2022-2023学年北师大版数学九年级上册1.1菱形的性质与判定（第一课时）课后培优练习（含解析）

菱形的性质与判定（第一课时）
一、单选题
1．如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD．相交于点O，OE⊥AB，垂足为E，若∠ADC＝130°，则∠AOE的大小为（　　）
A．21 B．65 C．42 D．56
2．如图，在菱形纸片ABCD中，E是BC边上一点，将△ABE沿直线AE翻折，使点B落在上，连接．已知∠C＝120°，∠BAE＝50°，则的度数为（　　）
A．50° B．60° C．80° D．90°
3．如图，平行四边形ABCD中，∠A＝110°，AD＝DC．E，F分别是边AB和BC的中点，EP⊥CD于点P，则∠PEF＝（　　）
A．35° B．45° C．50° D．55°
4．如图，菱形ABCD中，点E是AB的中点，对角线AC、BD相交于点F，连接EF，如果EF=4， 那么菱形的ABCD的周长为( )
A．4 B．8 C．16 D．32
5．如图，在平面直角坐标系中，O是菱形ABCD对角线BD的中点，ADx轴，AD＝2，∠A＝60°．将菱形ABCD绕点O旋转，使点D落在y轴上，则旋转后点A的对应点的坐标是（ ）．
A．或 B．
C． D．或
6．如图，菱形ABCD对角线AC、BD相交于点O，点E在AC上，，，，则DE的长为（ ）
A． B． C． D．
7．菱形的两条对角线分别是6cm，8 cm，则菱形面积为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，菱形ABCD的对角线长分别为6和8，点P是对角线AC上任意一点（不与点A，C重合），PE//BC交AB于点E，PF//CD交AD于点F，则阴影部分的面积是（　　）
A．12 B．11 C．10 D．24
9．如图，在菱形ABCD中，AB＝5，AC＝8，则菱形的高为（　　）
A． B． C．12 D．24
10．如图，在菱形中，对角线、交于点O，下列说法错误的是（ ）
A． B． C． D．
11．如图，菱形的对角线的交点与坐标原点重合，点，则过点C的直线的解析式为（ ）
A． B． C． D．
12．如图，菱形 ABCD的对角线 AC、BD 交于点 O，将△BOC 绕着点 C 旋转 180°得到，若AC＝2，，则菱形 ABCD 的边长是（ ）
A．3 B．4 C． D．
二、填空题
13．在菱形ABCD中，∠C=120°，点E是AD边的中点，点P是对角线BD上的动点，则当PA+PE的值最小时，∠APB=_____．
14．如图，在菱形ABCD中，M，N分别在AB，CD上，且AM＝CN，MN与AC交于点O，连接BO．若∠DAC＝35°，则∠OBC的大小为_____度．
15．如图，在菱形ABCD中，AB的垂直平分线EF交对角线AC于点F，垂足为点E，连接DF，且∠CDF＝18°，则∠DAF＝___ 度.
16．如图，菱形的一边中点到对角线交点的距离为，则菱形周长为______．
17．如图所示，在菱形中，，E，F两点分别从A，B两点同时出发，以相同的速度分别向终点B，C移动，连接，在移动的过程中，的最小值为____________．
18．如图，边长为的菱形中，，则菱形的面积是______，连结对角线，以为边作第二个菱形，使；连结，再以为边作第三个菱形，使；，按此规律所作的第个菱形的面积为______．
三、解答题
19．如图，菱形ABCD中，AB＝3，DF＝1，∠DAB＝60°，∠EFG＝15°，FG⊥BC，求AE的长．
20．已知四边形ABCD为菱形，周长为32cm， ∠ABC=60°，对角线AC与BD相交于点O．
(1)求AC， BD的长
(2)求菱形ABCD的面积
21．如图，在菱形ABCD中，AB的垂直平分线交对角线AC于点F，交AB于点E，连接DF，BF．
(1)求证：；
(2)若∠ADC=110°，求的度数．
22．在菱形中，，点是射线上一动点，以为边向右侧作等边，点的位置随着点的位置变化而变化．
(1)问题发现如图，当点在菱形内部或边上时，连接，与的数量关系是______；与的位置关系是______；
(2)拓展探究
如图，当点在菱形外部时，（1）中的结论是否还成立？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由；
(3)解决问题
如图，若，，请直接写出四边形的面积．
参考答案：
1．B
解：在菱形ABCD中，∠ADC＝130°，
∴∠BAD＝180°﹣130°＝50°，
∴∠BAO＝∠BAD＝×50°＝25°，
∵OE⊥AB，
∴∠AOE＝90°﹣∠BAO＝90°﹣25°＝65°．
故选：B．
2．C
解：∵四边形ABCD是菱形，∠C=120°，
∴∠BAD=∠C=120°，AB=AD，
∵将△ABE沿直线AE翻折，使点B落在上，
∴∠BAE==50°，=AB，
∴=100°，=AD，
∴=20°，
∴==（180°-20°）÷2=80°，
故选：C．
3．A
解：∵平行四边形ABCD中，AD＝DC，
∴四边形ABCD为菱形，
∴AB＝BC，∠ABC＝180°-∠A＝70°，
∵E，F分别为AB，BC的中点，
∴BE＝BF，
∴ ，
∵PE⊥CD，AB∥CD，
∴PE⊥AB，
∴∠PEB＝90°，
∴ ，
故选：A．
4．D
解：∵菱形ABCD中，对角线AC和BD交于点F，
∴AF=CF，
∵E是AB的中点，
∴EF是三角形ABC的中位线，
∴EF=BC，
∴BC=2EF=2×4=8．即AB=BC=CD=AD=8．
故菱形的周长为4BC=4×8=32．
故选：D．
5．A
解：根据菱形的对称性可得：当点D旋转到y轴正半轴时，
A、B、C均在坐标轴上，如下图，
∵∠BAD=60°，AD=2，
∴∠OAD=30°，
∴OD=1，
∴AO=OD==OC，
∴点A的坐标为（，0）；
同理：当点D旋转到y轴负半轴时，此时点A旋转到x轴正半轴，
点A的坐标为（，0），
∴点A的坐标为（，0）或（-，0），
故选：A．
6．A
解：∵四边形ABCD为菱形，
∴，，
在中，，
∵，
∴，
在中，，
故选：A．
7．B
解：∵菱形的两条对角线分别是6cm，8 cm，
∴菱形面积为．
故选：B
8．A
解：设AP与EF相交于O点．
∵四边形ABCD为菱形，
∴BC//AD，AB//CD．
∵PE//BC，PF//CD，
∴PE//AF，PF//AE．
∴四边形AEPF是平行四边形．
∴S△POF＝S△AOE．
∴阴影部分的面积就是△ABC的面积，
∴△ABC的面积＝菱形的面积＝×（×6×8）＝12，
则阴影部分的面积是12．
故选：A．
9．B
解：设AC与BD交于点O，作出BC边的高h，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AO⊥BO，且AC=2AO，BD=2BO．
在Rt△AOB中利用勾股定理可得BO==3．
∴BD=2BO=6．
∴菱形的面积为BD×AC=×6×8=24．
设BC变上的高为h，则BC×h=24，
即5h=24，
解得：h=，
故选：B．
10．C
解：A、菱形的对边平行且相等，所以，故该选项正确；
B、菱形的对角线一定垂直，所以AC⊥BD，故该选项正确；
C、菱形的对角线不一定与边相等，所以AB与BD不一定相等，故该选项错误；
D、菱形的对角线互相平分，所以OA=OC，故该选项正确．
故选：C．
11．C
解：菱形的对角线的交点与坐标原点重合，点
由直线过点C，
，故C正确，符合题意，
故选：C
12．D
解：∵四边形ABCD是菱形，且△BOC绕着点C旋转180°得到，，
∴，，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，即菱形 ABCD 的边长是．
故选：D．
13．60°##60度
解：如图，连接AC，CE，AC交BD于点O，
∵四边形ABCD是菱形，
∴，AO=CO，，AB=BC=CD=AD，，
∴AP=CP，
∵∠BCD=120°，
∴∠ADC=∠ABC=60°，
∴△ABC和△ACD都是等边三角形，
又∵点E为AD的中点，
∴CE⊥AD，
∵CP+PE≥CE，AP=CP，
∴当C，P，E三点共线时，PA+PE的值最小，等于CE的长，
此时，∠ADP=∠DAP=30°，
∴∠APB=30°+30°=60°．
故答案为：60°．
14．55°
解：∵四边形ABCD是菱形，
∴∠BAC=∠DAC=∠DCA=∠BCA=35°，AB=BC，
在△AOM和△CON中，
，
∴△AOM≌△CON，
∴OA=OC，
∵AB=BC，
∴OB⊥AC，
∴∠OBC=90°-∠BCA=90°-35°=55°，
故答案为：55°．
15．54
解：连接BD，BF，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD=CD，
∴∠DAC=∠DCA．
∵EF垂直平分AB，AC垂直平分BD，
∴AF=BF，BF=DF，
∴AF=DF，
∴∠DAF=∠FDA，
∵∠DAF+∠ADF+∠DCA+∠CDF=180°，
∴3∠DAF+∠CDF=180°，
∵∠CDF=18°，
∴3∠DAF+18°=180°，
则∠DAF=54°，
故答案为：54．
16．
解：点菱形的边的中点，点是的中点，且，
∴在中，，
∴,
故菱形的周长是．
故答案为：12．
17．
解：连接DB，作DH⊥AB于H，如图，
∵四边形ABCD为菱形，
∴AD=AB=BC=CD，
而∠A=60°，
∴△ABD和△BCD都是等边三角形，
∴∠ADB=∠DBC=60°，AD=BD，
在Rt△ADH中，AH=1，AD=2，
∴DH==，
在△ADE和△BDF中，
∴△ADE≌△BDF，
∴∠2=∠1，DE=DF，
∴∠1+∠BDE=∠2+∠BDE=∠EDF=60°，
∴△DEF为等边三角形，
∴EF=DE，
而当E点运动到H点时，DE的值最小，其最小值为，
∴EF的最小值为，
故答案为：．
18．
解：如图，连接BD，交AC与点O，
∵四边形ABCD为菱形，且∠DAB＝60°，
∴△ABD为等边三角形，
∴AD＝BD＝AB＝1，
∴BO，AO，
∴S△ABD，
∴S菱形ABCD＝2．
∵AO，
∴AC，
∵四边形ACC1D1为菱形，∠D1AC＝60°，
∴可得AC，
同理可得AC2AC1，
以此类推，可得出所作的第n个菱形的边长为，
∴第n个菱形的面积为2．
故答案为：；．
19．1+
解：过FH⊥AB，垂足为H．
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD=AB=3，
∵DF=1，
∴AF=AD-FD=2，
∵∠DAB=60°，
∴∠AFH=30°，
∴AH=1，FH=，
又∵∠EFG=15°，
∴∠EFH=∠AFG-∠AFH-∠EFG=90°-30°-15°=45°，
∴△FHE是等腰直角三角形，
∴HE=FH=，
∴AE=AH+HE=1+．
20．(1)AC=8cm，BD=8cm；
(2)菱形ABCD的面积为32．
（1）
解：∵菱形ABCD的周长为32cm，∠ABC=60°，
∴AB=BC=8cm，△ABC是等边三角形，AC、BD互相垂直平分，
∴AC=AB=8cm，OA=AC=4cm，OB=OD，
∴OB=（cm），
∴BD=8cm；
（2）
解：菱形ABCD的面积=AC BD=×8×8=32（）．
21．(1)见解析
(2)∠FDC=75°．
（1）
证明：连接BF，如图所示：
∵EF是线段AB的垂直平分线，
∴AF=BF，
∵四边形ABCD是菱形，
∴BC=DC，∠BCF=∠DCF，
在△BCF和△DCF中，
，
∴△BCF≌△DCF（SAS），
∴BF=DF，
∴AF=DF；
（2）
解：∵四边形ABCD是菱形，∠ADC=110°，
∴AD=DC，∠DCA=∠DAC=(180°-∠ADC)=×70°=35°，
∵AF=DF，
∴∠FDA=∠DAC=35°，
∴∠DFC=∠FDA+∠DAC=70°，
∴∠FDC=180°-∠DFC-∠DCA=180°-70°-35°=75°．
22．(1)；
(2)成立，证明见解析
(3)
（1）
解：如图，连接，延长交于，
菱形中，，
，，
、是等边三角形，
，，，
是等边三角形，
，，
，即，
在与中，，
，
，，
平分，
，
，
，
．
故答案为：，．
（2）
解：成立，，，证明如下：
如图，连接，
菱形中，，
，，
、是等边三角形，
，，，
是等边三角形，
，，
，即，
在与中，，
，
，，
平分，
，
平分，
．
（3）
解：由（2）知，，，
，，
，
四边形的面积为．