1.2.1 空间中的点、直线与空间向量 教学设计（表格式）

《空间中的点、直线与空间向量》教学设计
本节主要学空间中的点、直线与空间向量．在向量坐标化的基础上，将空间中点、直线的位置关系，转化为向量语言，进而运用向量的坐标表示，从而实现运用空间向量解决立体几何问题，为学生学习立体几何提供了新的方法和新的观点，为培养学生思维提供了更广阔的空间．
课程目标 学科素养
A．理解位置向量、方向向量的概念 B．能利用直线的方向向量解决两条直线所成的角问题． C．初步了解两条异面直线的距离的定义． 1．数学抽象：点的位置向量、直线的方向向量 2．逻辑推理：用直线的方向向量解决两条直线所成的角 3．直观想象：点的位置向量、直线的方向向量 4．数学运算：求解异面直线所成的角，直线的平行与垂直判断
1．教学重点：点的位置向量与直线的方向向量的概念及其应用
2．教学难点：用直线的方向向量解决两条直线所成的角，判断两直线平行与垂直
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教学过程 教学设计意图 核心素养目标
一、情境导学 在交通繁忙的路口，交警常常借助专用的手势，作为 “语言” 来指挥交通．在不同领域有不同的“语言”，研究空间中的直线及其夹角也可以先提炼出与之有关联的“向量语言”来进行．同学们，你们知道是如何提炼的吗？提炼出来后又将如何运用呢？
二、探究新知 问题1：（1）如图所示的，四面体A－BCD中，怎样借助空间 向量来描述A，B，C在空间中是不同的点？ （2）一般地，怎样借助空间向量来刻画空间中点的位置？ 一般地，如果在空间中指定一点O，那么空间中任意一点P的位置，都可以有向量唯一确定，此时，通常称为点P的位置向量．特别地，空间直角坐标系中的任意一点都有它的位置向量唯一确定，从而也就有它的坐标唯一确定．
问题2：（1）如图所示的长方体中，设=，如果只借助能不能确定直线AB在空间中的位置？ （2）一般地，怎样借助空间向量来刻画空间中直线的位置？
一般地如果是空间中的一条直线，空间中的一个非零向量，且表示的有向线段所在的直线与平行或重合，则称为直线L的一个方向向量，此时也称与直线平行，记作
1．点的位置向量、直线的方向向量
位置向量 一般地，如果在空间中指定一点O，那么空间中任意一点P的位置，都可以由向量唯一确定，此时，通常称为点P的位置向量 方向向量 一般地，如果l是空间中的一条直线，v是空间中的一个非零向量，且表示v的有向线段所在的直线与l平行或重合，则称v为直线l的一个方向向量．此时，也称向量v与直线l平行，记作v∥l
思考：空间一条直线的方向向量唯一吗？ 提示：不唯一． 2．空间中两条直线所成的角 设v，v分别是空间中直线l，l的方向向量，且l与l所成角的大小为θ． 则θ=或θ=π－． 特别地，sinθ=sin，cosθ=|cos|；l⊥l = v·v=0．
1．已知直线a，b的方向向量分别是m=（1，k，1），n=（k，k+2，2），若a⊥b． 则k=　　　　． 解析：∵a⊥b，∴m⊥n，即m·n=0．∴k+k+2k+2=0． 即k+3k+2=0，∴k=－2或k=－1． 答案：－1或－2 3．两条异面直线的距离 一般地，如果l与l是空间中两条异面直线，A∈l，B∈l，AB⊥l，AB⊥l，则称AB为l与l的公垂线段．并且空间中任意两条异面直线的公垂线段都存在并且唯一．两条异面直线的公垂线段的长，称为这两条异面直线之间的距离． 思考：怎样在空间直角坐标系中求两条异面直线的公垂线段的长度？ 提示：利用向量共线、向量垂直的条件建立方程组，求出公垂线段对应的向量，准确找出公垂线段在图中的位置，运用向量求出公垂线段的长度．
例1．已知正方体中，E为的中点． 求证：直线与直线不平行 证明：以为原点，，，的方向分别为轴正方向，正方体的棱长为单位长度，建立如图所示的空间直角坐标系，则（0，0，1）， 所以== 又因为所以与不平行． 因为为直线的一个方向，向量为直线的一个方向，向量，当时必有由上可知直线与直线不平行
解决直线的位置关系，可用直线对应的方向向量的坐标来刻画，对于此类问题应注意先要进行宏观判断，再合理地选取坐标公式． 若直线l的方向向量u=（a，b，c），直线l的方向向量为u=（a，b，c）． （注：下面的λ，k∈R）． 1．如果l∥l，那么u∥u u=λu （a，b，c）=λ（a，b，c）； 2．如果l⊥l，那么u⊥u u·u=0 aa+bb+cc=0． 跟踪训练1已知a=（－2，－3，1），b=（2，0，4），c=（－4，－6，2），则下列结论正确的是（　　） A．a∥c，b∥cB．a∥b，a⊥c C．a∥c，a⊥bD．以上都不对 答案：C 例2如图，在三棱锥O－ABC中，OA， OB，OC两两垂直，E为OC的中点，且OB=OC=2OA=2， 求直线AE与BC所成角的余弦值的大小． 解：（方法一）
根据已知可得，，不共面，且=1，=2 ===0 又因为==，= 所以=（）（）=2，=（）（）=8，所以== 因此直线AE与BC所成角的余弦值的大小为． 解：（方法二）因为OA，OB，OC两两互相垂直． 所以能以O为原点，，，的方向分别 为轴正方向，建立如图所示直角坐标 系，由OB=OC=2OA=2．
可知A（0，0，1），． 所以=（－1，0，1），=（0，0，1） ， 因此 所以=== 因此直线AE与BC所成角的余弦值的大小为． 解：（方法三）设OB的中点为F，连接EF，AF．由E，F分别为OC，OB中点可知EF为OBC的中位线，从而EFBC．
因此直线AE与BC所成角的大小等于直线AE与EF所成角的大小．又易知OA=OE=OF=1，而且OA，OE，OF两两垂直． 因此AE=EF=AF= 所以是等边三角形，从而． 因此直线AE与BC所成角的大小为 求解异面直线夹角方法，常用的就是建系后利用向量的坐标处理，除此之外还要注意其他方法的要领． （1）传统法：作出与异面直线所成角相等的平面角，进而构造三角形求解．这种方法灵活技巧性强，强调对夹角定义的挖掘．
（2）向量法：在两异面直线a与b上分别取点A，B和C，D，则可分别为a，b的方向向量，则cosθ=．这一方法思路简单，不需构造，但计算量一般较大． 运用向量法常用两种途径： ①基底法 在一些不适合建立坐标系的题型中，我们经常采用取定基底的方法，这是小技巧．在由公式cos=求向量a，b的夹角时，关键是求出a·b及|a|与|b|，一般是把a，b用基向量表示出来，再求有关的量． ②坐标法 根据题目条件建立恰当的空间直角坐标系，写出相关各点的坐标，利用坐标法求线线角，避免了传统找角或作角的步骤，使过程变得简单． 跟踪训练2如图，在三棱柱OAB－OAB中，平面OBBO⊥平面OAB，∠OOB=60°，∠AOB=90°，且OB=OO=2，OA=，求异面直线AB与AO所成角的余弦值的大小．
解：以O为坐标原点，的方向为x轴，y轴的正方向．建立如图所示的空间直角坐标系． 则O（0，0，0），O（0，1，），A（，0，0），A（，1，），B（0，2，0）． ∴=（－，1，－），=（，－1，－）． ∴|cos<>|==． ∴异面直线AB与AO所成角的余弦值为．
例3如图，△ABC和△BCD所在平面互相垂直，且AB=BC=BD=2，∠ABC=∠DBC=120°． E，F分别为AC，DC的中点． 求证：EF⊥BC．
证明：由题意，以点B为坐标原点，在平面DBC内过点B作垂直于BC的直线为x轴，BC所在直线为y轴． 在平面ABC内过点B作垂直BC的直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系． 易得B（0，0，0），A0，－1，，D（，－1，0），C（0，2，0）． 因而E0，，F，0，，所以=，0，－，=（0，2，0）． 则=0，所以，即EF⊥BC．
证明两直线垂直的基本步骤 建立空间直角坐标系→写出点的坐标→求直线的方向向量→证明向量垂直→得到两直线垂直．对于几何体为三棱锥的情况一定要注意建系的重要性，要使已知数据和所用的点更多地落在坐标平面或坐标轴上为标准．本例中要充分抓住平面ABC和平面BCD互相垂直这一条件． 跟踪训练3已知正三棱柱ABC－ABC的各棱长都为1，M是底面上BC边的中点，N是侧棱CC上的点，且CN=CC．求证：AB⊥MN．
证明：设AB中点为O，作OO∥AA．以O为坐标原点，OB所在直线为x轴，OC所在直线为y轴，OO所在直线为z轴建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz．
由已知得A－，0，0，B，0，0，C0，，0，N0，，B，0，1． ∵M为BC中点，∴M，0． ∴=－，=（1，0，1），∴=－+0+=0． ∴，即AB⊥MN．
金题典例：如图，已知 ABCD中，AB=AC=1，∠ACD=90°，将它沿对角线AC折起，使AB与CD成60°角，求B，D间的距离．
错解：如图，因为∠ACD=90°． 所以=0，同理=0． 因为AB与CD的夹角为60°． 所以的夹角为60°． 因为． 所以||=||+||+||+2+2+2=3+2cos<>=4． 所以||=2，即B，D间的距离为2．
错因分析： 由异面直线AB与CD成60°角得到所成的角为60°，这是错误的．混淆了异面直线所成的角与向量的夹角的定义，从而致误． 向量的夹角与向量的方向有关系，且向量的夹角的范围为0≤θ≤π；异面直线的夹角与直线的方向没有关系，异面直线的夹角的范围是0<θ≤．两者的范围不一样． 正解：因为∠ACD=90°，所以=0，同理=0． 因为AB与CD的夹角为60°． 所以的夹角为60°或120°． 因为． 所以||=||+||+||+2+2+2=3+2cos<>． 当所成的角为60°时，||=3+2cos<>=4，所以||=2，即B、D间的距离为2；当所成的角为120°时，||=3+2cos<>=2，所以||=． 综上可得，B，D间的距离为2或．
创设问题情境，引导学生体会运用向量语言，实现将空间几何问题转化为向量语言，进而实现代数化的基本思想，提升数形结合思想．
由问题引导，让学生感受到运用向量语言表示立体几何要素，实现立体几何向量化．
通过对立体几何的向量表示的学习，进而使向量坐标化，让学生感受，用代数方法解决立体几何问题．发展学生逻辑推理，数学抽象和数学运算的核心素养．
通过典型例题的分析和解决，让学生感受空间向量坐标运算在解决空间几何中的应用．发展学生数学抽象、逻辑推理的核心素养．
通过典例解析，进一步让学生体会空间向量坐标在解决立体几何中的应用，提升推理论证能力，提高学生的数学运算及逻辑推理的核心素养．
三、达标检测 1．若A（1，0，－1），B（2，1，2）在直线l上，则直线l的一个方向向量是（　　） A．（2，2，6） B．（－1，1，3） C．（3，1，1） D．（－3，0，1） 解析：∵A，B在直线l上，∴=（1，1，3），与共线的向量（2，2，6）可以是直线l的一个方向向量． 答案：A 2．设直线l，l的方向向量分别为a=（－2，2，1），b=（3，－2，m），若l⊥l，则m等于（　　） A．－2 B．2 C．10 D．6 解析：因为a⊥b，故a·b=0，即－2×3+2×（－2）+m=0，解得m=10． 答案：C 3．已知a，b是异面直线，A，B∈a，C，D∈b，AC⊥b，BD⊥b，且AB=2，CD=1，则a，b所成的角是　　　　． 解析：∵=（）·=||=1． ∴cos<>=．所以<>=． 答案： 4．已知正方体ABCD－ABCD中，E是棱CC上的动点． 求证：AE⊥BD． 证明：以D为坐标原点，以DA，DC，DD所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．设正方体棱长为a，则A（a，0，0），B（a，a，0），C（0，a，0），A（a，0，a），C（0，a，a）．
设E（0，a，b）（0≤b≤a），=（－a，a，b－a）． =（－a，－a，0），=a－a+（b－a）·0=0． ∴，即AE⊥BD．
通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题，发展学生的数学运算、逻辑推理、数学建模的核心素养．
四、小结
五、课时练
通过总结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力．
教学中主要突出创设问题情景和问题引导，通过生活中的手势语言类比运用向量语言表示立体几何要素，进而在将向量坐标化，让学生初步体会空间向量坐标化的基本思想，并以此来激发学生的探究心理．教学设计尽量做到注意学生的心理特点和认知规律，触发学生的思维，使教学过程真正成为学生的学习过程，以思维教学代替单纯的记忆教学．注意在探究问题时留给学生充分的时间，使数学教学成为数学活动的教学．从而发展学生的直观想象、逻辑推理、数学建模的核心素养．