河南省豫西名校2022-2023学年高二上学期数学开学考试试卷
一、单选题
1．（2022高二上·河南开学考）已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2022高二上·河南开学考）（ ）
A． B． C． D．
3．（2022高二上·河南开学考）（ ）
A． B． C． D．
4．（2022高二上·河南开学考）若，则（ ）
A．5 B． C． D．13
5．（2022高二上·河南开学考）某农学院研究员发现，某品种的甜瓜生长在除温差以外其他环境均相同的条件中，成熟后甜瓜的甜度y（单位：度）与昼夜温差x（单位：℃，）近似满足函数模型．当温差为30℃时，成熟后甜瓜的甜度约为（参考数据：）（ ）
A．14.4 B．14.6 C．14.8 D．15.1
6．（2022高二上·河南开学考）已知m，n为两条不同的直线，与为两个不同的平面，则下列说法错误的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
7．（2022高二上·河南开学考）若关于x的不等式在上有实数解，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．（2022高二上·河南开学考）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则（ ）
A． B． C． D．
9．（2022高二上·河南开学考）某社区通过公益讲座以普及社区居民的垃圾分类知识；为了解讲座效果，随机抽取10位社区居民，让他们在讲座前和讲座后各回答一份垃圾分类知识问卷．这10位社区居民在讲座前和讲座后问卷答题的正确率如下：
则下列说法错误的是（ ）
A．讲座后问卷答题的正确率的中位数为87.5%
B．讲座后问卷答题的正确率的众数为85%
C．讲座后问卷答题的正确率的第75百分位数为95%
D．讲座前问卷答题的正确率的标准差小于讲座后问卷答题的正确率的标准差
10．（2022高二上·河南开学考）在正方体中，E是棱BC的中点，F在棱上，且，O是正方形ABCD的中心，则异面直线与EF所成角的余弦值是（ ）
A． B． C． D．
11．（2022高二上·河南开学考）已知奇函数的定义域为，，当时，，则（ ）
A．-3 B．3 C．-2 D．2
12．（2022高二上·河南开学考）甲、乙两位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：累计赢3局者胜，分出胜负即停止比赛.已知前3局每局甲赢的概率为，之后每局甲赢的概率为，每局比赛没有平局，则打完第5局比赛结束的概率为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13．（2022高二上·河南开学考）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则 ．
14．（2022高二上·河南开学考）请写出一个能够说明“若复数，则”是假命题的复数： ．
15．（2022高二上·河南开学考）陀螺是中国民间最早的娱乐工具之一，也称陀罗．图1是一种木陀螺，可近似地看作是一个圆锥和一个圆柱的组合体，其直观图如图2所示，其中B，C分别是上、下底面圆的圆心，且，则该陀螺下半部分的圆柱的侧面积与上半部分的圆锥的侧面积的比值是 ．
16．（2022高二上·河南开学考）将函数的图像向左平移个单位长度后得到偶函数的图像，则的最小值是 ．
三、解答题
17．（2022高二上·河南开学考）已知A，B，C三点的坐标分别为，，，是否存在实数m，使得A，B，C三点能构成直角三角形？若存在，求m的取值集合；若不存在，请说明理由．
18．（2022高二上·河南开学考）某校为了保障体艺节顺利举办，从高一、高二两个年级的同学中挑选了志愿者60人，人数如下表所示：
高一年级 高二年级
男同学 女同学 男同学 女同学
16 12 8 24
（1）从所有志愿者中任意抽取一人，求抽到的这人是女同学的概率；
（2）用等比例分层随机抽样的方法从所有的女志愿者中按年级抽取六人，再从这六人中随机抽取两人接受记者采访，求这两人中恰有一人来自高一年级的概率.
19．（2022高二上·河南开学考）如图，在四棱锥中，底面ABCD为等腰梯形，，，E为AP的中点．
（1）证明：平面PBC．
（2）求四棱锥外接球的表面积．
20．（2022高二上·河南开学考）的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知．
（1）若，求周长的最小值；
（2）若，求面积的最大值．
21．（2022高二上·河南开学考）如图，在直四棱柱中，四边形是菱形，分别是棱，的中点．
（1）证明：平面平面．
（2）若，，求点到平面的距离．
22．（2022高二上·河南开学考）某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰．机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个50元．在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个100元．现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了50台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得到下面的柱状图．以这50台这种机器更换的易损零件数对应的频率代替每台机器更换的易损零件数对应的概率，记x表示2台机器在三年使用期内需更换的易损零件数，y表示2台机器在购买易损零件上所需的费用（单位：元），n表示购买2台机器的同时购买的易损零件数．
（1）若，求y与x的函数解析式；
（2）求这2台机器三年内共需要更换的易损零件数不大于22的概率；
（3）假设这50台机器在购机的同时每台都购买10个易损零件，或每台都购买11个易损零件，或每台都购买12个易损零件，分别计算这50台机器在购买易损零件上所需费用的平均数，以此作为决策依据，如果该公司最终决定购买1台机器，试问该公司购买1台机器的同时应购买多少个易损零件？
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】并集及其运算
【解析】【解答】。
故答案为：D.
【分析】利用已知条件结合并集的运算法则，进而得出集合A和集合B的并集。
2．【答案】A
【知识点】平面向量的基本定理
【解析】【解答】由向量的运算法则，可得
。
故答案为：A.
【分析】利用已知条件结合三角形法则和平面向量基本定理，进而得出。
3．【答案】B
【知识点】两角和与差的正弦公式；运用诱导公式化简求值
【解析】【解答】
，A，C，D不符合题意.
故答案为：B.
【分析】利用已知条件结合诱导公式和两角差的正弦公式，进而化简求值。
4．【答案】C
【知识点】复数的基本概念；复数代数形式的混合运算；复数的模
【解析】【解答】因为，所以，
所以
，A，B，D不符合题意.
故答案为：C.
【分析】利用已知条件结合复数与共轭复数的关系，再结合复数的混合运算法则和复数求模公式，进而得出的值。
5．【答案】C
【知识点】函数模型的选择与应用
【解析】【解答】由题意，当时，可得。
故答案为：C.
【分析】利用已知条件结合函数的模型，再结合代入法和对数的运算法则，进而得出当温差为30℃时，成熟后甜瓜的甜度。
6．【答案】D
【知识点】空间中直线与直线之间的位置关系；直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定
【解析】【解答】对于A， 若，根据线线平行性质定理，则.A正确，不符合题意.
对于B，由线面垂直的判定定理可得.B正确，不符合题意.
对于C，根据平行的传递性可知，若，则，C正确，不符合题意.
对于D，n与的位置关系不确定，D错误，符合题意.
故答案为：D.
【分析】利用已知条件结合线线平行的判断方法、线面平行的判定定理、线面垂直的判定定理，进而找出说法错误的选项。
7．【答案】A
【知识点】函数单调性的性质；函数的最大（小）值
【解析】【解答】由不等式在上有实数解，
等价于不等式在上有实数解，
因为函数在上单调递减，在单调递增，
又由，
所以，所以，即实数的取值范围是。
故答案为：A.
【分析】由不等式在上有实数解，等价于不等式在上有实数解，再利用函数在上和在上的单调性，再利用代入法得出的值，进而得出函数的最大值，进而得出实数的取值范围。
8．【答案】A
【知识点】正弦定理；余弦定理
【解析】【解答】因为，由正弦定理得，
又因为，所以，可得，所以，
由余弦定理得，所以。
故答案为：A.
【分析】利用已知条件结合正弦定理和同角三角函数基本关系式，进而得出角B的值，再利用余弦定理，进而得出b的值。
9．【答案】D
【知识点】众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差；用样本的数字特征估计总体的数字特征
【解析】【解答】根据这10位社区居民在讲座前和讲座后问卷答题的图表，可得：
讲座后问卷答题的正确率的中位数为，A正确，不符合题意．
讲座后问卷答题的正确率的众数为85%，B正确，不符合题意．
讲座后问卷答题的正确率的第75百分位数为95%，C正确，不符合题意．
讲座前问卷答题正确率的数据波动大于讲座后问卷答题正确率的数据波动，故讲座前的标准差也应该大于讲座后的标准差，D错误，符合题意．
故答案为：D.
【分析】利用已知条件结合图中数据，再结合中位数、众数、百分位数、标准差公式，进而找出说法错误的选项。
10．【答案】A
【知识点】异面直线及其所成的角；余弦定理
【解析】【解答】如图，取棱的中点，连接，，，，，
由题意知：，，，，，
所以，，
所以四边形是平行四边形，则，，
故是异面直线与所成的角（或补角）．
设，则，，，
所以，，，
故。
故答案为：A.
【分析】取棱的中点，连接，，，，，再利用中点作中位线的方法和中位线的性质和已知条件得出，，，，，所以，，所以四边形是平行四边形，则，，故是异面直线与所成的角（或补角），设，再利用中点的性质和勾股定理得出AO和，的长，再结合勾股定理得出HE、EF、HF的长，再利用余弦定理得出异面直线与EF所成角的余弦值。
11．【答案】D
【知识点】奇函数；函数的周期性；函数的值
【解析】【解答】因为，所以，即，
又当时，，则，所以．
所以当时，，
因为是奇函数，所以，
又，所以，
所以，即，即函数的周期为6，
所以．A，B，C不符合题意.
故答案为：D.
【分析】利用已知条件结合奇函数的定义和周期函数的定义，进而求出函数的周期，再结合函数的周期求出函数的值。
12．【答案】B
【知识点】互斥事件的概率加法公式
【解析】【解答】甲赢2局，剩下2局乙赢，概率为；
②前3局甲赢1局，第4局甲赢，剩下2局乙赢，概率为.
故打完第5局比赛结束的概率为。
故答案为：B
【分析】利用已知条件结合独立事件乘法求概率公式和互斥事件加法求概率公式，进而得出打完第5局比赛结束的概率。
13．【答案】15
【知识点】正弦定理
【解析】【解答】因为，，，
由正弦定理，得。
故答案为：15。
【分析】利用已知条件结合正弦定理，进而求出b的值。
14．【答案】i（答案不唯一，符合ai（，且a≠0）即可）
【知识点】复数在复平面中的表示
【解析】【解答】若，（，且），则
，但，
故“若复数，则”是假命题.
故答案为：i（答案不唯一）。
【分析】利用已知条件结合命题真假性判断方法，进而求出满足要求的复数z。
15．【答案】
【知识点】旋转体（圆柱/圆锥/圆台/球）的结构特征
【解析】【解答】设，则，
因为，所以，
则圆柱的侧面积，
圆锥的侧面积，
故。
故答案为：。
【分析】设，再利用勾股定理得出，再结合，所以，再利用圆柱的侧面积公式得出圆柱的侧面积，再结合圆锥的侧面积公式得出圆锥的侧面积，进而得出该陀螺下半部分的圆柱的侧面积与上半部分的圆锥的侧面积的比值。
16．【答案】
【知识点】奇偶函数图象的对称性；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
【解析】【解答】由题意，得，
因为为偶函数，所以，，
解得，，又，
所以当时，取得最小值。
故答案为：。
【分析】由题意结合余弦型函数的图象变换和偶函数的图象的对称性，进而得出，，再利用，进而得出的最小值。
17．【答案】解：存在实数m，理由如下：
由题意，得，
，
．
若A为直角，则，得．
若B为直角，则，得．
若C为直角，则，
，所以方程无解．
故m的取值集合为．
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系；平面向量数量积的坐标表示
【解析】【分析】 存在实数m，理由如下：由题意，再利用向量的坐标表示和分类讨论的方法，再结合数量积的坐标表示以及数量积为0两向量垂直的等价关系，再结合判别式法得出实数m的取值集合。
18．【答案】（1）解：高一年级志愿者有人，其中女同学12人，
高二年级志愿者有人，其中女同学24人.
故抽到的这人是女同学的概率.
（2）解：在高一年级中抽取的志愿者的人数为2，在高二年级中抽取的志愿者的人数为4.
记从高一年级中抽取的志愿者为a，b，从高二年级中抽取的志愿者为A，B，C，D，
样本空间，共15个样本点.
设事件“这两人中恰有一人来自高一年级”，则，共8个样本点.
故所求概率为.
【知识点】分层抽样方法；古典概型及其概率计算公式
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合表中的数据，再结合古典概型求概率公式，进而得出抽到的这人是女同学的概率。
（2）利用已知条件结合分层抽样的方法以及古典概型求概率公式，进而得出这两人中恰有一人来自高一年级的概率。
19．【答案】（1）证明：如图所示，设BP的中点为F，连接EF，CF．
∵E为AP的中点，∴，且，
∴，且，
∴四边形CDEF为平行四边形，∴，
∵平面PBC，平面PBC，
∴平面PBC．
（2）解：作，垂足为G，作于点H，垂足为H，
设AB的中点为O，连接EO，BE，CO，DO，
∵，，∴，∴，且，
∴四边形DCGH为平行四边形，∴，
∴，∴，
同理可得，
∵E为AP的中点，∴，∴，
∴四棱锥外接球的球心为O，半径为2，
∴四棱锥外接球的表面积为．
【知识点】球的体积和表面积；直线与平面平行的判定
【解析】【分析】（1） 设BP的中点为F，连接EF，CF，利用E为AP的中点结合中点作中位线的方法和中位线的性质，所以，且，所以，且，所以四边形CDEF为平行四边形，所以，再利用线线平行证出线面平行，从而证出直线平面PBC。
（2） 作，垂足为G，作于点H，垂足为H，设AB的中点为O，连接EO，BE，CO，DO，利用，结合两三角形全等的判断方法，所以，所以，且，所以四边形DCGH为平行四边形，所以，所以，所以，同理可得，再利用E为AP的中点结合等腰三角形三线合一，所以，再结合中点的性质得出OE的长，从而求出四棱锥外接球的球心为O和半径长，再利用球的表面积公式得出四棱锥外接球的表面积。
20．【答案】（1）解：因为，由正弦定理得，解得，
又因为，则，
当且仅当，即时，等号成立，
所以周长的最小值为．
（2）解：由余弦定理，可得，即，
当且仅当时，等号成立，所以．
故面积的最大值为．
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；正弦定理；余弦定理；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合正弦定理得出c的值，再利用均值不等式求最值的方法，进而结合三角形的周长公式得出三角形 周长的最小值。
（2）利用已知条件结合余弦定理和均值不等式求最值的方法得出ac的最大值，再利用三角形的面积公式得出三角形面积的最大值。
21．【答案】（1）证明：连接．因为四边形是菱形，所以．
由直四棱柱的定义可知平面，平面，
所以．
因为平面，平面，且，
所以平面．
由直四棱柱的定义可知，．
因为分别是棱，的中点，
所以，，
所以四边形是平行四边形，则．
所以平面．
因为平面，
所以平面平面.
（2）解：连接，，作，垂足为，
因为平面，平面，
所以，
因为平面，平面，，
所以平面．
因为，，所以．
因为的面积，
所以三棱锥的体积．
设点到平面的距离为 ，因为，所以，，所以的面积．
则三棱锥的体积．
因为，所以，解得．
所以点到平面的距离为
【知识点】平面与平面垂直的判定；点、线、面间的距离计算
【解析】【分析】（1） 连接，利用四边形是菱形，所以，由直四棱柱的定义可知平面，再利用线面垂直的定义证出线线垂直，所以，再利用线线垂直证出线面垂直，所以平面，由直四棱柱的定义可知，，利用分别是棱，的中点结合中点作中位线的方法和中位线的性质，所以，，所以四边形是平行四边形，则，所以平面，再利用线面垂直证出面面垂直，从而证出平面平面。
（2） 连接，，作，垂足为，利用平面结合线面垂直的定义证出线线垂直，所以，再利用线线垂直证出线面垂直，所以平面，利用，，进而得出BH的长，利用三角形的面积公式得出的面积，再结合三棱锥的体积公式得出三棱锥的体积，设点到平面的距离为 ，利用，得出，的长，再利用三角形的面积公式得出三角形的面积，再结合三棱锥的体积公式得出三棱锥的体积，再利用两三棱锥体积相等，即，进而得出点到平面的距离。
22．【答案】（1）解：由题意，得的取值可能为20，21，22，23，24，
当时，；
当时，．
所以.
（2）解：设事件“这2台机器三年内共需要更换的易损零件数不大于22”，
由题意，得每台机器更换的的易损零件数为10的概率为，
每台机器更换的的易损零件数为11的概率为，
每台机器更换的的易损零件数为12的概率为，
所以．
（3）解：若这50台机器在购机的同时每台都购买10个易损零件，则这50台机器在购买易损零件上所需费用的平均数为元．
若这50台机器在购机的同时每台都购买11个易损零件，则这50台机器在购买易损零件上所需费用的平均数为元．
若这50台机器在购机的同时每台都购买12个易损零件，则这50台机器在购买易损零件上所需费用的平均数为元．
比较三个平均数可知，该公司购买1台机器的同时应购买11个易损零件．
【知识点】众数、中位数、平均数；互斥事件的概率加法公式；相互独立事件的概率乘法公式；分段函数的应用
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合古典概型求概率公式和独立事件乘法求概率公式，再结合互斥事件加法求概率公式，进而得出这2台机器三年内共需要更换的易损零件数不大于22的概率。
（2）利用已知条件结合平均数公式和比较法，进而得出该公司购买1台机器的同时应购买的易损零件个数。
1 / 1河南省豫西名校2022-2023学年高二上学期数学开学考试试卷
一、单选题
1．（2022高二上·河南开学考）已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】并集及其运算
【解析】【解答】。
故答案为：D.
【分析】利用已知条件结合并集的运算法则，进而得出集合A和集合B的并集。
2．（2022高二上·河南开学考）（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】平面向量的基本定理
【解析】【解答】由向量的运算法则，可得
。
故答案为：A.
【分析】利用已知条件结合三角形法则和平面向量基本定理，进而得出。
3．（2022高二上·河南开学考）（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】两角和与差的正弦公式；运用诱导公式化简求值
【解析】【解答】
，A，C，D不符合题意.
故答案为：B.
【分析】利用已知条件结合诱导公式和两角差的正弦公式，进而化简求值。
4．（2022高二上·河南开学考）若，则（ ）
A．5 B． C． D．13
【答案】C
【知识点】复数的基本概念；复数代数形式的混合运算；复数的模
【解析】【解答】因为，所以，
所以
，A，B，D不符合题意.
故答案为：C.
【分析】利用已知条件结合复数与共轭复数的关系，再结合复数的混合运算法则和复数求模公式，进而得出的值。
5．（2022高二上·河南开学考）某农学院研究员发现，某品种的甜瓜生长在除温差以外其他环境均相同的条件中，成熟后甜瓜的甜度y（单位：度）与昼夜温差x（单位：℃，）近似满足函数模型．当温差为30℃时，成熟后甜瓜的甜度约为（参考数据：）（ ）
A．14.4 B．14.6 C．14.8 D．15.1
【答案】C
【知识点】函数模型的选择与应用
【解析】【解答】由题意，当时，可得。
故答案为：C.
【分析】利用已知条件结合函数的模型，再结合代入法和对数的运算法则，进而得出当温差为30℃时，成熟后甜瓜的甜度。
6．（2022高二上·河南开学考）已知m，n为两条不同的直线，与为两个不同的平面，则下列说法错误的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
【答案】D
【知识点】空间中直线与直线之间的位置关系；直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定
【解析】【解答】对于A， 若，根据线线平行性质定理，则.A正确，不符合题意.
对于B，由线面垂直的判定定理可得.B正确，不符合题意.
对于C，根据平行的传递性可知，若，则，C正确，不符合题意.
对于D，n与的位置关系不确定，D错误，符合题意.
故答案为：D.
【分析】利用已知条件结合线线平行的判断方法、线面平行的判定定理、线面垂直的判定定理，进而找出说法错误的选项。
7．（2022高二上·河南开学考）若关于x的不等式在上有实数解，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】函数单调性的性质；函数的最大（小）值
【解析】【解答】由不等式在上有实数解，
等价于不等式在上有实数解，
因为函数在上单调递减，在单调递增，
又由，
所以，所以，即实数的取值范围是。
故答案为：A.
【分析】由不等式在上有实数解，等价于不等式在上有实数解，再利用函数在上和在上的单调性，再利用代入法得出的值，进而得出函数的最大值，进而得出实数的取值范围。
8．（2022高二上·河南开学考）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】正弦定理；余弦定理
【解析】【解答】因为，由正弦定理得，
又因为，所以，可得，所以，
由余弦定理得，所以。
故答案为：A.
【分析】利用已知条件结合正弦定理和同角三角函数基本关系式，进而得出角B的值，再利用余弦定理，进而得出b的值。
9．（2022高二上·河南开学考）某社区通过公益讲座以普及社区居民的垃圾分类知识；为了解讲座效果，随机抽取10位社区居民，让他们在讲座前和讲座后各回答一份垃圾分类知识问卷．这10位社区居民在讲座前和讲座后问卷答题的正确率如下：
则下列说法错误的是（ ）
A．讲座后问卷答题的正确率的中位数为87.5%
B．讲座后问卷答题的正确率的众数为85%
C．讲座后问卷答题的正确率的第75百分位数为95%
D．讲座前问卷答题的正确率的标准差小于讲座后问卷答题的正确率的标准差
【答案】D
【知识点】众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差；用样本的数字特征估计总体的数字特征
【解析】【解答】根据这10位社区居民在讲座前和讲座后问卷答题的图表，可得：
讲座后问卷答题的正确率的中位数为，A正确，不符合题意．
讲座后问卷答题的正确率的众数为85%，B正确，不符合题意．
讲座后问卷答题的正确率的第75百分位数为95%，C正确，不符合题意．
讲座前问卷答题正确率的数据波动大于讲座后问卷答题正确率的数据波动，故讲座前的标准差也应该大于讲座后的标准差，D错误，符合题意．
故答案为：D.
【分析】利用已知条件结合图中数据，再结合中位数、众数、百分位数、标准差公式，进而找出说法错误的选项。
10．（2022高二上·河南开学考）在正方体中，E是棱BC的中点，F在棱上，且，O是正方形ABCD的中心，则异面直线与EF所成角的余弦值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】异面直线及其所成的角；余弦定理
【解析】【解答】如图，取棱的中点，连接，，，，，
由题意知：，，，，，
所以，，
所以四边形是平行四边形，则，，
故是异面直线与所成的角（或补角）．
设，则，，，
所以，，，
故。
故答案为：A.
【分析】取棱的中点，连接，，，，，再利用中点作中位线的方法和中位线的性质和已知条件得出，，，，，所以，，所以四边形是平行四边形，则，，故是异面直线与所成的角（或补角），设，再利用中点的性质和勾股定理得出AO和，的长，再结合勾股定理得出HE、EF、HF的长，再利用余弦定理得出异面直线与EF所成角的余弦值。
11．（2022高二上·河南开学考）已知奇函数的定义域为，，当时，，则（ ）
A．-3 B．3 C．-2 D．2
【答案】D
【知识点】奇函数；函数的周期性；函数的值
【解析】【解答】因为，所以，即，
又当时，，则，所以．
所以当时，，
因为是奇函数，所以，
又，所以，
所以，即，即函数的周期为6，
所以．A，B，C不符合题意.
故答案为：D.
【分析】利用已知条件结合奇函数的定义和周期函数的定义，进而求出函数的周期，再结合函数的周期求出函数的值。
12．（2022高二上·河南开学考）甲、乙两位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：累计赢3局者胜，分出胜负即停止比赛.已知前3局每局甲赢的概率为，之后每局甲赢的概率为，每局比赛没有平局，则打完第5局比赛结束的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】互斥事件的概率加法公式
【解析】【解答】甲赢2局，剩下2局乙赢，概率为；
②前3局甲赢1局，第4局甲赢，剩下2局乙赢，概率为.
故打完第5局比赛结束的概率为。
故答案为：B
【分析】利用已知条件结合独立事件乘法求概率公式和互斥事件加法求概率公式，进而得出打完第5局比赛结束的概率。
二、填空题
13．（2022高二上·河南开学考）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则 ．
【答案】15
【知识点】正弦定理
【解析】【解答】因为，，，
由正弦定理，得。
故答案为：15。
【分析】利用已知条件结合正弦定理，进而求出b的值。
14．（2022高二上·河南开学考）请写出一个能够说明“若复数，则”是假命题的复数： ．
【答案】i（答案不唯一，符合ai（，且a≠0）即可）
【知识点】复数在复平面中的表示
【解析】【解答】若，（，且），则
，但，
故“若复数，则”是假命题.
故答案为：i（答案不唯一）。
【分析】利用已知条件结合命题真假性判断方法，进而求出满足要求的复数z。
15．（2022高二上·河南开学考）陀螺是中国民间最早的娱乐工具之一，也称陀罗．图1是一种木陀螺，可近似地看作是一个圆锥和一个圆柱的组合体，其直观图如图2所示，其中B，C分别是上、下底面圆的圆心，且，则该陀螺下半部分的圆柱的侧面积与上半部分的圆锥的侧面积的比值是 ．
【答案】
【知识点】旋转体（圆柱/圆锥/圆台/球）的结构特征
【解析】【解答】设，则，
因为，所以，
则圆柱的侧面积，
圆锥的侧面积，
故。
故答案为：。
【分析】设，再利用勾股定理得出，再结合，所以，再利用圆柱的侧面积公式得出圆柱的侧面积，再结合圆锥的侧面积公式得出圆锥的侧面积，进而得出该陀螺下半部分的圆柱的侧面积与上半部分的圆锥的侧面积的比值。
16．（2022高二上·河南开学考）将函数的图像向左平移个单位长度后得到偶函数的图像，则的最小值是 ．
【答案】
【知识点】奇偶函数图象的对称性；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
【解析】【解答】由题意，得，
因为为偶函数，所以，，
解得，，又，
所以当时，取得最小值。
故答案为：。
【分析】由题意结合余弦型函数的图象变换和偶函数的图象的对称性，进而得出，，再利用，进而得出的最小值。
三、解答题
17．（2022高二上·河南开学考）已知A，B，C三点的坐标分别为，，，是否存在实数m，使得A，B，C三点能构成直角三角形？若存在，求m的取值集合；若不存在，请说明理由．
【答案】解：存在实数m，理由如下：
由题意，得，
，
．
若A为直角，则，得．
若B为直角，则，得．
若C为直角，则，
，所以方程无解．
故m的取值集合为．
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系；平面向量数量积的坐标表示
【解析】【分析】 存在实数m，理由如下：由题意，再利用向量的坐标表示和分类讨论的方法，再结合数量积的坐标表示以及数量积为0两向量垂直的等价关系，再结合判别式法得出实数m的取值集合。
18．（2022高二上·河南开学考）某校为了保障体艺节顺利举办，从高一、高二两个年级的同学中挑选了志愿者60人，人数如下表所示：
高一年级 高二年级
男同学 女同学 男同学 女同学
16 12 8 24
（1）从所有志愿者中任意抽取一人，求抽到的这人是女同学的概率；
（2）用等比例分层随机抽样的方法从所有的女志愿者中按年级抽取六人，再从这六人中随机抽取两人接受记者采访，求这两人中恰有一人来自高一年级的概率.
【答案】（1）解：高一年级志愿者有人，其中女同学12人，
高二年级志愿者有人，其中女同学24人.
故抽到的这人是女同学的概率.
（2）解：在高一年级中抽取的志愿者的人数为2，在高二年级中抽取的志愿者的人数为4.
记从高一年级中抽取的志愿者为a，b，从高二年级中抽取的志愿者为A，B，C，D，
样本空间，共15个样本点.
设事件“这两人中恰有一人来自高一年级”，则，共8个样本点.
故所求概率为.
【知识点】分层抽样方法；古典概型及其概率计算公式
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合表中的数据，再结合古典概型求概率公式，进而得出抽到的这人是女同学的概率。
（2）利用已知条件结合分层抽样的方法以及古典概型求概率公式，进而得出这两人中恰有一人来自高一年级的概率。
19．（2022高二上·河南开学考）如图，在四棱锥中，底面ABCD为等腰梯形，，，E为AP的中点．
（1）证明：平面PBC．
（2）求四棱锥外接球的表面积．
【答案】（1）证明：如图所示，设BP的中点为F，连接EF，CF．
∵E为AP的中点，∴，且，
∴，且，
∴四边形CDEF为平行四边形，∴，
∵平面PBC，平面PBC，
∴平面PBC．
（2）解：作，垂足为G，作于点H，垂足为H，
设AB的中点为O，连接EO，BE，CO，DO，
∵，，∴，∴，且，
∴四边形DCGH为平行四边形，∴，
∴，∴，
同理可得，
∵E为AP的中点，∴，∴，
∴四棱锥外接球的球心为O，半径为2，
∴四棱锥外接球的表面积为．
【知识点】球的体积和表面积；直线与平面平行的判定
【解析】【分析】（1） 设BP的中点为F，连接EF，CF，利用E为AP的中点结合中点作中位线的方法和中位线的性质，所以，且，所以，且，所以四边形CDEF为平行四边形，所以，再利用线线平行证出线面平行，从而证出直线平面PBC。
（2） 作，垂足为G，作于点H，垂足为H，设AB的中点为O，连接EO，BE，CO，DO，利用，结合两三角形全等的判断方法，所以，所以，且，所以四边形DCGH为平行四边形，所以，所以，所以，同理可得，再利用E为AP的中点结合等腰三角形三线合一，所以，再结合中点的性质得出OE的长，从而求出四棱锥外接球的球心为O和半径长，再利用球的表面积公式得出四棱锥外接球的表面积。
20．（2022高二上·河南开学考）的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知．
（1）若，求周长的最小值；
（2）若，求面积的最大值．
【答案】（1）解：因为，由正弦定理得，解得，
又因为，则，
当且仅当，即时，等号成立，
所以周长的最小值为．
（2）解：由余弦定理，可得，即，
当且仅当时，等号成立，所以．
故面积的最大值为．
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；正弦定理；余弦定理；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合正弦定理得出c的值，再利用均值不等式求最值的方法，进而结合三角形的周长公式得出三角形 周长的最小值。
（2）利用已知条件结合余弦定理和均值不等式求最值的方法得出ac的最大值，再利用三角形的面积公式得出三角形面积的最大值。
21．（2022高二上·河南开学考）如图，在直四棱柱中，四边形是菱形，分别是棱，的中点．
（1）证明：平面平面．
（2）若，，求点到平面的距离．
【答案】（1）证明：连接．因为四边形是菱形，所以．
由直四棱柱的定义可知平面，平面，
所以．
因为平面，平面，且，
所以平面．
由直四棱柱的定义可知，．
因为分别是棱，的中点，
所以，，
所以四边形是平行四边形，则．
所以平面．
因为平面，
所以平面平面.
（2）解：连接，，作，垂足为，
因为平面，平面，
所以，
因为平面，平面，，
所以平面．
因为，，所以．
因为的面积，
所以三棱锥的体积．
设点到平面的距离为 ，因为，所以，，所以的面积．
则三棱锥的体积．
因为，所以，解得．
所以点到平面的距离为
【知识点】平面与平面垂直的判定；点、线、面间的距离计算
【解析】【分析】（1） 连接，利用四边形是菱形，所以，由直四棱柱的定义可知平面，再利用线面垂直的定义证出线线垂直，所以，再利用线线垂直证出线面垂直，所以平面，由直四棱柱的定义可知，，利用分别是棱，的中点结合中点作中位线的方法和中位线的性质，所以，，所以四边形是平行四边形，则，所以平面，再利用线面垂直证出面面垂直，从而证出平面平面。
（2） 连接，，作，垂足为，利用平面结合线面垂直的定义证出线线垂直，所以，再利用线线垂直证出线面垂直，所以平面，利用，，进而得出BH的长，利用三角形的面积公式得出的面积，再结合三棱锥的体积公式得出三棱锥的体积，设点到平面的距离为 ，利用，得出，的长，再利用三角形的面积公式得出三角形的面积，再结合三棱锥的体积公式得出三棱锥的体积，再利用两三棱锥体积相等，即，进而得出点到平面的距离。
22．（2022高二上·河南开学考）某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰．机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个50元．在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个100元．现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了50台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得到下面的柱状图．以这50台这种机器更换的易损零件数对应的频率代替每台机器更换的易损零件数对应的概率，记x表示2台机器在三年使用期内需更换的易损零件数，y表示2台机器在购买易损零件上所需的费用（单位：元），n表示购买2台机器的同时购买的易损零件数．
（1）若，求y与x的函数解析式；
（2）求这2台机器三年内共需要更换的易损零件数不大于22的概率；
（3）假设这50台机器在购机的同时每台都购买10个易损零件，或每台都购买11个易损零件，或每台都购买12个易损零件，分别计算这50台机器在购买易损零件上所需费用的平均数，以此作为决策依据，如果该公司最终决定购买1台机器，试问该公司购买1台机器的同时应购买多少个易损零件？
【答案】（1）解：由题意，得的取值可能为20，21，22，23，24，
当时，；
当时，．
所以.
（2）解：设事件“这2台机器三年内共需要更换的易损零件数不大于22”，
由题意，得每台机器更换的的易损零件数为10的概率为，
每台机器更换的的易损零件数为11的概率为，
每台机器更换的的易损零件数为12的概率为，
所以．
（3）解：若这50台机器在购机的同时每台都购买10个易损零件，则这50台机器在购买易损零件上所需费用的平均数为元．
若这50台机器在购机的同时每台都购买11个易损零件，则这50台机器在购买易损零件上所需费用的平均数为元．
若这50台机器在购机的同时每台都购买12个易损零件，则这50台机器在购买易损零件上所需费用的平均数为元．
比较三个平均数可知，该公司购买1台机器的同时应购买11个易损零件．
【知识点】众数、中位数、平均数；互斥事件的概率加法公式；相互独立事件的概率乘法公式；分段函数的应用
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合古典概型求概率公式和独立事件乘法求概率公式，再结合互斥事件加法求概率公式，进而得出这2台机器三年内共需要更换的易损零件数不大于22的概率。
（2）利用已知条件结合平均数公式和比较法，进而得出该公司购买1台机器的同时应购买的易损零件个数。
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