湖南省怀化市2022-2023学年高二上学期数学开学考试试卷
一、单选题
1．（2022高二上·怀化开学考）已知集合，，若，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】集合关系中的参数取值问题
【解析】【解答】因为，故0，3均为中的元素，所以。
故答案为：B
【分析】利用已知条件结合集合的真包含关系，再借助分类讨论的方法，从而借助数轴求出实数a的取值范围。
2．（2022高二上·怀化开学考）已知复数z满足，则（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
【答案】A
【知识点】复数相等的充要条件；复数的模
【解析】【解答】设复数，.因为，所以，即，解得，，。
故答案为：A.
【分析】利用已知条件结合复数求模个数和复数相等的判断方法，进而得出复数z，再结合复数求模公式，进而得出复数z的模。
3．（2022高二上·怀化开学考）已知单位向量，满足，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】平面向量的数量积运算
【解析】【解答】因为，
所以。
故答案为：B
【分析】利用已知条件结合数量积的运算法则和数量积求向量的模的公式，进而得出的值。
4．（2022高二上·怀化开学考）冈珀茨模型是由冈珀茨（Gompertz）提出的，可作为动物种群数量变化的模型，也可用于描述种群的消亡规律.已知某珍稀物种年后的种群数量近似满足冈珀茨模型（，当时表示2022年初的种群数量），经过年后，当该物种的种群数量不足2022年初种群数量的时，即将有濒临灭绝的危险，则的最小值为（参考数据：）（ ）
A．10 B．11 C．12 D．13
【答案】D
【知识点】函数模型的选择与应用
【解析】【解答】根据题意得时2022年初种群数量为，
所以，
化简得，则，
又因为，所以的最小值为13。
故答案为：D.
【分析】利用已知条件结合代入法和指数与对数的互化公式，再结合n的取值范围，进而得出n的最小值。
5．（2022高二上·怀化开学考）在四棱锥中，，，，则该四棱锥的高为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】数量积表示两个向量的夹角；点、线、面间的距离计算；运用诱导公式化简求值
【解析】【解答】设平面的法向量为，
则，即，
令，可得，，则，
，
设与平面所成的角为：则，
故到平面的距离为，即四棱锥的高为。
故答案为：D.
【分析】利用已知条件结合平面法向量求解方法和数量积求向量夹角公式，进而得出的值，从而得出与平面所成的角的正弦值，再利用正弦函数的定义求出到平面的距离，从而得出四棱锥的高。
6．（2022高二上·怀化开学考）已知是偶函数，是奇函数，定义域均为，二者在上的图象如图所示，则关于的不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】奇函数与偶函数的性质
【解析】【解答】由图可得，当时，，，；
当时，，，故.
所以当时，不等式的解集为.
又因为是偶函数，是奇函数，所以是奇函数，
由奇偶性可知，当时，不等式的解集为，
所以不等式的解集是。
故答案为：A.
【分析】利用已知条件结合函数的定义域和奇函数以及偶函数的定义，进而求出不等式的解集。
7．（2022高二上·怀化开学考）在中，内角所对的边分别为.已知，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；同角三角函数间的基本关系；余弦定理
【解析】【解答】由，
整理得，
则，当且仅当时，等号成立。
故答案为：C.
【分析】利用已知条件结合余弦定理和均值不等式求最值的方法，子啊结婚同角三角函数基本关系式，进而得出角A的正弦的最大值。
8．（2022高二上·怀化开学考）已知甲箱有2个红球和2个白球，乙箱有3个红球和3个白球，现任选1个箱子并从中任取1个球，记下球的颜色后将球放入另1个箱子内，再任选1个箱子并任取1个球，若两次取出的球的颜色相同为“成功”，则（ ）
A．两次都从甲箱取球时“成功”的概率最大
B．两次都从乙箱取球时“成功”的概率最大
C．先从甲箱取球再从乙箱取球时“成功”的概率最大
D．先从乙箱取球再从甲箱取球时“成功"”的概率最大
【答案】D
【知识点】相互独立事件的概率乘法公式；概率的应用
【解析】【解答】因为两次都从甲箱取球时“成功”的概率；
两次都从乙箱取球时“成功”的概率；
先从甲箱取球再从乙箱取球时“成功”的概率；
先从乙箱取球再从甲箱取球时“成功”的概率.
则，
所以先从乙箱取球再从甲箱取球时“成功”的概率最大。
故答案为：D
【分析】利用已知条件结合独立事件乘法求概率公式和比较法，进而得出先从乙箱取球再从甲箱取球时“成功”的概率最大。
二、多选题
9．（2022高二上·怀化开学考）已知空间中三点，，，则（ ）
A． B．
C． D．A，B，C三点共线
【答案】A,B
【知识点】向量的模；数量积表示两个向量的夹角；利用数量积判断平面向量的垂直关系；三点共线
【解析】【解答】易得，，，，A符合题意；
因为，所以，B符合题意，D不符合题意；
而，C不符合题意.
故答案为： AB.
【分析】利用已知条件结合向量的坐标表示得出向量的坐标，再结合向量的模的坐标表示求出的值；再利用数量积为0两向量垂直的等价关系，进而证出；再结合数量积求向量夹角公式，进而得出的值，从而找出正确的选项。
10．（2022高二上·怀化开学考）小军进入高一后的12次数学考试成绩如下：
110，95，90，102，120，100，110，115，98，125，106，130，则（ ）
A．这12次数学考试成绩的极差为40
B．这12次数学考试成绩的众数为110
C．这12次数学考试成绩的50%分位数比40%分位数多5
D．在这12次数学考试成绩中，120分及以上数学成绩的标准差为
【答案】A,B,D
【知识点】众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差；用样本的数字特征估计总体的数字特征
【解析】【解答】将这组数据按从小到大排列得90，95，98，100，102，106，110，110，115，120，125，130.
对A，12次数学考试成绩的极差为，A符合题意.
对B，12次考试数学成绩的众数为110，B符合题意.
对C，因为，，所以40%分位数为102，50%分位数为，所以50%分位数比40%分位数多，C不符合题意；
对D，在这12次数学考试成绩中，120分及以上的有3次，分别为120，125，130，
其平均数为，方差，标准差为，D符合题意.
故答案为：ABD
【分析】利用已知条件结合极差、众数、分位数和标准差公式，进而找出正确的选项。
11．（2022高二上·怀化开学考）已知，，且，则（ ）
A．有最小值5 B．有最小值6
C．ab有最大值 D．ab有最小值
【答案】A,D
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】A.由可得，令，，则
，当且仅当时，等号成立，A符合题意，B不符合题意；
由，解得：，故，当且仅当时，等号成立，C不符合题意，D符合题意.
故答案为：AD
【分析】利用已知条件结合解均值不等式求最值的方法，进而找出正确的选项。
12．（2022高二上·怀化开学考）在棱长为2的正方体，中，E为的中点，F为底面ABCD上一动点，且EF与底面ABCD所成的角为60°，则（ ）
A．动点F的轨迹周长为
B．动点F的轨迹周长为
C．直线EF与直线BC所成角的余弦值的取值范围为
D．直线EF与直线BC所成角的余弦值的取值范围为
【答案】A,C
【知识点】圆锥曲线的轨迹问题；异面直线及其所成的角；余弦定理
【解析】【解答】如图1，取AD的中点H，连接EH，HF，HG，
则底面ABCD，
所以为EF与底面ABCD所成的角，则，，
从而，所以F的轨迹为以H为圆心，为半径的圆在正方形ABCD区域内的部分，如图2.
在图2中，，所以，则，
根据对称性可知，所以，
故动点F的轨迹周长为.
因为，所以（或其补角）为直线EF与直线BC所成角的平面角.
在中，，
，，
因为，
所以，，
故直线EF与直线BC所成角的余弦值的取值范围为。
故答案为：AC
【分析】取AD的中点H，连接EH，HF，HG，则底面ABCD，所以为EF与底面ABCD所成的角，进而得出的值和的长，从而得出HF的长，所以F的轨迹为以H为圆心，为半径的圆在正方形ABCD区域内的部分，利用结合余弦函数的定义得出的值， 从而得出的值，根据对称性可知的值，进而得出的值，从而得出动点F的轨迹周长；利用，所以（或其补角）为直线EF与直线BC所成角的平面角，在中结合余弦定理和勾股定理，进而得出，再利用，再结合余弦函数的图象求值域的方法，进而得出
的取值范围，再利用构造法得出的取值范围，从而得出直线EF与直线BC所成角的余弦值的取值范围，进而找出正确的选项。
三、填空题
13．（2022高二上·怀化开学考）已知空间向量，，，若，，共面，则 .
【答案】3
【知识点】共面向量定理
【解析】【解答】因为，，共面，所以存在唯一实数，使，
即，
则，解得，，。
故答案为：3。
【分析】利用，，共面，所以存在唯一实数，使，再利用向量的坐标运算和向量相等的判断方法，进而得出x，y，m的值。
14．（2022高二上·怀化开学考）现有一组数据1，2，3，4，5，若将这组数据随机删去两个数，则剩下数据的平均数大于3的概率为 .
【答案】
【知识点】古典概型及其概率计算公式
【解析】【解答】依题意得这组数据各数之和为15，设删去的两数之和为x.若剩下数据的平均数大于3，则，解得，则删去的两个数可以为1，2或1，3或1，4或2，3，故所求概率为。
故答案为：。
【分析】利用已知条件结合古典概型求概率公式，进而得出剩下数据的平均数大于3的概率。
15．（2022高二上·怀化开学考）在四面体ABCD中，，，，且，则几何体ABCD的外接球的体积为 .
【答案】
【知识点】球的体积和表面积
【解析】【解答】因为，，，所以，故。
因为，故，所以和均为直角三角形，且有公共斜边AC，所以AC的中点到A，B，C，D四个点距离相等，都为2，
故几何体ABCD的外接球的体积为。
故答案为：。
【分析】利用，，，再利用结合勾股定理得出，再利用结合勾股定理得出，所以和均为直角三角形，且有公共斜边AC，所以AC的中点到A，B，C，D四个点距离相等，都为2，进而得出几何体ABCD的外接球的半径长，再利用球的体积公式得出几何体ABCD的外接球的体积。
16．（2022高二上·怀化开学考）如图，在四边形中，，，，，，为线段的中点，为线段上一动点，且，则的最大值与最小值的比值为 .
【答案】-3
【知识点】平面向量的基本定理；平面向量数量积定义与物理意义；空间向量的投影向量
【解析】【解答】延长，交于点，
在中，，，
又，，；
由得：；
根据在上的投影向量，可得：，此时；
，此时；
的最大值与最小值的比值为。
故答案为：-3。
【分析】延长，交于点，在中结合正切函数的定义得出AG的长，再结合作差法得出GD的长，再利用，，再结合中点的性质得出CD的长，由和数量积的定义得：，根据在上的投影向量和数量积的运算法则，可得：时的的值和时的的值，进而得出的最大值与最小值的比值。
四、解答题
17．（2022高二上·怀化开学考）在中，内角所对的边分别为.已知，.
（1）求；
（2）若，求的周长.
【答案】（1）解：由正弦定理得：，，又，.
（2）解：由正弦定理得：，解得：，
由余弦定理得：，；
的周长为.
【知识点】正弦定理；余弦定理；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合正弦定理得出角A的余弦值，再结合三角形中角A的取值范围，进而得出角A的值。
（2）利用已知条件结合正弦定理得出bc的值，再利用余弦定理得出b+c的值，再结合三角形的周长公式得出三角形 的周长。
18．（2022高二上·怀化开学考）某校举办传统文化知识竞赛，从该校参赛学生中随机抽取100名学生，根据他们的竞赛成绩（满分：100分），按，，，，分成五组，得到如图所示的频率分布直方图.
（1）求直方图中a的值；
（2）试估计本次竞赛成绩的平均分；（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）
（3）该校准备对本次竞赛中分数位于前20%的学生颁发荣誉证书，试问获得荣誉证书的学生分数不低于多少？
【答案】（1）解：根据题意可得，
解得.
（2）解：本次竞赛成绩的平均分
（3）解：由频率分布直方图，可得最后一组的频率为，
后两组的频率之和为.
设获得荣誉证书的学生分数不低于x，则，
，解得.
故获得荣誉证书的学生分数不低于86.
【知识点】频率分布直方图；众数、中位数、平均数；概率的基本性质
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合频率分布直方图中各小组的矩形的面积等于各小组的频率，再结合频率之和等于1，进而得出a的值。
（2）利用已知条件结合频率分布直方图求平均数公式，进而估计出本次竞赛成绩的平均分。
（3）利用已知条件结合频率分布直方图中各小组的矩形的面积等于各小组的频率，进而得出获得荣誉证书的学生分数不低于的分数。
19．（2022高二上·怀化开学考）如图，已知圆锥的顶点为，底面圆的直径长为，点是圆上一点，，点是劣弧上的一点，平面平面，且.
（1）证明：平面平面.
（2）当三棱锥的体积为时，求点到平面的距离.
【答案】（1）证明：，平面，平面，平面，
又平面，平面平面，，
，，又，，
，即；
平面，平面，；
，平面，平面，
又平面，平面平面.
（2）解：，，
，解得：；
，，
为等边三角形，；
设点到平面的距离为，则，解得：；
由（1）知：平面，点到平面的距离即为点到平面的距离，
点到平面的距离为.
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积；平面与平面垂直的判定；点、线、面间的距离计算
【解析】【分析】（1）利用 结合线线平行证出线面平行，所以直线AB平面，再利用线面平行的性质定理证出线线平行，从而证出，再利用结合平行的性质，进而得出的值，再利用结合等腰三角形的性质，进而得出的值，再结合三角形内角和为180度的性质，所以，即，再利用平面结合线面垂直的定义证出线线垂直，所以，再利用线线垂直证出线面垂直，所以平面，再利用线面垂直证出面面垂直， 从而证出平面平面。
（2）利用 得出的长，再利用三棱锥的体积公式和已知条件得出PO的长，再利用勾股定理得出PC和CD的长，再结合等边三角形的定义判断出三角形为等边三角形，再利用三角形的面积公式得出的值，设点到平面的距离为，再利用等体积法和三棱锥的体积公式和已知条件得出h的值，由（1）知：平面，所以点到平面的距离即为点到平面的距离，进而得出点到平面的距离。
20．（2022高二上·怀化开学考）为有效控制我国儿童和青少年近视发病率，提高儿童和青少年的视力健康水平，教育部发文鼓励和倡导学生积极参加乒兵球、羽毛球等有益于眼肌锻炼的体育活动.某学校提倡学生利用暑期的早上和晚上参加体育锻炼活动，已知甲、乙两位同学都选择羽毛球作为暑期的体育锻炼活动，这两位同学过去30天的安排如下表：
锻炼项目（早上，晚上） （羽毛球，休息） （休息，羽毛球） （休息，休息） （羽毛球，羽毛球）
甲 10天 10天 5天 5天
乙 8天 7天 5天 10天
假设甲、乙每天的选择相互独立，用频率代替概率.
（1）在过去的30天内任取一天，求甲同学在这一天中参加了羽毛球活动的概率；
（2）只考虑早上和晚上参加体育缎炼活动的情况，且早上和晚上都参加体育锻炼活动视为参加了2次锻炼，求甲、乙两位同学在一天中参加锻炼的次数之和为2的概率.
【答案】（1）解：甲同学在这一天中参加了羽毛球活动的概率为
（2）解：由表格数据知，甲一天中参加锻炼的次数为0的概率为；参加锻炼的次数为1的概率为；参加锻炼的次数为2的概率为.
乙一天中参加锻炼的次数为0的概率为；参加锻炼的次数为1的概率为；参加锻炼的次数为2的概率为.
所求概率.
【知识点】互斥事件的概率加法公式；相互独立事件的概率乘法公式；古典概型及其概率计算公式
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合古典概型求概率公式，进而得出甲同学在这一天中参加了羽毛球活动的概率。
（2）利用已知条件结合独立事件乘法求概率公式和互斥事件加法求概率公式，进而得出甲、乙两位同学在一天中参加锻炼的次数之和为2的概率。
21．（2022高二上·怀化开学考）如图，在几何体中，平面平面，.四边形为矩形.在四边形中，，，.
（1）点在线段上，且，是否存在实数，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
（2）点在线段上，求直线与平面所成角的正弦值的取值范围.
【答案】（1）解：因为四边形为矩形，所以.
因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面
不妨设，则.
以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，过D与AB平行的直线为y轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，
所以，，，，
所以，.
因为，所以，解得.
故存在实数，使得，且的值为
（2）解：设平面的法向量，则，即，
不妨取，则.
设，，
则，.
直线与平面所成的角为，
则.…
令，当时，；当时，.
所以.
故直线与平面所成角的正弦值的取值范围为.
【知识点】数量积表示两个向量的夹角；直线与平面垂直的判定；空间向量平行的坐标表示；用空间向量研究直线与平面所成的角
【解析】【分析】（1） 利用四边形为矩形，所以，再利用平面平面结合面面垂直的性质定理证出线面垂直，所以平面，不妨设，再利用正切函数的定义得出DE的长，以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，过D与AB平行的直线为y轴，建立空间直角坐标系，进而得出点的坐标，再结合向量的坐标求出向量的坐标，再利用三角形法则和平面向量基本定理，再结合向量的坐标运算和向量共线的坐标表示，进而得出的值，从而得出存在实数，使得，进而得出的值。
（2）利用已知条件结合法向量求解方法得出平面的法向量， 再利用向量的共线定理和向量的坐标表示，设，， 进而得出点P的坐标，再结合向量的坐标表示得出向量 的坐标，再利用数量积求向量夹角公式和诱导公式得出，令，再利用二次函数的图象求最值的方法，进而结合构造法得出直线与平面所成角的正弦值的取值范围。
22．（2022高二上·怀化开学考）已知函数的图象关于直线对称.
（1）若的最小正周期为，求的解析式.
（2）若是的零点，是否存在实数，使得在上单调？若存在，求出的取值集合；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）解：因为的最小正周期为，所以.
因为，所以.
因为的图象关于直线对称，所以，，
即，.因为，所以.
故.
（2）解：因为为的零点，为图象的对称轴，
所以①，②，，.
得，所以.
因为，，所以，即为正奇数.
因为在上单调，所以，即，解得.
当时，，.
因为，所以，此时.
令，.
在上单调递增，在上单调递减，
故在上不单调，不符合题意.
当时，，.
因为，所以，此时.
令，.
在上单调递减，
故在上单调，符合题意.
当时，，.
因为，所以，此时.
令，.
在上单调递减，
故在上单调，符合题意.
综上，存在实数，使得在上单调，且的取值集合为.
【知识点】函数解析式的求解及常用方法；含三角函数的复合函数的周期；正弦函数的性质；函数的零点
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合正弦型函数的最小正周期公式得出的值，再利用正弦型函数 的图象的对称性结合已知条件得出的值，从而得出函数f(x)的解析式。
（2）利用 为的零点，为图象的对称轴，所以①，②，，，得，利用，，所以，即为正奇数，再利用在上单调，所以，再利用正弦型函数的最小正周期公式得出的取值范围，再结合分类讨论的方法和，进而得出的值，从而得出此时，令，所以，再利用正弦函数的单调性，从而判断出函数f(x)的单调性，进而得出存在实数，使得在上单调，从而得出的取值集合。
1 / 1湖南省怀化市2022-2023学年高二上学期数学开学考试试卷
一、单选题
1．（2022高二上·怀化开学考）已知集合，，若，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．（2022高二上·怀化开学考）已知复数z满足，则（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
3．（2022高二上·怀化开学考）已知单位向量，满足，则（ ）
A． B． C． D．
4．（2022高二上·怀化开学考）冈珀茨模型是由冈珀茨（Gompertz）提出的，可作为动物种群数量变化的模型，也可用于描述种群的消亡规律.已知某珍稀物种年后的种群数量近似满足冈珀茨模型（，当时表示2022年初的种群数量），经过年后，当该物种的种群数量不足2022年初种群数量的时，即将有濒临灭绝的危险，则的最小值为（参考数据：）（ ）
A．10 B．11 C．12 D．13
5．（2022高二上·怀化开学考）在四棱锥中，，，，则该四棱锥的高为（ ）
A． B． C． D．
6．（2022高二上·怀化开学考）已知是偶函数，是奇函数，定义域均为，二者在上的图象如图所示，则关于的不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
7．（2022高二上·怀化开学考）在中，内角所对的边分别为.已知，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
8．（2022高二上·怀化开学考）已知甲箱有2个红球和2个白球，乙箱有3个红球和3个白球，现任选1个箱子并从中任取1个球，记下球的颜色后将球放入另1个箱子内，再任选1个箱子并任取1个球，若两次取出的球的颜色相同为“成功”，则（ ）
A．两次都从甲箱取球时“成功”的概率最大
B．两次都从乙箱取球时“成功”的概率最大
C．先从甲箱取球再从乙箱取球时“成功”的概率最大
D．先从乙箱取球再从甲箱取球时“成功"”的概率最大
二、多选题
9．（2022高二上·怀化开学考）已知空间中三点，，，则（ ）
A． B．
C． D．A，B，C三点共线
10．（2022高二上·怀化开学考）小军进入高一后的12次数学考试成绩如下：
110，95，90，102，120，100，110，115，98，125，106，130，则（ ）
A．这12次数学考试成绩的极差为40
B．这12次数学考试成绩的众数为110
C．这12次数学考试成绩的50%分位数比40%分位数多5
D．在这12次数学考试成绩中，120分及以上数学成绩的标准差为
11．（2022高二上·怀化开学考）已知，，且，则（ ）
A．有最小值5 B．有最小值6
C．ab有最大值 D．ab有最小值
12．（2022高二上·怀化开学考）在棱长为2的正方体，中，E为的中点，F为底面ABCD上一动点，且EF与底面ABCD所成的角为60°，则（ ）
A．动点F的轨迹周长为
B．动点F的轨迹周长为
C．直线EF与直线BC所成角的余弦值的取值范围为
D．直线EF与直线BC所成角的余弦值的取值范围为
三、填空题
13．（2022高二上·怀化开学考）已知空间向量，，，若，，共面，则 .
14．（2022高二上·怀化开学考）现有一组数据1，2，3，4，5，若将这组数据随机删去两个数，则剩下数据的平均数大于3的概率为 .
15．（2022高二上·怀化开学考）在四面体ABCD中，，，，且，则几何体ABCD的外接球的体积为 .
16．（2022高二上·怀化开学考）如图，在四边形中，，，，，，为线段的中点，为线段上一动点，且，则的最大值与最小值的比值为 .
四、解答题
17．（2022高二上·怀化开学考）在中，内角所对的边分别为.已知，.
（1）求；
（2）若，求的周长.
18．（2022高二上·怀化开学考）某校举办传统文化知识竞赛，从该校参赛学生中随机抽取100名学生，根据他们的竞赛成绩（满分：100分），按，，，，分成五组，得到如图所示的频率分布直方图.
（1）求直方图中a的值；
（2）试估计本次竞赛成绩的平均分；（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）
（3）该校准备对本次竞赛中分数位于前20%的学生颁发荣誉证书，试问获得荣誉证书的学生分数不低于多少？
19．（2022高二上·怀化开学考）如图，已知圆锥的顶点为，底面圆的直径长为，点是圆上一点，，点是劣弧上的一点，平面平面，且.
（1）证明：平面平面.
（2）当三棱锥的体积为时，求点到平面的距离.
20．（2022高二上·怀化开学考）为有效控制我国儿童和青少年近视发病率，提高儿童和青少年的视力健康水平，教育部发文鼓励和倡导学生积极参加乒兵球、羽毛球等有益于眼肌锻炼的体育活动.某学校提倡学生利用暑期的早上和晚上参加体育锻炼活动，已知甲、乙两位同学都选择羽毛球作为暑期的体育锻炼活动，这两位同学过去30天的安排如下表：
锻炼项目（早上，晚上） （羽毛球，休息） （休息，羽毛球） （休息，休息） （羽毛球，羽毛球）
甲 10天 10天 5天 5天
乙 8天 7天 5天 10天
假设甲、乙每天的选择相互独立，用频率代替概率.
（1）在过去的30天内任取一天，求甲同学在这一天中参加了羽毛球活动的概率；
（2）只考虑早上和晚上参加体育缎炼活动的情况，且早上和晚上都参加体育锻炼活动视为参加了2次锻炼，求甲、乙两位同学在一天中参加锻炼的次数之和为2的概率.
21．（2022高二上·怀化开学考）如图，在几何体中，平面平面，.四边形为矩形.在四边形中，，，.
（1）点在线段上，且，是否存在实数，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
（2）点在线段上，求直线与平面所成角的正弦值的取值范围.
22．（2022高二上·怀化开学考）已知函数的图象关于直线对称.
（1）若的最小正周期为，求的解析式.
（2）若是的零点，是否存在实数，使得在上单调？若存在，求出的取值集合；若不存在，请说明理由.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】集合关系中的参数取值问题
【解析】【解答】因为，故0，3均为中的元素，所以。
故答案为：B
【分析】利用已知条件结合集合的真包含关系，再借助分类讨论的方法，从而借助数轴求出实数a的取值范围。
2．【答案】A
【知识点】复数相等的充要条件；复数的模
【解析】【解答】设复数，.因为，所以，即，解得，，。
故答案为：A.
【分析】利用已知条件结合复数求模个数和复数相等的判断方法，进而得出复数z，再结合复数求模公式，进而得出复数z的模。
3．【答案】B
【知识点】平面向量的数量积运算
【解析】【解答】因为，
所以。
故答案为：B
【分析】利用已知条件结合数量积的运算法则和数量积求向量的模的公式，进而得出的值。
4．【答案】D
【知识点】函数模型的选择与应用
【解析】【解答】根据题意得时2022年初种群数量为，
所以，
化简得，则，
又因为，所以的最小值为13。
故答案为：D.
【分析】利用已知条件结合代入法和指数与对数的互化公式，再结合n的取值范围，进而得出n的最小值。
5．【答案】D
【知识点】数量积表示两个向量的夹角；点、线、面间的距离计算；运用诱导公式化简求值
【解析】【解答】设平面的法向量为，
则，即，
令，可得，，则，
，
设与平面所成的角为：则，
故到平面的距离为，即四棱锥的高为。
故答案为：D.
【分析】利用已知条件结合平面法向量求解方法和数量积求向量夹角公式，进而得出的值，从而得出与平面所成的角的正弦值，再利用正弦函数的定义求出到平面的距离，从而得出四棱锥的高。
6．【答案】A
【知识点】奇函数与偶函数的性质
【解析】【解答】由图可得，当时，，，；
当时，，，故.
所以当时，不等式的解集为.
又因为是偶函数，是奇函数，所以是奇函数，
由奇偶性可知，当时，不等式的解集为，
所以不等式的解集是。
故答案为：A.
【分析】利用已知条件结合函数的定义域和奇函数以及偶函数的定义，进而求出不等式的解集。
7．【答案】C
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；同角三角函数间的基本关系；余弦定理
【解析】【解答】由，
整理得，
则，当且仅当时，等号成立。
故答案为：C.
【分析】利用已知条件结合余弦定理和均值不等式求最值的方法，子啊结婚同角三角函数基本关系式，进而得出角A的正弦的最大值。
8．【答案】D
【知识点】相互独立事件的概率乘法公式；概率的应用
【解析】【解答】因为两次都从甲箱取球时“成功”的概率；
两次都从乙箱取球时“成功”的概率；
先从甲箱取球再从乙箱取球时“成功”的概率；
先从乙箱取球再从甲箱取球时“成功”的概率.
则，
所以先从乙箱取球再从甲箱取球时“成功”的概率最大。
故答案为：D
【分析】利用已知条件结合独立事件乘法求概率公式和比较法，进而得出先从乙箱取球再从甲箱取球时“成功”的概率最大。
9．【答案】A,B
【知识点】向量的模；数量积表示两个向量的夹角；利用数量积判断平面向量的垂直关系；三点共线
【解析】【解答】易得，，，，A符合题意；
因为，所以，B符合题意，D不符合题意；
而，C不符合题意.
故答案为： AB.
【分析】利用已知条件结合向量的坐标表示得出向量的坐标，再结合向量的模的坐标表示求出的值；再利用数量积为0两向量垂直的等价关系，进而证出；再结合数量积求向量夹角公式，进而得出的值，从而找出正确的选项。
10．【答案】A,B,D
【知识点】众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差；用样本的数字特征估计总体的数字特征
【解析】【解答】将这组数据按从小到大排列得90，95，98，100，102，106，110，110，115，120，125，130.
对A，12次数学考试成绩的极差为，A符合题意.
对B，12次考试数学成绩的众数为110，B符合题意.
对C，因为，，所以40%分位数为102，50%分位数为，所以50%分位数比40%分位数多，C不符合题意；
对D，在这12次数学考试成绩中，120分及以上的有3次，分别为120，125，130，
其平均数为，方差，标准差为，D符合题意.
故答案为：ABD
【分析】利用已知条件结合极差、众数、分位数和标准差公式，进而找出正确的选项。
11．【答案】A,D
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】A.由可得，令，，则
，当且仅当时，等号成立，A符合题意，B不符合题意；
由，解得：，故，当且仅当时，等号成立，C不符合题意，D符合题意.
故答案为：AD
【分析】利用已知条件结合解均值不等式求最值的方法，进而找出正确的选项。
12．【答案】A,C
【知识点】圆锥曲线的轨迹问题；异面直线及其所成的角；余弦定理
【解析】【解答】如图1，取AD的中点H，连接EH，HF，HG，
则底面ABCD，
所以为EF与底面ABCD所成的角，则，，
从而，所以F的轨迹为以H为圆心，为半径的圆在正方形ABCD区域内的部分，如图2.
在图2中，，所以，则，
根据对称性可知，所以，
故动点F的轨迹周长为.
因为，所以（或其补角）为直线EF与直线BC所成角的平面角.
在中，，
，，
因为，
所以，，
故直线EF与直线BC所成角的余弦值的取值范围为。
故答案为：AC
【分析】取AD的中点H，连接EH，HF，HG，则底面ABCD，所以为EF与底面ABCD所成的角，进而得出的值和的长，从而得出HF的长，所以F的轨迹为以H为圆心，为半径的圆在正方形ABCD区域内的部分，利用结合余弦函数的定义得出的值， 从而得出的值，根据对称性可知的值，进而得出的值，从而得出动点F的轨迹周长；利用，所以（或其补角）为直线EF与直线BC所成角的平面角，在中结合余弦定理和勾股定理，进而得出，再利用，再结合余弦函数的图象求值域的方法，进而得出
的取值范围，再利用构造法得出的取值范围，从而得出直线EF与直线BC所成角的余弦值的取值范围，进而找出正确的选项。
13．【答案】3
【知识点】共面向量定理
【解析】【解答】因为，，共面，所以存在唯一实数，使，
即，
则，解得，，。
故答案为：3。
【分析】利用，，共面，所以存在唯一实数，使，再利用向量的坐标运算和向量相等的判断方法，进而得出x，y，m的值。
14．【答案】
【知识点】古典概型及其概率计算公式
【解析】【解答】依题意得这组数据各数之和为15，设删去的两数之和为x.若剩下数据的平均数大于3，则，解得，则删去的两个数可以为1，2或1，3或1，4或2，3，故所求概率为。
故答案为：。
【分析】利用已知条件结合古典概型求概率公式，进而得出剩下数据的平均数大于3的概率。
15．【答案】
【知识点】球的体积和表面积
【解析】【解答】因为，，，所以，故。
因为，故，所以和均为直角三角形，且有公共斜边AC，所以AC的中点到A，B，C，D四个点距离相等，都为2，
故几何体ABCD的外接球的体积为。
故答案为：。
【分析】利用，，，再利用结合勾股定理得出，再利用结合勾股定理得出，所以和均为直角三角形，且有公共斜边AC，所以AC的中点到A，B，C，D四个点距离相等，都为2，进而得出几何体ABCD的外接球的半径长，再利用球的体积公式得出几何体ABCD的外接球的体积。
16．【答案】-3
【知识点】平面向量的基本定理；平面向量数量积定义与物理意义；空间向量的投影向量
【解析】【解答】延长，交于点，
在中，，，
又，，；
由得：；
根据在上的投影向量，可得：，此时；
，此时；
的最大值与最小值的比值为。
故答案为：-3。
【分析】延长，交于点，在中结合正切函数的定义得出AG的长，再结合作差法得出GD的长，再利用，，再结合中点的性质得出CD的长，由和数量积的定义得：，根据在上的投影向量和数量积的运算法则，可得：时的的值和时的的值，进而得出的最大值与最小值的比值。
17．【答案】（1）解：由正弦定理得：，，又，.
（2）解：由正弦定理得：，解得：，
由余弦定理得：，；
的周长为.
【知识点】正弦定理；余弦定理；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合正弦定理得出角A的余弦值，再结合三角形中角A的取值范围，进而得出角A的值。
（2）利用已知条件结合正弦定理得出bc的值，再利用余弦定理得出b+c的值，再结合三角形的周长公式得出三角形 的周长。
18．【答案】（1）解：根据题意可得，
解得.
（2）解：本次竞赛成绩的平均分
（3）解：由频率分布直方图，可得最后一组的频率为，
后两组的频率之和为.
设获得荣誉证书的学生分数不低于x，则，
，解得.
故获得荣誉证书的学生分数不低于86.
【知识点】频率分布直方图；众数、中位数、平均数；概率的基本性质
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合频率分布直方图中各小组的矩形的面积等于各小组的频率，再结合频率之和等于1，进而得出a的值。
（2）利用已知条件结合频率分布直方图求平均数公式，进而估计出本次竞赛成绩的平均分。
（3）利用已知条件结合频率分布直方图中各小组的矩形的面积等于各小组的频率，进而得出获得荣誉证书的学生分数不低于的分数。
19．【答案】（1）证明：，平面，平面，平面，
又平面，平面平面，，
，，又，，
，即；
平面，平面，；
，平面，平面，
又平面，平面平面.
（2）解：，，
，解得：；
，，
为等边三角形，；
设点到平面的距离为，则，解得：；
由（1）知：平面，点到平面的距离即为点到平面的距离，
点到平面的距离为.
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积；平面与平面垂直的判定；点、线、面间的距离计算
【解析】【分析】（1）利用 结合线线平行证出线面平行，所以直线AB平面，再利用线面平行的性质定理证出线线平行，从而证出，再利用结合平行的性质，进而得出的值，再利用结合等腰三角形的性质，进而得出的值，再结合三角形内角和为180度的性质，所以，即，再利用平面结合线面垂直的定义证出线线垂直，所以，再利用线线垂直证出线面垂直，所以平面，再利用线面垂直证出面面垂直， 从而证出平面平面。
（2）利用 得出的长，再利用三棱锥的体积公式和已知条件得出PO的长，再利用勾股定理得出PC和CD的长，再结合等边三角形的定义判断出三角形为等边三角形，再利用三角形的面积公式得出的值，设点到平面的距离为，再利用等体积法和三棱锥的体积公式和已知条件得出h的值，由（1）知：平面，所以点到平面的距离即为点到平面的距离，进而得出点到平面的距离。
20．【答案】（1）解：甲同学在这一天中参加了羽毛球活动的概率为
（2）解：由表格数据知，甲一天中参加锻炼的次数为0的概率为；参加锻炼的次数为1的概率为；参加锻炼的次数为2的概率为.
乙一天中参加锻炼的次数为0的概率为；参加锻炼的次数为1的概率为；参加锻炼的次数为2的概率为.
所求概率.
【知识点】互斥事件的概率加法公式；相互独立事件的概率乘法公式；古典概型及其概率计算公式
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合古典概型求概率公式，进而得出甲同学在这一天中参加了羽毛球活动的概率。
（2）利用已知条件结合独立事件乘法求概率公式和互斥事件加法求概率公式，进而得出甲、乙两位同学在一天中参加锻炼的次数之和为2的概率。
21．【答案】（1）解：因为四边形为矩形，所以.
因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面
不妨设，则.
以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，过D与AB平行的直线为y轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，
所以，，，，
所以，.
因为，所以，解得.
故存在实数，使得，且的值为
（2）解：设平面的法向量，则，即，
不妨取，则.
设，，
则，.
直线与平面所成的角为，
则.…
令，当时，；当时，.
所以.
故直线与平面所成角的正弦值的取值范围为.
【知识点】数量积表示两个向量的夹角；直线与平面垂直的判定；空间向量平行的坐标表示；用空间向量研究直线与平面所成的角
【解析】【分析】（1） 利用四边形为矩形，所以，再利用平面平面结合面面垂直的性质定理证出线面垂直，所以平面，不妨设，再利用正切函数的定义得出DE的长，以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，过D与AB平行的直线为y轴，建立空间直角坐标系，进而得出点的坐标，再结合向量的坐标求出向量的坐标，再利用三角形法则和平面向量基本定理，再结合向量的坐标运算和向量共线的坐标表示，进而得出的值，从而得出存在实数，使得，进而得出的值。
（2）利用已知条件结合法向量求解方法得出平面的法向量， 再利用向量的共线定理和向量的坐标表示，设，， 进而得出点P的坐标，再结合向量的坐标表示得出向量 的坐标，再利用数量积求向量夹角公式和诱导公式得出，令，再利用二次函数的图象求最值的方法，进而结合构造法得出直线与平面所成角的正弦值的取值范围。
22．【答案】（1）解：因为的最小正周期为，所以.
因为，所以.
因为的图象关于直线对称，所以，，
即，.因为，所以.
故.
（2）解：因为为的零点，为图象的对称轴，
所以①，②，，.
得，所以.
因为，，所以，即为正奇数.
因为在上单调，所以，即，解得.
当时，，.
因为，所以，此时.
令，.
在上单调递增，在上单调递减，
故在上不单调，不符合题意.
当时，，.
因为，所以，此时.
令，.
在上单调递减，
故在上单调，符合题意.
当时，，.
因为，所以，此时.
令，.
在上单调递减，
故在上单调，符合题意.
综上，存在实数，使得在上单调，且的取值集合为.
【知识点】函数解析式的求解及常用方法；含三角函数的复合函数的周期；正弦函数的性质；函数的零点
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合正弦型函数的最小正周期公式得出的值，再利用正弦型函数 的图象的对称性结合已知条件得出的值，从而得出函数f(x)的解析式。
（2）利用 为的零点，为图象的对称轴，所以①，②，，，得，利用，，所以，即为正奇数，再利用在上单调，所以，再利用正弦型函数的最小正周期公式得出的取值范围，再结合分类讨论的方法和，进而得出的值，从而得出此时，令，所以，再利用正弦函数的单调性，从而判断出函数f(x)的单调性，进而得出存在实数，使得在上单调，从而得出的取值集合。
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