2.7.2 抛物线的几何性质 教学设计（表格式）

课程基本信息
课题 2.7.2抛物线的几何性质
教科书 书名：普通高中教科书数学选择性必修第一册B版 出版社：人民教育出版社 出版日期： 2020 年 8 月
教学目标
教学目标：会由抛物线的方程来研究和应用抛物线的几何性质 教学重点：抛物线的几何性质 教学难点：抛物线的几何性质的研究过程
教学过程
时间 教学环节 主要师生活动
5分 尝试与发现 已知抛物线C的方程为 ，根据这个方程完成下列任务.（1）观察方程中 与 是否有取值范围，由此指出抛物线C在平面直角坐标系中的位置特征； 答：因为实数的平方是一个非负数，所以在方程 中，必有 ，即 . 同时可以看出 能取任意实数，由此可知，抛物线C位于 轴及 轴的右侧，如图所示. （2）指出抛物线C是否具有对称性； 答：因为如果 是方程 的一组解，则不难看出， 也是方程的解，这说明抛物线关于 轴对称；又因为 ， 不一定是方程的解，这就说明抛物线不关于 轴对称，也不关于原点对称. 这也可从图中看出来. （3）指出抛物线C与坐标轴是否有交点，如果有，求出交点坐标. 答：在方程 中，令 ，得 ；令 ，得 . 可知抛物线 C 与 轴、 轴都只有一个交点，且交点都是原点 . 如图所示. 本节课我们要由抛物线的方程来研究抛物线具有的几何性质.
13分 研究抛物线具有的几何性质 一、一般地，如果抛物线 C 的标准方程是 ① 则可以根据方程①来得到抛物线的一些几何性质. （1）范围 由方程①可知， ，又因为 ，所以 . 因此，除顶点外，抛物线上的其余点都在 轴的右侧. 另外，当 无限增大时， 也无限增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸，如图所示. 此时，称抛物线 C 的开口向右（或朝右）. （2）对称性 如果 是方程①的一组解，则不难看出 ， 也是方程的解，这说明抛物线 C 关于 轴对称，如图所示. 此时称 轴是抛物线的对称轴（简称轴）. （3）顶点 在方程 中，令 ，得 ；令 ，得 . 可知抛物线 C 与 轴、 轴都相交于原点 . 此时，称原点是抛物线的顶点. 如图所示. （4）离心率 抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离之比称为抛物线的离心率，用 表示. 根据抛物线的定义可知，抛物线的离心率 . 二、如果抛物线的标准方程是 ②； ③； ④. 那么抛物线的范围（开口方向）、对称性、顶点、离心率中，哪些与①所表示的抛物线是相同的？ 哪些是有区别的？ 可以看出，②③④所表示抛物线，顶点坐标、离心率与①所表示的抛物线是相同的，但是： ② 所表示的抛物线中，，除顶点外，抛物线上的其余点都在 轴的左侧，抛物线的开口向左（或朝左），抛物线关于 轴对称； ③ 所表示的抛物线中，，除顶点外，抛物线上的其余点都在 轴的上方，抛物线的开口向上（或朝上），抛物线关于 轴对称； ④ 所表示的抛物线中，，除顶点外，抛物线上的其余点都在 轴的下方，抛物线的开口向下（或朝下），抛物线关于 轴对称.
5分 抛物线的几何性质的应用 已知抛物线的对称轴为 轴，顶点是坐标原点且开口向左，又抛物线经过点 ，求这个抛物线的标准方程. 解 根据已知条件可设抛物线的标准方程为 ， 因为点 在抛物线上，所以 ，因此 . 从而可知所求方程为. 例2 已知点 P 在抛物线 上，且 ，求 的最小值. 解 设点 P 的坐标为 ，则 ，而且 ， 又因为 ，所以 = 时，取最小值 . 因此所求的最小值为 . 已知抛物线的顶点在原点，焦点，设点 到抛物线上的点的距离的最小值为 ，求 的表达式. 解 依题意，抛物线的方程为 . 设 是抛物线上任意一点，则 ，由题意可知： （求最小值——配方） 分析：因为 ，所以，根式内二次函数对称轴是 ，所以 与 比较，并进行分类讨论，如下： 当 时， 的最小值为 . 当 时， 的最小值为 . 综上
1分 课堂小结 1. 抛物线的几何性质，研究角度： （1）范围；（2）对称性；（3）顶点；（4）离心率 2. 四种抛物线的标准方程在几何性质上的相同与区别； 3. 应用抛物线的几何性质求解抛物线的相关问题.