1.1.2 空间向量基本定理 教案（表格式）

课程基本信息
课题 空间向量基本定理
教科书 书名：数学 选择性必修 第一册 出版社：人民教育出版社 出版日期： 2019年 7 月
教学目标
教学目标： 1.通过类比平面向量的学习过程了解空间向量的研究内容和方法，经历从平面向量基本定理向空间向量基本定理的推广过程； 2.了解共面向量定理和空间向量基本定理及其意义，并能解决相关问题； 3.以空间图形为载体，培养学生观察、分析与推理的能力. 教学重点：共面向量定理和空间向量基本定理. 教学难点：共面向量定理和空间向量基本定理的应用.
教学过程
时间 教学环节 主要师生活动
2min 复 习 回 顾 O. 复习回顾 回顾共线向量基本定理和平面向量基本定理的内容 意图：为共线向量基本定理和平面向量基本定理在空间中的推广做铺垫. 思考：上述结论在空间中是否仍成立？如何判断空间中三个向量是否共面？
1min 情 境 导 入 情境导入 如图，长方体中， 点在直线上的充要条件是：存在实数 ，使得；点在平面 上的充要条件是：存在实数，使得. 意图：以学生熟悉的空间图形为载体，更好地理解共线基本定理和平面向量基本定理在空间是适用的.情境导入，便于理解，激发兴趣。
18min II. 新知 II. 新知 1.由平面向量基本定理，我们知道，如果两个向量不共线，而三个向量共面，一定存在唯一的实数对，使得（必要性）. 另一方面，当时，若共线，与也共线，这时三个向量显然共面；若不共线，分别是平行四边形的两条邻边和一条对角线，显然是共面的（充分性）. 由此分析，我们可以得到： 共面向量定理：如果两个向量不共线，则向量共面的充要条件是，存在唯一的实数对，使得. 意图：从平面向量基本定理出发，考虑必要性和充分性两方面，推理得到共面向量定理. 提出两个问题. 问题1.如果存在三个不全为零的实数使得，则是否共面？ 问题2.若三点不共线，则点在平面内需要满足什么条件？ 意图：强化对共面向量定理的理解和应用. 例1.如图，已知三棱柱中，在和上分别有一点和，且，其中. 求证：共面. 分析：要证明三个向量共面，我们需要找三个向量之间的关系. 意图：强化共面向量定理的应用. 2. 空间向量的基本定理 由共线向量基本定理（一维空间），平面向量基本定理（二维空间）的内容，猜测空间向量（三维空间）是否有类似结论？ 即：如果空间中的三个向量不共面，那么对于空间中的任意一个向量，存在唯一的有序实数组，使得. 意图：类比的思想.大胆猜测，再小心求证. 先证存在性：合理构造，考虑特殊情况与一般情形. 再用反证法证明上述实数组的唯一性. 相关概念和空间向量基本定理的本质. 表达式称为向量的线性组合或线性表达式. 空间向量的一组基底，基向量. 空间向量基本定理说明，如果三个向量不共面，则它们的线性组合能生成所有的空间向量. 例2.如图，平行六面体中，设，请用基底表示向量. 意图：强化空间向量基本定理的理解与应用. 例3.如图，已知直三棱柱中， 为中点，， ，求. 意图：化归思想的体现.空间向量中，若有三个不共面的向量的长度和相互之间的角度已知，就可以作为一组基底，其他向量都可以用它们来线性表达，从而解决相关问题.
1min III. 小 结 III. 小结 我们今天的学习用到的主要方法是类比推广，由共线向量基本定理、平面向量基本定理经过合理分析，大胆猜测，辅助于证明，得到了空间向量基本定理。 空间里的任意一个向量都可以用一组基底来线性表达，以基底为核心，就可以将复杂问题转化为简单的基向量关系.
作 业 教材第16页练习A 3，5；练习B 5.