登录二一教育在线组卷平台 助您教考全无忧
江西省省重点校联盟2022-2023学年高二上学期数学入学摸底联考试卷
一、单选题
1．（2022高二上·江西开学考）集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】由于，所以.
对于函数，由于，所以，所以，
所以。
故答案为：B
【分析】利用已知条件结合偶次根式函数求定义域的方法，进而得出集合A，再利用换元法求值域的方法求出集合B，再结合交集的运算法则，进而得出集合A和集合B的交集。
2．（2022高二上·江西开学考）已知平面向量，，若，则实数x的值为（ ）
A．1 B．2 C．6 D．1或2
【答案】C
【知识点】数量积的坐标表达式；数量积判断两个平面向量的垂直关系
【解析】【解答】由于，所以，解得。
故答案为：C
【分析】利用已知条件结合数量积为0两向量垂直的等价关系，再结合数量积的坐标表示，进而得出实数x的值。
3．（2022高二上·江西开学考）“，”是“函数的图象关于点对称”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】函数的图象关于点对称，，
即，，故“，”是“函数的图象关于点对称”的充分不必要条件。
故答案为：A
【分析】利用已知条件结合充分条件、必要条件的判断方法，从而推出“，”是“函数的图象关于点对称”的充分不必要条件。
4．（2022高二上·江西开学考）江西南昌的滕王阁，位于南昌沿江路赣江东岸，始建于唐永徽四年（即公元653年），是古代江南唯一的皇家建筑.因初唐诗人王勃所作《滕王阁序》而名传千古，流芳后世，被誉为“江南三大名楼”之首（另外两大名楼分别为岳阳的岳阳楼与武汉的黄鹤楼）.小张同学为测量滕王阁的高度，选取了与底部水平的直线，将自制测量仪器分别放置于，两处进行测量.如图，测量仪器高m，点与滕王阁顶部平齐，并测得，m，则小张同学测得滕王阁的高度约为（参考数据）（ ）
A．50m B．55.5m C．57.4m D．60m
【答案】C
【知识点】三角函数模型的简单应用
【解析】【解答】在中，，则，在中，，则，，故滕王阁的高度为。
故答案为：C
【分析】利用已知条件结合直角三角形的结构特征和正弦函数的定义，进而得出滕王阁的高度。
5．（2022高二上·江西开学考）如图，在中，点D在边上，，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【知识点】向量的三角形法则；平面向量数量积的运算
【解析】【解答】过点A作，垂足为E.，，，
。
故答案为：A.
【分析】过点A作，垂足为E，再利用，和勾股定理得出，再结合已知条件和三角形法则以及数量积的运算法则，再利用数量积的定义得出的值。
6．（2022高二上·江西开学考）已知正方体中，点M在线段上，记平面平面，则异面直线与l所成角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】异面直线及其所成的角
【解析】【解答】由图可知：
，平面BDM，平面，
所以平面BDM，
又因为平面平面，平面，所以，
故即为异面直线与l所成角，
易知是等边三角形，
所以．
故答案为：C
【分析】利用结合线线平行证出线面平行，所以平面BDM，再利用线面平行的性质定理证出线线平行，所以，故即为异面直线与l所成角，易知是等边三角形，从而得出的值。
7．（2022高二上·江西开学考）《中华人民共和国国家标准污水综合排放标准》中一级标准规定的氨氮含量允许排放的最高浓度为15mg/L．某企业生产废水中的氨氮含量为450mg/L，现通过循环过滤设备对生产废水的氨氮进行过滤，每循环一次可使氨氮含量减少，要使废水中的氨氮含量达到国家排放标准，最少要进行循环的次数为（ ）（参考数据：，）
A．8 B．9 C．10 D．11
【答案】B
【知识点】函数模型的选择与应用
【解析】【解答】由题意，设至少循环次，才能达到国家排放标准，则，
即，两边同时取对数，可得，
所以，所以至少要进行9次循环。
故答案为：B
【分析】由题意，设至少循环次，才能达到国家排放标准，则，再利用指数与对数的互化公式和对数的运算法则，进而得出要使废水中的氨氮含量达到国家排放标准，最少要进行循环的次数。
8．（2022高二上·江西开学考）已知函数，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】令，其定义域为，
则，
因为在上单调递减，所以当时，，
所以，故在上单调递增，
又因为，
不等式可化为，
所以，
故不等式的解集为。
故答案为：D．
【分析】令，再利用求导的方法判断其单调性，再利用函数的单调性和转化的方法求出不等式的解集。
二、多选题
9．（2022高二上·江西开学考）设复数，则下列结论正确的是（ ）
A．z的共轭复数为
B．z的虚部为1
C．z在复平面内对应的点位于第二象限
D．
【答案】B,C,D
【知识点】复数的基本概念；复数的代数表示法及其几何意义；复数求模
【解析】【解答】由题得，复数，故z的共轭复数为，则A不符合题意；
z的虚部为1，B符合题意；
z在复平面内对应的点为，位于第二象限，C符合题意；
，D符合题意．
故答案为：BCD．
【分析】利用已知条件结合复数与共轭复数的关系、复数的虚部的定义、复数的几何意义以及点的坐标与象限的关系、复数的加法运算法则和复数求模的公式，进而找出结论正确的选项。
10．（2022高二上·江西开学考）下列计算正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A,B,C
【知识点】两角和与差的正切公式；二倍角的正弦公式；二倍角的余弦公式；同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】因为，A符合题意；
，B符合题意；
，C符合题意；
因为，
所以，D不符合题意．
故答案为：ABC
【分析】利用已知条件结合两角和的正切公式及变形、平方差公式、同角三角函数基本关系式、二倍角的余弦公式和正弦公式，进而找出计算正确的选项。
11．（2022高二下·德州期末）已知x>0，y>0，且x+2y=3，则下列正确的是（ ）
A．的最小值为3 B．的最大值为6
C．xy的最大值为 D．
【答案】A,C,D
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】因为，
，当且仅当，即时等号成立，A符合题意；
由得，所以，B不符合题意；
，，当且仅当时，等号成立，C符合题意；
，当且仅当，即时等号成立，D符合题意．
故答案为：ACD．
【分析】根据题意首先整理化简原式，然后由基本不等式即可求出原式的最值，由此对选项逐一判断即可得出答案。
12．（2022高二上·江西开学考）如图，E，F，G，H分别是空间四边形ABCD各边上的点（不与各边的端点重合），且AE：EB=AH：HD=m，CF：FB=CG：GD=n，AC⊥BD，AC=4，BD=2.下列结论正确的是（ ）
A．E，F，G，H一定共面
B．若直线EF与GH有交点，则交点不一定在直线AC上
C．AC∥平面EFGH
D．当m=n时，四边形EFGH的面积有最大值2
【答案】A,D
【知识点】二次函数在闭区间上的最值；空间中直线与直线之间的位置关系；直线与平面平行的判定；共线向量与共面向量
【解析】【解答】因为，则，又，则.
所以，即四点共面，A符合题意；
因为，所以，同理.
当时，
又，此时四边形EFGH为梯形，即直线EF与GH有交点，
交点在面ABC内，又在面ADC内，而面面，
所以直线EF与GH的交点在直线AC上，B不符合题意，C不符合题意；
因为及m=n得：，四边形EPGH为平行四边形，
又，所以，故平行四边形EFGH为矩形.
设，因为，所以，而，
所以，
所以，
则矩形EFGH的面积，
可得，D符合题意.
故答案为：AD
【分析】利用结合对应边成比例，则两直线平行，则，同理，则，再利用平行的传递性，所以，所以四点共面；利用，所以，同理，当时，，再利用，此时四边形EFGH为梯形，即直线EF与GH有交点，交点在面ABC内，又因为交点在面ADC内，而面面，所以直线EF与GH的交点在直线AC上；利用及m=n得：，四边形EPGH为平行四边形，再利用，所以，故平行四边形EFGH为矩形，设，再利用，所以，而，再利用对应边成比例，所以，所以，再利用矩形的面积得出矩形EFGH的面积，再结合二次函数的图象求最值的方法，进而得出当m=n时，四边形EFGH的面积的最大值，从而找出结论正确的选项。
三、填空题
13．（2022高一下·祁东期末）驾照考试一共有四个科目：科目一（驾驶员理论考试）、科目二（场地驾驶技能考试）、科目三（道路驾驶技能考试）、科目四（安全文明驾驶常识考试）．只有四个科目都通过才能取得驾照．若某学员四个科目通过的概率依次是0.9、0.8、0.8、0.9，且每个科目是否通过相互之间没有影响，则该学员拿到驾照的概率为 ．
【答案】0.5184
【知识点】相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【解答】由题意得，该学员拿到驾照的概率为.
故答案为：0.5184.
【分析】利用独立事件的概率乘法公式直接求解可得该学员拿到驾照的概率.
14．（2022高二上·江西开学考）若将函数的图像向左平移个单位长度后关于y轴对称，则实数的最小值为 ．
【答案】2
【知识点】奇偶函数图象的对称性；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
【解析】【解答】依题意得，，
所以，，得，，，故的最小值为2。
故答案为：2。
【分析】利用已知条件结合正弦型函数的图象变换和偶函数的图象的对称性，再利用偶函数的定义，进而得出，，，从而求出实数的最小值。
15．（2022高二上·江西开学考）用一个平行于圆锥底面的平面截圆锥，得到一个小圆锥和一个圆台，若小圆锥与圆台的侧面积之比为，则小圆锥与圆台的体积之比为 ．
【答案】
【知识点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台、球）
【解析】【解答】设小圆锥的底面半径为，高为，母线为，大圆锥的底面半径为的r，高为h，母线为l，则，且，则，故小圆锥与大圆锥的体积之比为，故小圆锥与圆台的体积之比为。
故答案为：。
【分析】设小圆锥的底面半径为，高为，母线为，大圆锥的底面半径为的r，高为h，母线为l，再利用两线段平行对应边成比例，则，再结合圆锥的侧面积公式和已知条件得出，进而得出，再利用圆锥的体积公式得出小圆锥与大圆锥的体积之比，再结合作差法得出小圆锥与圆台的体积之比。
16．（2022高二上·江西开学考）已知函数，方程有四个不相等的实数根，，，．
（1）实数m的取值范围为 ；
（2）的值为 ．
【答案】（1）（0，1）
（2）19
【知识点】分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】作出函数与函数的图象，
因为方程有四个不相等的实数根，
由图象则可知实数m的取值范围为（0，1），
由题可知，，，
∵，
∴，即，
又，，
∴。
故答案为：（0，1），19。
【分析】利用已知条件结合分段函数的解析式画出分段函数的图象，再作出函数的图象，再结合方程有四个不相等的实数根，再由图象则可知实数m的取值范围，由题可知，，，再利用结合绝对值的定义和对数的运算法则，进而得出的值，再利用中点坐标公式得出的值，进而得出的值。
四、解答题
17．（2022高二上·江西开学考）如图，在平行四边形ABCD中，点E是对角线AC上靠近C的三等分点，点F是CD的中点，设，．
（1）试用，分别表示与；
（2）利用向量法证明：B，E，F三点共线．
【答案】（1）解：；
.
（2）证明：因为，
所以，所以，
又B是公共点，所以B，E，F三点共线．
【知识点】平面向量的基本定理及其意义；三点共线
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合平面向量基本定理，从而用，分别表示与。
（2）利用已知条件结合三角形法则和向量共线定理，再结合平面向量基本定理得出，再利用向量共线定理，所以，再利用B是公共点，从而证出B，E，F三点共线。
18．（2022高二上·江西开学考）已知函数．
（1）求函数的单调递减区间；
（2）若当时，关于的不等式，__________，求实数的取值范围．
请选择①和②中的一个条件，补全问题（2），并求解．其中，①有解；②恒成立．
【答案】（1）解：因为
．
又函数的单调减区间为，，
所以，，
解得，，
所以函数的单调增区间为，
（2）解：若选择①
由题意可知，不等式有解，即；
因为，所以，
故当，即时，取得最大值，且最大值为，
所以；
若选择②
由题意可知，不等式恒成立，即．
因为，所以．
故当，即时，取得最小值，且最小值为．
所以．
【知识点】函数的单调性及单调区间；函数的最值及其几何意义；函数恒成立问题
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合二倍角的正弦公式和余弦公式，再结合辅助角公式化简函数为正弦型函数，再利用正弦型函数的图象判断出单调性，进而得出正弦型函数f(x)的单调递减区间。
（2） 若选择①，由题意可知，不等式有解，即，再利用结合不等式的基本性质，进而得出的取值范围，从而得出当时的函数取得最大值，进而得出函数f(x)的最大值，从而求出实数m的取值范围；若选择②，由题意可知，不等式恒成立，即，再利用结合不等式的基本性质，进而得出的取值范围，从而得出当时的函数取得最大值，进而得出函数f(x)的最大值，从而求出实数m的取值范围。
19．（2022高二上·江西开学考）2022年“中国航天日”线上启动仪式在4月24日上午举行，为普及航天知识，某校开展了“航天知识竞赛”活动，现从参加该竞赛的学生中随机抽取了60名，统计他们的成绩（满分100分），其中成绩不低于80分的学生被评为“航天达人”，将数据整理后绘制成如图所示的频率分布直方图.
（1）若该中学参加这次竞赛的共有2000名学生，试估计全校这次竞赛中“航天达人”的人数；
（2）估计参加这次竞赛的学生成绩的80%分位数；
（3）若在抽取的60名学生中，利用分层随机抽样的方法从成绩不低于70分的学生中随机抽取6人，则从成绩在[70，80），[80，90），[90，100]内的学生中分别抽取了多少人？
【答案】（1）解：由频率分布直方图可知，成绩在[80，100]内的频率为0.020×10+0.010×10=0.3，
则估计全校这次竞赛中“航天达人”的人数约为2000×0.3=600人.
（2）解：由频率分布直方图可知，成绩在[40，50）内的频率为0.005×10=0.05，
成绩在[50，60）内的频率为0.015×10=0.15，
成绩在[60，70）内的频率为0.020×10=0.2，
成绩在[70，80）内的频率为0.030×10=0.3，
成绩在[80，90）内的频率为0.020×10=0.2，
所以成绩在80分以下的学生所占的比例为70%，成绩在90分以下的学生所占的比例为90%，
所以成绩的80%分位数一定在[80，90）内，而，
因此估计参加这次竞赛的学生成绩的80%分位数约为85.
（3）解：因为，，，
所以从成绩在[70，80），[80，90），[90，100]内的学生中分别抽取了3人，2人，1人.
【知识点】分层抽样方法；频率分布直方图；用样本的数字特征估计总体的数字特征
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合频率分布直方图中各小组的矩形的面积等于各小组的频率，进而得出成绩在[80，100]内的频率，再利用频数等于频率乘以样本容量的公式，进而估计出全校这次竞赛中“航天达人”的人数。
（2）利用已知条件结合频率分布直方图求分位数的方法，进而估计出参加这次竞赛的学生成绩的80%分位数。
（3）利用已知条件结合分层抽样的方法，进而得出从成绩在[70，80），[80，90），[90，100]内的学生中分别抽取了的人数。
20．（2022高二上·江西开学考）已知在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，．
（1）求的值；
（2）若的面积为，求的周长．
【答案】（1）解：由题意得，，
因为，
故，
由，得，
所以，所以
（2）解：由余弦定理，，
，即，
又的面积为，
所以，，
所以，，
故的周长为．
【知识点】两角和与差的正弦公式；正弦定理；余弦定理；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合正弦定理和两角和的正弦公式，进而得出角B的余弦值，再结合三角形中角B的取值范围，进而得出角B的值。
（2）利用已知条件结合余弦定理和三角形的面积公式得出，的值，再利用完全平方和公式得出a+c的值，再结合三角形的周长公式，进而得出三角形的周长。
21．（2022高二上·江西开学考）如图，AB是的直径，PA垂直于所在的平面，C是圆周上不同于A B的任意一点，且.求证：
（1）平面平面PBC；
（2）当点C（不与A B重合）在圆周上运动时，求平面PBC与所在的平面所成二面角大小的范围.
【答案】（1）解：因为PA垂直于所在的平面ABC，平面ABC，
所以，，
因为AB是的直径，
所以，
因为平面PAC，
所以平面PAC，
因为平面PBC，
所以平面平面PBC
（2）解：因为平面PAC，平面PAC，
所以，又，
所以即为平面PBC与所在的平面所成二面角的平面角，
设，圆O的半径为R，
则，又，
所以，
因为，所以，
所以，
因为
所以，
所以平面PBC与所在的平面所成二面角大小的范围为
【知识点】平面与平面垂直的判定；二面角的平面角及求法
【解析】【分析】（1）利用PA垂直于所在的平面ABC，再结合线面垂直的定义 证出线线垂直，所以，，再利用AB是的直径，所以，再结合线线垂直证出线面垂直，所以平面PAC，再利用线面垂直证出面面垂直，从而证出平面平面PBC。
（2）利用 平面PAC结合线面垂直的定义证出线线垂直，所以，再利用，所以即为平面PBC与所在的平面所成二面角的平面角，设，圆O的半径为R，再结合余弦函数的定义得出，再利用和正切函数的定义，所以，再利用结合余弦函数的图象求值域的方法得出的取值范围，再结合构造法得出的取值范围，再利用得出的取值范围，进而得出平面PBC与所在的平面所成二面角大小的取值范围。
22．（2022高二上·江西开学考）已知．
（1）当时，求函数的定义域及不等式的解集；
（2）若函数只有一个零点，求实数a的取值范围．
【答案】（1）解：当时，，
∴的定义域为，
∴，即，
∴函数的定义域为，
不等式等价于，
∴，即，
∴不等式的解集为；
（2）解：，
∵函数只有一个零点，
∴只有一解，将代入，得，
∴关于x的方程只有一个正根，
当时，，符合题意；
当时，若有两个相等的实数根，
则，解得，此时，符合题意；
若方程有两个相异实数根，则，即，
∴两根之和与积均为，
∴方程两根只能异号，∴，即此时方程只有一个正根，符合题意．
综上，实数a的取值范围是：．
【知识点】函数的定义域及其求法；对数函数的单调性与特殊点；一元二次方程的解集及其根与系数的关系；函数的零点与方程根的关系
【解析】【分析】（1） 利用a的值求出函数的解析式，再利用对数型函数的定义域求解方法，进而得出函数的定义域，再结合换元法得出函数的定义域，所以不等式等价于，再结合对数函数的单调性得出不等式的解集。
(2)利用对数的运算法则得出 ，再利用函数只有一个零点，所以只有一解，将代入，得出x的取值范围，所以关于x的方程只有一个正根，再利用分类讨论的方法结合根与系数的关系和判别式法以及韦达定理，再结合已知条件和异号为负，从而求出实数a的取值范围。
二一教育在线组卷平台（zujuan.21cnjy.com）自动生成 1 / 1登录二一教育在线组卷平台 助您教考全无忧
江西省省重点校联盟2022-2023学年高二上学期数学入学摸底联考试卷
一、单选题
1．（2022高二上·江西开学考）集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2022高二上·江西开学考）已知平面向量，，若，则实数x的值为（ ）
A．1 B．2 C．6 D．1或2
3．（2022高二上·江西开学考）“，”是“函数的图象关于点对称”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．（2022高二上·江西开学考）江西南昌的滕王阁，位于南昌沿江路赣江东岸，始建于唐永徽四年（即公元653年），是古代江南唯一的皇家建筑.因初唐诗人王勃所作《滕王阁序》而名传千古，流芳后世，被誉为“江南三大名楼”之首（另外两大名楼分别为岳阳的岳阳楼与武汉的黄鹤楼）.小张同学为测量滕王阁的高度，选取了与底部水平的直线，将自制测量仪器分别放置于，两处进行测量.如图，测量仪器高m，点与滕王阁顶部平齐，并测得，m，则小张同学测得滕王阁的高度约为（参考数据）（ ）
A．50m B．55.5m C．57.4m D．60m
5．（2022高二上·江西开学考）如图，在中，点D在边上，，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
6．（2022高二上·江西开学考）已知正方体中，点M在线段上，记平面平面，则异面直线与l所成角为（ ）
A． B． C． D．
7．（2022高二上·江西开学考）《中华人民共和国国家标准污水综合排放标准》中一级标准规定的氨氮含量允许排放的最高浓度为15mg/L．某企业生产废水中的氨氮含量为450mg/L，现通过循环过滤设备对生产废水的氨氮进行过滤，每循环一次可使氨氮含量减少，要使废水中的氨氮含量达到国家排放标准，最少要进行循环的次数为（ ）（参考数据：，）
A．8 B．9 C．10 D．11
8．（2022高二上·江西开学考）已知函数，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．（2022高二上·江西开学考）设复数，则下列结论正确的是（ ）
A．z的共轭复数为
B．z的虚部为1
C．z在复平面内对应的点位于第二象限
D．
10．（2022高二上·江西开学考）下列计算正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
11．（2022高二下·德州期末）已知x>0，y>0，且x+2y=3，则下列正确的是（ ）
A．的最小值为3 B．的最大值为6
C．xy的最大值为 D．
12．（2022高二上·江西开学考）如图，E，F，G，H分别是空间四边形ABCD各边上的点（不与各边的端点重合），且AE：EB=AH：HD=m，CF：FB=CG：GD=n，AC⊥BD，AC=4，BD=2.下列结论正确的是（ ）
A．E，F，G，H一定共面
B．若直线EF与GH有交点，则交点不一定在直线AC上
C．AC∥平面EFGH
D．当m=n时，四边形EFGH的面积有最大值2
三、填空题
13．（2022高一下·祁东期末）驾照考试一共有四个科目：科目一（驾驶员理论考试）、科目二（场地驾驶技能考试）、科目三（道路驾驶技能考试）、科目四（安全文明驾驶常识考试）．只有四个科目都通过才能取得驾照．若某学员四个科目通过的概率依次是0.9、0.8、0.8、0.9，且每个科目是否通过相互之间没有影响，则该学员拿到驾照的概率为 ．
14．（2022高二上·江西开学考）若将函数的图像向左平移个单位长度后关于y轴对称，则实数的最小值为 ．
15．（2022高二上·江西开学考）用一个平行于圆锥底面的平面截圆锥，得到一个小圆锥和一个圆台，若小圆锥与圆台的侧面积之比为，则小圆锥与圆台的体积之比为 ．
16．（2022高二上·江西开学考）已知函数，方程有四个不相等的实数根，，，．
（1）实数m的取值范围为 ；
（2）的值为 ．
四、解答题
17．（2022高二上·江西开学考）如图，在平行四边形ABCD中，点E是对角线AC上靠近C的三等分点，点F是CD的中点，设，．
（1）试用，分别表示与；
（2）利用向量法证明：B，E，F三点共线．
18．（2022高二上·江西开学考）已知函数．
（1）求函数的单调递减区间；
（2）若当时，关于的不等式，__________，求实数的取值范围．
请选择①和②中的一个条件，补全问题（2），并求解．其中，①有解；②恒成立．
19．（2022高二上·江西开学考）2022年“中国航天日”线上启动仪式在4月24日上午举行，为普及航天知识，某校开展了“航天知识竞赛”活动，现从参加该竞赛的学生中随机抽取了60名，统计他们的成绩（满分100分），其中成绩不低于80分的学生被评为“航天达人”，将数据整理后绘制成如图所示的频率分布直方图.
（1）若该中学参加这次竞赛的共有2000名学生，试估计全校这次竞赛中“航天达人”的人数；
（2）估计参加这次竞赛的学生成绩的80%分位数；
（3）若在抽取的60名学生中，利用分层随机抽样的方法从成绩不低于70分的学生中随机抽取6人，则从成绩在[70，80），[80，90），[90，100]内的学生中分别抽取了多少人？
20．（2022高二上·江西开学考）已知在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，．
（1）求的值；
（2）若的面积为，求的周长．
21．（2022高二上·江西开学考）如图，AB是的直径，PA垂直于所在的平面，C是圆周上不同于A B的任意一点，且.求证：
（1）平面平面PBC；
（2）当点C（不与A B重合）在圆周上运动时，求平面PBC与所在的平面所成二面角大小的范围.
22．（2022高二上·江西开学考）已知．
（1）当时，求函数的定义域及不等式的解集；
（2）若函数只有一个零点，求实数a的取值范围．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】由于，所以.
对于函数，由于，所以，所以，
所以。
故答案为：B
【分析】利用已知条件结合偶次根式函数求定义域的方法，进而得出集合A，再利用换元法求值域的方法求出集合B，再结合交集的运算法则，进而得出集合A和集合B的交集。
2．【答案】C
【知识点】数量积的坐标表达式；数量积判断两个平面向量的垂直关系
【解析】【解答】由于，所以，解得。
故答案为：C
【分析】利用已知条件结合数量积为0两向量垂直的等价关系，再结合数量积的坐标表示，进而得出实数x的值。
3．【答案】A
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】函数的图象关于点对称，，
即，，故“，”是“函数的图象关于点对称”的充分不必要条件。
故答案为：A
【分析】利用已知条件结合充分条件、必要条件的判断方法，从而推出“，”是“函数的图象关于点对称”的充分不必要条件。
4．【答案】C
【知识点】三角函数模型的简单应用
【解析】【解答】在中，，则，在中，，则，，故滕王阁的高度为。
故答案为：C
【分析】利用已知条件结合直角三角形的结构特征和正弦函数的定义，进而得出滕王阁的高度。
5．【答案】A
【知识点】向量的三角形法则；平面向量数量积的运算
【解析】【解答】过点A作，垂足为E.，，，
。
故答案为：A.
【分析】过点A作，垂足为E，再利用，和勾股定理得出，再结合已知条件和三角形法则以及数量积的运算法则，再利用数量积的定义得出的值。
6．【答案】C
【知识点】异面直线及其所成的角
【解析】【解答】由图可知：
，平面BDM，平面，
所以平面BDM，
又因为平面平面，平面，所以，
故即为异面直线与l所成角，
易知是等边三角形，
所以．
故答案为：C
【分析】利用结合线线平行证出线面平行，所以平面BDM，再利用线面平行的性质定理证出线线平行，所以，故即为异面直线与l所成角，易知是等边三角形，从而得出的值。
7．【答案】B
【知识点】函数模型的选择与应用
【解析】【解答】由题意，设至少循环次，才能达到国家排放标准，则，
即，两边同时取对数，可得，
所以，所以至少要进行9次循环。
故答案为：B
【分析】由题意，设至少循环次，才能达到国家排放标准，则，再利用指数与对数的互化公式和对数的运算法则，进而得出要使废水中的氨氮含量达到国家排放标准，最少要进行循环的次数。
8．【答案】D
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】令，其定义域为，
则，
因为在上单调递减，所以当时，，
所以，故在上单调递增，
又因为，
不等式可化为，
所以，
故不等式的解集为。
故答案为：D．
【分析】令，再利用求导的方法判断其单调性，再利用函数的单调性和转化的方法求出不等式的解集。
9．【答案】B,C,D
【知识点】复数的基本概念；复数的代数表示法及其几何意义；复数求模
【解析】【解答】由题得，复数，故z的共轭复数为，则A不符合题意；
z的虚部为1，B符合题意；
z在复平面内对应的点为，位于第二象限，C符合题意；
，D符合题意．
故答案为：BCD．
【分析】利用已知条件结合复数与共轭复数的关系、复数的虚部的定义、复数的几何意义以及点的坐标与象限的关系、复数的加法运算法则和复数求模的公式，进而找出结论正确的选项。
10．【答案】A,B,C
【知识点】两角和与差的正切公式；二倍角的正弦公式；二倍角的余弦公式；同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】因为，A符合题意；
，B符合题意；
，C符合题意；
因为，
所以，D不符合题意．
故答案为：ABC
【分析】利用已知条件结合两角和的正切公式及变形、平方差公式、同角三角函数基本关系式、二倍角的余弦公式和正弦公式，进而找出计算正确的选项。
11．【答案】A,C,D
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】因为，
，当且仅当，即时等号成立，A符合题意；
由得，所以，B不符合题意；
，，当且仅当时，等号成立，C符合题意；
，当且仅当，即时等号成立，D符合题意．
故答案为：ACD．
【分析】根据题意首先整理化简原式，然后由基本不等式即可求出原式的最值，由此对选项逐一判断即可得出答案。
12．【答案】A,D
【知识点】二次函数在闭区间上的最值；空间中直线与直线之间的位置关系；直线与平面平行的判定；共线向量与共面向量
【解析】【解答】因为，则，又，则.
所以，即四点共面，A符合题意；
因为，所以，同理.
当时，
又，此时四边形EFGH为梯形，即直线EF与GH有交点，
交点在面ABC内，又在面ADC内，而面面，
所以直线EF与GH的交点在直线AC上，B不符合题意，C不符合题意；
因为及m=n得：，四边形EPGH为平行四边形，
又，所以，故平行四边形EFGH为矩形.
设，因为，所以，而，
所以，
所以，
则矩形EFGH的面积，
可得，D符合题意.
故答案为：AD
【分析】利用结合对应边成比例，则两直线平行，则，同理，则，再利用平行的传递性，所以，所以四点共面；利用，所以，同理，当时，，再利用，此时四边形EFGH为梯形，即直线EF与GH有交点，交点在面ABC内，又因为交点在面ADC内，而面面，所以直线EF与GH的交点在直线AC上；利用及m=n得：，四边形EPGH为平行四边形，再利用，所以，故平行四边形EFGH为矩形，设，再利用，所以，而，再利用对应边成比例，所以，所以，再利用矩形的面积得出矩形EFGH的面积，再结合二次函数的图象求最值的方法，进而得出当m=n时，四边形EFGH的面积的最大值，从而找出结论正确的选项。
13．【答案】0.5184
【知识点】相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【解答】由题意得，该学员拿到驾照的概率为.
故答案为：0.5184.
【分析】利用独立事件的概率乘法公式直接求解可得该学员拿到驾照的概率.
14．【答案】2
【知识点】奇偶函数图象的对称性；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
【解析】【解答】依题意得，，
所以，，得，，，故的最小值为2。
故答案为：2。
【分析】利用已知条件结合正弦型函数的图象变换和偶函数的图象的对称性，再利用偶函数的定义，进而得出，，，从而求出实数的最小值。
15．【答案】
【知识点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台、球）
【解析】【解答】设小圆锥的底面半径为，高为，母线为，大圆锥的底面半径为的r，高为h，母线为l，则，且，则，故小圆锥与大圆锥的体积之比为，故小圆锥与圆台的体积之比为。
故答案为：。
【分析】设小圆锥的底面半径为，高为，母线为，大圆锥的底面半径为的r，高为h，母线为l，再利用两线段平行对应边成比例，则，再结合圆锥的侧面积公式和已知条件得出，进而得出，再利用圆锥的体积公式得出小圆锥与大圆锥的体积之比，再结合作差法得出小圆锥与圆台的体积之比。
16．【答案】（1）（0，1）
（2）19
【知识点】分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】作出函数与函数的图象，
因为方程有四个不相等的实数根，
由图象则可知实数m的取值范围为（0，1），
由题可知，，，
∵，
∴，即，
又，，
∴。
故答案为：（0，1），19。
【分析】利用已知条件结合分段函数的解析式画出分段函数的图象，再作出函数的图象，再结合方程有四个不相等的实数根，再由图象则可知实数m的取值范围，由题可知，，，再利用结合绝对值的定义和对数的运算法则，进而得出的值，再利用中点坐标公式得出的值，进而得出的值。
17．【答案】（1）解：；
.
（2）证明：因为，
所以，所以，
又B是公共点，所以B，E，F三点共线．
【知识点】平面向量的基本定理及其意义；三点共线
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合平面向量基本定理，从而用，分别表示与。
（2）利用已知条件结合三角形法则和向量共线定理，再结合平面向量基本定理得出，再利用向量共线定理，所以，再利用B是公共点，从而证出B，E，F三点共线。
18．【答案】（1）解：因为
．
又函数的单调减区间为，，
所以，，
解得，，
所以函数的单调增区间为，
（2）解：若选择①
由题意可知，不等式有解，即；
因为，所以，
故当，即时，取得最大值，且最大值为，
所以；
若选择②
由题意可知，不等式恒成立，即．
因为，所以．
故当，即时，取得最小值，且最小值为．
所以．
【知识点】函数的单调性及单调区间；函数的最值及其几何意义；函数恒成立问题
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合二倍角的正弦公式和余弦公式，再结合辅助角公式化简函数为正弦型函数，再利用正弦型函数的图象判断出单调性，进而得出正弦型函数f(x)的单调递减区间。
（2） 若选择①，由题意可知，不等式有解，即，再利用结合不等式的基本性质，进而得出的取值范围，从而得出当时的函数取得最大值，进而得出函数f(x)的最大值，从而求出实数m的取值范围；若选择②，由题意可知，不等式恒成立，即，再利用结合不等式的基本性质，进而得出的取值范围，从而得出当时的函数取得最大值，进而得出函数f(x)的最大值，从而求出实数m的取值范围。
19．【答案】（1）解：由频率分布直方图可知，成绩在[80，100]内的频率为0.020×10+0.010×10=0.3，
则估计全校这次竞赛中“航天达人”的人数约为2000×0.3=600人.
（2）解：由频率分布直方图可知，成绩在[40，50）内的频率为0.005×10=0.05，
成绩在[50，60）内的频率为0.015×10=0.15，
成绩在[60，70）内的频率为0.020×10=0.2，
成绩在[70，80）内的频率为0.030×10=0.3，
成绩在[80，90）内的频率为0.020×10=0.2，
所以成绩在80分以下的学生所占的比例为70%，成绩在90分以下的学生所占的比例为90%，
所以成绩的80%分位数一定在[80，90）内，而，
因此估计参加这次竞赛的学生成绩的80%分位数约为85.
（3）解：因为，，，
所以从成绩在[70，80），[80，90），[90，100]内的学生中分别抽取了3人，2人，1人.
【知识点】分层抽样方法；频率分布直方图；用样本的数字特征估计总体的数字特征
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合频率分布直方图中各小组的矩形的面积等于各小组的频率，进而得出成绩在[80，100]内的频率，再利用频数等于频率乘以样本容量的公式，进而估计出全校这次竞赛中“航天达人”的人数。
（2）利用已知条件结合频率分布直方图求分位数的方法，进而估计出参加这次竞赛的学生成绩的80%分位数。
（3）利用已知条件结合分层抽样的方法，进而得出从成绩在[70，80），[80，90），[90，100]内的学生中分别抽取了的人数。
20．【答案】（1）解：由题意得，，
因为，
故，
由，得，
所以，所以
（2）解：由余弦定理，，
，即，
又的面积为，
所以，，
所以，，
故的周长为．
【知识点】两角和与差的正弦公式；正弦定理；余弦定理；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合正弦定理和两角和的正弦公式，进而得出角B的余弦值，再结合三角形中角B的取值范围，进而得出角B的值。
（2）利用已知条件结合余弦定理和三角形的面积公式得出，的值，再利用完全平方和公式得出a+c的值，再结合三角形的周长公式，进而得出三角形的周长。
21．【答案】（1）解：因为PA垂直于所在的平面ABC，平面ABC，
所以，，
因为AB是的直径，
所以，
因为平面PAC，
所以平面PAC，
因为平面PBC，
所以平面平面PBC
（2）解：因为平面PAC，平面PAC，
所以，又，
所以即为平面PBC与所在的平面所成二面角的平面角，
设，圆O的半径为R，
则，又，
所以，
因为，所以，
所以，
因为
所以，
所以平面PBC与所在的平面所成二面角大小的范围为
【知识点】平面与平面垂直的判定；二面角的平面角及求法
【解析】【分析】（1）利用PA垂直于所在的平面ABC，再结合线面垂直的定义 证出线线垂直，所以，，再利用AB是的直径，所以，再结合线线垂直证出线面垂直，所以平面PAC，再利用线面垂直证出面面垂直，从而证出平面平面PBC。
（2）利用 平面PAC结合线面垂直的定义证出线线垂直，所以，再利用，所以即为平面PBC与所在的平面所成二面角的平面角，设，圆O的半径为R，再结合余弦函数的定义得出，再利用和正切函数的定义，所以，再利用结合余弦函数的图象求值域的方法得出的取值范围，再结合构造法得出的取值范围，再利用得出的取值范围，进而得出平面PBC与所在的平面所成二面角大小的取值范围。
22．【答案】（1）解：当时，，
∴的定义域为，
∴，即，
∴函数的定义域为，
不等式等价于，
∴，即，
∴不等式的解集为；
（2）解：，
∵函数只有一个零点，
∴只有一解，将代入，得，
∴关于x的方程只有一个正根，
当时，，符合题意；
当时，若有两个相等的实数根，
则，解得，此时，符合题意；
若方程有两个相异实数根，则，即，
∴两根之和与积均为，
∴方程两根只能异号，∴，即此时方程只有一个正根，符合题意．
综上，实数a的取值范围是：．
【知识点】函数的定义域及其求法；对数函数的单调性与特殊点；一元二次方程的解集及其根与系数的关系；函数的零点与方程根的关系
【解析】【分析】（1） 利用a的值求出函数的解析式，再利用对数型函数的定义域求解方法，进而得出函数的定义域，再结合换元法得出函数的定义域，所以不等式等价于，再结合对数函数的单调性得出不等式的解集。
(2)利用对数的运算法则得出 ，再利用函数只有一个零点，所以只有一解，将代入，得出x的取值范围，所以关于x的方程只有一个正根，再利用分类讨论的方法结合根与系数的关系和判别式法以及韦达定理，再结合已知条件和异号为负，从而求出实数a的取值范围。
二一教育在线组卷平台（zujuan.21cnjy.com）自动生成 1 / 1
