2022-2023学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册 不等式及基本不等式 重点题型突破（含解析）

高一不等式及基本不等式重点题型突破
考点一、不等式性质及比较大小
1．下列结论正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，，则 D．若，则
2．若，则下列不等式一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
3．设，，则与的大小关系是（ ）
A． B． C． D．无法确定
4．下列命题中，是真命题的是（ ）
A．如果，那么 B．如果，那么
C．如果，那么 D．如果，那么
5．已知，那么下列不等式中一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
6．已知c＞1，且x＝－，y＝－，则x，y之间的大小关系是（ ）
A．x＞y B．x＝y
C．x＜y D．x，y的关系随c而定
考点二、利用不等式性质求范围
7．已知，，则的取值范围为______，的取值范围为______．
8．已知实数，满足，，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
9．已知，，则下列说法正确的是（ ）
A．的取值范围为 B．的取值范围为
C．的取值范围为 D．的取值范围为
10．已知.则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
考点三、基本不等式的概念及利用基本不等式比较大小
11．已知为实数，且，则下列命题错误的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
12．下列不等式恒成立的是（ ）
A． B．
C． D．
13．下列命题中正确的是（ ）
A．当时，的最小值为 B．当时，
C．当时，的最小值为 D．当时，
14．下列不等式正确的是（ ）
A． B． C． D．
考点四、直接利用基本不等式求最值
15．下列选项正确的是（ ）
A．对的最小值为1
B．若，则的最大值为
C．若，则
D．若正实数满足，则的最小值为8
16．已知实数满足，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
17．已知x，y都是正数，若，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．1
18．已知，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
19．已知正实数a，b满足，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
20．若y均为正实数，且，则的最小值为________.
21．已知正数a，b满足，则的最小值为___________.
考点五、利用基本不等式求最值（有条件型）
22．已知，且，则（ ）
A．的最大值为2 B．的最小值为
C．的最大值为8 D．的最小值为8
23．若，且，则的最小值为_________．
24．已知，且满足，则的最小值为_______.
25．已知正数，满足，则（ ）
A．的最大值为 B．的最小值为
C．的最小值为8 D．的最小值为2
26．已知正实数 满足，则的最小值是（ ）
A． B．3 C．2 D．
27．函数的最大值为（ ）
A．3 B．2 C．1 D．-1
28．设正实数、、满足，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
29．的最大值为______.
30．当时，函数的最小值为（ ）
A． B．
C． D．4
考点六、利用基本不等式解决恒成立问题
31．若不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是 （ ）
A． B． C． D．
32．若两个正实数，满足，且不等式恒成立，则实数的取值范围是__________．
33．已知，若不等式恒成立，则的最大值为________．
34．若对任意恒成立，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
考点七、不等式和基本不等式的综合应用
35．下列结论正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
36．已知正实数、满足，则的取值可能为（ ）
A． B． C． D．
37．下列结论中正确的是（ ）
A．若，则
B．
C．函数最小值为
D．若，则的最小值为
38．已知实数，，，则的值可能是（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
39．已知，且，则的最小值是（ ）
A．6 B．8 C．14 D．16
40．若对任意正数，不等式恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
41．下列说法正确的是（ ）
A．若，则函数的最小值为3
B．若，，，则的最小值为5
C．若，，，则xy的最小值为1
D．若，，，则的最小值为
42．已知实数x，y满足，，则（ ）
A． B．
C． D．
43．若，且，则的最小值为______．
44．若正数，，满足．
(1)求的最大值；
(2)求的最小值．
参考答案：
1．C
【分析】利用特殊值排除错误选项，利用差比较法证明正确选项.
【详解】A选项，，如，而，所以A选项错误.
B选项，，如，而，所以B选项错误.
C选项，，则，所以，所以C选项正确.
D选项，，如，而，所以D选项错误.
故选：C
2．C
【分析】对A，B，C，D选项作差与0比较即可得出答案.
【详解】对于A，因为，故，即，故A错误；
对于B，，无法判断，故B错误；
对于C，因为，，故C正确；
对于D，因为，故，即，故D错误．
故选：C．
3．A
【分析】利用作差法解出的结果，然后与0进行比较，即可得到答案
【详解】解：因为，，
所以，
∴，
故选：A
4．B
【分析】根据不等式的性质和特殊值法，逐项验证可得出答案
【详解】解：对于A，如果，，那么，故A错误；
对于B，易得，所以，所以化简得，故B正确；
对于C，如果，，那么，故C错误；
对于D，因为满足，那么，故D错误；
故选：B
5．ACD
【分析】由不等式的性质可判断ACD，由特值法可判断B．
【详解】若，，则，
则，故A成立；
不一定成立，如，故B不成立；
∵，，
∴，故C成立，
因为
所以，，则，成立，故D正确，
故选：ACD．
6．C
【分析】应用作商法比较的大小关系即可.
【详解】由题设，易知x，y＞0，又，
∴x＜y.
故选：C.
7．
【分析】分别根据，可得的取值范围，再根据与可得的范围即可.
【详解】∵，∴．
∵，∴，∴．
∵，∴．∵，∴，∴，∴．
故答案为：；
8．B
【分析】令，，可得，再根据的范围求解即可.
【详解】令，，则，所以．因为，所以．因为，所以，所以.
故选：B
9．ACD
【分析】根据不等式的性质，对各个选项进行计算，即可求出结果.
【详解】对于，因为，所以，所以的取值范围为，故正确；
对于，因为，，所以，，所以的取值范围为，故不正确；
对于，因为，所以，又，所以的取值范围为，故正确；
对于，因为，，所以的取值范围为，故正确；
故选：ACD.
10．C
【分析】用表示，由此求得的取值范围.
【详解】因为，且，
而，
所以，即.
故选：C
11．C
【分析】对于A，利用基本不等式判断，对于B，由已知结合完全平方式判断，对于C，举例判断，对于D，利用基本不等式判断
【详解】对于A，由基本不等式可知当时，，当且仅当时取等号，所以A正确，
对于B，因为，，所以，且，所以，当且仅当时取等号，所以B正确，
对于C，若，则，所以C错误，
对于D，因为，，所以，且，所以，，所以且，所以D 正确，
故选：C
12．D
【分析】根据不等式成立的条件依次判断各选项即可得答案.
【详解】解：对于A选项，当时，不等式显然不成立，故错误；
对于B选项，成立的条件为，故错误；
对于C选项，当时，不等式显然不成立，故错误；
对于D选项，由于，故，正确.
故选：D
13．BD
【分析】由基本不等式逐项判断即可得解.
【详解】对于A，当时，，当且仅当时，等号成立，
所以当时，，故A错误；
对于B，当时，，
当且仅当时，等号成立，故B正确；
对于C，当时，，当且仅当时，等号成立，
所以当时，，故C错误；
对于D，当时，，当且仅当时，等号成立，
故D正确.
故选：BD.
【点睛】本题考查了基本不等式的应用，考查了运算求解能力，属于基础题.
14．A
【解析】根据基本不等式的条件，公式依次判断选项，得到正确答案.
【详解】A.，，等号成立的条件是当且仅当时，即.
B.当时，，故不成立；
C.当时，，故不成立；
D.当时，不成立，只有当时，成立，故不成立.
故选：A
【点睛】本题考查基本不等式的判断，属于基础概念题型.
15．BD
【分析】根据特殊值A，由均值不等式判断BC，根据“1”的技巧及均值不等式判断D.
【详解】对A，取，，故A错误；
对B，，则，当且仅当时等号成立，故B正确；
对C，因为，所以，而，故C错误；
对于D，，当且仅当，即时等号成立，故D正确.
故选：BD
16．B
【分析】利用基本不等式“1”的代换求的最值，注意等号成立条件.
【详解】由题设，，
所以，
当且仅当时等号成立，
所以的最小值为.
故选：B
17．B
【分析】利用基本不等式求解.
【详解】因为，所以．
因为x，y都是正数，由基本不等式有：，
所以，当且仅当
即时取“＝”．故A，C，D错误.
故选：B．
18．D
【分析】配凑后直接利用基本不等式化简求解即可．
【详解】解：，则，当且仅当即时取等号．
故选：D．
19．C
【分析】利用乘1法即得.
【详解】∵，
∴
，
当且仅当,即，时，取等号.
故选：C.
20．## 1.8
【分析】令，则，由得,根据，得，再根据基本不等式可求出结果.
【详解】令，则，
由得，即，
所以，
因为，所以，，
所以，
所以，
所以，
所以，即，当且仅当，时，等号成立.
故答案为：.
21．##0.75
【分析】结合，将转化为，再结合基本不等式求解即可.
【详解】因为，所以，
当且仅当，即时，等号成立.
故答案为：.
22．ABD
【分析】A选项，由基本不等式直接求出的最大值；B选项，用基本不等式“1”的妙用求解最值；C选项，用含y的式子表达x，配方后结合y的取值范围求最值；D选项，使用
【详解】由，所以，当且仅当时等号成立，所以A正确；
因为，当且仅当，即时等号成立，所以B正确；
因为，且，所以无最大值，所以C不正确；
，两边平方得：，所以，当且仅当时，等号成立，所以D正确，
故选：ABD
23．3
【分析】由已知得，代入，然后由基本不等式得最小值．
【详解】因为，所以，
，当且仅当时，等号成立．
故答案为：3．
24．##
【分析】由题意，，故，结合均值不等式，即得解
【详解】∵，且满足，
∴，
=，
当且仅当时，的最小值为.
故答案为：
25．ABC
【分析】A、B、D应用基本不等式求最值即可，C应用基本不等式“1”的代换求最值，注意等号成立条件.
【详解】A：由，则，当且仅当时等号成立，正确；
B：由，当且仅当时等号成立，正确；
C：由，当且仅当时等号成立，正确；
D：由，当且仅当时等号成立，而且，，所以等号取不到，即，无最小值，错误.
故选：ABC
26．A
【分析】由题可得，然后利用“乘1法”即得.
【详解】∵正实数 满足，
∴，
又，
当且仅当，即等号成立，
∴.
故选：A.
27．D
【解析】将函数的解析式进行变形，再利用基本不等式，即可得答案；
【详解】
，
当且仅当,即等号成立.
故选：D.
【点睛】本题考查基本不等式求最值，考查运算求解能力，求解时注意等号成立的条件.
28．C
【分析】计算得出，利用基本不等式可求得的最大值.
【详解】因为正实数、、满足，则，
则，当且仅当时取等号.
故的最大值为.
故选：C.
29．
【分析】令，，则可将原式化为，再利用基本不等式即可求出其最大值.
【详解】令，则，，
所以，当且仅当，即时，等号成立.
所以的最大值为.
故答案为：.
【点睛】本题主要考查利用基本不等式求最值，属于中档题. 在利用基本不等式求最值时，要根据式子的特点灵活变形，配凑出和或积为常数的形式.
30．B
【分析】使用变量分离，将化为，使用基本不等式解决.
【详解】因为，所以，当且仅当 ，即时，等号成立．
故选：B．
31．A
【分析】根据已知条件及分离参数将不等式恒成立转为为，再利用基本不等式即可求解.
【详解】由不等式对任意恒成立转化为
，其中,即可.
，
当且仅当，即时，等号成立，
即，
所以实数的取值范围是 .
故选：A.
32．
【分析】根据题意，只要即可，再根据基本不等式中的“”的妙用，求得，解不等式即可得解.
【详解】根据题意先求得最小值，
由，
得
，
所以若要不等式恒成立，
只要，即，
解得，所以.
故答案为：
33．
【分析】根据将分离出来，基本不等式求最值即可求解.
【详解】由得．
又，当且仅当，即当时等号成立，
∴，∴的最大值为．
故答案为：
34．C
【分析】依题意，利用基本不等式求出的最大值，即可得解；
【详解】解：因为，所以，当且仅当即时取等号，因为恒成立，所以，即；
故选：C
35．C
【分析】根据不等式的性质即可逐一求解.
【详解】对于A;若，时，则，故A错；
对于B;若取，则无意义，故B错；
对于C；根据不等式的可加性可知：若，则，故C正确；
对于D;若取，但,故D错；
故选：C
36．D
【分析】利用基本不等式求得的最小值判断.
【详解】解：因为正实数、满足，
所以，
，
当且仅当，即时，等号成立，
故选：D
37．C
【分析】根据不等式的性质、基本不等式确定正确选项.
【详解】A选项，若，则，A选项错误.
B选项，根据基本不等式可知，当且仅当时等号成立，B选项错误.
C选项，，
，当且仅当时等号成立，C选项正确.
D选项，当时，，，D选项错误.
故选：C
38．BCD
【分析】根据题中条件配凑，再运用“1”的代换与基本不等式求出原式范围即可得到答案.
【详解】因为，，，
所以
，当且仅当，即时取等号，
所以，可能为8,9,10.
故选：BCD
39．A
【分析】利用基本不等式可求解.
【详解】因为，所以.因为，所以，所以，即，
当且仅当时，等号成立，故的最小值是6.
故选：A
40．B
【分析】原不等式即，再利用基本不等式求得的最大值，可得的范围．
【详解】依题意得，当时， 恒成立，
又因为，当且仅当时取等号，
所以，的最大值为，
所以，解得的取值范围为．
故选：B
41．D
【分析】选项A：将函数变形再利用基本不等式进行判断最值即可，
选项B：由基本不等式进行判断即可，
选项C：结合换元法与基本不等式求最值进行判断即可，
选项D：对式子进行变形得到，再利用基本不等式进行判断即可．
【详解】解：选项A：，当且仅当时可以取等号，
但题设条件中，故函数最小值取不到3，故A错误；
选项B：若，，，
则，当且仅当时不等式可取等号，故B错误；
选项C：当且仅当时取等号，
令，，解得，即，故xy的最大值为1，故C错误；
选项D：，，
，
当且仅当时取等号，
又因为，故时等号成立，
即最小值可取到， 故D正确．
故选：D．
42．AC
【分析】直接由不等式的性质依次判断4个选项即可.
【详解】由，，知，，A、C正确；
，故，B错误；，故，D错误.
故选：AC.
43．
【分析】利用基本不等式可得，设，解不等式即可求得结果.
【详解】（当且仅当时取等号），，
设，则，解得：（舍）或，
即，.
故答案为：.
44．(1)
(2)
【分析】（1）对直接利用基本不等式，即可得出的最大值；
（2）将看作一个整体，由，展开后，再利用基本不等式，即可得出答案.
（1）
因为，所以，当且仅当时等号成立，
所以当，时，．
（2）
，
当且仅当时等号成立，
∴当，时，．