2022-2023学年北师大版数学九年级上册1.1菱形的性质与判定（第二课时）课后培优 （含解析）

菱形的性质与判定（第二课时）
一、单选题
1．如图，下列条件中能使成为菱形的是（ ）
A． B． C． D．
2．如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，添加下列条件仍不能判断四边形ABCD是菱形的是（ ）
A．AB＝AD B．AO2＋BO2＝AB2
C．AC＝BD D．∠BAC＝∠ACB
3．已知，用没有刻度的直尺和圆规作菱形ABCD，下面的作法中正确的是（ ）．
A． B．
C． D．
4．如图，在四边形中，、、、分别是、、、的中点，要使四边形是菱形，四边形还应满足的一个条件是（ ）
A． B． C． D．
5．张师傅应客户要求加工4个菱形零件，在交付客户之前，张师傅需要对4个零件进行检测，根据零件的检测结果，图中有可能不合格的零件是（ ）
A． B．
C． D．
6．如图，由10根完全相同的小棒拼接而成，请你再添2根与前面完全相同的小棒，拼接后的图形恰好有3个菱形的方法共有（ ）
A．4种 B．5种 C．6种 D．7种
7．如图1，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于O，要在对角线BD上找两点M、N，使得四边形AMCN是菱形，现有图2中的甲、乙两种方案，则正确的方案是（ ）
A．只有甲 B．只有乙 C．甲和乙 D．甲乙都不是
8．如图．将菱形ABCD绕点A逆时针旋转∠α得到菱形AB′C′D′，∠B＝∠β．当AC平分∠B′AC′时，∠α与∠β满足的数量关系是（ ）
A．∠α＝2∠β B．2∠α＝3∠β
C．4∠α＋∠β＝180° D．3∠α＋2∠β＝180°
9．如图，两张等宽的纸条交叉叠放在一起，若重合部分构成的四边形ABCD中，，．则四边形ABCD的面积为（ ）
A．240 B．120 C．60 D．30
10．如图，在平行四边形ABCD中，，，以点A为圆心AB长为半径画弧交边AD于点F：以点B为圆心AB长为半径画弧交边BC于点E，连接AE，BF和EF．下列结论不正确的是（ ）
A． B． C． D．
11．如图1，已知在平行四边形中，，若点P从顶点A出发，沿以的速度匀速运动到点B，图2是点P运动时，的面积随时间变化的关系图像，则a的值为（ ）
A．5 B． C． D．
12．如图，中，，，，平行四边形内放着两个菱形，菱形和菱形，它们的重叠部分是平行四边形．已知三个阴影平行四边形的周长相等，那么平行四边形的面积为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13．如图，已知AD是△ABC的角平分线，DE∥AC交AB于点E，请你添加一个条件________，使四边形AEDF是菱形．
14．如图，在中，分别是上的点，，将沿所在的直线翻折，使点的对应点与点重合，且点落在点处，连接，若，，则________．
15．如图，在菱形ABCD的外侧，作等边△DCE，连接AE、DE．若对角线AC＝AB，则∠DEA＝______度．
16．如图，一个风筝的框架为菱形，，，为了使框架更结实，需要把对角线上一点分别与点和用竹篾固定，其中，为边的中点．同样，另外一侧也需要这样固定，则固定该风筝需要竹篾最短为______，（连接处的竹篾不计长度）．
17．如图，△ABC是边长为1的等边三角形，取BC边的中点E，作交AC于点D，交AB于点F，得到四边形EDAF，它的面积记作取BE边的中点，作FB交EF于，交BF于点，得到四边形，它的面积记作，…照此规律作下去，则的值为_______．
三、解答题
18．如图，在菱形ABCD中，点E，F在对角线BD上，BE＝DF．求证：四边形AECF是菱形．
19．如图，在四边形ABCD中，ADBC，对角线BD的垂直平分线与边AD、BC分别相交于点M、N．
(1)求证：四边形BNDM是菱形；
(2)若BD＝24，MN＝10，求菱形BNDM的周长．
20．如图，在中，，是的中点，是的中点，过点作交的延长线于点．
(1)求证：四边形是菱形；
(2)若，，求菱形的面积．
21．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，点D是斜边AB的中点．点E为射线BC上一点，将△BDE沿DE折叠，点B的对应点为点F．
(1)若AB＝10．直接写出AC的长．
(2)若于G，点F与点D在直线CE的异侧，连结CF，如图②，判断四边形ACFD的形状，并说明理由．
(3)若，直接写出∠BDE的度数．
22．菱形的对角线交于点．
(1)如图，过菱形的顶点作于点，交于点，若，四边形的面积为，求菱形的边长；
(2)如图，菱形中，过顶点作于点，交延长线于点，线段交于点，若，求证：；
(3)如图，菱形中，，，点为射线上一动点，连接，将绕点逆时针旋转到，连接，直接写出线段的最小值．
参考答案：
1．D
解：A、AB=CD不能判定 ABCD是菱形，故不符合题意；
B、AC=BD只能判定 ABCD是矩形，故不符合题意；
C、∠BAD=90°只能判定 ABCD是矩形，故不符合题意；
D、AB=BC能判定 ABCD是菱形，故符合题意；
故选：D．
2．C
解：∵AB=AD，
∴平行四边形ABCD是菱形，故A正确；
∵AO2+BO2=AB2，
∴△AOB是直角三角形，
∴AC⊥BD，
∴平行四边形ABCD是菱形，故B正确；
∵AC=BD，
∴平行四边形ABCD是矩形，故C错误；
∵∠BAC=∠ACB，
∴AB=BC，
∴平行四边形ABCD是菱形，故D正确；
故选：C．
3．C
解：由作图可知，选项C中，四边形ABCD是菱形（理由是对角线互相平分且垂直）
故选：C．
4．C
解：∵在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BD、CD、AC的中点，
∴EF∥AD，HG∥AD，
∴EF∥HG；
同理，HE∥GF，
∴四边形EFGH是平行四边形；
A、若对角线AC＝BD时，则CH=DF，得不到，则GH≠GF，不能证明四边形EFGH是菱形，故本选项错误；
B、若时，不能得到GH≠GF，不能证明四边形EFGH是菱形，故本选项错误；
C、当AD＝BC时，GH＝GF；所以平行四边形EFGH是菱形；故本选项正确；
D、若，得不到AD＝BC，则GH≠GF，不能证明四边形EFGH是菱形，故本选项错误；
故选C．
5．C
解：A、四条边相等的四边形是菱形，能判定菱形，故此选项不符合题意；
B、有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，邻边相等的平行四边形是菱形，能判定菱形，故选项不符合题意；
C、不能判定四边形是平行四边形，故不能判定为菱形，故选项符合题意；
D、同旁内角互补，两直线平行可得：两组对边平行，能判定平行四边形，邻边相等的平行四边形是菱形，则能判定菱形，故选项不符合题意．
故选：C．
6．C
解：共有6种拼接法，如图所示．
故选：C．
7．C
解：∵四边形ABCD是菱形，
∴OB=OD，OA=OC，AC⊥BD，
∵BM=DN，
∴OM=ON，
∵OA=OC，MN⊥AC，
∴四边形AMCN是菱形，
故方案甲正确；
∵四边形ABCD是菱形，
∴OB=OD，OA=OC，AC⊥BD，∠BAC=∠DAC，
∵AM，AN是∠BAC和∠DAC的平分线，
∴∠MAC=∠NAC，
∵∠AOM=∠AON=90°，
在△AOM和△AON中，
，
∴△AOM≌△AON（ASA），
∴OM=ON，
∵OA=OC，
∴四边形AMCN是平行四边形，
∵AC⊥MN，
∴四边形AMCN是菱形．
故方案乙正确．
故选：C．
8．C
解：∵AC平分∠B′AC′，
∴∠B'AC＝∠C'AC，
∵菱形ABCD绕点A逆时针旋转∠α得到菱形AB′C′D′，
∴∠BAB'＝∠CAC'＝∠α，
∵AC平分∠BAD，
∴∠BAC＝∠DAC，
∴∠BAB'＝∠DAC'，
∴∠BAB'＝∠B'AC＝∠CAC'＝∠DAC'＝∠α，
∵AD∥BC，
∴∠B+∠BAD＝180°，
∴4∠α+∠β＝180°．
故选：C．
9．B
解：过点A作AE⊥CD于E，AF⊥BC于F，连接AC，BD交于点O，如图所示：
∵两条纸条宽度相同，
∴AE＝AF．
∵ABCD，ADBC，
∴四边形ABCD是平行四边形．
∵S ABCD＝BC AF＝CD AE．
又∵AE＝AF．
∴BC＝CD，
∴ABCD是菱形，
∴AO＝CO=，BO＝DO=，AC⊥BD，
∵，
∴CO＝AO＝5，BO＝＝=12，
∴BD＝24，
∴菱形ABCD的面积＝AC×BD＝×10×24＝120．
故选：B．
10．D
解：由作图可知：AB=BE，AF=AB，
∴AB=BE=AF，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴ADBC，即AFBE，
∴四边形ABEF为平行四边形，
∵AB=AF，
∴四边形ABEF是菱形，
∴AB=EF，AE⊥BF，∠AEB=∠AEF，故A、B、C选项都不符合题意；
而∠ABC≠90° ，∴四边形ABEF不是矩形，∴AE≠BF，故D选项符合题意．
故选：D．
11．C
解：过点D作DE⊥BC，
∵平行四边形ABCD中，AD=DC，
∴四边形ABCD是菱形，AD∥BC，
∴当点P在边AD上运动时，y的值不变，
∴AD=a，即菱形的边长是a，
∴a DE＝2a，即DE=4．
当点P在DB上运动时，y逐渐减小，
∴DB=5，
∴BE=，
在Rt△DCE中，DC=a，CE=a-3，DE=4，
∴a2=42+（a-3）2，解得a=，
故选：C．
12．D
解：由题意的周长为
又∵三个阴影平行四边形的周长相等，
∴由平移的性质可得：的周长=的周长=的周长=
∴
∴
又∵，，且四边形和四边形是菱形，
∴，，，
过点I作IP⊥EF
∴在Rt△IJP中，，
∴平行四边形的面积为
故选：D．
13．DF∥AB
解：DF∥AB，理由如下：
∵DE∥AC交AB于点E，DF∥AB交AC于点F，
∴四边形AEDF是平行四边形，∠EAD＝∠ADF，
∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠EAD＝∠FAD，
∴∠ADF＝∠FAD，
∴FA＝FD，
∴平行四边形AEDF是菱形（有一组邻边相等的平行四边形是菱形）．
14．
解：过点作的垂线交延长线于点
∵翻折
∴，，
∵四边形是平行四边形
∴，，
∴，，
∵，
∴
在和中
∵
∴
∴，
∵
∴
∴
又∵
∴四边形是平行四边形
∵
∴平行四边形是菱形
∵
∴是等边三角形
∴
∵
∴
∵
∴
∵
∴
∴
∴，
∴
故答案为：．
15．30
解：连接AC，∵四边形ABCD是菱形，AC=AB，
∴AD=CD=AB=AC，
∵△DCE是等边三角形，
∴DE=CD=CE，∠CED=60°，
∴AD=AC=CE=DE，
∴四边形ACED是菱形，
∴∠DEA=∠CED=30°，
故答案为：30．
16．
解：如图，连接，
四边形是菱形，
，、关于对称，
则，
∴的最小值为，的最小值为，
，
是等边三角形，
为边的中点，
∴=30（cm），，
∴（cm），
同理得：
固定该风筝需要竹篾最短为：DM+BN=（cm），
故答案为：．
17．
解：∵E是BC中点，，，
∴ED、EF是△ABC的中位线，
∴ED=EF=AD=AF==，
∴四边形EDAF是菱形，
∵△ABC是等边三角形，
∴△ABC的高=，
∴菱形EDAF的高为，
∴S1===，
同理，四边形也是菱形，FF1==，菱形的高为=，
∴S2===，
S3===
……
Sn=，
∴ =
故答案为： ．
18．见解析
解：连接AC交BD于点O
∵四边形ABCD是菱形
∴AC⊥BD，OB＝OD，OA＝OC
∵BE＝DF
∴OB－BE＝OD－DF即OE＝OF
∵OA＝OC，AC⊥BD
∴四边形AECF是菱形．
19．(1)见解析
(2)52
（1）
证明：∵ADBC，
∴∠DMO=∠BNO，
∵MN是对角线BD的垂直平分线，
∴OB=OD，MN⊥BD，
在△MOD和△NOB中，
，
∴△MOD≌△NOB（AAS），
∴OM=ON，
∵OB=OD，
∴四边形BNDM是平行四边形，
∵MN⊥BD，
∴四边形BNDM是菱形；
（2）
解：∵四边形BNDM是菱形，BD=24，MN=10，
∴BM=BN=DM=DN，OB=BD=12，OM=MN=5，
在Rt△BOM中，由勾股定理得：，
∴菱形BNDM的周长=4BM=4×13=52．
20．(1)见解析
(2)24
（1）
证明：是的中点，
，
，
，
在和中，
，
，
，
是的中点，
，
，
四边形是平行四边形，
，
，
四边形是菱形；
（2）
解：由（1）可得：，
，
，
，
，是的中点，
，
，
，
．
21．(1)5
(2)菱形，理由见解析
(3)∠BDE的度数为45°或135°．
（1）
解：∵∠ACB=90°，∠B=30°，
∴AC=AB=×10=5，
答：AC的长为5；
（2）
解：四边形ACFD是菱形，理由如下：
∵D是斜边AB的中点，
∴BD=AD=AB，
∵将△BDE沿DE折叠，点B的对应点为点F，
∴DF=BD=AB=AD，
∵∠ACB=90°，∠B=30°，
∴AC=AB，
∴AC=DF=AD，
∵DF⊥BC，
∴∠DGE=∠ACB=90°，
∴DFAC，
由AC=DF，DFAC可得四边形ACFD是平行四边形，
又DF=AD，
∴四边形ACFD是菱形；
（3）
解：当F在AB下方时，如图：
∵DF⊥AB，
∴∠BDF=90°，
∵将△BDE沿DE折叠，点B的对应点为点F，
∴∠BDE=∠FDE=∠BDF，
∴∠BDE=45°；
当F在AB上方时，设EF交AB于K，如图：
∵将△BDE沿DE折叠，点B的对应点为点F，
∴∠F=∠B=30°，
∵DF⊥AB，
∴∠ADF=90°，
∴∠FKD=180°-∠F-∠ADF=60°，
∴∠B+∠BEK=60°，
∴∠BEK=30°，
∵将△BDE沿DE折叠，点B的对应点为点F，
∴∠BED=∠FED=∠BEK=15°，
∴∠BDE=180°-∠BED-∠B=180°-15°-30°=135°，
综上所述，∠BDE的度数为45°或135°．
22．(1)边长为8
(2)证明见解析
(3)的最小值为
（1）
解：如图1中，设．
四边形是菱形，
，
，
是等边三角形，
，
，
．
，
或舍去，
，
即菱形的边长是8；
（2）
证明：如图2，连接，在上取一点，使得，连接．
，四边形ABCD是菱形，
，，，
，,
∴，
∴，
∴．
四边形是菱形，，
，，
．
，
，
．
在和中，
，
，
．
垂直平分线段，
，
．
，
．
，
，
，
设，
则，，
，
．
，
，
，
，
，
；
（3）
解：如图3，以为边向下作等边，连接，过点作于点，在上取一点，使得．
，
．
，，
≌，
，
当与重合时，的值最小，此时的值最小．
四边形是菱形，
，
．
，，
，．
，
．
，
，
，
设，
则，．
，
，
解得，
，
的最小值为．