； （3）指出椭圆与坐标轴是否有交点，如果有，求出交点坐标. 解：（1）因为实数的平方是一个非负数， 所以在中，必有， 即. 同理可得，. 因此，椭圆位于直线，，，所围成的矩形内. （2）因为如果是方程的一组解，则不难看出，、、都是方程的解，这说明椭圆关于轴，轴，坐标原点对称. 即轴，轴是椭圆的对称轴，坐标原点是椭圆的对称中心. 在方程中，令，得或，可知椭圆与轴有两个交点，坐标分别为，；令，得或，可知椭圆与轴有两个交点，坐标分别为，.
二、把具体例子一般化，得到焦点在轴上的椭圆的几何性质 问题二：一般地，如果椭圆的标准方程是 ， ① 我们可以根据方程得到椭圆什么样的几何性质呢？ （1）范围 由方程①可知，且， 因此且. 这说明，椭圆位于直线，，，所围成的矩形内. （2）对称性 因为如果是方程①的一组解，则、、都是方程①的解，说明椭圆关于轴、轴、坐标原点对称. 因此，轴、轴是椭圆的对称轴，坐标原点是椭圆的对称中心. 椭圆的对称中心也称为椭圆的中心. （3）顶点 在方程①中，令，得或，可知椭圆与轴有两个交点，记作，；令，得或，可知椭圆与轴有两个交点，记作，. 因此，椭圆与它的对称轴共有个交点，即，和，，这四个点都称为椭圆的顶点. 我们可以发现，，，而且，所以线段称为椭圆的长轴，线段称为椭圆的短轴. 显然，椭圆的两个焦点在它的长轴上，而且椭圆的长轴长为，短轴长为. 于是，，分别是椭圆半长轴长和半短轴长，如果设椭圆的焦距为，则是椭圆的半焦距，由可知，长度分别为,,的三条线段构成一个直角三角形，且长度为的线段是斜边.这就说明，以椭圆的任意一个短轴的端点、任意一个焦点以及原点为顶点的三角形是一个直角三角形，而且短轴端点与焦点的连线长为. 因此，有，，， 而且. （4）离心率 一般地，椭圆的半焦距与半长轴长之比称为椭圆的离心率. 问题三：（1）根据椭圆离心率的定义，判断椭圆离心率的取值范围; （2）猜想椭圆离心率的大小与椭圆的形状有什么联系，并尝试证明. 因为， 所以， 另外，注意到， 这说明越趋近于，则的值越小，因此椭圆越扁； 反之，越趋近于，则的值越大，这时椭圆就越接近与圆. 当固定不变时，椭圆的离心率与椭圆的形状的关系可以从右图中看出来，其中橙色、绿色、蓝色椭圆的离心率分别为，，.
三、类比探索，研究焦点在轴上的椭圆的几何性质 问题四：如果椭圆的标准方程是 ， ② 那么这个椭圆的范围、对称性、顶点、离心率中，哪些与焦点在轴上的椭圆是有区别的？ 显然，②式表示的椭圆，焦点坐标为，，椭圆上的点的坐标的取值范围是且； 长轴的两个端点是，；短轴的两个端点是，. 除了这些以外，对称性、焦距、长轴长、短轴长、离心率等都与焦点在轴上的椭圆是一致的.
四、课堂小结 焦点所在坐标轴焦点在轴上焦点在轴上标准方程图形焦点坐标，.，.焦距 ；半焦距；半焦距范围且且对称性关于轴、轴、坐标原点对称关于轴、轴、坐标原点对称顶点，； ，.，； ，.轴长轴,短轴长轴,短轴轴长长轴长,短轴长，半长轴长，半短轴长长轴长,短轴长，半长轴长，半短轴长
五、布置作业 人教社B版课本 P134练习A 1. 分别求下列椭圆的长轴长、短轴长、焦点坐标、顶点坐标、离心率： （1）； （2） （3）. 2.根据下列条件，求椭圆的标准方程： （1）长轴长和短轴长分别为和，且焦点在轴上； （2）一个焦点坐标为，一个顶点坐标为. 人教社B版课本 P134练习B 1.根据下列条件，求椭圆的标准方程： （1）两个顶点的坐标为，且经过点； （2）焦距是，离心率是，焦点在轴上.
课题 2.5.1 椭圆的标准方程
教科书 书名：普通高中教科书数学选择性必修第一册（B版） 出版社：人民教育出版社 出版日期： 2020年8月
教学目标
教学目标：在学习掌握椭圆的几何定义的基础上，学习在解析几何中用代数方法研究椭圆的几何性质，为后续其他圆锥曲线的学习奠定基础 教学重点：从方程的角度研究椭圆的几何性质 教学难点：椭圆离心率概念的理解
教学过程
时间 教学环节 主要师生活动
一、从具体例子出发，由椭圆的方程来研究椭圆的几何性质 问题一 已知椭圆的方程为，根据这个方程完成下列任务： （1）观察方程中与是否有取值范围，由此指出椭圆在平面直角坐标系中的位置特征； （2）指出椭圆是否关于轴、轴、原点对称； （3）指出椭圆与坐标轴是否有交点，如果有，求出交点坐标. 解：（1）因为实数的平方是一个非负数， 所以在中，必有， 即. 同理可得，. 因此，椭圆位于直线，，，所围成的矩形内. （2）因为如果是方程的一组解，则不难看出，、、都是方程的解，这说明椭圆关于轴，轴，坐标原点对称. 即轴，轴是椭圆的对称轴，坐标原点是椭圆的对称中心. 在方程中，令，得或，可知椭圆与轴有两个交点，坐标分别为，；令，得或，可知椭圆与轴有两个交点，坐标分别为，.
二、把具体例子一般化，得到焦点在轴上的椭圆的几何性质 问题二：一般地，如果椭圆的标准方程是 ， ① 我们可以根据方程得到椭圆什么样的几何性质呢？ （1）范围 由方程①可知，且， 因此且. 这说明，椭圆位于直线，，，所围成的矩形内. （2）对称性 因为如果是方程①的一组解，则、、都是方程①的解，说明椭圆关于轴、轴、坐标原点对称. 因此，轴、轴是椭圆的对称轴，坐标原点是椭圆的对称中心. 椭圆的对称中心也称为椭圆的中心. （3）顶点 在方程①中，令，得或，可知椭圆与轴有两个交点，记作，；令，得或，可知椭圆与轴有两个交点，记作，. 因此，椭圆与它的对称轴共有个交点，即，和，，这四个点都称为椭圆的顶点. 我们可以发现，，，而且，所以线段称为椭圆的长轴，线段称为椭圆的短轴. 显然，椭圆的两个焦点在它的长轴上，而且椭圆的长轴长为，短轴长为. 于是，，分别是椭圆半长轴长和半短轴长，如果设椭圆的焦距为，则是椭圆的半焦距，由可知，长度分别为,,的三条线段构成一个直角三角形，且长度为的线段是斜边.这就说明，以椭圆的任意一个短轴的端点、任意一个焦点以及原点为顶点的三角形是一个直角三角形，而且短轴端点与焦点的连线长为. 因此，有，，， 而且. （4）离心率 一般地，椭圆的半焦距与半长轴长之比称为椭圆的离心率. 问题三：（1）根据椭圆离心率的定义，判断椭圆离心率的取值范围; （2）猜想椭圆离心率的大小与椭圆的形状有什么联系，并尝试证明. 因为， 所以， 另外，注意到， 这说明越趋近于，则的值越小，因此椭圆越扁； 反之，越趋近于，则的值越大，这时椭圆就越接近与圆. 当固定不变时，椭圆的离心率与椭圆的形状的关系可以从右图中看出来，其中橙色、绿色、蓝色椭圆的离心率分别为，，.
三、类比探索，研究焦点在轴上的椭圆的几何性质 问题四：如果椭圆的标准方程是 ， ② 那么这个椭圆的范围、对称性、顶点、离心率中，哪些与焦点在轴上的椭圆是有区别的？ 显然，②式表示的椭圆，焦点坐标为，，椭圆上的点的坐标的取值范围是且； 长轴的两个端点是，；短轴的两个端点是，. 除了这些以外，对称性、焦距、长轴长、短轴长、离心率等都与焦点在轴上的椭圆是一致的.
四、课堂小结 焦点所在坐标轴焦点在轴上焦点在轴上标准方程图形焦点坐标，.，.焦距 ；半焦距；半焦距范围且且对称性关于轴、轴、坐标原点对称关于轴、轴、坐标原点对称顶点，； ，.，； ，.轴长轴,短轴长轴,短轴轴长长轴长,短轴长，半长轴长，半短轴长长轴长,短轴长，半长轴长，半短轴长
五、布置作业 人教社B版课本 P134练习A 1. 分别求下列椭圆的长轴长、短轴长、焦点坐标、顶点坐标、离心率： （1）； （2） （3）. 2.根据下列条件，求椭圆的标准方程： （1）长轴长和短轴长分别为和，且焦点在轴上； （2）一个焦点坐标为，一个顶点坐标为. 人教社B版课本 P134练习B 1.根据下列条件，求椭圆的标准方程： （1）两个顶点的坐标为，且经过点； （2）焦距是，离心率是，焦点在轴上.