1.4 有理数的乘除法 教案
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文档简介
1.4 有理数的乘除法
内容简介
本节主要内容是有理数的乘除法运算．教科书首先借助数轴研究有理数的乘法，引入有理数乘法的法则，并通过例子说明如何运用法则进行计算．然后从具体运算的例子出发．指出乘法的运算律对有理数同样适用．在乘法之后，从有理数除法的意义出发．结合具体例子引入有理数的除法法则．并通过例子说明如何运用法则进行计算．最后通过例题介绍有理数的混合运算．
教学目标
1．经历探索有理数乘法法则及运算律的过程，发展学生的观察、归纳、猜想能力．
2．理解有理数乘法的意义，掌握有理数乘法法则中的符号法则和绝对值运算法则．
3．了解倒数概念，会求给定有理数的倒数．
4．会进行有理数的乘法运算，能运用乘法运算律简化计算．
5．理解有理数除法的意义，熟练掌握有理数除法法则．
6．会进行有理数的除法运算．
7．通过本节课的学习，初步培养学生的化归转化的能力和运算能力．
重点难点
1．重点：有理数的乘法法则及乘、除法运算．
2．难点：对有理数的乘法法则和除法法则的理解．
教学时数
3课时．
教案A
第1课时
教学内容
1.4.1 有理数的乘法．
教学目标
1．经历探索有理数乘法法则的过程，发展学生的观察、归纳、猜想能力．
2．理解有理数乘法的意义，掌握有理数乘法法则中的符号法则和绝对值运算法则．
3．了解倒数概念，会求给定有理数的倒数．
4．会进行有理数的乘法运算．
教学重点
有理数的乘法法则及乘法运算律的灵活运用．
教学难点
对有理数的乘法法则的理解．
教学过程
一、提出问题 导入新课
师：我们已经熟悉正数及0的乘法运算．与加法类似，引入负数，将出现3×(－3)，(－3)×3，(－3)×(－3)这样的乘法．该怎样进行这一类的运算呢？
(给学生留出时间考虑，也可以分组讨论，在班上发言．完成后，教师再进行新课教学．)
二、观察算式 发现规律
思考1
观察下面的乘法算式，你能发现什么规律吗？
3×3＝9，
3×2＝6，
3×1＝3，
3×0＝0．
可以发现，上述算式有如下规律：随着后一乘数逐次递减1，积逐次递减3．
要使这个规律在引入负数后仍然成立，那么应有：
3×(－1)＝－3，
3×(－2)＝ ，
3×(－3)＝ ．
思考2
观察下面的算式，你又能发现什么规律？
3×3＝9，
2×3＝6，
1×3＝3，
0×3＝0．
可以发现，上述算式有如下规律：随着前一乘数逐次递减 1，积逐次递减 3．
要使上述规律在引入负数后仍然成立，那么你认为下面的空格应填写什么数
(－1)×3＝ ，
(－2)×3＝ ，
(－3)×3＝ ．
从符号和绝对值两个角度观察上述所有算式，可以归纳如下：
正数乘正数，积为正数；正数乘负数，积是负数；负数乘正数，积也是负数．
积的绝对值等于各乘数绝对值的积．
思考3
利用上面归纳的结论计算下面的算式，你发现有什么规律？
(－3)×3＝ ，
(－3)×2＝ ，
(－3)×1＝ ，
(－3)×0＝ ，
可以发现，上述算式有如下规律：随着后一乘数逐次递减1，积逐次递加 3．
按照上述规律，进一步通过下列算式，得出负数与负数相乘的结果．
(－3)×(－1)＝3，
(－3)×(－2)＝6，
(－3)×(－3)＝9，
通过上面的思考训练，让学生讨论后归纳出如下结论：
负数乘负数，积为正数．乘积的绝对值等于各乘数绝对值的积．
一般地，我们有有理数乘法法则：
两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘．
任何数与 0 相乘，都得0．
有理数运算与以前学过的运算的一个重要区别就是多了一个符号问题． 对于有理数乘法，符号问题比有理数加法要简单一些，只要记住同号得正，异号得负就可以了．至于绝对值，有理数乘法比有理数加法就更容易处理了．
说明：
有理数相乘，可以先确定积的符号，再确定积的绝对值；
乘积是1的两个数互为倒数．
三、练习训练 巩固提高
教科书第30页练习第1、2、3题．
两个数相乘的练习是基础，熟练之后，多个数相乘的问题也就迎刃而解了．
四、作业
教科书第37页习题1.4第1、2题第38页第3题．
第2课时
教学内容
1.4.2 有理数的乘法．
教学目标
1．经历探索有理数运算律的过程，发展学生的观察、归纳、猜想能力．
2．会进行有理数的乘法运算，能运用乘法运算律简化计算．
教学重点
有理数的乘法运算律的灵活运用．
教学难点
对有理数的乘法法则的理解．
教学过程
一、提出问题 导入新课
我们上节课讲了两个有理数相乘，那么，多个有理数怎样相乘呢？有什么规律？
二、思考算式 发现规律
思考1
观察下列各式，它们的积是正的还是负的？
2×3×4×(－5)，
2×3×(－4)×(－5)，
2×(－3)×(－4)×(－5)，
(－2)×(－3)×(－4)×(－5)．
几个不是 0 的数相乘，积的符号与负因数的个数之间有什么关系？
归纳：
多个有理数相乘，可以把它们按顺序依次相乘．
几个不是 0 的数相乘，负因数的个数是偶数时，积是正数；负因数的个数是奇数时，积是负数．
思考2
你能看出下式的结果吗？如果能，请说明理由．
7.8×(－8.1)×0×(－19.6)．
教师指导学生思考、探究，然后得出结论：
几个数相乘，如果其中有因数为0，那么积等于0．
说明：
几个不等于0的数相乘．积的符号由负因数的个数决定，通过例子让学生自己得出规律．
至于多个数相乘时，有一个因数是0的情况，主要是在运算时．要先把题目看清，不要一上来就急着计算．算到后面遇到0，前边就白辛苦了．
像前面那样规定有理数乘法法则后，就可以使交换律、结合律与分配律在有理数乘法中仍然成立．
一般地，有理数乘法中，两个数相乘，交换因数的位置，积相等．
乘法交换律：ab＝ba．
一般地，有理数乘法中，三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等．
乘法结合律：(ab)c＝a(bc)．
一般地，有理数乘法中，一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加．
分配律：a(b＋c)＝ab＋ac．
三、实例训练 巩固提高
1．教科书第33页例4．
2．教科书第33页练习．
四、作业
教科书第38页习题1.4第7题(1)，(2)，(3)，(6)．
第3课时
教学内容
1.4.2 有理数的除法．
教学目标
1．理解有理数除法的意义，熟练掌握有理数除法法则．
2．会进行有理数的除法运算．
3．通过本节课的学习，初步培养学生的化归转化的能力和运算能力．
重点难点
熟练进行有理数的除法运算．
教学难点
理解有理数的除法法则．
教学过程
一、创设情境 复习导入
教师：以上我们学习了有理数的乘法，这节我们应该学习有理数的除法，板书课题．
有理数的除法同小学算术中除法一样——除以一个数等于乘以这个数的倒数，所以必须以学好求一个有理数的倒数为基础学习有理数的除法．
二、探索新知 讲授新课
1．倒数
4×( )＝1； ×( )＝1； 0.5×( )＝1；
0×( ）＝1； －4×( )＝1； －×( )＝1．
学生活动：口答以上题目．
在有理数乘法的基础上，学生很容易地做出这几个题目，在题目的选择上，注意了数的全面性，即有正数、0、负数，又有整数、分数，在数的变化中，让学生回忆、体会出求各种数的倒数的方法．
教师：两个数乘积是1，这两个数有什么关系？
学生活动：乘积是1的两个数互为倒数．（板书）
教师：0有倒数吗？为什么？
学生活动：通过题目0×( )＝1得出0乘以任何数都不得1，0没有倒数．
教师：引入负数后，乘积是1的两个负数也互为倒数，如－4与，与互为倒数，即a的倒数是(a≠0)．
提出问题：根据以上题目，怎样求整数、分数、小数的倒数？
教师注意创设问题情境，让学生参与思考，循序渐进地引出，对于有理数a也有倒数是(a≠0)．对于怎样求整数、分数、小数的倒数，学生还很难总结出方法，提出这个问题是让学生带着问题来做下组练习．
求下列各数的倒数：
(1)； (2)； (3)；
(4)－0.25； (5)－5； (6)1．
学生活动：通过思考口答这6小题，讨论后得出，求整数的倒数是用1除以它，求分数的倒数是分子分母颠倒位置；求小数的倒数必须先化成分数再求．
2．有理数的除法
怎样计算8÷(－4)呢？
根据除法是乘法的逆运算，就是要求一个数，使它与－4相乘得8．
因为 (－2)×(－4)＝8，
所以 8÷(－4)＝－2． ①
另一方面，我们有
8×＝－2 ②
于是有
8÷(－4)＝8×． ③
③式表明，一个数除以－4可以转化－为乘来进行，即一个数除以－4等于乘－4的倒数－．
对于有理数除法，我们有如下法则：
除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数．
这个法则也可以表示成
a÷b＝a×(b≠0)
数学知识是具有联系性转化性的，有理数的除法可以转化成乘法运算．
通过学生亲自演算和教师的引导，对有理数除法法则及字母表示有了非常清楚的认识，教师放手让学生总结法则，尤其是字母表示，训练学生的归纳及口头表达能力．
三、尝试反馈 巩固练习
例1 计算：
（1）(－36)÷9， （2）()÷()．
解：（1）(－36)÷9＝－(36÷9)＝－4．
（2）()÷()＝()×()＝．
练习
1．计算：
（1）(－18)÷6； （2）(－63)÷(－7)； （3）(－36)÷6；
（4）1÷(－9)； （5）0÷(－8)； （6）16÷(－3)．
2．计算：
（1）()÷()； （2）(－6.5)÷0.13；
（3）()÷()； （4）÷(－1)．
学生活动：第1题让学生抢答，然后教师给出结果，第2题在练习本上演示，两个同学板演(教师订正)．
此组练习中两个题目都是对a÷b＝a×(b≠0)的直接应用．第1题是整数，利用口答形式训练学生速算能力．第2题是小数、分数略有难度，要求学生自行演算，加强运算的准确性，第2题（2）小题必须把小数都化成分数再转化成乘法来计算．
提出问题：（1）两数相除，商的符号怎样确定，商的绝对值呢？（2）0不能做除数，0做被除数时商是多少？
归纳：
两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除．
0除以任何一个不等于0的数，都得0．
通过上组练习的结果，不难看出有理数的除法与有理数乘法有类似的法则，这个法则的得出为计算有理数除法又添了一种方法，这时教师要及时指出，在做有理数除法的题目时，要根据具体情况，灵活运用这两种方法．
四、变式训练 培养能力
例2 化简下列分数：
（1）； （2）．
解：（1）＝(－12)÷3＝－4；
（2）＝(－45)÷(－12)＝45÷12＝．
因为有理数的除法可以化为乘法，所以可以利用乘法的运算性质简化运算．乘除混合运算往往先将除法化成乘法，然后确定积的符号，最后求出结果．
有理数的加减乘除混合运算，如无括号指出先做什么运算，则按照“先乘除，后加减”的顺序进行．
例3 计算
（1）－8＋4÷(－2)； （2）(－7)×(－5)－90÷(－15)．
解：（1）－8＋4÷（－2）＝－8＋(－2)＝－10；
（2）(－7)×(－5)－90÷(－15)＝35－(－6)＝35＋6＝41．
例4 某公司去年1~3月平均每月亏损1.5万元，4~6月平均每月盈利2万元，7~10月平均每月盈利1.7万元，11~12月平均每月亏损2.3万元．这个公司去年总的盈亏情况如何？
解：记盈利额为正数，亏损额为负数．公司去年全年盈亏额(单位：万元)为
(－1.5)×3＋2×3＋1.7×4＋(－2.3)×2
＝－4.5＋6＋6.8－4.6＝3.7．
答：这个公司去年全年盈利3.7万元．
计算器是一种方便实用的计算工具，用计算器进行比较复杂的数的计算，比笔算要快捷得多．操作方法可参见计算器的使用说明．
小结
对这节课全部知识点的回顾不是教师单纯地总结，而是让学生在思考回答的过程中自己把整节内容进行了梳理，并且上升到了用字母表示的数学式子，逐步培养学生用数学语言表达数学规律的能力．
教案B
第1课时
教学内容
1.4.1 有理数的乘法．
教学目标
1．经历探索有理数乘法法则过程，发展观察、归纳、猜想、验证等能力．
2．会进行有理数的乘法运算．
教学重点
应用法则正确地进行有理数乘法运算．
教学难点
两负数相乘，积的符号为正与两负数相加，和为负号混淆．
教学过程
一、复习导入
前面我们已经学习了有理数的加法运算和减法运算．今天我们开始时学习乘法运算．
问：有理数包括哪些数？
答：有理数包括正数、负数和零，或正整数、正分数、负整数、负分数和零．
二、新课教学
问题1 一只小虫沿一条东西向的跑道，以每分钟3米的速度向东爬行2分钟，那么它现在位于原来的位置的那个方向，相距多少米
我们知道，这个问题可用乘法来解答：
3×2＝6
即小虫位于原来位置的东方6米处．
注意：这里我们规定向东为正，向西为负．如果上述问题变为：
问题2 小虫向西以每分钟3米的速度爬行2分钟，那么结果有何变化 这也不难，写成算式就是：
(－3)×2＝－6
即小虫位于原来位置的西方6米处．
比较上面两个算式，有什么发现
当我们把“3×2＝6”中的一个因数“3”换成它的相反数“－3”时，所得的积是原来的积“6”的相反数“－6”，一般地，我们有：
把一个因数换成它的相反数，所得的积是原来的积的相反数．
试一试：
3×(－2)＝？
与3×2＝6相比较，这里把一个因数“2”换成了它的相反数“－2”，所得的积是原来的积“6”的相反数“－6”，即
3×(－2)＝－6．
再试一试：(－3)×(－2)＝
把上式与(－3)×2＝－6对比，这里把一个因数“2”换成了它的相反数“－2”，所得的积是原来的积“－6”的相反数“6”，即(－3)×(－2)＝6．
此外，如果有一个因数是0时，所得的积还是0，如(－3)×0＝0、0×2＝0．
概括：综合以上各种情况，我们有有理数乘法法则：
两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对植相乘．
任何数同0相乘，都得0．
例如，(－5)×(－3)，··························同号两数相乘
(－5)×(－3)＝＋( )，············· ·········得正
5×3＝15，································把绝对值相乘
所以 (－5)×(－3)＝15．
又如，(－7)×4，································异号两数相乘
(－7)×4＝－( )，·····························得负
7×4＝28，································把绝对值相乘
所以 (－7)×4＝－28．
例1 计算：
（1）(－3)×9； （2）8×(－1)； （3）(－)×(－2)．
解：（1）(－3)×9＝－27；
（2）8×(－1)＝－8；
（3）(－)×(－2)＝1．
例2 用正负数表示气温的变化量，上升为正，下降为负．登山队攀登一座山峰，每登高1 km气温的变化量为－6℃，攀登3 km后，气温有什么变化？
解:(－6)×3＝－18．
答：气温下降18℃．
三、练习
教科书第30页练习1、2、3．
四、作业
教科书第37页习题1.4第1、2题第38页第3题．
第2课时
教学内容
1.4.1 有理数的乘法．
教学目标
1．使学生掌握有理数乘法的法则．
2．使学生探索有理数乘法的的运算律，并能灵活运用乘法运算律进行有理数的乘法运算，使之计算简便．
教学重点
熟练运用运算律进行计算．
教学难点
灵活运用运算律．
教学过程
一、复习导入
1．有理数的乘法法则是什么？
2．如何进行有理数的乘法运算？
3．小学里正有理数乘法有哪些运算律？
二、新课教学
观察下列各式，你能发现几个正数与负数相乘，积的符号与各因数的符号之间的关系吗
2×3×4×(－5)，
2×3×(－4)×(－5)，
2×(－3)×(－4)×(－5)，
(－2)×(－3)×(－4)×(－5)．
一般地，我们有：几个不是0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定．负因数的个数是偶数时，积是正数；负因数的个数是奇数时，积是负数．
几个不是0的数相乘，首先确定积的符号，然后把绝对值相乘．
试一试：
(－5)×(－)×3×(－5)×2＝？
(－5)×(－8.1)×3.14×0＝？
几个数相乘，如果其中有因数为0，那么积等于0．
例3 计算：
（1）8＋(－0.5)×(－8)×； （2）(－3)××(－)×(－0.25)．
解：（1）8＋(－0.5)×(－8)×＝8＋××8＝8＋3＝11；
（2）(－3)××(－)×(－0.25)＝－3×××＝．
我们再看下面的例子：
(－3)×2＝－6，
2×(－3)＝－6，
即
(－3)×2＝2×(－3)．
一般地，有理数乘法中，两个数相乘，交换因数的位置，积不变．
乘法交换律：ab＝ba．
又如，[3×(－4)]×(－5)＝(－12)×(－5)＝60，
3×[(－4)×(－5)]＝3×20＝60，
即
[3×(－4)]×(－5)＝3×[(－4)×(－5)]．
一般地，有理数乘法中，三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等．
乘法结合律：(ab)c＝a(bc)．
想一想：
［(－3)×(－2)］×5与(－2)×［(－3)×5］是否相等
根据乘法交换律和结合律可以推出：三个以上有理数相乘，可以任意交换乘数的位置，也可以先把其中的几个数相乘．
我们知道，在含有加减乘的算式中，要先算乘，后算加减，有括号时，先算括号里面的．
计算：(－10)××0.1×6．
解：(－10)××0.1×6＝[(－10)×0.1]×(×6)＝(－1)×2＝－2．
再如，
5×[3＋(－7)]＝5×（－4）＝－20；
5×3＋5×(－7)＝15－35＝－20，
即
5×[3＋(－7)]＝5×3＋5×(－7)．
一般地，有理数乘法中，一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加．
分配率：a(b＋c)＝ab＋ac．
三、小结
本节课我们探索了有理数乘法的交换律、结合律和分配律，并且通过观察实例，归纳出几个不等于零的数相乘，积的符号有负因数的个数确定，当负因数为奇数个时，积为负；当负因数为偶个时，积为正，几个不等于0的数相乘，先确定积的符号，再把绝对值相乘，几个数相乘，有一个因数为0，积就为0．
在进行有理数乘法运算时，不仅要正确使用运算法则，还要会灵活运用运算律，这样可使计算更简便，但在运用运算律时，要注意符号的变化，使计算更准确．
第3课时
教学内容
1.4.2 有理数的除法．
教学目标
1．了解有理数除法的意义，掌握有理数除法法则，会进行有理数的除法运算．
2．理解有理数倒数的意义，能熟练地进行有理数加减乘除混合运算．
教学重点
探索除法法则的过程，正确运用法则进行有理数的混合运算．
教学难点
对零不能作除数与零没有倒数的理解及乘法与除法的互化，如何根据不同的情况选取适当的方法解题．
教学过程
一、问题导入
你能计算(－10)÷2吗？请根据你的结果解释你的结果的合理性．
学生有可能顺利解答出该题，此时要求学生进行解释结果的合理性，学生进一步思考会发现，由于除法是乘法的逆运算，也就是求一个数“？”使(？)×2＝－10，显然有：－5×2＝－10，于是(－10)÷2＝－5，另外－10×＝－5，因此(－10)÷2＝－10×．
二、新课教学
1．根据以上发现你能计算下列问题吗？在计算过程中，你能发现什么规律吗？
（1）(－36)÷9； （2）(－)÷(－)； （3）0÷(－1.5)．
学生独立思考，自主探究，主要是对规律的发现，让学生充分表述，逐步完善看法，最后学生进行归纳有理数的除法法则．
归纳：除以一个不为零的数等于乘以这个数的倒数，用数学式子表示：
a÷b＝a×(b≠0)．
对比有理数的乘法法则进行归纳．
两数相除同号得正，异号得负，并把绝对值相除，0除以任何一个不等于0的数都得0．
2．化简下列分数，你能从中发现什么？
（1）； （2）．
解：（1）＝－12÷3＝－4；
（2）＝－45÷（－12）＝．
归纳：化简分数时，可以把分数线理解为除法运算，然后再进行除法运算即可．
3．计算下列各题，对（3）（4）（5）的解决，从中你能发现什么？
（1）(－36)÷9； （2）(－125)÷(－5)；
（3）－2.5÷×(－)； （4）(－12)÷(－4)÷(－)；
（5）(－)×(－)÷(－0.25)．
学生计算后，进行归纳，必要时可小组讨论．
归纳：乘除是同级运算，应该从左到右进行运算，若化为乘法运算则可以利用乘法交换率计算．
4．计算下列各题，从中你能发现什么？
（1）3＋2×(－)； （2）－7－2×(－3)＋(－6)÷(－)；
（3）(－3)×[]．
在有理数加减乘除混合运算时，若没有括号，则按照“先乘除，后加减”的顺序进行，若有括号则遵循“先计算小括号内的、再计算中括号内的、再计算大括号内的”的顺序进行计算．
注意：15÷(－3)×5＝(－5)×5＝－25，而不是15÷(－15)＝－1．
三、实例探究
某公司去年1~3月平均每月亏损1.5万元，4~6月平均每月盈利2万元，7~10月平均每月盈利1.7万元，11~12月平均每月亏损2.3万元．这个公司去年总的盈亏情况如何？
分析：用正负数表示相反意义的量，然后再利用有理数的乘法和加法进行解决问题．
解：记盈利额为正数，亏损额为负数．公司去年全年盈亏额(单位：万元)为
(－1.5)×3＋2×3＋1.7×4＋(－2.3)×2
＝－4.5＋6＋6.8－4.6＝3.7．
答：这个公司去年全年盈利3.7万元．
四、小结
1．有理数的除法法则(两个)．
2．有理数的混合运算(运算顺序)．
五、作业
教科书第38页习题1.4第4、5、6、8题．
12
11
内容简介
本节主要内容是有理数的乘除法运算．教科书首先借助数轴研究有理数的乘法，引入有理数乘法的法则，并通过例子说明如何运用法则进行计算．然后从具体运算的例子出发．指出乘法的运算律对有理数同样适用．在乘法之后，从有理数除法的意义出发．结合具体例子引入有理数的除法法则．并通过例子说明如何运用法则进行计算．最后通过例题介绍有理数的混合运算．
教学目标
1．经历探索有理数乘法法则及运算律的过程，发展学生的观察、归纳、猜想能力．
2．理解有理数乘法的意义，掌握有理数乘法法则中的符号法则和绝对值运算法则．
3．了解倒数概念，会求给定有理数的倒数．
4．会进行有理数的乘法运算，能运用乘法运算律简化计算．
5．理解有理数除法的意义，熟练掌握有理数除法法则．
6．会进行有理数的除法运算．
7．通过本节课的学习，初步培养学生的化归转化的能力和运算能力．
重点难点
1．重点：有理数的乘法法则及乘、除法运算．
2．难点：对有理数的乘法法则和除法法则的理解．
教学时数
3课时．
教案A
第1课时
教学内容
1.4.1 有理数的乘法．
教学目标
1．经历探索有理数乘法法则的过程，发展学生的观察、归纳、猜想能力．
2．理解有理数乘法的意义，掌握有理数乘法法则中的符号法则和绝对值运算法则．
3．了解倒数概念，会求给定有理数的倒数．
4．会进行有理数的乘法运算．
教学重点
有理数的乘法法则及乘法运算律的灵活运用．
教学难点
对有理数的乘法法则的理解．
教学过程
一、提出问题 导入新课
师：我们已经熟悉正数及0的乘法运算．与加法类似，引入负数，将出现3×(－3)，(－3)×3，(－3)×(－3)这样的乘法．该怎样进行这一类的运算呢？
(给学生留出时间考虑，也可以分组讨论，在班上发言．完成后，教师再进行新课教学．)
二、观察算式 发现规律
思考1
观察下面的乘法算式，你能发现什么规律吗？
3×3＝9，
3×2＝6，
3×1＝3，
3×0＝0．
可以发现，上述算式有如下规律：随着后一乘数逐次递减1，积逐次递减3．
要使这个规律在引入负数后仍然成立，那么应有：
3×(－1)＝－3，
3×(－2)＝ ，
3×(－3)＝ ．
思考2
观察下面的算式，你又能发现什么规律？
3×3＝9，
2×3＝6，
1×3＝3，
0×3＝0．
可以发现，上述算式有如下规律：随着前一乘数逐次递减 1，积逐次递减 3．
要使上述规律在引入负数后仍然成立，那么你认为下面的空格应填写什么数
(－1)×3＝ ，
(－2)×3＝ ，
(－3)×3＝ ．
从符号和绝对值两个角度观察上述所有算式，可以归纳如下：
正数乘正数，积为正数；正数乘负数，积是负数；负数乘正数，积也是负数．
积的绝对值等于各乘数绝对值的积．
思考3
利用上面归纳的结论计算下面的算式，你发现有什么规律？
(－3)×3＝ ，
(－3)×2＝ ，
(－3)×1＝ ，
(－3)×0＝ ，
可以发现，上述算式有如下规律：随着后一乘数逐次递减1，积逐次递加 3．
按照上述规律，进一步通过下列算式，得出负数与负数相乘的结果．
(－3)×(－1)＝3，
(－3)×(－2)＝6，
(－3)×(－3)＝9，
通过上面的思考训练，让学生讨论后归纳出如下结论：
负数乘负数，积为正数．乘积的绝对值等于各乘数绝对值的积．
一般地，我们有有理数乘法法则：
两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘．
任何数与 0 相乘，都得0．
有理数运算与以前学过的运算的一个重要区别就是多了一个符号问题． 对于有理数乘法，符号问题比有理数加法要简单一些，只要记住同号得正，异号得负就可以了．至于绝对值，有理数乘法比有理数加法就更容易处理了．
说明：
有理数相乘，可以先确定积的符号，再确定积的绝对值；
乘积是1的两个数互为倒数．
三、练习训练 巩固提高
教科书第30页练习第1、2、3题．
两个数相乘的练习是基础，熟练之后，多个数相乘的问题也就迎刃而解了．
四、作业
教科书第37页习题1.4第1、2题第38页第3题．
第2课时
教学内容
1.4.2 有理数的乘法．
教学目标
1．经历探索有理数运算律的过程，发展学生的观察、归纳、猜想能力．
2．会进行有理数的乘法运算，能运用乘法运算律简化计算．
教学重点
有理数的乘法运算律的灵活运用．
教学难点
对有理数的乘法法则的理解．
教学过程
一、提出问题 导入新课
我们上节课讲了两个有理数相乘，那么，多个有理数怎样相乘呢？有什么规律？
二、思考算式 发现规律
思考1
观察下列各式，它们的积是正的还是负的？
2×3×4×(－5)，
2×3×(－4)×(－5)，
2×(－3)×(－4)×(－5)，
(－2)×(－3)×(－4)×(－5)．
几个不是 0 的数相乘，积的符号与负因数的个数之间有什么关系？
归纳：
多个有理数相乘，可以把它们按顺序依次相乘．
几个不是 0 的数相乘，负因数的个数是偶数时，积是正数；负因数的个数是奇数时，积是负数．
思考2
你能看出下式的结果吗？如果能，请说明理由．
7.8×(－8.1)×0×(－19.6)．
教师指导学生思考、探究，然后得出结论：
几个数相乘，如果其中有因数为0，那么积等于0．
说明：
几个不等于0的数相乘．积的符号由负因数的个数决定，通过例子让学生自己得出规律．
至于多个数相乘时，有一个因数是0的情况，主要是在运算时．要先把题目看清，不要一上来就急着计算．算到后面遇到0，前边就白辛苦了．
像前面那样规定有理数乘法法则后，就可以使交换律、结合律与分配律在有理数乘法中仍然成立．
一般地，有理数乘法中，两个数相乘，交换因数的位置，积相等．
乘法交换律：ab＝ba．
一般地，有理数乘法中，三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等．
乘法结合律：(ab)c＝a(bc)．
一般地，有理数乘法中，一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加．
分配律：a(b＋c)＝ab＋ac．
三、实例训练 巩固提高
1．教科书第33页例4．
2．教科书第33页练习．
四、作业
教科书第38页习题1.4第7题(1)，(2)，(3)，(6)．
第3课时
教学内容
1.4.2 有理数的除法．
教学目标
1．理解有理数除法的意义，熟练掌握有理数除法法则．
2．会进行有理数的除法运算．
3．通过本节课的学习，初步培养学生的化归转化的能力和运算能力．
重点难点
熟练进行有理数的除法运算．
教学难点
理解有理数的除法法则．
教学过程
一、创设情境 复习导入
教师：以上我们学习了有理数的乘法，这节我们应该学习有理数的除法，板书课题．
有理数的除法同小学算术中除法一样——除以一个数等于乘以这个数的倒数，所以必须以学好求一个有理数的倒数为基础学习有理数的除法．
二、探索新知 讲授新课
1．倒数
4×( )＝1； ×( )＝1； 0.5×( )＝1；
0×( ）＝1； －4×( )＝1； －×( )＝1．
学生活动：口答以上题目．
在有理数乘法的基础上，学生很容易地做出这几个题目，在题目的选择上，注意了数的全面性，即有正数、0、负数，又有整数、分数，在数的变化中，让学生回忆、体会出求各种数的倒数的方法．
教师：两个数乘积是1，这两个数有什么关系？
学生活动：乘积是1的两个数互为倒数．（板书）
教师：0有倒数吗？为什么？
学生活动：通过题目0×( )＝1得出0乘以任何数都不得1，0没有倒数．
教师：引入负数后，乘积是1的两个负数也互为倒数，如－4与，与互为倒数，即a的倒数是(a≠0)．
提出问题：根据以上题目，怎样求整数、分数、小数的倒数？
教师注意创设问题情境，让学生参与思考，循序渐进地引出，对于有理数a也有倒数是(a≠0)．对于怎样求整数、分数、小数的倒数，学生还很难总结出方法，提出这个问题是让学生带着问题来做下组练习．
求下列各数的倒数：
(1)； (2)； (3)；
(4)－0.25； (5)－5； (6)1．
学生活动：通过思考口答这6小题，讨论后得出，求整数的倒数是用1除以它，求分数的倒数是分子分母颠倒位置；求小数的倒数必须先化成分数再求．
2．有理数的除法
怎样计算8÷(－4)呢？
根据除法是乘法的逆运算，就是要求一个数，使它与－4相乘得8．
因为 (－2)×(－4)＝8，
所以 8÷(－4)＝－2． ①
另一方面，我们有
8×＝－2 ②
于是有
8÷(－4)＝8×． ③
③式表明，一个数除以－4可以转化－为乘来进行，即一个数除以－4等于乘－4的倒数－．
对于有理数除法，我们有如下法则：
除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数．
这个法则也可以表示成
a÷b＝a×(b≠0)
数学知识是具有联系性转化性的，有理数的除法可以转化成乘法运算．
通过学生亲自演算和教师的引导，对有理数除法法则及字母表示有了非常清楚的认识，教师放手让学生总结法则，尤其是字母表示，训练学生的归纳及口头表达能力．
三、尝试反馈 巩固练习
例1 计算：
（1）(－36)÷9， （2）()÷()．
解：（1）(－36)÷9＝－(36÷9)＝－4．
（2）()÷()＝()×()＝．
练习
1．计算：
（1）(－18)÷6； （2）(－63)÷(－7)； （3）(－36)÷6；
（4）1÷(－9)； （5）0÷(－8)； （6）16÷(－3)．
2．计算：
（1）()÷()； （2）(－6.5)÷0.13；
（3）()÷()； （4）÷(－1)．
学生活动：第1题让学生抢答，然后教师给出结果，第2题在练习本上演示，两个同学板演(教师订正)．
此组练习中两个题目都是对a÷b＝a×(b≠0)的直接应用．第1题是整数，利用口答形式训练学生速算能力．第2题是小数、分数略有难度，要求学生自行演算，加强运算的准确性，第2题（2）小题必须把小数都化成分数再转化成乘法来计算．
提出问题：（1）两数相除，商的符号怎样确定，商的绝对值呢？（2）0不能做除数，0做被除数时商是多少？
归纳：
两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除．
0除以任何一个不等于0的数，都得0．
通过上组练习的结果，不难看出有理数的除法与有理数乘法有类似的法则，这个法则的得出为计算有理数除法又添了一种方法，这时教师要及时指出，在做有理数除法的题目时，要根据具体情况，灵活运用这两种方法．
四、变式训练 培养能力
例2 化简下列分数：
（1）； （2）．
解：（1）＝(－12)÷3＝－4；
（2）＝(－45)÷(－12)＝45÷12＝．
因为有理数的除法可以化为乘法，所以可以利用乘法的运算性质简化运算．乘除混合运算往往先将除法化成乘法，然后确定积的符号，最后求出结果．
有理数的加减乘除混合运算，如无括号指出先做什么运算，则按照“先乘除，后加减”的顺序进行．
例3 计算
（1）－8＋4÷(－2)； （2）(－7)×(－5)－90÷(－15)．
解：（1）－8＋4÷（－2）＝－8＋(－2)＝－10；
（2）(－7)×(－5)－90÷(－15)＝35－(－6)＝35＋6＝41．
例4 某公司去年1~3月平均每月亏损1.5万元，4~6月平均每月盈利2万元，7~10月平均每月盈利1.7万元，11~12月平均每月亏损2.3万元．这个公司去年总的盈亏情况如何？
解：记盈利额为正数，亏损额为负数．公司去年全年盈亏额(单位：万元)为
(－1.5)×3＋2×3＋1.7×4＋(－2.3)×2
＝－4.5＋6＋6.8－4.6＝3.7．
答：这个公司去年全年盈利3.7万元．
计算器是一种方便实用的计算工具，用计算器进行比较复杂的数的计算，比笔算要快捷得多．操作方法可参见计算器的使用说明．
小结
对这节课全部知识点的回顾不是教师单纯地总结，而是让学生在思考回答的过程中自己把整节内容进行了梳理，并且上升到了用字母表示的数学式子，逐步培养学生用数学语言表达数学规律的能力．
教案B
第1课时
教学内容
1.4.1 有理数的乘法．
教学目标
1．经历探索有理数乘法法则过程，发展观察、归纳、猜想、验证等能力．
2．会进行有理数的乘法运算．
教学重点
应用法则正确地进行有理数乘法运算．
教学难点
两负数相乘，积的符号为正与两负数相加，和为负号混淆．
教学过程
一、复习导入
前面我们已经学习了有理数的加法运算和减法运算．今天我们开始时学习乘法运算．
问：有理数包括哪些数？
答：有理数包括正数、负数和零，或正整数、正分数、负整数、负分数和零．
二、新课教学
问题1 一只小虫沿一条东西向的跑道，以每分钟3米的速度向东爬行2分钟，那么它现在位于原来的位置的那个方向，相距多少米
我们知道，这个问题可用乘法来解答：
3×2＝6
即小虫位于原来位置的东方6米处．
注意：这里我们规定向东为正，向西为负．如果上述问题变为：
问题2 小虫向西以每分钟3米的速度爬行2分钟，那么结果有何变化 这也不难，写成算式就是：
(－3)×2＝－6
即小虫位于原来位置的西方6米处．
比较上面两个算式，有什么发现
当我们把“3×2＝6”中的一个因数“3”换成它的相反数“－3”时，所得的积是原来的积“6”的相反数“－6”，一般地，我们有：
把一个因数换成它的相反数，所得的积是原来的积的相反数．
试一试：
3×(－2)＝？
与3×2＝6相比较，这里把一个因数“2”换成了它的相反数“－2”，所得的积是原来的积“6”的相反数“－6”，即
3×(－2)＝－6．
再试一试：(－3)×(－2)＝
把上式与(－3)×2＝－6对比，这里把一个因数“2”换成了它的相反数“－2”，所得的积是原来的积“－6”的相反数“6”，即(－3)×(－2)＝6．
此外，如果有一个因数是0时，所得的积还是0，如(－3)×0＝0、0×2＝0．
概括：综合以上各种情况，我们有有理数乘法法则：
两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对植相乘．
任何数同0相乘，都得0．
例如，(－5)×(－3)，··························同号两数相乘
(－5)×(－3)＝＋( )，············· ·········得正
5×3＝15，································把绝对值相乘
所以 (－5)×(－3)＝15．
又如，(－7)×4，································异号两数相乘
(－7)×4＝－( )，·····························得负
7×4＝28，································把绝对值相乘
所以 (－7)×4＝－28．
例1 计算：
（1）(－3)×9； （2）8×(－1)； （3）(－)×(－2)．
解：（1）(－3)×9＝－27；
（2）8×(－1)＝－8；
（3）(－)×(－2)＝1．
例2 用正负数表示气温的变化量，上升为正，下降为负．登山队攀登一座山峰，每登高1 km气温的变化量为－6℃，攀登3 km后，气温有什么变化？
解:(－6)×3＝－18．
答：气温下降18℃．
三、练习
教科书第30页练习1、2、3．
四、作业
教科书第37页习题1.4第1、2题第38页第3题．
第2课时
教学内容
1.4.1 有理数的乘法．
教学目标
1．使学生掌握有理数乘法的法则．
2．使学生探索有理数乘法的的运算律，并能灵活运用乘法运算律进行有理数的乘法运算，使之计算简便．
教学重点
熟练运用运算律进行计算．
教学难点
灵活运用运算律．
教学过程
一、复习导入
1．有理数的乘法法则是什么？
2．如何进行有理数的乘法运算？
3．小学里正有理数乘法有哪些运算律？
二、新课教学
观察下列各式，你能发现几个正数与负数相乘，积的符号与各因数的符号之间的关系吗
2×3×4×(－5)，
2×3×(－4)×(－5)，
2×(－3)×(－4)×(－5)，
(－2)×(－3)×(－4)×(－5)．
一般地，我们有：几个不是0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定．负因数的个数是偶数时，积是正数；负因数的个数是奇数时，积是负数．
几个不是0的数相乘，首先确定积的符号，然后把绝对值相乘．
试一试：
(－5)×(－)×3×(－5)×2＝？
(－5)×(－8.1)×3.14×0＝？
几个数相乘，如果其中有因数为0，那么积等于0．
例3 计算：
（1）8＋(－0.5)×(－8)×； （2）(－3)××(－)×(－0.25)．
解：（1）8＋(－0.5)×(－8)×＝8＋××8＝8＋3＝11；
（2）(－3)××(－)×(－0.25)＝－3×××＝．
我们再看下面的例子：
(－3)×2＝－6，
2×(－3)＝－6，
即
(－3)×2＝2×(－3)．
一般地，有理数乘法中，两个数相乘，交换因数的位置，积不变．
乘法交换律：ab＝ba．
又如，[3×(－4)]×(－5)＝(－12)×(－5)＝60，
3×[(－4)×(－5)]＝3×20＝60，
即
[3×(－4)]×(－5)＝3×[(－4)×(－5)]．
一般地，有理数乘法中，三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等．
乘法结合律：(ab)c＝a(bc)．
想一想：
［(－3)×(－2)］×5与(－2)×［(－3)×5］是否相等
根据乘法交换律和结合律可以推出：三个以上有理数相乘，可以任意交换乘数的位置，也可以先把其中的几个数相乘．
我们知道，在含有加减乘的算式中，要先算乘，后算加减，有括号时，先算括号里面的．
计算：(－10)××0.1×6．
解：(－10)××0.1×6＝[(－10)×0.1]×(×6)＝(－1)×2＝－2．
再如，
5×[3＋(－7)]＝5×（－4）＝－20；
5×3＋5×(－7)＝15－35＝－20，
即
5×[3＋(－7)]＝5×3＋5×(－7)．
一般地，有理数乘法中，一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加．
分配率：a(b＋c)＝ab＋ac．
三、小结
本节课我们探索了有理数乘法的交换律、结合律和分配律，并且通过观察实例，归纳出几个不等于零的数相乘，积的符号有负因数的个数确定，当负因数为奇数个时，积为负；当负因数为偶个时，积为正，几个不等于0的数相乘，先确定积的符号，再把绝对值相乘，几个数相乘，有一个因数为0，积就为0．
在进行有理数乘法运算时，不仅要正确使用运算法则，还要会灵活运用运算律，这样可使计算更简便，但在运用运算律时，要注意符号的变化，使计算更准确．
第3课时
教学内容
1.4.2 有理数的除法．
教学目标
1．了解有理数除法的意义，掌握有理数除法法则，会进行有理数的除法运算．
2．理解有理数倒数的意义，能熟练地进行有理数加减乘除混合运算．
教学重点
探索除法法则的过程，正确运用法则进行有理数的混合运算．
教学难点
对零不能作除数与零没有倒数的理解及乘法与除法的互化，如何根据不同的情况选取适当的方法解题．
教学过程
一、问题导入
你能计算(－10)÷2吗？请根据你的结果解释你的结果的合理性．
学生有可能顺利解答出该题，此时要求学生进行解释结果的合理性，学生进一步思考会发现，由于除法是乘法的逆运算，也就是求一个数“？”使(？)×2＝－10，显然有：－5×2＝－10，于是(－10)÷2＝－5，另外－10×＝－5，因此(－10)÷2＝－10×．
二、新课教学
1．根据以上发现你能计算下列问题吗？在计算过程中，你能发现什么规律吗？
（1）(－36)÷9； （2）(－)÷(－)； （3）0÷(－1.5)．
学生独立思考，自主探究，主要是对规律的发现，让学生充分表述，逐步完善看法，最后学生进行归纳有理数的除法法则．
归纳：除以一个不为零的数等于乘以这个数的倒数，用数学式子表示：
a÷b＝a×(b≠0)．
对比有理数的乘法法则进行归纳．
两数相除同号得正，异号得负，并把绝对值相除，0除以任何一个不等于0的数都得0．
2．化简下列分数，你能从中发现什么？
（1）； （2）．
解：（1）＝－12÷3＝－4；
（2）＝－45÷（－12）＝．
归纳：化简分数时，可以把分数线理解为除法运算，然后再进行除法运算即可．
3．计算下列各题，对（3）（4）（5）的解决，从中你能发现什么？
（1）(－36)÷9； （2）(－125)÷(－5)；
（3）－2.5÷×(－)； （4）(－12)÷(－4)÷(－)；
（5）(－)×(－)÷(－0.25)．
学生计算后，进行归纳，必要时可小组讨论．
归纳：乘除是同级运算，应该从左到右进行运算，若化为乘法运算则可以利用乘法交换率计算．
4．计算下列各题，从中你能发现什么？
（1）3＋2×(－)； （2）－7－2×(－3)＋(－6)÷(－)；
（3）(－3)×[]．
在有理数加减乘除混合运算时，若没有括号，则按照“先乘除，后加减”的顺序进行，若有括号则遵循“先计算小括号内的、再计算中括号内的、再计算大括号内的”的顺序进行计算．
注意：15÷(－3)×5＝(－5)×5＝－25，而不是15÷(－15)＝－1．
三、实例探究
某公司去年1~3月平均每月亏损1.5万元，4~6月平均每月盈利2万元，7~10月平均每月盈利1.7万元，11~12月平均每月亏损2.3万元．这个公司去年总的盈亏情况如何？
分析：用正负数表示相反意义的量，然后再利用有理数的乘法和加法进行解决问题．
解：记盈利额为正数，亏损额为负数．公司去年全年盈亏额(单位：万元)为
(－1.5)×3＋2×3＋1.7×4＋(－2.3)×2
＝－4.5＋6＋6.8－4.6＝3.7．
答：这个公司去年全年盈利3.7万元．
四、小结
1．有理数的除法法则(两个)．
2．有理数的混合运算(运算顺序)．
五、作业
教科书第38页习题1.4第4、5、6、8题．
12
11