德阳市部分中学2022-2023学年高二上学期9月入学考试
数学 教师版
说明：
1.本试卷分为第Ⅰ卷和第Ⅱ卷，共4页.考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试卷、草稿纸上答题无效.考试结束后，将答题卡交回.
2.本试卷满分150分，120分钟完卷.
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题（共12个小题，每小题5分，每小题只有一个正确选项，请将正确选项填在答题卷上）
1. 设集合，集合，，则集合
A． B． C． D．
【答案】C
2. 若点在圆外，则实数m的取值范围是（ ）
A． B． C．（－2，0） D．（0，2）
【答案】B
3. 若，满足，则的最大值为（ ）．
A．1 B．3 C．4 D．6
【答案】D
4. 已知数列的前n项和为，且．若，则（ ）．
A．140 B．280 C．70 D．420
【答案】B
5. 如果轴截面为正方形的圆柱的侧面积是，那么圆柱的体积等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
6. 在锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，设，，则x，y的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
7. 如图，在正方体中，点E为棱的中点，则异面直线AC与DE所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
8. 已知一个空间几何体的三视图如图，根据图中标出的尺寸（单位：cm），可得这个几何体的体积是（ ）
A．cm B． 5cm
C．6 cm D．7 cm
【答案】A【详解】由三视图可知，几何体底面为直角梯形,一条侧棱垂直底面的四棱锥,如图，所以四棱锥的体积为： ,
9. 如图，的外接圆圆心为O，，，则（ ）
A． B． C．3 D．2
【答案】A
10. 已知直线和圆，点在直线上，若直线与圆至少有一个公共点，且，则点的横坐标的最大值是（ ）
A． B．1 C．3 D．4
【答案】D【详解】由圆，可得，
所以圆心，半径，设，由题意知圆心到直线的距离，即，解得，故点的横坐标的最大值为4.
11. 若圆关于直线对称，由点向圆C作切线，切点为A，则的最小值是（ ）
A．6 B．4 C．3 D．2
【答案】B【详解】由题意知，直线过圆心，即，
化简得在上，
如图，为使最小，只需圆心与直线上的点的距离最小，
如图所示：所以的最小值为，
12. 定义在R上的偶函数满足对任意的，都有 ，当时，，若函数在上恰有3个零点，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A【详解】因为为偶函数，所以，由得为的一条对称轴，由得，
所以的周期为4，若函数在上恰有3个零点，即与的图象交点恰有3个，画出与的图象，
当与的上半圆相切时，与的图象交点恰有2个，此时，解得，当与的上半圆相切时，与的图象的交点恰有4个，此时，解得，所以若函数在上恰有3个零点，则.
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题（共4小题，每小题5分，请将正确答案填在答题卡相应位置）
13. 已知一个圆锥的侧面积为，若其左视图为正三角形，则该圆锥的体积为________.
【答案】【详解】由题设，令圆锥底面半径为，则体高为，母线为，
所以，则，故圆锥的体积为.
14. 已知圆，则过原点且与相切的直线方程为______.
【答案】或
15. 将函数的图象向左平移个单位长度，得到一个偶函数图象，则________．
【答案】【详解】向左平移个单位长度后得到偶函数图象，即关于轴对称
关于对称 即：
16． 平面向量满足，则与夹角的最大值为
【详解】解：∵；∴；
∴；∴；
∴；∵；∴；
∴与夹角的最大值为．
三、解答题（共6个大题，17题10分，其余各题12分，请将每个题的详细步骤答在答题卡相应的位置，共70分）
17. 在三角形ABC中，三个顶点的坐标分别为，，，且D为AC的中点.
(1)求三角形ABC的外接圆M方程；
(2)求直线BD与外接圆M相交产生的相交弦的长度.
解：(1)根据题意，易知是以BC为斜边的直角三角形，故外接圆圆心是B，C的中点，半径为BC长度的一半为，故三角形ABC的外接圆M方程为.
(2)因为D为AC的中点，所以易求.故直线BD的方程为，
圆心到直线的距离，故相交弦的长度为.
18. 已知数列的前n项和为，且是和1的等差中项，等差数列满足，．
(1)求数列，的通项公式；
(2)设，数列的前n项和为，求的取值范围．
解：（1）∵是和1的等差中项，∴，
当时，，∴,
当时，，∴，即,
∴数列是以为首项，2为公比的等比数列，∴，，
设的公差为d，，，∴，
∴；
（2）∵，
∴，∵，
∴，
19.如图，已知直三棱柱中，，，，，，分别为棱，的中点， 为线段的中点
（1）试在图中画出过，，三点的平面截该棱柱所得的多边形，并求出该多边形的周长；
（2）该截面分三棱柱成两部分，求其中较小那部分几何体的体积.
解：（1）如图所示：取中点，连接、、，
则，即四点共面，则梯形为所求截面的多边形.
则，，
，
，所以该多边形的周长为.
（2）连接，，，
，而，
所以其中较小那部分几何体的体积为 .
20.在中，角所对的边为，已知.
(1)求；
(2)设的平分线与交于点，求的长.
解：（1）由得 ，再由正弦定理和余弦定理得
把代入得所以；
（2）由余弦定理可得 ，因为是角的平分线， ,，
所以，所以.在中，，
所以.
21. 已知数列各项都是正数，，对任意都有.数列满足，.
(1)求数列，的通项公式；
(2)数列满足，数列的前项和为，若不等式对一切恒成立，求的取值范围.
解：（1）数列各项都是正数，，对任意都有，①
当时，，②
①－②可得，化为，
因为，所以解得，
由于，满足，
所以数列是以1为首项，2为公比的等比数列，所以；
数列满足，，可得，
则是首项为1、公差为1的等差数列，可得，则；
（2），
则，
，
两式相减可得，
化为，
对一切恒成立，
即为对一切恒成立.
设，，
当时，；当时，，
当时，，所以，即为递减数列，
可得为最大值，所以.可得的取值范围是.
22. 已知定点，动点满足，设动点P的轨迹为曲线，直线．
(1)求曲线的轨迹方程．
(2)若，是直线上的动点，过作曲线的两条切线QM，QN，切点分别为，判断直线是否过定点．若过定点，写出定点的坐标；若不过定点，请说明理由．
解：（1）设点的坐标为，因为，所以，
化简，得，所以曲线的轨迹方程为；
（2）由题意，可知，，所以点都在以线段为直径的圆上，
又是直线上的动点，设，所以以线段为直径的圆心为，
所以圆的方程为，即，
因为点在曲线上，所以，可得，
所以直线的方程为，即，由，得，
所以直线过定点．德阳市部分中学2022-2023学年高二上学期9月入学考试
数学
说明：
1.本试卷分为第Ⅰ卷和第Ⅱ卷，共4页.考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试卷、草稿纸上答题无效.考试结束后，将答题卡交回.
2.本试卷满分150分，120分钟完卷.
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题（共12个小题，每小题5分，每小题只有一个正确选项，请将正确选项填在答题卷上）
1. 设集合，集合，，则集合
A． B． C． D．
2. 若点在圆外，则实数m的取值范围是（ ）
A． B． C．（－2，0） D．（0，2）
3. 若，满足，则的最大值为（ ）．
A．1 B．3 C．4 D．6
4. 已知数列的前n项和为，且．若，则（ ）．
A．140 B．280 C．70 D．420
5. 如果轴截面为正方形的圆柱的侧面积是，那么圆柱的体积等于（ ）
A． B． C． D．
6. 在锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，设，，则x，y的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
7. 如图，在正方体中，点E为棱的中点，则异面直线AC与DE所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
8. 已知一个空间几何体的三视图如图，根据图中标出的尺寸（单位：cm），可得这个几何体的体积是（ ）
A．cm B． 5cm C．6 cm D．7 cm
9. 如图，的外接圆圆心为O，，，则（ ）
A． B． C．3 D．2
10. 已知直线和圆，点在直线上，若直线与圆至少有一个公共点，且，则点的横坐标的最大值是（ ）
A． B．1 C．3 D．4
11. 若圆关于直线对称，由点向圆C作切线，切点为A，则的最小值是（ ）
A．6 B．4 C．3 D．2
12. 定义在R上的偶函数满足对任意的，都有 ，当时，，若函数在上恰有3个零点，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题（共4小题，每小题5分，请将正确答案填在答题卡相应位置）
13. 已知一个圆锥的侧面积为，若其左视图为正三角形，则该圆锥的体积为________.
14. 已知圆，则过原点且与相切的直线方程为______.
15. 将函数的图象向左平移个单位长度，得到一个偶函数图象，则________．
16． 平面向量满足，则与夹角的最大值为
三、解答题（共6个大题，17题10分，其余各题12分，请将每个题的详细步骤答在答题卡相应的位置，共70分）
17. 在三角形ABC中，三个顶点的坐标分别为，，，且D为AC的中点.
(1)求三角形ABC的外接圆M方程；
(2)求直线BD与外接圆M相交产生的相交弦的长度.
18. 已知数列的前n项和为，且是和1的等差中项，等差数列满足，．
(1)求数列，的通项公式；
(2)设，数列的前n项和为，求证： .
19.如图，已知直三棱柱中，，，，，，分别为棱，的中点， 为线段的中点
（1）试在图中画出过，，三点的平面截该棱柱所得的多边形，并求出该多边形的周长；
（2）该截面分三棱柱成两部分，求其中较小那部分几何体的体积.
20.在中，角所对的边为，已知.
(1)求；
(2)设的平分线与交于点，求的长.
21. 已知数列各项都是正数，，对任意都有.数列满足，.
(1)求数列，的通项公式；
(2)数列满足，数列的前项和为，若不等式对一切恒成立，求的取值范围.
22. 已知定点，动点满足，设动点P的轨迹为曲线，直线．
(1)求曲线的轨迹方程．
(2)若，是直线上的动点，过作曲线的两条切线QM，QN，切点分别为，判断直线是否过定点．若过定点，写出定点的坐标；若不过定点，请说明理由．
