北京市海淀区2021-2022学年高二下学期末数学模拟复习卷（解析版）

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学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
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2021-2022学年北京市海淀区高二（下）期末数学模拟复习卷
题号 一 二 三 总分
得分
注意事项:
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。
3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。
第I卷（选择题）
一、单选题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
已知集合，，，则中的元素个数为( )
A. B. C. D. 或
设命题：，，则的否定为( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
在的展开式中，的系数是( )
A. B. C. D.
下列是“”的充分不必要条件的是( )
A. B. C. D.
工厂制造某种机器零件的尺寸，任取个零件时，尺寸在内的个数约为( )
附：若，则，，
A. B. C. D.
冼先夫人故里、放鸡岛、窦州古城、茂名森林公园这个景区均为广东茂名市的热门旅游景区，现有名学生决定于今年暑假前往这个景区旅游，若每个景区至少有名学生前去，且每名学生只去一个景点，则不同的旅游方案种数为( )
A. B. C. D.
在袋中有编号依次为，，，，的个小球，先从袋中随机摸取一个小球，则摸得的是小球编号是的倍数的概率是( )
A. B. C. D.
曲线在点处的切线方程是( )
A. B.
C. D.
，是定义在上的函数，，则“，均为偶函数”是“为偶函数”的( )
A. 充要条件 B. 充分而不必要的条件
C. 必要而不充分的条件 D. 既不充分也不必要的条件
设命题：曲线在点处的切线方程是：；命题：是函数的导函数．若的充要条件是是函数的极值点．则( )
A. “”为真 B. “”为真
C. 假真 D. ，均为假命题
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共5小题，共20.0分）
设是虚数单位，复数是纯虚数，则实数 ______ ．
已知关于的不等式的解集是，则所有满足条件的实数组成的集合是______．
已知函数，，若，，使得，则实数的取值范围______．
将边长为的正三角形薄片沿一条平行于某边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记，则的最小值是__________．
已知数列满足，，则数列的通项公式为______．
三、解答题（本大题共4小题，共40.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
本小题分
已知数列的前项和．
求数列的通项公式；
求的最大或最小值．
本小题分
峰谷电是目前在城市居民当中开展的一种电价类别．它是将一天小时划分成两个时间段，把：：共小时称为峰段，执行峰电价，即电价上调；：次日：共个小时称为谷段，执行谷电价，即电价下调．为了进一步了解民众对峰谷电价的使用情况，从某市一小区随机抽取了户住户进行夏季用电情况调查，各户月平均用电量以，，，，，单位：度分组的频率分布直方图如图所示．若将小区月平均用电量不低于度的住户称为“大用户”，月平均用电量低于度的住户称为“一般用户”其中，使用峰谷电价的户数如表：
月平均用电量度
使用峰谷电价的户数
估计所抽取的户的月均用电量的众数和平均数同一组中的数据用该组区间的中点值作代表；
将“一般用户”和“大用户”的户数填入下面的列联表：
一般用户 大用户
使用峰谷电价的用户 ______ ______
不使用峰谷电价的用户 ______ ______
根据中的列联表，能否有的把握认为“用电量的高低”与“使用峰谷电价”有关？
附：，
本小题分
对于函数，若，则称为的“不动点”，若，则称为的“稳定点”，函数的“不动点”和“稳定点”的集合分别记为和，即，．
设，求集合和；
Ⅱ若，，求实数的取值范围；
Ⅲ若，求证：．
本小题分
已知等差数列和等比数列均不是常数列，若，且，，成等比数列，，，成等差数列．
求和的通项公式；
设，是正整数，若存在正整数，，，使得，，成等差数列，求的最小值；
令，记的前项和为，的前项和为若数列满足，且对，，都有，设的前项和为，求证：
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：集合，，，
．
中的元素个数为．
故选：．
利用交集定义直接求解．
本题考查交集中元素个数的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
2.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了命题的否定，涉及了含有一个量词的命题的否定，要掌握含有一个量词的命题的否定方法：改变量词，然后再否定结论．
直接利用含有量词的命题的否定求解即可．
【解答】
解：命题：，，则的否定为，．
故选：．

3.【答案】
【解析】解：
，
故展开式中含的项的系数为，
故选：．
把按照二项式定理展开，可得展开式中含项的系数．．
本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题．
4.【答案】
【解析】解：对于，若，则成立，即充分性成立，反之，若，则不一定成立，故A正确，
对于，当时，由，得，则不成立，即 不是充分条件，故B错误，
对于，由，可得或，则不是充分条件，故C错误，
对于，与可互相推得，
是成立的充要条件，故D错误．
故选：．
根据已知条件，结合不等式的性质，即可求解．
本题主要考查不等式的性质，属于基础题．
5.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，关键是对题意的理解，是基础题．
由已知可得，，求出，乘以得答案．
【解答】
解：，
，，
则
．
任取个零件时，尺寸在内的个数约为．
故选：．
6.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查排列组合的综合应用，属基础题．
根据题意先选个同学去同一个景区旅游有种方法，然后把这组同学全排列有种，再相乘即可．
【解答】
解：根据题意，分两步进行分析：
先选个同学去同一个景区旅游有种方法，
然后把这组同学全排列有种，
故不同的旅游方案种数为种
故选C．

7.【答案】
【解析】一共有十个数，其中是的倍数的有：，，共个数，
从中随机摸取一个小球，摸得的小球的编号是的倍数的概率为．
故选：．
用满足小球编号是的倍数的个数除以数的总数，就可以得到球的编号是的倍数的概率．
本题考查概率的求法；不重不漏得到编号是的倍数的情况为解题的关键，属于基础题．
8.【答案】
【解析】解：，
即有，切点为，
曲线在点处的切线方程为，即．
故选A．
先求出函数的导函数，然后求出在处的导数，从而求出切线的斜率，利用点斜式方程求出切线方程并化为一般式方程即可．
本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，考查运算求解能力，属于基础题．
9.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查充分、必要条件的判断和函数奇偶性的判断，属于基础题．
本题主要是抽象函数奇偶性的判断，只能根据定义，而要否定奇偶性，一般用特殊值．
【解答】
解：若“，均为偶函数”，则有，，
，
为偶函数，
而反之取，，
是偶函数，而，均不是偶函数，
则“，均为偶函数”是“为偶函数”的充分而不必要的条件．
故选：
10.【答案】
【解析】解：，
．
当时，，．
曲线在点处的切线方程为，
曲线在点处的切线方程：，
命题为真命题，
例如：函数的导数为，由，得，但此时函数单调递增，无极值，充分性不成立．
根据极值的定义和性质，若是的极值点，则成立，即必要性成立，
命题为假命题，
为真命题，
故选：
本题可以先对命题、进行化简转化，从而判断出其真假，再根据复合函数真假判断的规律，得到正确选项．
本题考查了利用导函数求切线、及复合命题真假的判断等知识，有一定的运算量，属于中档题．
11.【答案】
【解析】解：复数，
复数是纯虚数，
．
故答案为：．
通过复数的乘除运算法则，化简复数为的形式，利用实部为，虚部不为，即可求出的值．
本题考查复数的代数形式的混合运算，复数的基本概念，考查计算能力．
12.【答案】
【解析】解：不等式等价于，
等价于，
等价于，
等价于，
其解集是，
且方程的两根为与，
，
解得：，
满足条件的实数组成的集合为．
故答案为：．
先把不等式转化为二次不等式，再利用其解集为求出的值即可．
本题主要考查不等式的解集和其对应方程的根之间的关系，属于中档题．
13.【答案】
【解析】解：当时，由得，，
令，解得：，令，解得：，
在单调递减，在递增，
是函数的最大值，
当时，为增函数，
是函数的最大值，
又，都，使得，
可得在的最大值不小于在的最大值，
即，解得：，
故答案为：．
由，都，使得，可得在的最大值不小于在的最大值，构造关于的不等式，可得结论．
本题考查的知识是指数函数以及对勾函数函数的图象和性质，考察导数的应用，函数的单调性问题，本题是一道中档题．
14.【答案】
【解析】设剪成的上一块正三角形的边长为．
则 ，
，
令，得或舍去．
是的极小值点且是最小值点．
．
15.【答案】
【解析】解：，
，，
是以为首项，以为公比的等比数列
根据等比数列的通项公式可得，，
即；
故答案为：．
由，可得，，从而可得是以为首项，以为公比的等比数列，根据等比数列的通项公式可求
本题主要考查由递推公式推导数列的通项公式，其中渗透了构造特殊数列等比数列、等差数列这一知识点，属于基础题．
16.【答案】解：当时，．
当时，．
．
，其图象是以为对称轴，开口向上的抛物线上的孤立点，
，
的最小值为没有最大值．
【解析】利用“当时，；当时，”即可得出数列的通项公式．
利用二次函数与数列的前项和的关系，求出数列的最小值．
主要考查了利用“当时，；当时，”是解题的关键，主要考查了求解数列和的最小值问题，主要利用二次函数的基本性质．
17.【答案】
【解析】解：根据频率分布直方图的得到度到度的频率为：
，分
估计所抽取的户的月均用电量的众数为：度；分
估计所抽取的户的月均用电量的平均数为：
度分
依题意，列联表如下：
一般用户 大用户
使用峰谷电价的用户
不使用峰谷电价的用户
分的观测值分
所以不能有的把握认为“用电量的高低”与“使用峰谷电价”有关．分
根据频率分布直方图能求出度到度的频率，并能估计所抽取的户的月均用电量的众数和平均数．
依题意，作出列联表，求出的观测值，从而不能有的把握认为“用电量的高低”与“使用峰谷电价”有关．
本题考查频率、众数、平均数的求法，考查独立性检验的应用，考查频率分布直方图等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是基础题．
18.【答案】Ⅰ解：由，得，解得；
由，得，解得．
集合，；
Ⅱ解：若，，符合题意；
若，由题意有：，即，．
注意：，
，验证得：不是方程的根．
．
，即，．
注意：，得且
验证得：都不是方程的根．
．
．
，
．
方程有解．
时，，
，则有
则，解得且．
综上，实数的取值范围是；
Ⅲ证明：若，，结论成立；
若，则
，
，即．
考虑方程，
，方程无解，
，结论成立．
【解析】本题考查了函数恒成立问题，考查了集合的包含关系的判断与应用，考查了学生的逻辑思维能力，体现了分类讨论的数学思想方法，是压轴题．
直接由，求解方程组得集合，；
Ⅱ分和讨论，当时，由题意有：，即，得到，然后验证不是方程的根求得集合由，即，验证都不是方程的根求得最后根据得到方程有解．列关于的不等式组得答案；
Ⅲ分和讨论，时由得，即．
考虑方程，由说明该方程无解，从而求出结论成立．
19.【答案】解：设等差数列的公差为，等比数列在公比为，由题意得：
，，可得，，
解得，，
所以，．
由，，成等差数列，
有，
即，
由于，且为正整数，所以，，
所以，
可得 ，即，
当时，不等式不成立；
当， 或 时 成立；
当时，，，即，则有；
所以的最小值为，
当且仅当，且， 或 时取得．
证明：由题意得：，
，，
，
，
，
得
，
求得，
所以
【解析】设等差数列的公差为，等比数列在公比为，运用等差数列和等比数列的性质和通项公式，解方程即可得到所求通项；
由等差数列的中项性质和分类讨论，即可得到最小值；
由数列的错位相减法求和，结合等比数列的求和公式，以及不等式的性质，即可得证．
本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查数列的错位相减法求和，以及不等式的性质，考查化简变形能力和推理能力，属于难题．
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