2022-2023学年北师大版数学九年级上册1.2矩形的性质与判定（第一课时）课后培优练习（含解析）

矩形的性质与判定（第一课时）
一、单选题
1．如图是叠放在一起的两张长方形卡片，则图中相等的是（ ）
A．∠1与∠2 B．∠2与∠3 C．∠1与∠3 D．三个角都相等
2．下列性质中，矩形具有而菱形不一定具有的是（ ）
A．对角线相等 B．对角线互相平分
C．对角线互相垂直 D．邻边相等
3．如图，在矩形中，，，过对角线交点作交于点，交于点，则的长是（　　　）
A． B． C．1 D．
4．如图，在长方形ABCD中AB=CD=4，AD=BC=5．延长BC到E，使CE=2，连接DE，动点P从点B出发，以每秒4个单位的速度沿BC-CD-DA向终点A运动，设点P运动的时间为t秒，存在这样的t，使△ABP和△DCE全等，则t的值为（　　）
A．t= B．t=2 C．t=或t=2 D．t=或t=3
5．如图，在矩形中，对角线，交于点O.若，则的度数为（ ）
A．30° B．35° C．40° D．45°
6．如图，在矩形中，，相交于点，平分交于，若，则的度数为( )
A． B． C． D．
7．如图，在长方形ABCD中，连接AC，以A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AD，AC于点E，F，分别以E，F为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在内交于点H，画射线AH交DC于点M．若，则的大小为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，矩形中，在数轴上，若以点A为圆心，对角线的长为半径作到交数轴的正半轴于M，则点M，在数轴上表示的数为（ ）
A．2 B． C． D．
9．如图，矩形ABCD中，，，若在AC，AB上各取一点M，N，使的值最小，求这个最小值（ ）
A． B． C． D．
10．如图，EF过矩形ABCD对角线的交点O，且分别交AB、CD于E、F，那么阴影部分的面积是矩形ABCD面积的（ ）
A． B． C． D．
11．如图，矩形的面积为5，它的两条对角线交于点，以为两邻边作平行四边形，平行四边形的对角线交于点，同样以为两邻边作平行四边形，…，依此类推，则平行四边形的面积为（ ）
A． B． C． D．
12．如图，矩形ABCD的对角线相交于点E，延长BA至点F，使．此时，连接EF，交AD于点G，则下列结论中正确的个数是（ ）
①；②；③；④若点H是线段FG的中点，则为等腰直角三角形
A．4 B．3 C．2 D．1
13．如图，一直线与两坐标轴的正半轴分别交于A，B两点，P是线段AB上任意一点（不包括端点），过点P分别作两坐标轴的垂线与两坐标轴围成的长方形的周长为6，则该直线的函数表达式是（ ）
A．y＝x＋3 B．y＝x＋6
C．y＝－x＋3 D．y＝－x＋6
14．如图，矩形的顶点，，，将矩形以原点为旋转中心，顺时针旋转75°之后点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
15．如图，在矩形纸片中，，，将其折叠，使点与点重合，折痕为，则的长为（ ）
A．4 B．5 C． D．3.5
二、填空题
16．如图，在矩形中，，，点E为上一动点（不与点C重合），将沿所在直线折叠，点C的对应点恰好落在上，则的长是_______________．
17．小明同学学习了菱形的知识后，结合之前学习的赵爽弦图，编了一个菱形版“赵爽弦图”．如图，菱形ABCD中，∠ABC=60°，四边形EFGH是矩形，若FA=FB=2，则矩形EFGH的面积为______．
18．如图，矩形中，，，为上一点，以为边构造等边（A、、按逆时针方向排列），连接、，则的最小值为______．
19．如图：在直角坐标系里点，已知为矩形，，则点A坐标为___________．
20．在研究平面图形的面积时，我们经常用到割补法．割补法在我国古代数学著作中称为“出入相补”，刘徽称之为“以盈补虚”，即以多余补不足，是数量的平均思想在几何上的体现．九章算术已经能十分灵活地应用“出入相补”原理解决平面图形的面积问题．下面举例说明：在九章算术中，三角形被称为圭田．圭田术曰：“半广以乘正纵”，也就是说三角形的面积等于底的一半乘高．刘徽注为：“半广者，以盈补虚，为直田也”，说明三角形的面积是应用出入相补原理，由长方形面积导出的．如图中的三角形下盈上虚，以下补上．如果图中阴影部分的面积为，那么图中长方形的面积是______．
21．如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点F为BC上一点，将沿DF翻折，点C的对应点恰好是点O，连接AF，若，则AF的长为______．
三、解答题
22．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝8，对角线AC、BD相交于点O，过点O作OE垂直AC交AD于点E，求DE的长
23．如图，四边形ABCD是矩形，AB=2，AD=4，点E、F分别在AD、BC上，且AE=CF，连接BD、EF．
(1)求证：四边形BFDE是平行四边形；
(2)若EF⊥BD，求AE的长度．
24．如图，在矩形ABCD中，对角线AC的垂直平分线分别与边AB和边CD的延长线交于点M，N，与边AD交于点E，垂足为点O．
(1)求证：△AOM≌△CON；
(2)若AB＝4，AD＝8，求AE的长．
25．已知矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，E为直线BC上一点．
(1)如图1，当E在线段BC上，且DE＝AD时，求BE的长；
(2)如图2，点E为BC边延长线上一点，若BD＝BE，连接DE，M为DE的中点，连接AM、CM，求证：AM⊥CM．
26．如图，在矩形ABCD中，AE平分∠BAD交BC于点E，点F为AE上一点，连接BF，CF，满足BF＝CF，AE＝AD，延长BF交DE于点G，连接DF．
(1)求证：AB＝AF．
(2)求证：EG＝DG．
(3)若EG＝2，求矩形ABCD的面积．
27．在□ABCD中，∠ADC的平分线交BC于点E，交AB的延长线于点F，以BE，BF为邻边作．
(1)如图1，求证：是菱形；
(2)如图2，若，连接BG，交EF于点O，连接OA，OC，AC，求OA的长；
(3)如图3，若，连接AC，AG，求∠GAC的度数．
参考答案：
1．B
解：连接GH，如图所示：
∵两张长方形卡片叠放在一起，
∴∠C=∠D=∠A=∠B=∠AEF，
∵∠CEG+∠DEF=90°，∠CEG+∠CGE=90°，
∴∠CGE=∠DEF，
∵∠3+∠CGE=180°，∠1+∠DFE=180°，
∴∠1与∠3的大小无法判定；
∵∠AHG=∠BHK，∠AGH+∠AHG=90°，∠BHK+∠BKH=90°，
∴∠AGH=∠BKH，
∵∠3+∠AGH=180°，∠2+∠BKH=180°，
∴∠2=∠3．
故选：B．
2．A
解：矩形的性质有：①矩形的对边平行且相等，②矩形的四个角都是直角，③矩形的对角线互相平分且相等；
菱形的性质有：①菱形的对边平行，菱形的四条边都相等，②菱形的对角相等，③菱形的对角线互相平分且垂直，并且每一条对角线平分一组对角，
所以矩形具有而菱形不一定具有的性质是对角线相等，
故选：A．
3．A
解：如图，连接，
∵四边形是矩形，
∴，，，，
又∵，
∴线段是线段的垂直平分线，
∴，
设，则，
在中，
∵，
∴，
解得：，
∴．
故选：A
4．D
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABP=∠BAD=∠BCD=90°，
∴∠DCE=90°，
分两种情况：
①点P在BC上时，
∵AB=CD，
∴当BP=CE=2时，△ABP≌△DCE（SAS），
由题意得：BP=4t=2，
∴t=；
②点P在AD上时，
∵AB=CD，
∴当AP=CE=2时，△BAP≌△DCE（SAS），
由题意得：AP=5+4+5-4t=2，
解得：t=3；
综上所述，当t的值为或3时，△ABP和△DCE全等，
故选：D．
5．A
解：∵四边形ABCD是矩，∠AOB＝60°，
∴∠BCD＝90°，∠COD＝60°，OC＝OD＝，
∴△COD是等边三角形，
∴∠OCD＝60°，
∴∠OCB＝90°﹣∠OCD＝30°，
故选：A．
6．D
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD=∠ABC=90°，OA=AC，OB=BD，AC=BD，
∴OA=OB，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE=∠DAE=45°，
∴△ABE是等腰直角三角形，
∴AB=BE，
∵∠DAO=30°，
∴∠EAO=15°，
∴∠BAO=45°+15°=60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴∠ABO=60°，OB=AB，
∴∠OBE=90°-60°=30°，OB=BE，
∴∠BEO=×（180°-30°）=75°．
故选：D．
7．B
解：四边形是长方形，
，
，
由题意可知，平分，
，
，
故选：B．
8．C
解：∵矩形中，，，
∴，，
∴，
∴，
∵A点表示-1，
∴M点表示的数为：
故选：C．
9．D
解：如图，作点B关于AC的对称点H，连接HB，交AC于O，连接AH，HM，连接HN，
∴AB＝AH＝4，HM＝BM，BO＝HO，
∴MN+BM＝HM+MN，
∴当点H，点M，点N共线且HN⊥AB时，MN+BM的最小值为HN，
∵AB＝4，BC＝3，
∴AC＝，
∵S△ABC＝×AB×BC＝AC×BO，
∴BO＝，
∴BH＝，
在中，
，
∵HN⊥AB，
S△ABH＝×AB×HN＝BH×AO，
∴MN+BM的最小值为．
故选：D．
10．C
解：∵四边形为矩形，
∴OB=OD=OA=OC，
在△EBO与△FDO中，
∵，
∴△EBO≌△FDO（ASA），
∴阴影部分的面积=，
∵△AOB与△ABC同底且△AOB的高是△ABC高的一半，
∴ ．
故选：C．
11．B
解：矩形的面积为5，
的面积为，
四边形是平行四边形，
平行四边形的面积为，
同理可得：平行四边形的面积为，
平行四边形的面积为，
归纳类推得：平行四边形的面积为，其中为正整数，
故选：B．
12．B
解：①∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD＝90°，
∴∠FAD＝90°，
∵AF＝AD，
∴∠AFD＝∠FDA＝45°，
∵FB＝FD，
∴∠FBD＝∠FDB＝67.5°，
∴∠ADB＝67.5﹣45＝22.5°，故①错误；
②∵四边形ABCD是矩形，
∴BE＝DE，
∵BF＝FD，
∴FE⊥BD，故②正确；
③∵四边形ABCD是矩形，
∴∠FAD＝90°，
∵AF＝AD，
∴∠AFD＝∠FDA＝45°，
∴，
∴DF＝AF，故③正确；
④如图，
∵H是FG的中点，∠FAG＝90°，
∴FH＝GH＝AH，
∴∠AFH＝∠FAH．
∵∠AFD＝45°，FE平分∠AFD，
∴∠AFH＝∠FAH＝22.5°，
∴∠AHG＝45°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴EA＝ED，
∴∠EAD＝∠EDA＝22.5°，
∴∠AEB＝45°，
∴∠AEG＝45°，
∴∠AEG＝∠AHG＝45°，
∴△AEG为等腰直角三角形，故④正确．
故选：B．
13．C
解：设过点P的垂线在x轴、y轴上垂足分别是D、C，如图：
设P点坐标为（x，y），
∵P点在第一象限，
∴PD＝y，PC＝x，
∵矩形PDOC的周长为6，
∴2（x+y）＝6，
∴x+y＝3，
即该直线的函数表达式是y＝﹣x+3，
故选：C．
14．D
解：过点B作BG⊥x轴于G，过点C作CH⊥y轴于H，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC，AB=CD，ADBC，∠CDA=∠DAB=90°，
∴∠HCD=∠ADO=∠BAG，
∵∠CHD=∠BGA=90°，
∴△CHD≌△AGB（AAS），
∵，，，
∴CH=AG=5-1=4，DH=BG=2，
∴OH=2+2=4，
∴C（4，4），
∴OE=CE=4，
∴∠COE=45°，OC=4，
如图，过点C作CE⊥x轴于E，过点C1作C1F⊥x轴于F，
由旋转得∠COC1=75°，
∴∠C1OF=30°，
∴C1F=OC1=OC=2，
∴OF=，
∴点C1的坐标为，
故选：D．
15．A
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=90°，
由翻折的性质可知，、、=90°
设=，则BF=9-x，
∵在Rt△中，
∴解得，
∴CF=4．
故选：A．
16．1
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B=∠C=90°，AD=BC=5，CD=AB=3，
由折叠的性质得：，，，
∴，
∴，
设，
在Rt△ABE中，BE=5-x，AE=x+4，
由勾股定理得：，
解得：x=1，
故答案为：1．
17．##
解：过点A作AM⊥BC于M，过点G作GN⊥BC于N，连接GM，
∵四边形EFGH是矩形，
∴∠AFB=∠AED=∠BGC=∠CHD=90°，
∵FA=FB=2，
∴AB==4，∠ABF=∠BAF=45°，
∵四边形ABCD是菱形，∠ABC=60°，
∴AB=BC=CD=AD，∠ABC=∠ADC=60°，∠BAD=∠BCD=120°，
∴∠CBG=15°，∠DAF=75°，
∴∠CDH=∠DCH=45°，∠ADE=15°，∠BCG=75°，
∴∠BAF=∠DCH=∠ABF=∠CDH，∠ADE=∠CBG，∠DAE=∠BCG，
在△ABF和△CDH中，
，
∴△ABF≌△CDH（ASA），
同理：△BCG≌△DAE（ASA），
∵AM⊥BC，∠ABC=60°，
∴∠BAM=30°，
∴BM=AB=2，
∴AM=BM=2，BC=2BM，
∵∠BGC=90°，
∴BM=CM=GM=2，
∴∠CMG=2∠CBG=30°，
∵GN⊥BC，
∴GN=GM=1，
∴S菱形ABCD=BC AM=4×2=8，
S△ABF=AF BF=×2×2=4，
S△BCG=BC GN=×4×1=2，
∴S矩形EFGH=S菱形ABCD-2S△ABF-2S△BCG=8-12．
故答案为：8-12．
18．
解：如图，连接AC，取AC的中点O，连接BO，OQ，
∵矩形ABCD中，AB=3，AD=BC＝，
∴，
∵点O是AC的中点，∠ABC=90°，
∴AO=BO=CO=3，
∴AB=AO=BO=3，
∴△ABO是等边三角形，
∴∠BAO=60°，
∵△APQ是等边三角形，
∴AP=AQ，∠PAQ=∠BAO=60°，
∴∠BAP=∠QAC，
在△ABP和△AOQ中，
∴△ABP≌△AOQ（SAS），
∴∠ABP=∠AOQ=90°，
∴OQ是AC的垂直平分线，
∴AQ=CQ，
∵CQ+DQ=AQ+QD，
∴当点A，点Q，点D三点共线时，CQ+DQ的最小值为AD长，
∴CQ+DQ的最小值为，
故答案为：．
19．
解：过点A作AC⊥y轴于点C，
∵，
∴．
∵四边形为矩形
∴AM=BM=DM=，
∴,，
∴
∴△ABM是等边三角形．
又∵AC⊥y轴，
∴CM，
∴，
∴点A坐标为．
故答案为：．
20．16
解：如图，连接，
则阴影部分的面积，
图中长方形的面积是，
故答案为：．
21．
解：由翻折可得CD＝OD，∠CDF＝∠BDF，
∵四边形ABCD为矩形，
∴OC＝OD，AB＝CD，AD＝BC＝3，∠BCD＝∠ABC＝90°，
∴OC＝OD＝CD，
即△OCD为等边三角形，
∴∠BDC＝60°，
∴CDBC，∠CDF＝∠BDF＝30°，
∴CFCD＝1，
∴BF＝BC﹣CF＝2，
在Rt△ABF中，由勾股定理可得，
AF．
故答案为：．
22．3
解：如图，连接，
四边形是矩形，且，
，
，
垂直平分，
，
设，则，
在中，，即，
解得，
即．
23．(1)见解析 (2)
（1）
证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC，ADBC，
∵AE=CF，
∴DE=BF，DEBF，
∴四边形BFDE是平行四边形；
（2）
解：∵四边形BFDE是平行四边形，EF⊥BD，
∴四边形BFDE是菱形，
∴DE=BE，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=90°，
在Rt△ABE中，BE=DE=AD-AE=4-AE，AB=2，
根据勾股定理得：BE2=AE2+AB2，
∴（4-AE）2=AE2+22，
解得AE=．
24．(1)见解析 (2)5
（1）
证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴ABCD，
∴∠M＝∠N，
∵AC的垂直平分线是MN，
∴AO＝CO，
在△AOM和△CON中，
，
∴△AOM≌△CON（AAS）；
（2）
解：连接CE，设AE＝x，则DE＝8﹣x，
∵AC的垂直平分线是MN，
∴AE＝CE＝x，
∵四边形ABCD是矩形，AB＝4，
∴DC＝AB＝4，∠ADC＝90°，
由勾股定理得：，
∴，
解得：x＝5，
即AE＝5．
25．(1) (2)见解析
（1）
解：如图1所示，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠C＝90°，CD＝AB＝3，AD＝BC＝4，
∴DE＝AD＝4，
在Rt△CDE中，CE，
∴BE＝BC﹣CE＝4；
（2）
如图2，连接BM，
∵点M是DE的中点，
∴DM＝EM，
∵BD＝BE，
∴△BDE是等腰三角形，
∴BM⊥DE，
∴∠BMD＝90°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BCD＝∠ADC＝90°，AD＝BC，
∴∠DCE＝180°－∠BCD＝90°，
∴△CDE是直角三角形，
∵M为DE的中点，
∴DM＝CM，
∴∠CDM＝∠DCM，
∴∠BCD＋∠DCM＝∠CDM＋∠ADC，
∴∠ADM＝∠BCM，
在△ADM和△BCM中，
，
∴△ADM≌△BCM（SAS）．
∴∠AMD＝∠BMC，
∴∠AMC＝∠AMB+∠BMC＝∠AMB+∠AMD＝∠BMD＝90°，
∴AM⊥CM；
26．(1)见解析
(2)见解析
(3)8+8
（1）
证明：∵四边形ABCD为矩形，
∴ADBC，∠DAB＝∠ABE＝90°，
∴∠DAE＝∠AEB，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE＝∠DAE＝45°，
∴∠BAE＝∠AEB＝45°，
∴AB＝EB，
∵四边形ABCD为矩形，
∴∠ABC＝∠BCD＝90°，AB＝CD，
∵BF＝CF，
∴∠FBC＝∠FCB，
∴∠ABF＝∠DCF，
在△ABF和△AFD中，
∴△ABF≌△AFD（SAS），
∴AF＝DF，
∴∠ADF＝∠DAE＝45°，
∴∠AFD＝90°，
∴∠ABE＝∠AFD＝90°，
∵AE＝AD，
在△ABE和△AFD中，
∴△ABE≌△AFD（AAS），
∴AB＝AF；
（2）
证明：∵AE＝AD，∠EAD＝45°，
∴∠AED＝∠ADE＝67.5°，
∴∠FDG＝22.5°，
∵AB＝AF，∠BAF＝45°，
∴∠AFB＝67.5°，
∴∠EFG＝67.5°，
∴∠EFG＝∠AED，
∴FG＝EG，
∵∠AFD＝90°，
∴∠DFE＝90°，
∵∠EFG＝67.5°，
∴∠DFG＝∠DFE-∠EFG ＝22.5°，
∴∠DFG＝∠FDG，
∴FG＝DG，
∴EG＝DG；
（3）
解：∵EG＝2，
∴ED＝4，
设AB＝BE＝x，
则AD＝AE＝x，DF＝AF＝AB=x，
∴EF＝x﹣x，
∴，
∴x2＝8+4，
∴．
27．(1)证明见解析
(2)
(3)∠CAG=60°
（1）
证明：四边形是平行四边形，
，，
，，
平分，
，
，
，
又四边形是平行四边形，
是菱形；
（2）
解：，
四边形是矩形，
，
，
，
菱形是正方形，
，，，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
；
（3）
解：如图3，延长，，交于点，连接，
四边形是平行四边形，，
，，，
四边形是菱形，
，，，
，，
四边形是平行四边形，四边形是平行四边形，，
，
，
，
四边形是菱形，
，，
是等边三角形，是等边三角形，
，，
，
，
．