2023届高三摸底考试新高考卷
数学试卷
0908
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交。
考试时间为120分钟，满分150分
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设集合，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知复数z满足，其中i为虚数单位，则z的共轭复数的虚部为（ ）
A． B． C． D．
3．黄金分割（GoldenSection）是一种数学上的比例关系．黄金分割具有严格的比例性、艺术性、和谐性，蕴藏着丰富的美学价值．应用时一般取0.618，就像圆周率在应用时取3.14一样．高雅的艺术殿堂里，自然也留下了黄金数的足迹．人们还发现，一些名画、雕塑、摄影作品的主题，大多在画面的0.618处．艺术家们认为弦乐器的琴马放在琴弦的0.618处，能使琴声更加柔和甜美．黄金矩形（GoldenRectangle）的长宽之比为黄金分割率，换言之，矩形的长边为短边1.618倍．黄金分割率和黄金矩形能够给画面带来美感，令人愉悦．在很多艺术品以及大自然中都能找到它．希腊雅典的巴特农神庙就是一个很好的例子，达·芬奇的《维特鲁威人》符合黄金矩形．《蒙娜丽莎》中蒙娜丽莎的脸也符合黄金矩形，《最后的晚餐》同样也应用了该比例布局．2000多年前，古希腊雅典学派的第三大算学家欧道克萨斯首先提出黄金分割．所谓黄金分割，指的是把长为L的线段分为两部分，使其中一部分对于全部之比，等于另一部分对于该部分之比，黄金分割比为．其实有关“黄金分割”，我国也有记载，虽没有古希腊的早，但它是我国数学家独立创造的．如图，在矩形中，相交于点O，，则（ ）
A． B．
C． D．
4．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，它将正四棱台体（棱台的上下底面均为正方形）称为方亭．如图，现有一方亭，其中上底面与下底面的面积之比为1∶4，方亭的高，方亭的四个侧面均为全等的等腰梯形，己知方亭的体积为，则该方亭的表面积为（ ）
A． B． C． D．
5．从属于区间的整数中任取两个数，则至少有一个数是合数的概率为（ ）
A． B． C． D．
6．已知函数的图象过点，，，且在上仅有1个极值点，若在区间上恒成立，则实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
7．设，则（ ）
A． B． C． D．
8．在中，，点M、N分别在边、上移动，且，沿将折起来得到棱锥，则该棱锥的体积的最大值是（ ）
A． B． C． D．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．如图，在棱长为1的正方体中（ ）
A．与的夹角为 B．二面角的平面角的正切值为
C．与平面所成角的正切值 D．点D到平面的距离为
10．已知函数，则（ ）
A．有三个零点 B．有两个极值点
C．点是曲线的对称中心 D．直线在点处与曲线相切
11．已知抛物线过点，过点的直线交抛物线于M，N两点，点N在点M右侧，若F为焦点，直线分别交抛物线于P，Q两点，则（ ）
A． B．
C．A，P，Q三点共线 D．
12．已知函数及其导函数的定义域均为R，记．若，均为偶函数，则（ ）
A． B． C． D．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．若的展开式中的常数项为，则实数a的值为___________．
14．已知函数（其中e是自然对数的底数），若在平面直角坐标系中，所有满足的点都不在直线l上，则直线l的方程可以是___________（写出满足条件一个直线的方程即可）．
15．已知函数满足，当，若在区间内，函数有三个不同零点，则实数a的取值范围是___________．
16．把半椭圆与圆弧合成的面线称作“角圆”，其中F为半椭圆的右焦点，A是圆弧与x轴的交点，过点F的直线交“曲圆”于P，Q两点，则的周长取值范围为___________．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（10分）
已知为数列的前n项和，是公差为1的等差数列．
（1）求的通项公式；
（2）证明：．
18．（12分）
在中，．
（1）求A；
（2）若的内切圆半径，求的最小值．
19．（12分）
如图，在三棱柱中，为等边三角形，面积为．
（1）若三棱柱的体积为，求点C到平面的距离；
（2）若且面，求二面角的余弦值．
20．（12分）
当今世界环境污染已经成为各国面临的一大难题，其中大气污染是目前城市急需应对的一项课题．某市号召市民尽量减少开车出行以绿色低碳的出行方式支持节能减排．原来天天开车上班的王先生积极响应政府号召，准备每天从骑自行车和开车两种出行方式中随机选择一种方式出行．从即日起出行方式选择规则如下：第一天选择骑自行车方式．上班，随后每天用“一次性抛掷4枚均匀硬币”的方法确定出行方式，若得到的正面朝，上的枚数小于3，则该天出行方式与前一天相同，否则选择另一种出行方式．
（1）求王先生前三天骑自行车上班的天数X的分布列；
（2）由条件概率我们可以得到概率论中一个很重要公式-全概率公式．
其特殊情况如下：如果事件相互对立并且，则对任一事件B有．设表示事件“第n天王先生上班选择的是骑自行车出行方式”的概率．
①用表示；
②请问王先生的这种选择随机选择出行方式有没有积极响应该市政府的号召？请说明理由．
21．（12分）
在一张纸上有一圆，定点，折叠纸片C上的某一点恰好与点M重合，这样每次折叠都会留下一条直线折痕，设折痕与直线的交点T．
（1）证明：为定值，并求出点T的轨迹的轨迹方程；
②若曲线上一点P，点A，B分别为在第一象限上的点与在第四象限上的点，若，求面积的取值范围．
22．（12分）
已知和有相同的最大值．
（1）求a的值；
（2）求证：存在直线与两条曲线和共有三个不同的交点且，使得成等比数列．
2023届高三摸底考试新高考卷
数学试卷
0908
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．【答案】A
【分析】由集合交集的定义计算即可．
【详解】由解得，所以，
所以
所以．
故选：A．
2．【答案】D
【分析】先利用复数的除法求出复数z，利用共轭复数的概念可得出复数，由此可得出复数的虚部．
【详解】因为，
所以
所以，
，
因此，复数的虚部为．
故选：D．
3．【答案】D
【分析】利用平面向量的线性运算和平面向量基本定理即可求解．
【详解】解：∵，显然，
所以，
∴，
∵，
∴，
故选：D．
4．【答案】A
【分析】先由棱台的体积求出，再由棱台的表面积公式求解即可．
【详解】由题意得，，则方亭的体积为，
解得，则，画出的平面图，作于M，，
则，则该方亭的表面积为．
故选：A．
5．【答案】B
【分析】根据至少一个合数分两类考虑：只有一个合数和两个都是合数，即可根据组合进行求解．
【详解】区间内的整数共有9个，则合数有4，6，8，9，10，故至少有一个是合数的概率为
故选：B．
6．【答案】C
【分析】利用三角函数的图像性质，分别代入，即可求出，进而利用数形结合，即可求出实数a的取值范围．
【详解】函数的图象过点，可得，整理得，，且，∴
在上仅有1个极值点，则，∴
综上，可得，又由于，得，则函数为，由于函数经过，可得，该函数为，因为在区间上恒成立，所以，，则有，且，解得，故
故选：C．
7．【答案】A
【分析】根据给定数的特征，构造对应的函数，借助导数探讨单调性比较函数值大小作答．
【详解】令函数，
显然，则，
令，
求导得，即在上单调递减，
，即，
因此当时，，
取，则有，
令，
令，
在上单调递减，
，有，则在上单调递增，
，因此当时，，
取，则有，
所以．
故选：A．
8．【答案】C
【分析】根据题意，可得的具体形状，由折叠，可得当面面时，此时的点B到底面的距离最大，设，将四棱锥中底面积和高，都用x表示出来，整理出体积的函数，利用导数求最值，可得答案．
【详解】由得，由余弦定理得，
则是直角三角形，C为直角，对的任何位置，当面面时，此时的点B到底面的距离最大，此时即为与底面所成的角，
设，
在中，，
点B到底面的距离，
则
，
令，解得，可得下表：
x
+ 0 -
极大值
故当时，该棱锥的体积最大，为．
故选：C．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．【答案】BCD
【分析】建立空间直角坐标系，利用坐标法逐项判断即得．
【详解】如图建立空间直角坐标系，
则，
∴，即与的夹角为，故A错误；
设平面的法向量为，
所以，令，则，
平面的法向量可取，二面角的平面角为，
则，所以，故B正确；
因为，设与平面所成角为，
则，故C正确；
因为，设点D到平面的距离为d，则，故D正确．
故选：BCD．
10．【答案】BCD
【分析】结合的单调性、极值可判断A；利用极值点的定义可判断B，利用平移可判断C；利用导数的几何意义判断D．
【详解】对B，由题，，令得或，
令得，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以是极值点，故B正确；
对A，由的单调性，且因极大值，
所以，函数在定义域上有且仅有一个零点，故A错误；
对C，令，该函数的定义域为R，，
则是奇函数，是的对称中心，
将的图象向下移动一个单位得到的图象，
所以点是曲线的对称中心，故C正确；
对D，因为，且，故当切点为时，切线方程为，即，故D正确．
故选：BCD．
11．【答案】AC
【分析】设直线方程联立抛物线方程消参，利用定义表示出，然后由韦达定理和解不等式可判断A；用坐标表示出，利用韦达定理表示后，由m的范围可判断B；设直线，借助韦达定理表示出P点坐标，同理可得Q点坐标，然后由斜率是否相等可判断C；根据M和P的横坐标关系，结合斜率可判断D．
【详解】因为抛物线过点，
所以，所以抛物线方程为
设
设过点的直线方程为，代入整理得：
则，即或
又
由定义可知，，
所以，故A正确；
所以
又，故B错误；
记
设直线方程为，代入整理得：
则，同理可得
因为
，所以A，P，Q三点共线，C正确；
因为，所以
由上可知，直线的斜率，所以，所以，D错误．
故选：AC．
12．【答案】BD
【分析】由上下平移均满足题设即可判断A选项；由得即可判断B选项；由函数的轴对称以及中心对称即可判断C、D选项．
【详解】对于A，令，定义域为R，则，
，
又，则，显然也满足题设，即上下平移均满足题设，显然的值不确定，A错误；
对于B，，则，即，
，令可得，则，B正确；
对于C，由即，则，令，
显然满足要求，则关于对称，又可得关于对称，则，C错误；
对于D，由可得关于对称，则；由可得关于对称，
则，D正确．
故选：BD．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．【答案】1
【详解】的通项公式为，则：
①，为常数时，则常数为，
②，为常数时，不符，
③，为常数时，则常数为，又．
故答案为：1．
14．【答案】（不唯一）
【分析】由函数解析式可得函数关于点中心对称，据此及函数为增函数由可得，据此求出满足条件的直线即可．
【详解】在R上单调递增，
∵，∴，
∴曲线关于点中心对称，
∴，
在平面直角坐标系中，所有满足即的点都不在直线l上．
所以，直线l上的点都满足，即直线l在表示的半平面内，
故直线l斜率为，纵截距小于等于2，如等．
故答案为：（不唯一）
15．【答案】
【分析】根据题意得到画出函数图像，计算直线与函数相切和过点时的斜率，根据图像得到答案
【详解】函数满足，当，
所以当，
故，，∴，
画出函数图像，如图所示，观察图像可知，要使函数有三个不同零点，则直线应在图中的两条虚线之间，上方的虚线为直线与相切时，下方的虚线是直线经过点时，
当直线与相切时，
，设切点为，则斜率，∴，∴，
此时，
当直线过点时，，
故答案为：
16．【答案】
【分析】首先判断直线的斜率不能为0，设直线的倾斜角为，求得F，A的坐标，以及圆的圆心和半径，求得直线经过圆与y轴的交点B，C的倾斜角，分别讨论①当时，②当时，③当时，P，Q的位置，结合椭圆的定义和圆的定义和等腰三角形的性质，可得的周长的范围．
【详解】解：显然直线的斜率不能为0，设直线的倾斜角为，，
由半椭圆方程为可得，
圆弧方程为：的圆心为，半径为2，
且恰为椭圆的左焦点，，
与y轴的两个交点为，
当直线经过B时，，即有；
当直线经过C时，，即有．
①当时，Q、P分别在圆弧：、半椭圆上，
为腰为2的等腰三角形，则，
的周长；
②当时，P、Q分别在圆弧：、半椭圆上，
为腰为2的等腰三角形，且，
的周长；
③当时，P、Q在半椭圆上，
的周长．
综上可得，的周长取值范围为．
故答案为：．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．【答案】（1）；
（2）证明见解析．
【分析】（1）求出给定的等差数列通项公式，再利用前n项和求通项的方法求解作答；
（2）利用（1）的结论，结合裂项相消法求解作答．
（1）因是公差为1的等差数列，而，则，因此，即，
当时，满足上式，
所以的通项公式是．
（2）由（1）知：，
所以．
18．【答案】（1）；
（2）．
【分析】（1）根据已知条件、三角形的内角和定理及两角和的正弦公式，再结合解三角方程即可求解。
（2）由题意可知，利用三角形的等面积法及余弦
定理得出含有和的关系式，再利用基本不等式的变形即可求得的最小值．
（1）在中，，
整理得，即，于是
所以，
因为，所以，即，
所以，又因为，所以，
所以，解得．
所以．
（2）令，（1）知．
由，得，即，
由余弦定理及（1）知，得，
所以，
即，
于是
当且仅当时取等号
所以，∴
∴或，
又的内切圆半径，∴，
∴的最小值为．
19．【答案】（1） （2）
【分析】（1）根据，结合棱锥的体积公式求解即可；
（2）根据勾股定理可证明，进而以C为坐标原点，分别为x，y，z轴建系，再求解平面的法向量，根据二面角的向量求法求解即可
（1）因为三棱柱的体积为，故．设C到平面的距离为d，则，故
（2）因为为等边三角形，所以．
由平面平面平面，得．
在中，由勾股定理易知
又因为，所以
以C为坐标原点，分别为x，y，z轴建系．
设平面的法向量
∴
不妨设，则，
平面的法向量取．
设二面角的平面角为
则
又因为二面角为锐二面角，
所以二面角的余弦值为
20．【答案】（1）分布列答案见解析；（2）①；②王先生积极响应该市政府的号召，理由见解析．
【分析】（1）设一次性抛掷4枚均匀的硬币得到正面向上的枚数为，先算出和
再根据得到的正面朝上的枚数小于3，则该天出行方式与前一天相同分析即可：
（2）设表示事件“第天王先生选择的是骑自行车出行方式”，表示事件“第n天王先生选择的是骑自行车出行方式”，由全概率公式知，带入相关量即可求出递推关系式，再通过构造法求出通项公式，再说明即可．
【详解】（1）设一次性抛掷4枚均匀的硬币得到正面向上的枚数为，则，
，
由已知随机变量X的可能取值为1，2，3；
；
；
．
所以随机变量X的分布列为
X 1 2 3
P
（2）①设表示事件“第天王先生选择的是骑自行车出行方式”，表示事件“第n天王先生选择的是骑自行车出行方式”，由全概率公式知．
所以．
②由①知，
又，所以数列是首项为，公比为的等比数列，
所以．
因为恒成立，所以王先生每天选择骑自行车出行方式的概率始终大于选择开车出行方式，从长期来看，王先生选择骑自行车出行方式的次数多于选择开车出行方式的次数是大概率事件，所以王先生积极响应该市政府的号召．
21．【答案】（1）证明见解析，
（2）
【分析】（1）根据对称关系得到，利用双曲线定义得到点T的轨迹为以C，M为焦点，实轴长为6的双曲线，求出轨迹方程；（2）设出，利用得到，代入双曲线方程中得到从而得到，表达出，利用对勾函数求出面积关于的单调性，求出最大值和最小值，得到面积的取值范围．
（1）证明：如图，由点与M关于对称，
则，
且
由双曲线定义知，点T的轨迹为以C，M为焦点，实轴长为6的双曲线，
设双曲线方程为：
∴，∴
所以双曲线方程为
（2）由题意知，分别为双曲线的渐近线
设，
由，设．
∴
∴，由于P点在双线上
∴，∴，∴
又，同理，设的倾斜角为，
则．
∴
由对勾函数的性质可知函数在上单调递减，在上单调递增，
当时，；
当时，；
∴．
22．【答案】（1） （2）见解析
【分析】（1）分别用导数法求出与的最大值，由最大值相等建立等式即可求解；
（2）画出和的图象，设和的图象交于点A，则当直线经过点A时，直线与两条曲线和共有三个不同的交点，可得，再结合函数的单调性与等比数列的定义求解即可
（1）的定义域为R，且，
当时，递增；当时，递减；
所以，
的定义域为，且，
当时，递增；当时，递减；
所以，
又和有相同的最大值，
所以，解得，
又，
所以；
（2）由（1）可知：
在递增，在递减，且，
在递增，在递减，且，
和的图象如图所示：
设和的图象交于点A，
则当直线经过点A时，直线与两条曲线和共有三个不同的交点，
则，且，
因为，
所以，即，
因为，且在递增，
所以，
所以，
因为，
所以，即，
因为，且在递减，
所以，
所以，
所以，即，
所以得成等比数列．■
■
■
■
■
■
■
2023
请在各题目的答题区域内作答，超出边框的答案无效
数学答题卡
【解答题】（须用0.5毫米的黑色签字笔书写）
0908
17.(10分)
姓名
座号
。按于处
贴条形码区
准考证号
由监考员负贵粘贴
,..
·。····…，
1.答题前
老生队牛认直对形上的姓
然后控太姓
、推老证
座号填写在相应位
填写准考证号和座号时
每个书写柜只能填写
个可拉伯数字，要求字
考生禁填
笔迹清晰。
填写样例：可T2347网阿
意事
2.答迭择题时
必须使用2B铅笔填涂答题卡上相应爱目的答率标号，修改时，
缺考标记
3.答非选择题时
茶作莞。货折，在者卡上任标记，货佳用案、政带纸、修正带和其笔。
项
5.若未按上述要求填写、答题，影响评分质量，后果自负。
【选择题】（须用2B铅笔填涂）
填涂样例
正确填涂
1 [Al[BIICIID
6【AI[B][CI[D】
11【AJ[B][C[D】
2[AJ[B][C][D】
7【AJ[B][CI[D】
12【AJ[B][C[D]
3【AJ[B][C[D
8【AJ[B][C[D
4 [A][B][C][D
9AIB[C1ID
5[AJ[B][c][D】
10【A][B][c[D]
【填空题】（须用0.5毫米的黑色签字笔书写）
请在各题目的答题区域内作答，超出边框的答案无效
13.(5分)
14.(5分)
15.(5分)
■
16.(5分)
请在各题目的答题区域内作答，超出边框的答案无效
请在各题目的答题区域内作答，超出边框的答案无效
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☆数学试题答题卡第1页共8页
☆数学试题答题卡第2页共8页
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2
考
考生务必将姓名、座号用0.5毫米的黑色签字笔认真填写在书写框内座号的每个书写
请在各题目的答题区域内作答，超出边框的答案无效
必填
姓名
座号
框只能填写一个阿拉伯数字。填写样例：若座号02，则填写为回2
19.(12分)
C
请在各题目的答题区域内作答，超出边框的答案无效
A
B
18.(12分)
请在各题目的答题区域内作答，超出边框的答案无效
请在各题目的答题区域内作答，超出边框的答案无效
请在各题目的答题区域内作答，超出边框的答案无效
请在各题目的答题区域内作答，超出边框的答案无效
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☆数学试题答题卡第3页共8页
☆数学试题答题卡第4页共8页
