江苏省南通市如皋市2022-2023学年高二上学期数学期初调研试卷

江苏省南通市如皋市2022-2023学年高二上学期数学期初调研试卷
一、单选题
1．（2022·开封模拟）已知（i为虚数单位），则（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】复数的基本概念；复数相等的充要条件；复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】由题设，则，
所以，故。
故答案为：D
【分析】利用已知条件结合复数的乘除法运算法则得出复数z，再结合复数与共轭复数的关系，进而得出复数z的共轭复数。
2．（2022高二上·如皋开学考）已知，表示两个平面，m，n表示两条直线，以下命题中正确的选项是（　　）.
A．若，，，则
B．若，，则
C．若，，，，则
D．若，，则
【答案】D
【知识点】空间中直线与直线之间的位置关系；直线与平面平行的判定；平面与平面平行的判定
【解析】【解答】对于A，若，，，则 m与n可能平行、相交或异面，A不符合题意；
对于B，若，，则或，B不符合题意；
对于C，若，，，，还需要条件m与n相交才能得到，C不符合题意；
对于D，若，，由面面平行的性质定理可得 ，D符合题意.
故答案为：D
【分析】利用已知条件结合线线垂直的的方法、线面平行的判定定理、面面平行的判定定理，进而找出真命题的选项。
3．（2022高二上·如皋开学考）陀螺是我国民间最早的娱乐工具之一.如图，一个倒置的陀螺，上半部分为圆锥，下半部分为同底圆柱，其中总高度为，圆柱部分高度为，已知陀螺的总体积为，则此陀螺圆柱底面的面积为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】旋转体（圆柱/圆锥/圆台/球）的结构特征；简单组合体的结构特征
【解析】【解答】由题意，圆锥部分高度为，故，即，可解得。
故答案为：B
【分析】由题意得出圆锥部分高度，再利用圆柱和圆锥的体积公式结合求和法以及已知条件，进而得出此陀螺圆柱底面的面积。
4．（2022高二上·如皋开学考）已知直线上存在一点P，满足，其中O为坐标原点.则实数k的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】平面内点到直线的距离公式
【解析】【解答】因为直线上存在一点P，使得，
所以原点O到直线l的距离的最大值为1，即，解得：，
即k的取值范围是。
故答案为：C
【分析】利用直线上存在一点P，使得，进而得出原点O到直线l的距离的最大值，再利用点到直线的距离公式得出直线的斜率k的取值范围。
5．（2022高二上·如皋开学考）如图，O是△ABC的重心，D是边BC上一点，且，，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】平面向量的基本定理
【解析】【解答】如图，延长AO交BC于E，由已知O为△ABC的重心，
则点E为BC的中点，且
由3，得：D是BC的四等分点，
则
，所以，所以。
故答案为：A．
【分析】延长AO交BC于E，由已知O为△ABC的重心，则点E为BC的中点，再利用向量共线定理和平行四边形法则以及中点的性质，所以，由3，得D是BC的四等分点，再利用三角形法则和向量共线定理以及平面向量基本定理，得出，再利用已知条件得出的值，从而得出的值。
6．（2022高二上·如皋开学考）在平面中，过定点作一直线交轴正半轴于点，交轴正半轴于点，面积的最小值为（　　）
A．2 B． C．4 D．
【答案】C
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；恒过定点的直线；三角形中的几何计算
【解析】【解答】易得直线不经过原点，故设直线的方程为，因为直线过定点，
故，所以，故.当时等号成立，
故。
故答案为：C
【分析】利用已知条件，易得直线不经过原点，故设直线的方程为，再利用直线过定点结合代入法得出，再利用均值不等式求最值的方法得出ab的最小值，再结合三角形的面积公式得出三角形 面积的最小值。
7．（2022高二上·如皋开学考）设，，，则有（　　）.
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】两角和与差的正弦公式；二倍角的余弦公式；二倍角的正切公式
【解析】【解答】由题意得：，
，，
，，
。
故答案为：C
【分析】利用已知条件结合两角差的正弦公式、二倍角的正切公式、二倍角的余弦公式，再结合正切函数的单调性和正弦函数的单调性，进而比较出a，b，c的大小。
8．（2022·北京）在 中， ， ， ． 为 所在平面内的动点，且 ，则 的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】平面向量数量积坐标表示的应用
【解析】【解答】以C为坐标原点建立直角坐标系，
由题意易知 ，
设 ，
， .
故答案为：D
【分析】先根据已知条件建立直角坐标系，设点 ，利用坐标法即可解决问题.
二、多选题
9．（2020高二上·河北月考）2020年3月6日，在新加坡举行的世界大学生辩论赛中，中国选手以总分230.51分获得冠军.辩论赛有7位评委进行评分，首先这7位评委给出某对选手的原始分数，评定该队选手的成绩时从7个原始成绩中去掉一个最高分、一个最低分，得到5个有效评分，则5个有效评分与7个原始评分相比，可能变化的数字特征是（　　）
A．中位数 B．平均数 C．方差 D．极差
【答案】B,C,D
【知识点】众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差
【解析】【解答】因为5个有效评分是7个原始评分中去掉一个最高分、一个最低分，
所以中位数不变，平均数、方差、极差可能发生变化，
所以可能变化的数字特征是平均数、方差、极差.
故答案为：BCD.
【分析】根据中位数，平均数，方差，极差的定义，分别判断，即可得出答案。
10．（2022高二上·如皋开学考）已知圆和圆的交点为A，B，则（　　）.
A．两圆的圆心距
B．直线AB的方程为
C．圆上存在两点P和Q使得
D．圆上的点到直线AB的最大距离为
【答案】B,D
【知识点】直线和圆的方程的应用
【解析】【解答】由圆和圆，
可得圆和圆，
则圆的圆心坐标为和半径为，圆的圆心坐标和半径，
对于A，因为两个圆相交，所以两圆的圆心距，A不符合题意；
对于B，将两圆方程作差可得，即得公共弦AB的方程为，B符合题意；
对于C，直线AB经过圆的圆心坐标，所以线段AB是圆的直径，故圆中不存在比AB长的弦，C不符合题意；
对于D，圆的圆心坐标为，半径为2，圆心到直线AB：的距离为，所以圆上的点到直线AB的最大距离为，D符合题意．
故答案为：BD
【分析】由圆和圆，可得圆和圆，进而求出圆的圆心坐标和半径长以及圆的圆心坐标和半径长，再利用两个圆相交结合两点距离公式得出两圆的圆心距；将两圆方程作差可得，从而得出公共弦AB的方程；利用直线AB经过圆的圆心坐标，所以线段AB是圆的直径，进而得出圆中不存在比AB长的弦；利用圆的圆心坐标为，半径为2，再利用点到直线的距离公式得出圆心到直线AB：的距离，再结合几何法得出圆上的点到直线AB的最大距离，从而找出正确的选项。
11．（2022·广州模拟）抛掷两枚质地均匀的骰子，记“第一枚骰子出现的点数小于3”为事件A，“第二枚骰子出现的点数不小于3”为事件B，则下列结论中正确的是（　　）
A．事件A与事件B互为对立事件 B．事件A与事件B相互独立
C． D．
【答案】B,C,D
【知识点】互斥事件与对立事件；相互独立事件；相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【解答】依题意，第一枚骰子出现的点数小于3与第二枚骰子出现的点数不小于3可以同时发生，
即事件A与事件B不互斥，则事件A与事件B不是对立事件，A不正确；
显然有，
抛掷两枚质地均匀的骰子的试验的所有结果：
，共36个，它们等可能，
事件AB所含的结果有：，共8个，
则有，即事件A与事件B相互独立，B符合题意；
显然，，C，D都正确.
故答案为：BCD
【分析】利用对立事件的意义判断A；利用相互独立事件的定义判断B；由事件A，B的概率计算判断C，D作答.
12．（2022高二上·如皋开学考）在棱长为2的正方体中，已知点在面对角线上运动，点，，分别为，，的中点，点是该正方体表面及其内部的一动点，且平面，则下列选项正确的是（　　）
A．平面
B．平面平面
C．过，，三点的平面截正方体所得的截面面积为
D．动点的轨迹所形成区域的面积是
【答案】A,B,D
【知识点】棱柱的结构特征；直线与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定；三角形中的几何计算
【解析】【解答】对于A，在正方体中，由平面，平面，平面，
同理可得平面，又，所以平面平面，而平面，故平面，A对，
对于B，因为，所以平面，又平面，
因此，同理可得，又，故平面，因为平面，故平面平面，所以B对，
对于C，可知过三点平面截正方体所得的截面为正六边形，且正六边形的变长为，所以截面正六边形的面积为，C不符合题意，
对于D，由A知，平面平面，又平面，故可知平面，因此在三角形边上以及内部运动，而三角形是边长为的正三角形，故面积为，D对，
故答案为：ABD
【分析】在正方体中，由结合线线平行证出线面平行，所以平面，同理可得平面，再利用线面平行证出面面平行，所以平面平面，再利用面面平行的性质定理证出线面平行，所以平面，利用再利用线线垂直证出线面垂直，所以平面，再利用线面垂直的定义证出线线垂直，因此，同理可得，再利用线线垂直证出线面垂直，故平面，再利用线面垂直证出面面垂直，故平面平面，利用已知条件可知过三点平面截正方体所得的截面为正六边形，且正六边形的变长为，再利用正六边形的面积公式得出截面正六边形的面积，由平面平面和平面，故可知平面，因此在三角形边上以及内部运动，而三角形是边长为的正三角形，再利用正三角形的面积公式得出动点的轨迹所形成区域的面积，进而找出正确的选项。
三、填空题
13．（2022高二上·如皋开学考）直线，，若，则　 　.
【答案】2或-1
【知识点】直线的一般式方程与直线的垂直关系
【解析】【解答】由得，得或。
故答案为：2或-1。
【分析】利用已知条件结合两直线垂直斜率之积等于-1，进而得出a的值。
14．（2021·天津）若斜率为 的直线与y轴交于点A，与圆 相切于点B，则 　 　．
【答案】
【知识点】直线的斜截式方程；平面内点到直线的距离公式；直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解：设直线AB的方程为，则点A(0，b)
∵直线AB与圆 相切
∴，解得b=-1或b=3
所以|AC|=2
又∵|BC|=1
∴
故答案为：
【分析】根据直线的斜截式方程，结合直线与圆的位置关系以及点到直线的距离公式求解即可.
15．（2022高二上·如皋开学考）正三棱柱的底面边长为2，侧棱长为，则与侧面所成角的正弦值为　 　．
【答案】
【知识点】直线与平面所成的角
【解析】【解答】依题意，作图如下，
取
的中点G，连结，
∵是正三角形，∴，，
又∵是正三棱柱，∴底面，∴，
即平面，，与平面的夹角=，，
在中，。
故答案为：。
【分析】依题意，取的中点G，连结，再利用是正三角形结合正三角形三线合一，所以，，再利用是正三棱柱，所以底面，再利用线面垂直的定义证出线线垂直，所以，再利用线线垂直证出线面垂直，所以平面，进而得出的值，进而得出与平面的夹角为，再利用勾股定理得出的长，在中结合正弦函数的定义得出的值，进而得出 与侧面所成角的正弦值 。
16．（2022高二上·如皋开学考）如图，在矩形ABCD中，AD＝2AB＝4，E是AD的中点，将分别沿BE，CE折起，使得平面ABE⊥平面BCE，平面CDE⊥平面BCE，则所得几何体ABCDE的外接球的体积为　 　．
【答案】
【知识点】球的体积和表面积
【解析】【解答】由题可得均为等腰直角三角形，如图，
设的中点为，
连接，则，
因为平面平面，平面平面，
所以平面平面，
易得，
则几何体的外接球的球心为，半径，
所以几何体的外接球的体积为。
故答案为：。
【分析】由题可得均为等腰直角三角形，设的中点为，连接，再利用等腰三角形三线合一，则，利用平面平面，平面平面结合面面垂直的性质定理证出线面垂直，所以平面平面，易得的长，进而得出几何体的外接球的球心为，半径，再利用球的体积公式得出几何体的外接球的体积。
四、解答题
17．（2022高二上·如皋开学考）在①高一或高二学生的概率为；②高二或高三学生的概率为；③高三学生的概率为这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答.
已知某高中的高一有学生600人，高二有学生500人，高三有学生a人，若从所有学生中随机抽取1人，抽到____.
（1）求a的值；
（2）若按照高一和高三学生人数的比例情况，从高一和高三的所有学生中随机抽取6人，再从这6人中随机抽取2人，求至少有1人是高三学生的概率.
【答案】（1）解：选①.
依题意，从所有学生中随机抽取1人，抽到高一或高二学生的概率为，解得，所以a的值为300.
选②.
依题意，从所有学生中随机抽取1人，抽到高一或高三学生的概率为，解得，所以a的值为300.
选③.
依题意，从所有学生中随机抽取1人，抽到高三学生的概率为，解得，
所以a的值为300.
（2）解：第一步：求出抽取的6人中高一 高三学生的人数
由（1）知，高一 高三学生人数比为2：1，所以抽取的6人中，高一有4人，高三有2人.
第二步：列出从抽取的6人中任取2人的所有情况
高一的4人记为a，b，c，d，高三的2人记为A，B，
则从这6人中任取2人的所有情况为{a，b}，{a，c}，{a，d}，{a，A}，{a，B}，{b，c}，{b，d}，{b，A}，{b，B}，{c，d}，{c，A}，{c，B}，{d，A}，{d，B}，{A，B}，共15种.
第三步：列出至少有1人是高三学生的情况
抽取的2人中至少有1人是高三学生的情况有{a，A}，{a，B}，{b，A}，{b，B}，{c，A}，{c，B}，{d，A}，{d，B}，{A，B}，共9种.
第四步：根据古典概型的概率公式得解
至少有1人是高三学生的概率为.
【知识点】古典概型及其概率计算公式
【解析】【分析】（1） 选①，依题意结合古典概型求概率公式得出a的值；
选②，依题意结合古典概型求概率公式得出a的值；
选③，依题意结合古典概型求概率公式得出a的值。
（2）利用已知条件结合分步的方法和古典概型求概率公式得出至少有1人是高三学生的概率。
18．（2021高二上·芜湖期中）如图，在平面直角坐标系中，已知以为圆心的圆及其上一点．
（1）设圆N与x轴相切，与圆M外切，且圆心N在直线x＝6上，求圆N的标准方程；
（2）设平行于OA的直线l与圆M相交于B，C两点，且BC＝OA，求直线l的方程．
【答案】（1）解：在直线上，设，
圆与轴相切，圆为：，，
又圆与圆外切，圆，即圆，圆心，半径；
，解得，
圆的标准方程为．
（2）解：由题意得，，设，
则圆心到直线的距离：，
则，，即，
解得或，
直线的方程为：或．
【知识点】直线与圆相交的性质；直线与圆的位置关系
【解析】【分析】 (1)设N (6， n)，则 圆为： ，从而得到 ， 由此能求出圆N的标准方程；
(2) 由题意得，，设， 则圆心到直线的距离：， 由此能求出直线l的方程．
19．（2022高二上·如皋开学考）设函数
（1）当时，求的取值范围；
（2）若，且，求的值.
【答案】（1）解：
，
因为，所以，
所以的取值范围为
（2）解：由，
得，
，
，
，
又，
，
，
【知识点】简单的三角恒等变换；二倍角的正弦公式；含三角函数的复合函数的值域与最值；运用诱导公式化简求值
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合诱导公式和辅助角公式化简函数为正弦型函数，再利用x的取值范围和构造法结合正弦型函数的图象求值域的方法，进而得出函数f(x)的取值范围。
（2）利用已知条件结合代入法和角的取值范围和构造法，再结合正弦型函数的图象求值域的方法得出 的值， 进而得出角 的取值范围， 再利用同角三角函数基本关系式得出角的余弦值，再结合二倍角的正弦公式得出 的值。
20．（2022高二上·如皋开学考）在中，角所对的边分别为，且
（1）证明：；
（2）求最大值.
【答案】（1）证明：∵在中，由余弦定理得，
∴，
∴，
，
，
，
；
（2）解：由（1）可知，
则，故可得，，
，
当且仅当，即时取等号，
，即的最大值为
所以，最大值为
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；两角和与差的正弦公式；两角和与差的正切公式；同角三角函数间的基本关系；余弦定理
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合余弦定理和正弦定理，再结合两角和的正弦公式，进而证出 。
（2） 由（1）可知，再利用同角三角函数基本关系式得出，故可得，，再利用两角差的正切公式和均值不等式求最值的方法得出
的最大值，进而得出最大值。
21．（2022高二上·如皋开学考）已知直线与圆.
（1）求证：直线l过定点，并求出此定点坐标；
（2）设O为坐标原点，若直线l与圆C交于M，N两点，且直线OM，ON的斜率分别为，，则是否为定值？若是，求出该定值：若不是，请说明理由．
【答案】（1）证明：由直线得，
联立，解得，
直线l恒过定点.
（2）解：圆的圆心为，半径为，直线过点，
直线l与圆C交于M，N两点，则直线l的斜率存在，设直线l方程为，
联立，得，
设，，则，，
是定值，定值为
【知识点】斜率的计算公式；恒过定点的直线；直线与圆的位置关系
【解析】【分析】（1） 由直线得，联立，从而得出直线l恒过的定点坐标。
（2） 利用圆得出圆心坐标和半径长，再利用直线过点结合直线l与圆C交于M，N两点，则直线l的斜率存在，设直线l方程为，再设，，再利用直线与圆相交，联立二者方程结合韦达定理，得出，，再利用两点求斜率公式得出的值，进而判断出是定值，并求出其定值。
22．（2022高二上·如皋开学考）如图，在三棱锥中，平面平面BCD，，O为BD的中点.
（1）证明：；
（2）若是边长为2的等边三角形，点E在棱AD上，且二面角的大小为，求三棱锥的体积.
【答案】（1）证明：∵，O为BD中点，∴，
因为平面ABD，平面平面BCD，且平面平面，
∴平面BCD，∵平面BCD，∴.
（2）解：过点E作交BD于N.过点N作交BC于点M，连接ME，
因为且由（1）知平面BCD，
所以平面BCD， ∵平面BCD，∴
在△BCD中，∵，∴，
因为 ，∴，∴平面MNE
∴
∴为所求的二面角的平面角，
∴，∴
∵，，∴，
因为，∴，
∵，∴.∴，∴.
∴
∴.
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积；空间中直线与直线之间的位置关系
【解析】【分析】（1） 利用，O为BD中点结合等腰三角形三线合一，所以，再利用平面平面BCD结合面面垂直的性质定理证出线面垂直，所以平面BCD，再利用线面垂直的定义证出线线垂直，从而证出。
（2） 过点E作交BD于N，过点N作交BC于点M，连接ME，利用且由（1）知平面BCD，所以平面BCD， 再利用线面垂直的定义证出线线垂直，所以，在△BCD中，利用得出，再利用 ，得出，再利用线线垂直证出线面垂直，所以平面MNE，再利用线面垂直的定义证出线线垂直，所以，所以为所求的二面角的平面角，进而得出的值，从而得出，再利用，，再结合两直线平行对应边成比例，所以，同理，则，再利用，得出MN的长，进而得出EN的长，从而得出OA的长，再结合三角形的面积公式得出的值，再结合三棱锥的体积公式得出三棱锥的体积 。
1 / 1江苏省南通市如皋市2022-2023学年高二上学期数学期初调研试卷
一、单选题
1．（2022·开封模拟）已知（i为虚数单位），则（　　）
A． B． C． D．
2．（2022高二上·如皋开学考）已知，表示两个平面，m，n表示两条直线，以下命题中正确的选项是（　　）.
A．若，，，则
B．若，，则
C．若，，，，则
D．若，，则
3．（2022高二上·如皋开学考）陀螺是我国民间最早的娱乐工具之一.如图，一个倒置的陀螺，上半部分为圆锥，下半部分为同底圆柱，其中总高度为，圆柱部分高度为，已知陀螺的总体积为，则此陀螺圆柱底面的面积为（　　）
A． B． C． D．
4．（2022高二上·如皋开学考）已知直线上存在一点P，满足，其中O为坐标原点.则实数k的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
5．（2022高二上·如皋开学考）如图，O是△ABC的重心，D是边BC上一点，且，，则（　　）
A． B． C． D．
6．（2022高二上·如皋开学考）在平面中，过定点作一直线交轴正半轴于点，交轴正半轴于点，面积的最小值为（　　）
A．2 B． C．4 D．
7．（2022高二上·如皋开学考）设，，，则有（　　）.
A． B． C． D．
8．（2022·北京）在 中， ， ， ． 为 所在平面内的动点，且 ，则 的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
二、多选题
9．（2020高二上·河北月考）2020年3月6日，在新加坡举行的世界大学生辩论赛中，中国选手以总分230.51分获得冠军.辩论赛有7位评委进行评分，首先这7位评委给出某对选手的原始分数，评定该队选手的成绩时从7个原始成绩中去掉一个最高分、一个最低分，得到5个有效评分，则5个有效评分与7个原始评分相比，可能变化的数字特征是（　　）
A．中位数 B．平均数 C．方差 D．极差
10．（2022高二上·如皋开学考）已知圆和圆的交点为A，B，则（　　）.
A．两圆的圆心距
B．直线AB的方程为
C．圆上存在两点P和Q使得
D．圆上的点到直线AB的最大距离为
11．（2022·广州模拟）抛掷两枚质地均匀的骰子，记“第一枚骰子出现的点数小于3”为事件A，“第二枚骰子出现的点数不小于3”为事件B，则下列结论中正确的是（　　）
A．事件A与事件B互为对立事件 B．事件A与事件B相互独立
C． D．
12．（2022高二上·如皋开学考）在棱长为2的正方体中，已知点在面对角线上运动，点，，分别为，，的中点，点是该正方体表面及其内部的一动点，且平面，则下列选项正确的是（　　）
A．平面
B．平面平面
C．过，，三点的平面截正方体所得的截面面积为
D．动点的轨迹所形成区域的面积是
三、填空题
13．（2022高二上·如皋开学考）直线，，若，则　 　.
14．（2021·天津）若斜率为 的直线与y轴交于点A，与圆 相切于点B，则 　 　．
15．（2022高二上·如皋开学考）正三棱柱的底面边长为2，侧棱长为，则与侧面所成角的正弦值为　 　．
16．（2022高二上·如皋开学考）如图，在矩形ABCD中，AD＝2AB＝4，E是AD的中点，将分别沿BE，CE折起，使得平面ABE⊥平面BCE，平面CDE⊥平面BCE，则所得几何体ABCDE的外接球的体积为　 　．
四、解答题
17．（2022高二上·如皋开学考）在①高一或高二学生的概率为；②高二或高三学生的概率为；③高三学生的概率为这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答.
已知某高中的高一有学生600人，高二有学生500人，高三有学生a人，若从所有学生中随机抽取1人，抽到____.
（1）求a的值；
（2）若按照高一和高三学生人数的比例情况，从高一和高三的所有学生中随机抽取6人，再从这6人中随机抽取2人，求至少有1人是高三学生的概率.
18．（2021高二上·芜湖期中）如图，在平面直角坐标系中，已知以为圆心的圆及其上一点．
（1）设圆N与x轴相切，与圆M外切，且圆心N在直线x＝6上，求圆N的标准方程；
（2）设平行于OA的直线l与圆M相交于B，C两点，且BC＝OA，求直线l的方程．
19．（2022高二上·如皋开学考）设函数
（1）当时，求的取值范围；
（2）若，且，求的值.
20．（2022高二上·如皋开学考）在中，角所对的边分别为，且
（1）证明：；
（2）求最大值.
21．（2022高二上·如皋开学考）已知直线与圆.
（1）求证：直线l过定点，并求出此定点坐标；
（2）设O为坐标原点，若直线l与圆C交于M，N两点，且直线OM，ON的斜率分别为，，则是否为定值？若是，求出该定值：若不是，请说明理由．
22．（2022高二上·如皋开学考）如图，在三棱锥中，平面平面BCD，，O为BD的中点.
（1）证明：；
（2）若是边长为2的等边三角形，点E在棱AD上，且二面角的大小为，求三棱锥的体积.
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】复数的基本概念；复数相等的充要条件；复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】由题设，则，
所以，故。
故答案为：D
【分析】利用已知条件结合复数的乘除法运算法则得出复数z，再结合复数与共轭复数的关系，进而得出复数z的共轭复数。
2．【答案】D
【知识点】空间中直线与直线之间的位置关系；直线与平面平行的判定；平面与平面平行的判定
【解析】【解答】对于A，若，，，则 m与n可能平行、相交或异面，A不符合题意；
对于B，若，，则或，B不符合题意；
对于C，若，，，，还需要条件m与n相交才能得到，C不符合题意；
对于D，若，，由面面平行的性质定理可得 ，D符合题意.
故答案为：D
【分析】利用已知条件结合线线垂直的的方法、线面平行的判定定理、面面平行的判定定理，进而找出真命题的选项。
3．【答案】B
【知识点】旋转体（圆柱/圆锥/圆台/球）的结构特征；简单组合体的结构特征
【解析】【解答】由题意，圆锥部分高度为，故，即，可解得。
故答案为：B
【分析】由题意得出圆锥部分高度，再利用圆柱和圆锥的体积公式结合求和法以及已知条件，进而得出此陀螺圆柱底面的面积。
4．【答案】C
【知识点】平面内点到直线的距离公式
【解析】【解答】因为直线上存在一点P，使得，
所以原点O到直线l的距离的最大值为1，即，解得：，
即k的取值范围是。
故答案为：C
【分析】利用直线上存在一点P，使得，进而得出原点O到直线l的距离的最大值，再利用点到直线的距离公式得出直线的斜率k的取值范围。
5．【答案】A
【知识点】平面向量的基本定理
【解析】【解答】如图，延长AO交BC于E，由已知O为△ABC的重心，
则点E为BC的中点，且
由3，得：D是BC的四等分点，
则
，所以，所以。
故答案为：A．
【分析】延长AO交BC于E，由已知O为△ABC的重心，则点E为BC的中点，再利用向量共线定理和平行四边形法则以及中点的性质，所以，由3，得D是BC的四等分点，再利用三角形法则和向量共线定理以及平面向量基本定理，得出，再利用已知条件得出的值，从而得出的值。
6．【答案】C
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；恒过定点的直线；三角形中的几何计算
【解析】【解答】易得直线不经过原点，故设直线的方程为，因为直线过定点，
故，所以，故.当时等号成立，
故。
故答案为：C
【分析】利用已知条件，易得直线不经过原点，故设直线的方程为，再利用直线过定点结合代入法得出，再利用均值不等式求最值的方法得出ab的最小值，再结合三角形的面积公式得出三角形 面积的最小值。
7．【答案】C
【知识点】两角和与差的正弦公式；二倍角的余弦公式；二倍角的正切公式
【解析】【解答】由题意得：，
，，
，，
。
故答案为：C
【分析】利用已知条件结合两角差的正弦公式、二倍角的正切公式、二倍角的余弦公式，再结合正切函数的单调性和正弦函数的单调性，进而比较出a，b，c的大小。
8．【答案】D
【知识点】平面向量数量积坐标表示的应用
【解析】【解答】以C为坐标原点建立直角坐标系，
由题意易知 ，
设 ，
， .
故答案为：D
【分析】先根据已知条件建立直角坐标系，设点 ，利用坐标法即可解决问题.
9．【答案】B,C,D
【知识点】众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差
【解析】【解答】因为5个有效评分是7个原始评分中去掉一个最高分、一个最低分，
所以中位数不变，平均数、方差、极差可能发生变化，
所以可能变化的数字特征是平均数、方差、极差.
故答案为：BCD.
【分析】根据中位数，平均数，方差，极差的定义，分别判断，即可得出答案。
10．【答案】B,D
【知识点】直线和圆的方程的应用
【解析】【解答】由圆和圆，
可得圆和圆，
则圆的圆心坐标为和半径为，圆的圆心坐标和半径，
对于A，因为两个圆相交，所以两圆的圆心距，A不符合题意；
对于B，将两圆方程作差可得，即得公共弦AB的方程为，B符合题意；
对于C，直线AB经过圆的圆心坐标，所以线段AB是圆的直径，故圆中不存在比AB长的弦，C不符合题意；
对于D，圆的圆心坐标为，半径为2，圆心到直线AB：的距离为，所以圆上的点到直线AB的最大距离为，D符合题意．
故答案为：BD
【分析】由圆和圆，可得圆和圆，进而求出圆的圆心坐标和半径长以及圆的圆心坐标和半径长，再利用两个圆相交结合两点距离公式得出两圆的圆心距；将两圆方程作差可得，从而得出公共弦AB的方程；利用直线AB经过圆的圆心坐标，所以线段AB是圆的直径，进而得出圆中不存在比AB长的弦；利用圆的圆心坐标为，半径为2，再利用点到直线的距离公式得出圆心到直线AB：的距离，再结合几何法得出圆上的点到直线AB的最大距离，从而找出正确的选项。
11．【答案】B,C,D
【知识点】互斥事件与对立事件；相互独立事件；相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【解答】依题意，第一枚骰子出现的点数小于3与第二枚骰子出现的点数不小于3可以同时发生，
即事件A与事件B不互斥，则事件A与事件B不是对立事件，A不正确；
显然有，
抛掷两枚质地均匀的骰子的试验的所有结果：
，共36个，它们等可能，
事件AB所含的结果有：，共8个，
则有，即事件A与事件B相互独立，B符合题意；
显然，，C，D都正确.
故答案为：BCD
【分析】利用对立事件的意义判断A；利用相互独立事件的定义判断B；由事件A，B的概率计算判断C，D作答.
12．【答案】A,B,D
【知识点】棱柱的结构特征；直线与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定；三角形中的几何计算
【解析】【解答】对于A，在正方体中，由平面，平面，平面，
同理可得平面，又，所以平面平面，而平面，故平面，A对，
对于B，因为，所以平面，又平面，
因此，同理可得，又，故平面，因为平面，故平面平面，所以B对，
对于C，可知过三点平面截正方体所得的截面为正六边形，且正六边形的变长为，所以截面正六边形的面积为，C不符合题意，
对于D，由A知，平面平面，又平面，故可知平面，因此在三角形边上以及内部运动，而三角形是边长为的正三角形，故面积为，D对，
故答案为：ABD
【分析】在正方体中，由结合线线平行证出线面平行，所以平面，同理可得平面，再利用线面平行证出面面平行，所以平面平面，再利用面面平行的性质定理证出线面平行，所以平面，利用再利用线线垂直证出线面垂直，所以平面，再利用线面垂直的定义证出线线垂直，因此，同理可得，再利用线线垂直证出线面垂直，故平面，再利用线面垂直证出面面垂直，故平面平面，利用已知条件可知过三点平面截正方体所得的截面为正六边形，且正六边形的变长为，再利用正六边形的面积公式得出截面正六边形的面积，由平面平面和平面，故可知平面，因此在三角形边上以及内部运动，而三角形是边长为的正三角形，再利用正三角形的面积公式得出动点的轨迹所形成区域的面积，进而找出正确的选项。
13．【答案】2或-1
【知识点】直线的一般式方程与直线的垂直关系
【解析】【解答】由得，得或。
故答案为：2或-1。
【分析】利用已知条件结合两直线垂直斜率之积等于-1，进而得出a的值。
14．【答案】
【知识点】直线的斜截式方程；平面内点到直线的距离公式；直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解：设直线AB的方程为，则点A(0，b)
∵直线AB与圆 相切
∴，解得b=-1或b=3
所以|AC|=2
又∵|BC|=1
∴
故答案为：
【分析】根据直线的斜截式方程，结合直线与圆的位置关系以及点到直线的距离公式求解即可.
15．【答案】
【知识点】直线与平面所成的角
【解析】【解答】依题意，作图如下，
取
的中点G，连结，
∵是正三角形，∴，，
又∵是正三棱柱，∴底面，∴，
即平面，，与平面的夹角=，，
在中，。
故答案为：。
【分析】依题意，取的中点G，连结，再利用是正三角形结合正三角形三线合一，所以，，再利用是正三棱柱，所以底面，再利用线面垂直的定义证出线线垂直，所以，再利用线线垂直证出线面垂直，所以平面，进而得出的值，进而得出与平面的夹角为，再利用勾股定理得出的长，在中结合正弦函数的定义得出的值，进而得出 与侧面所成角的正弦值 。
16．【答案】
【知识点】球的体积和表面积
【解析】【解答】由题可得均为等腰直角三角形，如图，
设的中点为，
连接，则，
因为平面平面，平面平面，
所以平面平面，
易得，
则几何体的外接球的球心为，半径，
所以几何体的外接球的体积为。
故答案为：。
【分析】由题可得均为等腰直角三角形，设的中点为，连接，再利用等腰三角形三线合一，则，利用平面平面，平面平面结合面面垂直的性质定理证出线面垂直，所以平面平面，易得的长，进而得出几何体的外接球的球心为，半径，再利用球的体积公式得出几何体的外接球的体积。
17．【答案】（1）解：选①.
依题意，从所有学生中随机抽取1人，抽到高一或高二学生的概率为，解得，所以a的值为300.
选②.
依题意，从所有学生中随机抽取1人，抽到高一或高三学生的概率为，解得，所以a的值为300.
选③.
依题意，从所有学生中随机抽取1人，抽到高三学生的概率为，解得，
所以a的值为300.
（2）解：第一步：求出抽取的6人中高一 高三学生的人数
由（1）知，高一 高三学生人数比为2：1，所以抽取的6人中，高一有4人，高三有2人.
第二步：列出从抽取的6人中任取2人的所有情况
高一的4人记为a，b，c，d，高三的2人记为A，B，
则从这6人中任取2人的所有情况为{a，b}，{a，c}，{a，d}，{a，A}，{a，B}，{b，c}，{b，d}，{b，A}，{b，B}，{c，d}，{c，A}，{c，B}，{d，A}，{d，B}，{A，B}，共15种.
第三步：列出至少有1人是高三学生的情况
抽取的2人中至少有1人是高三学生的情况有{a，A}，{a，B}，{b，A}，{b，B}，{c，A}，{c，B}，{d，A}，{d，B}，{A，B}，共9种.
第四步：根据古典概型的概率公式得解
至少有1人是高三学生的概率为.
【知识点】古典概型及其概率计算公式
【解析】【分析】（1） 选①，依题意结合古典概型求概率公式得出a的值；
选②，依题意结合古典概型求概率公式得出a的值；
选③，依题意结合古典概型求概率公式得出a的值。
（2）利用已知条件结合分步的方法和古典概型求概率公式得出至少有1人是高三学生的概率。
18．【答案】（1）解：在直线上，设，
圆与轴相切，圆为：，，
又圆与圆外切，圆，即圆，圆心，半径；
，解得，
圆的标准方程为．
（2）解：由题意得，，设，
则圆心到直线的距离：，
则，，即，
解得或，
直线的方程为：或．
【知识点】直线与圆相交的性质；直线与圆的位置关系
【解析】【分析】 (1)设N (6， n)，则 圆为： ，从而得到 ， 由此能求出圆N的标准方程；
(2) 由题意得，，设， 则圆心到直线的距离：， 由此能求出直线l的方程．
19．【答案】（1）解：
，
因为，所以，
所以的取值范围为
（2）解：由，
得，
，
，
，
又，
，
，
【知识点】简单的三角恒等变换；二倍角的正弦公式；含三角函数的复合函数的值域与最值；运用诱导公式化简求值
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合诱导公式和辅助角公式化简函数为正弦型函数，再利用x的取值范围和构造法结合正弦型函数的图象求值域的方法，进而得出函数f(x)的取值范围。
（2）利用已知条件结合代入法和角的取值范围和构造法，再结合正弦型函数的图象求值域的方法得出 的值， 进而得出角 的取值范围， 再利用同角三角函数基本关系式得出角的余弦值，再结合二倍角的正弦公式得出 的值。
20．【答案】（1）证明：∵在中，由余弦定理得，
∴，
∴，
，
，
，
；
（2）解：由（1）可知，
则，故可得，，
，
当且仅当，即时取等号，
，即的最大值为
所以，最大值为
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；两角和与差的正弦公式；两角和与差的正切公式；同角三角函数间的基本关系；余弦定理
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合余弦定理和正弦定理，再结合两角和的正弦公式，进而证出 。
（2） 由（1）可知，再利用同角三角函数基本关系式得出，故可得，，再利用两角差的正切公式和均值不等式求最值的方法得出
的最大值，进而得出最大值。
21．【答案】（1）证明：由直线得，
联立，解得，
直线l恒过定点.
（2）解：圆的圆心为，半径为，直线过点，
直线l与圆C交于M，N两点，则直线l的斜率存在，设直线l方程为，
联立，得，
设，，则，，
是定值，定值为
【知识点】斜率的计算公式；恒过定点的直线；直线与圆的位置关系
【解析】【分析】（1） 由直线得，联立，从而得出直线l恒过的定点坐标。
（2） 利用圆得出圆心坐标和半径长，再利用直线过点结合直线l与圆C交于M，N两点，则直线l的斜率存在，设直线l方程为，再设，，再利用直线与圆相交，联立二者方程结合韦达定理，得出，，再利用两点求斜率公式得出的值，进而判断出是定值，并求出其定值。
22．【答案】（1）证明：∵，O为BD中点，∴，
因为平面ABD，平面平面BCD，且平面平面，
∴平面BCD，∵平面BCD，∴.
（2）解：过点E作交BD于N.过点N作交BC于点M，连接ME，
因为且由（1）知平面BCD，
所以平面BCD， ∵平面BCD，∴
在△BCD中，∵，∴，
因为 ，∴，∴平面MNE
∴
∴为所求的二面角的平面角，
∴，∴
∵，，∴，
因为，∴，
∵，∴.∴，∴.
∴
∴.
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积；空间中直线与直线之间的位置关系
【解析】【分析】（1） 利用，O为BD中点结合等腰三角形三线合一，所以，再利用平面平面BCD结合面面垂直的性质定理证出线面垂直，所以平面BCD，再利用线面垂直的定义证出线线垂直，从而证出。
（2） 过点E作交BD于N，过点N作交BC于点M，连接ME，利用且由（1）知平面BCD，所以平面BCD， 再利用线面垂直的定义证出线线垂直，所以，在△BCD中，利用得出，再利用 ，得出，再利用线线垂直证出线面垂直，所以平面MNE，再利用线面垂直的定义证出线线垂直，所以，所以为所求的二面角的平面角，进而得出的值，从而得出，再利用，，再结合两直线平行对应边成比例，所以，同理，则，再利用，得出MN的长，进而得出EN的长，从而得出OA的长，再结合三角形的面积公式得出的值，再结合三棱锥的体积公式得出三棱锥的体积 。
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