山东省日照市2023届高三上学期数学第一次校际联合考试试卷
一、单选题
1．（2022高三上·日照开学考）已知集合，，则如图所示的韦恩图中的阴影部分所表示的集合为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】Venn图表达集合的关系及运算
【解析】【解答】解：由题意得，，
，
阴影部分为
故答案为：B
【分析】 根据描述法表示集合，求出集合M、N，再求阴影部分表示的集合.
2．（2022高三上·日照开学考）已知，则（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】B
【知识点】复数代数形式的乘除运算；复数的模
【解析】【解答】∵，∴，
故答案为：B
【分析】 根据已知条件，结合复数的四则运算，以及复数模公式，即可求解出答案.
3．（2022高三上·日照开学考）已知函数在区间上的图像连续不断，则“在区间上有零点”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【知识点】函数零点存在定理
【解析】【解答】已知函数在区间上的图像连续不断，
根据零点存在性定理，若，则在区间上有零点；
若有或者，在区间上有零点，
但是不成立.
故答案为：B
【分析】 根据零点存在性定理，结合充分条件和必要条件的定义进行判断，可得答案.
4．（2020高三上·甘谷月考）函数 的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】函数的图象
【解析】【解答】解法一：因为 ，设 ，
令 ,得 ,
当 时 , 为减函数，即 为减函数；
当 时, ， 为增函数，即 为增函数,
而 ,所以原函数存在两个极值点,
故排除C和D.将 代入原函数,求得 ,排除A.
解法二： ,排除A,D；
当 时, ,排除C.
故答案为：B.
【分析】利用求导的方法判断函数的单调性，从而求出函数的极值点，再利用特殊点法结合排除法，进而找出函数的大致图形或利用特殊点法结合函数求极限的方法，再结合排除法找出函数的大致图象。
5．（2022高三上·日照开学考）设正实数m，n满足，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】基本不等式
【解析】【解答】解：因为正实数m，n，，
所以，
当且仅当且，即，时取等号，此时取得最小值，
故答案为：C
【分析】由已知结合基本不等式，即可求出答案.
6．（2020·北京）在等差数列 中， ， ．记 ，则数列 （ ）．
A．有最大项，有最小项 B．有最大项，无最小项
C．无最大项，有最小项 D．无最大项，无最小项
【答案】B
【知识点】数列的函数特性；等差数列的通项公式
【解析】【解答】由题意可知，等差数列的公差 ，
则其通项公式为： ，
注意到 ，
且由 可知 ，
由 可知数列 不存在最小项，
由于 ，
故数列 中的正项只有有限项： ， .
故数列 中存在最大项，且最大项为 .
故答案为：B.
【分析】首先求得数列的通项公式，然后结合数列中各个项数的符号和大小即可确定数列中是否存在最大项和最小项.
7．（2021·广东模拟）如图，直线 依次与曲线 、 及x轴相交于点A、点B及点C，若B是线段 的中点，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】对数函数的图象与性质
【解析】【解答】根据题意，A，B，C三点的坐标分别为
又 是线段 的中点，即 ，所以 ，
计算得： ，所以 ，故 ，
又由图知， ， ， ，所以
B符合题意，ACD不符合题意
故答案为：B.
【分析】 由题意利用对数函数的图象和性质，得出结论.
8．（2022高三上·日照开学考）已知，且，的夹角为，若向量，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】平面向量的数量积运算；三角函数中的恒等变换应用
【解析】【解答】不妨设，，，且，
因为，所以，设，，
，，
所以，
由于，故．
故答案为：D．
【分析】不妨设，，，设，，求出斜率的数量积的表达式，求出 的取值范围 .
二、多选题
9．（2022高三上·日照开学考）八卦是我国古代的一套有象征意义的符号.如图1是八卦模型图，其平面图形记为图2中的正八边形ABCDEFGH，其中，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B,C
【知识点】平面向量的数量积运算
【解析】【解答】对于A，两向量方向相反，A不符合题意；
对于B，连接BH交OA于M，由，可得，
由向量的平行四边形法则可得，
又，则，B符合题意；
对于C，由正八边形可得，
则，C符合题意；
对于D，，
，
易得，
又，，则，D不符合题意.
故答案为：BC.
【分析】 根据向量相等的概念可判断A；根据向量的加法运算可判断B；结合数量积公式可判断C、D.
10．（2021高三上·东莞月考）已知函数（其中，，）的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A．函数的图象关于直线对称
B．函数的图象关于点对称
C．函数在区间上单调递增
D．与图象的所有交点的横坐标之和为
【答案】B,C,D
【知识点】正弦函数的性质；由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式
【解析】【解答】由题意，，∴，又，，又，∴，
∴．
∵，∴不是对称轴，A不符合题意；
，∴是对称中心，B符合题意；
时，，∴在上单调递增，C符合题意；
，，或，
即或，，又，∴，和为，D符合题意．
故答案为：BCD．
【分析】根据函数 的图像求出函数的解析式，结合三角函数的性质，逐项进行分析，可得答案。
11．（2022高三上·日照开学考）已知函数定义域为R，且.
当时，.若函数在上的零点从小到大恰好构成一个等差数列，则k的可能取值为（ ）
A．0 B．1 C． D．
【答案】A,B,D
【知识点】分段函数的应用
【解析】【解答】令，得到.
由已知，，则的周期为2.
其大致图像如图所示，由图可知，
令，得到.
①当时，零点为1 3 5 7 …，满足题意；
②当时，零点为0 2 4 6 …，满足题意；
③当时，若零点从小到大构成等差数列，公差只能为1.
由，得，此时；
④当时，函数无零点，不符合题意.
故答案为：ABD.
【分析】结合f(x)周期性和函数f(x)在[0， 2]的解析式画出f (x)的图象，将g(x)= f(x)- k的零点转化为函数图象交点问题，分情况讨论 的零点，即可求出 k的可能取值 .
12．（2022高三上·日照开学考）当时，不等式成立．若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A,D
【知识点】指数函数的图象与性质；对数函数的图象与性质
【解析】【解答】当时，不等式，令，则在上单调递增，
因，则，A符合题意；
因，则，B不正确；
由知，，有，则，
由A知，，即，C不正确；
由得，，则，D符合题意.
故答案为：AD
【分析】 根据题可得当时，不等式成立，令，推出函数f(x)在(1， +∞)上单调递增，逐项分析不等式，即可求出答案.
三、填空题
13．（2022高三上·日照开学考）已知．若幂函数在区间上单调递增，且其图像不过坐标原点，则 ．
【答案】-2
【知识点】幂函数的单调性、奇偶性及其应用
【解析】【解答】因为幂函数图像不过坐标原点，故，又在区间上单调递增，故
故答案为：-2
【分析】利用幂函数的性质直接求解，可得答案.
14．（2022高三上·日照开学考）已知 则 .
【答案】
【知识点】二倍角的余弦公式
【解析】【解答】解：因为
所以，
所以，
所以，
故答案为：
【分析】由已知利用二倍角的余弦公式可求的值，进而可求的值，根据诱导公式，即可求解出 的值.
15．（2020高三上·青岛期末）设函数 的图象在点 处的切线为 ，若方程 有两个不等实根，则实数 的取值范围是 ．
【答案】（0,1）
【知识点】函数的图象；根的存在性及根的个数判断
【解析】【解答】由 可得 ，
在点 处的切线斜率为 ，所以 ，
将点 代入 可得 ，
所以方程 即 有两个不等实根，
等价于 与 图象有两个不同的交点，
作 的图象如图所示：
由图知：若 与 图象有两个不同的交点则 吗，
故答案为：（0,1）
【分析】根据题意首先由导函数与切线方程的关系结合已知条件即可求出a的值，再由点的坐标代入求出b的值，由此求出直线的方程根据题意作出函数的图象，由数形结合法即可求出m的取值范围。
16．（2022高三上·日照开学考）已知是定义域为的奇函数，且图像关于直线对称，当时，，对于闭区间，用表示在上的最大值.若正数满足，则的值可以是 .（写出一个即可）.
【答案】或
【知识点】奇函数与偶函数的性质；函数的周期性
【解析】【解答】解：因为是定义域为的奇函数，所以，
又函数图象关于直线对称，所以，
所以，所以，
即是以为周期的周期函数，
又当时，，
令，则，所以，
所以，
所以当时，
时，
所以的部分图象如下所示：
若，则，在上单调递增，所以，，显然不满足，
若，则，在上单调递增，在上单调递减，
所以，，显然不满足，
若，则，所以，，由，
即，解得或（舍去）；
若，则，所以，或，由，
即，解得或（舍去）；
当时，，所以，，显然不满足，故舍去；
故答案为：或
【分析】首先可得是以4为周期的周期函数，根据 的解析式，得到的图象，再对k在不同区间进行讨论，求出符合条件的k的值.
四、解答题
17．（2022高三上·日照开学考）已知函数，.
（1）求函数的最小值和最小正周期；
（2）已知内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，若向量与共线，求a，b的值.
【答案】（1）解：.
∴的最小值为，最小正周期为.
（2）解：∵，即，
∵，，∴，∴.
∵与共线，∴.
由正弦定理，得，①
∵，由余弦定理，得，②
解方程组①②，得.
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示；三角函数中的恒等变换应用；正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】 (1)利用三角函数恒等变换公式对函数化简变形可得 ，从而可求出其最小正周期；
(2)由f(C)=0可求出角C，由 与共线 ，结合正弦定理可得b=2a，再利用余弦定理可求出 a，b的值.
18．（2022高三上·日照开学考）已知数列{an}，{bn}，{cn}中，．
（Ⅰ）若数列{bn}为等比数列，且公比，且，求q与{an}的通项公式；
（Ⅱ）若数列{bn}为等差数列，且公差，证明：．
【答案】解：（I）依题意，而，即，由于，所以解得，所以.
所以，故，所以数列是首项为，公比为的等比数列，所以.
所以（）.
所以，又，符合，
故.
（II）依题意设，由于，
所以，
故
.
又，而，
故
所以
.
由于，所以，所以.
即， .
【知识点】数列的求和；数列的递推公式
【解析】【分析】(1)先根据等比数列的通项公式将 代入 ，计算出公比q的值，然后根据等比数列的定义化简 ，则可发现 数列是首项为，公比为的等比数列，然后将通项公式代入得 （），再根据此递推公式的特点运用累加法可计算出数列{an }的通项公式；
(2)通过将已知关系式 ， 根据等差数列的特点进行转化进行裂项，在求和时相消，最后运用放缩法即可证明不等式成立.
19．（2022高三上·日照开学考）已知函数是偶函数．
（1）求的解析式；
（2）设函数，其中，若方程存在实数解，求实数的取值范围．
【答案】（1）解：是偶函数，
，，
即对恒成立，
即对恒成立，
对恒成立，
不恒为0，，
．
（2）解：方程存在实数解，即方程存在实数解，
又对数函数在上单调递增，
即方程存在实数解，
令，则，
方程化为，
即关于t的方程存在正数解，
∵m＞0，＞1，∴t＞2，t－2＞0，
∴方程存在正数解，即函数y＝m与函数，t＞2图像有交点.
，当且仅当，即时，等号成立，
∴根据对勾函数的图象性质可知，
即实数的取值范围为.
【知识点】函数解析式的求解及常用方法；基本不等式
【解析】【分析】 (1)由偶函数的定义可得 ，对 恒成立， 结合对数的运算性质化简得 对恒成立， 进而求出k的值，得到函数f (x)的解析式；
(2) 方程存在实数解， 等价于方程 存在实数解，令，则， 即方程化为 ，即方程存在正数解， 再利用分离参数法结合基本不等式进行求解，可得实数的取值范围．
20．（2022高三上·日照开学考）如图，已知在中，M为BC上一点，，且．
（1）若，求的值；
（2）若AM为的平分线，且，求的面积．
【答案】（1）解：因为，，
所以，
因为，
所以由正弦定理知，即，
因为，所以，，
在中，．
（2）解：由题意知，设，
由余弦定理得，解得或．
因为，所以，
因为AM为的平分线，
所以（h为底边BC的高）
所以，故，
而由（1）知，
所以．
【知识点】正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】 (1)由已知求得cosB，再由AB=2AC，结合正弦定理知sinC=2sin B，由三角形的边角关系可得 ， 进一步得到 ， 在△AMC中，由正弦定理求解出 的值；
(2)由已知得 ，设， 由余弦定理解得BC，再由内角平分线定理求得 ，可得 ， 求出sinC，代入三角形面积公式求解出 的面积．
21．（2022高三上·日照开学考）一个玩具盘由一个直径为2米的半圆O和一个矩形ABCD构成，米，如图所示.小球从A点出发以的速度沿半圆O轨道匀速运动到某点E处，经弹射后，以的速度沿EO的方向匀速运动到BC上某点F处.设弧度，小球从A到F所需时间为T.
（1）试将T表示为的函数，并写出定义域；
（2）当满足什么条件时，时间T最短.
【答案】（1）解：连接CO并延长交半圆于M，则，故，同理可得，
∴.
过O作于G，则，，
∴，
又，∴，.
（2）解：，
令可得，
解得或（舍）.设，，
则当时，，当时，，
故函数在上单调递减，在上单调递增，
∴当，取得最小值.故当时，时间T最短.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】(1)通过过点O作OG⊥BC于G，利用OG=1， ，又 及时间、路程与速度之间的关系，即可求出定义域；
(2)通过(1)求导，利用函数的单调性，即可求出当时，时间T最短.
22．（2022高三上·日照开学考）已知函数.
（1）当时，求曲线在点处的切线与两坐标轴围成的三角形面积；
（2）若，求实数a的取值范围.
【答案】（1）解：当时，，
，，切点，
∴切线方程为，即.
令，得；令，得，
所以三角形的面积是：
（2）解：①当时，，此时，
令，.
当时，，在上单调递减，
当时，，在上单调递增，
所以，又，则，
又，所以，
∴，∴，此时符合题意.
②当时，，
令，恒成立，
则在上单调递增，又，，
存在唯一的使，且，
所以，
当时，，
由，则在上单调递减，
当时，，
由，（分开考虑导函数符号）
当时，在上单调递增，
则，
所以当时，，
所以在上单调递增，所以，
由题意则，
设，则在上恒成立，所以在上单调递增.
此时，即，
综上所述，实数a的取值范围为.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【分析】 (1)由题意可知 ， 则可求出切点坐标为 ， 切线斜率为f'(1)=e，再利用点斜式写出直线，则可求出三角形的面积；
(2)由定义域为(0， +∞)，则 ， 讨论当a与0的大小关系，即可去掉绝对值，利用f(x)min >a，则可求出实数a的取值范围.
1 / 1山东省日照市2023届高三上学期数学第一次校际联合考试试卷
一、单选题
1．（2022高三上·日照开学考）已知集合，，则如图所示的韦恩图中的阴影部分所表示的集合为（ ）
A． B．
C． D．
2．（2022高三上·日照开学考）已知，则（ ）
A． B． C．2 D．
3．（2022高三上·日照开学考）已知函数在区间上的图像连续不断，则“在区间上有零点”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．（2020高三上·甘谷月考）函数 的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
5．（2022高三上·日照开学考）设正实数m，n满足，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
6．（2020·北京）在等差数列 中， ， ．记 ，则数列 （ ）．
A．有最大项，有最小项 B．有最大项，无最小项
C．无最大项，有最小项 D．无最大项，无最小项
7．（2021·广东模拟）如图，直线 依次与曲线 、 及x轴相交于点A、点B及点C，若B是线段 的中点，则（ ）
A． B． C． D．
8．（2022高三上·日照开学考）已知，且，的夹角为，若向量，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．（2022高三上·日照开学考）八卦是我国古代的一套有象征意义的符号.如图1是八卦模型图，其平面图形记为图2中的正八边形ABCDEFGH，其中，则（ ）
A． B．
C． D．
10．（2021高三上·东莞月考）已知函数（其中，，）的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A．函数的图象关于直线对称
B．函数的图象关于点对称
C．函数在区间上单调递增
D．与图象的所有交点的横坐标之和为
11．（2022高三上·日照开学考）已知函数定义域为R，且.
当时，.若函数在上的零点从小到大恰好构成一个等差数列，则k的可能取值为（ ）
A．0 B．1 C． D．
12．（2022高三上·日照开学考）当时，不等式成立．若，则（ ）
A． B． C． D．
三、填空题
13．（2022高三上·日照开学考）已知．若幂函数在区间上单调递增，且其图像不过坐标原点，则 ．
14．（2022高三上·日照开学考）已知 则 .
15．（2020高三上·青岛期末）设函数 的图象在点 处的切线为 ，若方程 有两个不等实根，则实数 的取值范围是 ．
16．（2022高三上·日照开学考）已知是定义域为的奇函数，且图像关于直线对称，当时，，对于闭区间，用表示在上的最大值.若正数满足，则的值可以是 .（写出一个即可）.
四、解答题
17．（2022高三上·日照开学考）已知函数，.
（1）求函数的最小值和最小正周期；
（2）已知内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，若向量与共线，求a，b的值.
18．（2022高三上·日照开学考）已知数列{an}，{bn}，{cn}中，．
（Ⅰ）若数列{bn}为等比数列，且公比，且，求q与{an}的通项公式；
（Ⅱ）若数列{bn}为等差数列，且公差，证明：．
19．（2022高三上·日照开学考）已知函数是偶函数．
（1）求的解析式；
（2）设函数，其中，若方程存在实数解，求实数的取值范围．
20．（2022高三上·日照开学考）如图，已知在中，M为BC上一点，，且．
（1）若，求的值；
（2）若AM为的平分线，且，求的面积．
21．（2022高三上·日照开学考）一个玩具盘由一个直径为2米的半圆O和一个矩形ABCD构成，米，如图所示.小球从A点出发以的速度沿半圆O轨道匀速运动到某点E处，经弹射后，以的速度沿EO的方向匀速运动到BC上某点F处.设弧度，小球从A到F所需时间为T.
（1）试将T表示为的函数，并写出定义域；
（2）当满足什么条件时，时间T最短.
22．（2022高三上·日照开学考）已知函数.
（1）当时，求曲线在点处的切线与两坐标轴围成的三角形面积；
（2）若，求实数a的取值范围.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】Venn图表达集合的关系及运算
【解析】【解答】解：由题意得，，
，
阴影部分为
故答案为：B
【分析】 根据描述法表示集合，求出集合M、N，再求阴影部分表示的集合.
2．【答案】B
【知识点】复数代数形式的乘除运算；复数的模
【解析】【解答】∵，∴，
故答案为：B
【分析】 根据已知条件，结合复数的四则运算，以及复数模公式，即可求解出答案.
3．【答案】B
【知识点】函数零点存在定理
【解析】【解答】已知函数在区间上的图像连续不断，
根据零点存在性定理，若，则在区间上有零点；
若有或者，在区间上有零点，
但是不成立.
故答案为：B
【分析】 根据零点存在性定理，结合充分条件和必要条件的定义进行判断，可得答案.
4．【答案】B
【知识点】函数的图象
【解析】【解答】解法一：因为 ，设 ，
令 ,得 ,
当 时 , 为减函数，即 为减函数；
当 时, ， 为增函数，即 为增函数,
而 ,所以原函数存在两个极值点,
故排除C和D.将 代入原函数,求得 ,排除A.
解法二： ,排除A,D；
当 时, ,排除C.
故答案为：B.
【分析】利用求导的方法判断函数的单调性，从而求出函数的极值点，再利用特殊点法结合排除法，进而找出函数的大致图形或利用特殊点法结合函数求极限的方法，再结合排除法找出函数的大致图象。
5．【答案】C
【知识点】基本不等式
【解析】【解答】解：因为正实数m，n，，
所以，
当且仅当且，即，时取等号，此时取得最小值，
故答案为：C
【分析】由已知结合基本不等式，即可求出答案.
6．【答案】B
【知识点】数列的函数特性；等差数列的通项公式
【解析】【解答】由题意可知，等差数列的公差 ，
则其通项公式为： ，
注意到 ，
且由 可知 ，
由 可知数列 不存在最小项，
由于 ，
故数列 中的正项只有有限项： ， .
故数列 中存在最大项，且最大项为 .
故答案为：B.
【分析】首先求得数列的通项公式，然后结合数列中各个项数的符号和大小即可确定数列中是否存在最大项和最小项.
7．【答案】B
【知识点】对数函数的图象与性质
【解析】【解答】根据题意，A，B，C三点的坐标分别为
又 是线段 的中点，即 ，所以 ，
计算得： ，所以 ，故 ，
又由图知， ， ， ，所以
B符合题意，ACD不符合题意
故答案为：B.
【分析】 由题意利用对数函数的图象和性质，得出结论.
8．【答案】D
【知识点】平面向量的数量积运算；三角函数中的恒等变换应用
【解析】【解答】不妨设，，，且，
因为，所以，设，，
，，
所以，
由于，故．
故答案为：D．
【分析】不妨设，，，设，，求出斜率的数量积的表达式，求出 的取值范围 .
9．【答案】B,C
【知识点】平面向量的数量积运算
【解析】【解答】对于A，两向量方向相反，A不符合题意；
对于B，连接BH交OA于M，由，可得，
由向量的平行四边形法则可得，
又，则，B符合题意；
对于C，由正八边形可得，
则，C符合题意；
对于D，，
，
易得，
又，，则，D不符合题意.
故答案为：BC.
【分析】 根据向量相等的概念可判断A；根据向量的加法运算可判断B；结合数量积公式可判断C、D.
10．【答案】B,C,D
【知识点】正弦函数的性质；由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式
【解析】【解答】由题意，，∴，又，，又，∴，
∴．
∵，∴不是对称轴，A不符合题意；
，∴是对称中心，B符合题意；
时，，∴在上单调递增，C符合题意；
，，或，
即或，，又，∴，和为，D符合题意．
故答案为：BCD．
【分析】根据函数 的图像求出函数的解析式，结合三角函数的性质，逐项进行分析，可得答案。
11．【答案】A,B,D
【知识点】分段函数的应用
【解析】【解答】令，得到.
由已知，，则的周期为2.
其大致图像如图所示，由图可知，
令，得到.
①当时，零点为1 3 5 7 …，满足题意；
②当时，零点为0 2 4 6 …，满足题意；
③当时，若零点从小到大构成等差数列，公差只能为1.
由，得，此时；
④当时，函数无零点，不符合题意.
故答案为：ABD.
【分析】结合f(x)周期性和函数f(x)在[0， 2]的解析式画出f (x)的图象，将g(x)= f(x)- k的零点转化为函数图象交点问题，分情况讨论 的零点，即可求出 k的可能取值 .
12．【答案】A,D
【知识点】指数函数的图象与性质；对数函数的图象与性质
【解析】【解答】当时，不等式，令，则在上单调递增，
因，则，A符合题意；
因，则，B不正确；
由知，，有，则，
由A知，，即，C不正确；
由得，，则，D符合题意.
故答案为：AD
【分析】 根据题可得当时，不等式成立，令，推出函数f(x)在(1， +∞)上单调递增，逐项分析不等式，即可求出答案.
13．【答案】-2
【知识点】幂函数的单调性、奇偶性及其应用
【解析】【解答】因为幂函数图像不过坐标原点，故，又在区间上单调递增，故
故答案为：-2
【分析】利用幂函数的性质直接求解，可得答案.
14．【答案】
【知识点】二倍角的余弦公式
【解析】【解答】解：因为
所以，
所以，
所以，
故答案为：
【分析】由已知利用二倍角的余弦公式可求的值，进而可求的值，根据诱导公式，即可求解出 的值.
15．【答案】（0,1）
【知识点】函数的图象；根的存在性及根的个数判断
【解析】【解答】由 可得 ，
在点 处的切线斜率为 ，所以 ，
将点 代入 可得 ，
所以方程 即 有两个不等实根，
等价于 与 图象有两个不同的交点，
作 的图象如图所示：
由图知：若 与 图象有两个不同的交点则 吗，
故答案为：（0,1）
【分析】根据题意首先由导函数与切线方程的关系结合已知条件即可求出a的值，再由点的坐标代入求出b的值，由此求出直线的方程根据题意作出函数的图象，由数形结合法即可求出m的取值范围。
16．【答案】或
【知识点】奇函数与偶函数的性质；函数的周期性
【解析】【解答】解：因为是定义域为的奇函数，所以，
又函数图象关于直线对称，所以，
所以，所以，
即是以为周期的周期函数，
又当时，，
令，则，所以，
所以，
所以当时，
时，
所以的部分图象如下所示：
若，则，在上单调递增，所以，，显然不满足，
若，则，在上单调递增，在上单调递减，
所以，，显然不满足，
若，则，所以，，由，
即，解得或（舍去）；
若，则，所以，或，由，
即，解得或（舍去）；
当时，，所以，，显然不满足，故舍去；
故答案为：或
【分析】首先可得是以4为周期的周期函数，根据 的解析式，得到的图象，再对k在不同区间进行讨论，求出符合条件的k的值.
17．【答案】（1）解：.
∴的最小值为，最小正周期为.
（2）解：∵，即，
∵，，∴，∴.
∵与共线，∴.
由正弦定理，得，①
∵，由余弦定理，得，②
解方程组①②，得.
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示；三角函数中的恒等变换应用；正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】 (1)利用三角函数恒等变换公式对函数化简变形可得 ，从而可求出其最小正周期；
(2)由f(C)=0可求出角C，由 与共线 ，结合正弦定理可得b=2a，再利用余弦定理可求出 a，b的值.
18．【答案】解：（I）依题意，而，即，由于，所以解得，所以.
所以，故，所以数列是首项为，公比为的等比数列，所以.
所以（）.
所以，又，符合，
故.
（II）依题意设，由于，
所以，
故
.
又，而，
故
所以
.
由于，所以，所以.
即， .
【知识点】数列的求和；数列的递推公式
【解析】【分析】(1)先根据等比数列的通项公式将 代入 ，计算出公比q的值，然后根据等比数列的定义化简 ，则可发现 数列是首项为，公比为的等比数列，然后将通项公式代入得 （），再根据此递推公式的特点运用累加法可计算出数列{an }的通项公式；
(2)通过将已知关系式 ， 根据等差数列的特点进行转化进行裂项，在求和时相消，最后运用放缩法即可证明不等式成立.
19．【答案】（1）解：是偶函数，
，，
即对恒成立，
即对恒成立，
对恒成立，
不恒为0，，
．
（2）解：方程存在实数解，即方程存在实数解，
又对数函数在上单调递增，
即方程存在实数解，
令，则，
方程化为，
即关于t的方程存在正数解，
∵m＞0，＞1，∴t＞2，t－2＞0，
∴方程存在正数解，即函数y＝m与函数，t＞2图像有交点.
，当且仅当，即时，等号成立，
∴根据对勾函数的图象性质可知，
即实数的取值范围为.
【知识点】函数解析式的求解及常用方法；基本不等式
【解析】【分析】 (1)由偶函数的定义可得 ，对 恒成立， 结合对数的运算性质化简得 对恒成立， 进而求出k的值，得到函数f (x)的解析式；
(2) 方程存在实数解， 等价于方程 存在实数解，令，则， 即方程化为 ，即方程存在正数解， 再利用分离参数法结合基本不等式进行求解，可得实数的取值范围．
20．【答案】（1）解：因为，，
所以，
因为，
所以由正弦定理知，即，
因为，所以，，
在中，．
（2）解：由题意知，设，
由余弦定理得，解得或．
因为，所以，
因为AM为的平分线，
所以（h为底边BC的高）
所以，故，
而由（1）知，
所以．
【知识点】正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】 (1)由已知求得cosB，再由AB=2AC，结合正弦定理知sinC=2sin B，由三角形的边角关系可得 ， 进一步得到 ， 在△AMC中，由正弦定理求解出 的值；
(2)由已知得 ，设， 由余弦定理解得BC，再由内角平分线定理求得 ，可得 ， 求出sinC，代入三角形面积公式求解出 的面积．
21．【答案】（1）解：连接CO并延长交半圆于M，则，故，同理可得，
∴.
过O作于G，则，，
∴，
又，∴，.
（2）解：，
令可得，
解得或（舍）.设，，
则当时，，当时，，
故函数在上单调递减，在上单调递增，
∴当，取得最小值.故当时，时间T最短.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】(1)通过过点O作OG⊥BC于G，利用OG=1， ，又 及时间、路程与速度之间的关系，即可求出定义域；
(2)通过(1)求导，利用函数的单调性，即可求出当时，时间T最短.
22．【答案】（1）解：当时，，
，，切点，
∴切线方程为，即.
令，得；令，得，
所以三角形的面积是：
（2）解：①当时，，此时，
令，.
当时，，在上单调递减，
当时，，在上单调递增，
所以，又，则，
又，所以，
∴，∴，此时符合题意.
②当时，，
令，恒成立，
则在上单调递增，又，，
存在唯一的使，且，
所以，
当时，，
由，则在上单调递减，
当时，，
由，（分开考虑导函数符号）
当时，在上单调递增，
则，
所以当时，，
所以在上单调递增，所以，
由题意则，
设，则在上恒成立，所以在上单调递增.
此时，即，
综上所述，实数a的取值范围为.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【分析】 (1)由题意可知 ， 则可求出切点坐标为 ， 切线斜率为f'(1)=e，再利用点斜式写出直线，则可求出三角形的面积；
(2)由定义域为(0， +∞)，则 ， 讨论当a与0的大小关系，即可去掉绝对值，利用f(x)min >a，则可求出实数a的取值范围.
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