数学人教A版(2019）数学选择性必修第一册3.2.2双曲线的简单几何性质（1）同步训练（有答案）

3.2.2　双曲线的简单几何性质（1）（同步训练）
一、选择题
1.双曲线－＝1的焦点坐标是(　　)
A．(±，0) B．(0，±)
C．(±7,0) D．(0，±7)
2.与双曲线x2－＝1有共同的渐近线，且过点(2,2)的双曲线的标准方程是(　　)
A．－＝1 B．－＝1 C．－＝1 D．－＝1
3.双曲线mx2＋y2＝1的虚轴长是实轴长的2倍，则m等于(　　)
A．－ B．－4
C．4 D．
4.设双曲线－＝1(a＞0)的渐近线方程为3x±2y＝0，则a的值为(　　)
A．4 B．3
C．2 D．1
5.双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的一个焦点为F(2,0)，且双曲线的渐近线与圆(x－2)2＋y2＝3相切，则双曲线的方程为(　　)
A．－＝1 B．－＝1
C．－y2＝1 D．x2－＝1
6.若椭圆＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，则双曲线－＝1的渐近线方程为(　　)
A．y＝±x B．y＝±x
C．y＝±x D．y＝±x
7.已知双曲线－＝1(b＞0)的左、右焦点分别是F1，F2，其一条渐近线方程为y＝x，点P(，y0)在双曲线上，则·＝(　　)
A．0 B．1 C． D．2
8.(多选)已知双曲线9y2－4x2＝－36，则(　　)
A．该双曲线的实轴长为6 B．该双曲线的虚轴长为4
C．该双曲线的离心率为 D．该双曲线的渐近线方程为±x
9.(多选)下列说法正确的是(　　)
A.以直线2x±3y＝0为渐近线，过点(1,2)的双曲线的标准方程为－＝1
B.与双曲线－＝1具有相同的渐近线，且过点M(3，－2)的双曲线的标准方程为－＝1
C.过点(2,0)，与双曲线－＝1离心率相等的双曲线的标准方程为－y2＝1
D.与椭圆＋＝1有公共焦点，离心率为的双曲线的标准方程为－＝1
二、填空题
10.双曲线＋＝1的离心率e∈(1,2)，则k的取值范围是__________
11.双曲线的离心率为，则双曲线的两条渐近线的夹角为________
12.具有某种共同性质的所有曲线的集合，称为一个曲线系．已知双曲线C1：－＝1与双曲线C2有共同的渐近线，双曲线C2的渐近线方程是__________；若双曲线C2还经过点M(，4)，则双曲线C2的离心率为__________
13.如图，已知F是双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的左焦点，E是该双曲线的右顶点，过F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，若△ABE是锐角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围是________
三、解答题
14.已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的一个焦点是F(2,0)，离心率e＝2．
(1)求双曲线C的方程；
(2)若斜率为1的直线与双曲线C交于两个不同的点M，N，线段MN的垂直平分线与两坐标轴围成的三角形面积等于4，求直线l的方程．
15.双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的左顶点为A，右焦点为F，动点B在C上，当BF⊥AF时，|AF|＝|BF|．
(1)求双曲线C的离心率；
(2)若点B在第一象限，求证：∠BFA＝2∠BAF．
参考答案：
一、选择题
1.C 2.A 3.A 4.C 5.D 6.C 7.A 8.ABCD 9.ABC
二、填空题
10.答案：(－12,0) 11.答案：90° 12.答案：y＝±x，2 13.答案：(1,2)
三、解答题
14.解：(1)由已知得c＝2，e＝2，∴a＝1，b＝．∴双曲线C方程为x2－＝1．
(2)设直线l的方程为y＝x＋m，点M(x1y1)，N(x2，y2)．
联立得2x2－2mx－m2－3＝0，①
设MN中点为(x0，y0)，则x0＝＝，y0＝x0＋m＝m，
∴线段MN的垂直平分线方程为y－m＝－，即x＋y－2m＝0，
与坐标轴交点为(0,2m)，(2m,0)，得 |2m|·|2m|＝4，则m2＝2，即m＝±，
代入①得Δ＞0，所以l的方程为y＝x±．
15.(1)解：设双曲线的半焦距为c，则F(c,0)，B．
∵|AF|＝|BF|，故＝a＋c，故c2－ac－2a2＝0，即e2－e－2＝0．∴e＝2．
(2)证明：设B(x0，y0)，其中x0＞a，y0＞0．
∵e＝2，故c＝2a，b＝a．故渐近线方程为y＝±x，
∴∠BAF∈，∠BFA∈．
又∵tan∠BFA＝－＝－，tan∠BAF＝，
∴tan 2∠BAF＝＝＝－＝tan∠BFA．
而2∠BAF∈，故∠BFA＝2∠BAF．