2022-2023学年人教版八年级数学上册13.3等腰三角形　同步练习题（含解析）

2022-2023学年人教版八年级数学上册《13.3等腰三角形》同步练习题（附答案）
一．选择题
1．从一个等腰三角形纸片的顶角顶点出发，能将其剪成两个等腰三角形纸片，则原等腰三角形纸片的顶角等于（　　）
A．90° B．72° C．108° D．90°或108°
2．已知在△ABC中，∠A＝48°，∠C＝84°且AB＝3cm AC＝4cm，则三角形的周长是（　　）
A．7cm B．10cm C．11cm D．10cm或11cm
3．如图，AC⊥BC，AD＝BD，为了使图中的△BCD是等边三角形，再增加一个条件可以是（　　）
A．CD⊥AB B．CD＝BD C．BC＝AB D．BC＝AC
4．关于等边三角形的说法：
（1）等边三角形有三条对称轴；
（2）有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形；
（3）有两个角等于60°的三角形是等边三角形；
（4）等边三角形两边中线上的交点到三边的距离相等．
其中正确的说法有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二．填空题
5．等腰三角形一边长为4cm，一腰上中线把其周长分为两部分之差为3cm，则等腰三角形周长为　 　．
6．等腰三角形的三边长分别为：x+3、2x+1、11，则x＝　 　．
7．在△ABC中，∠A＝50°，当∠B＝　 　°时，△ABC是等腰三角形．
8．等腰三角形一角度数为30°，则这个等腰三角形的顶角度数为　 　．
9．如图，D是Rt△ABC斜边BC上一点，AB＝AD，记∠CAD＝α，∠ABC＝β．则β的度数是　 　．（用含α的代数式表示）
10．如图，在△ABC中，AB＝AC，D、E分别是BC、AC上一点，且AD＝AE，∠EDC＝12°，则∠BAD＝　 　．
11．如图，△ABC是边长为6的等边三角形，D是BC上一点，BD＝2，DE⊥BC交AB于点E，则AE＝　 　．
12．如图，△ABC内有一点D，且DA＝DB＝DC，则点D是　 　的交点．若∠DAB＝15°，∠DCA＝35°，则∠BDC＝　 　°．
三．解答题
13．已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，点D、E在BC上，AD⊥AB，AE⊥AC．求证：△AED是等边三角形．
14．求证：如果一个三角形一个角的平分线与它一边上的中线重合，那么这个三角形是等腰三角形．
15．（1）如图①，在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC，点D、E在BC上，DB＝AB，EC＝AC，则∠DAE＝　 　°．
（2）如果把（1）中“AB＝AC”的条件去掉，其余条件不变，如图②，那么∠DAE的度数会改变吗？请说明理由；
（3）若∠BAC＝a，其他条件与（2）相同，求∠DAE度数．
16．已知：如图，AB＝AD，∠ABC＝∠ADC．试说明：CB＝CD．
17．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在AC上，且AD＝BD．
（1）找出图中相等的角并说明理由．
（2）若增加条件AC＝DC，求∠C的度数．
18．如图，△ABC为等边三角形，BD平分∠ABC交AC于点D，DE∥BC交AB于点E．
（1）求证：△ADE是等边三角形．
（2）求证：AE＝AB．
19．如图，已知△ABC的角平分线BD与∠ACB的外角平分线交于D点，DE∥BC交于E，交AC于F，求证：EF＝BE﹣CF．
20．如图：已知等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，直线l经过点C，AD⊥l，BE⊥l，垂足分别为D、E．
（1）证明：△ACD≌△CBE；
（2）如图，当直线l经过△ABC内部时，其他条件不变，这个结论还是真命题吗？如果是真命题，请给出证明；如果是假命题，请说明理由．
参考答案
一．选择题
1．解：当是等腰钝角三角形时，∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
设∠B＝∠C＝x，
∵AB＝BD，AD＝DC，
∴∠BAD＝∠BDA，∠DAC＝∠C，
∴∠ADB＝2∠C，
∴∠BAC＝3x，
∵∠BAC+∠B+∠C＝180°，
∴5x＝180°，
∴x＝36°，
∴∠BAC＝3x＝108°，
当是等腰直角三角形时，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵AD＝BD，AD＝DC，
∴∠B＝∠BAD，∠C＝∠DAC，
∵∠B+∠C+∠BAD+DAC＝180°，
∴∠B＝45°，
∴∠BAC＝90°，
故选：D．
2．解：∵∠A＝48°，∠C＝84°
∴∠B＝48°
∴BC＝AC＝4cm
∴三角形的周长＝3+4+4＝11cm
故选：C．
3．解：∵AC⊥BC，AD＝BD，
∴CD＝AD＝BD＝AB，
∴为了使图中的△BCD是等边三角形，需CD＝BD＝BC，
∴再增加一个条件可以是：BC＝AB．
故选：C．
4．解：根据等边三角形的性质：（1）等边三角形三条边都相等，三个内角都相等，每一个角为60度；
（2）等边三角形每条边上的中线、高线和所对角的平分线互相重合（三线合一）；
（3）等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴，对称轴是每条边上的中线、高线或所对角的平分线所在直线；
由此分析判定（1）（2）（3）（4）都正确，
所以正确的说法有4个，
故选：D．
二．填空题
5．解：当底为4时，
若底比较长时，腰为4﹣3＝1cm，三边为4，1，1不能构成三角形，这种情况不可以．
若腰比较长时；腰为4+3＝7cm，三边为4，7，7能构成三角形．
∴等腰三角形周长＝4+7+7＝18cm
若腰为4时，
若底比较长时，底为4+3＝7cm，三边为4，4，7能构成三角形，
若腰比较长时；底为4﹣3＝1cm，三边为4，4，1能构成三角形．
∴等腰三角形周长＝4+4+7＝15cm或4+4+1＝9cm
故答案为：18cm或15cm或9cm
6．解：①当x+3＝2x+1时，则等腰三角形的三边为：5、5、11，因为5+5＝10＜11，不能构成三角形，故舍去；
解得x＝2（不合题意，舍去）；
②当x+3＝11时，解得x＝8，则等腰三角形的三边为：11、17、11，能构成三角形；
③当2x+1＝11时，解得x＝5，则等腰三角形的三边为：8、11、11，能构成三角形．
所以x的值是8或5．
故答案为：8或5．
7．解：①∠A是顶角，∠B＝（180°﹣∠A）÷2＝65°；
②∠A是底角，∠B＝∠A＝50°．
③∠A是底角，∠A＝∠C＝50°，则∠B＝180°﹣50°×2＝80°，
∴当∠B的度数为50°或65°或80°时，△ABC是等腰三角形．
故答案为：50°或65°或80°．
8．解：分两种情况：
当30°的角是底角时候，则顶角度数为120°；
当30°的角是顶角时候，则顶角为30°；
故答案为120°或30°．
9．解：∵AB＝AD，
∴∠ADB＝∠ABD＝β，
∴∠BAD＝180°﹣2β，
∵∠BAC＝90°即∠BAD+∠CAD＝90°，
∴180°﹣2β+α＝90°，
∴β＝45°+．
故答案为：45°+．
10．解：∵∠ADC是三角形ABD的外角，∠AED是三角形DEC的一个外角，∠CDE＝x°，
∴∠ADC＝∠BAD+∠B＝∠ADE+∠EDC，∠AED＝∠EDC+∠C，
∠B+∠BAD＝∠ADE+x°，∠AED＝∠C+x°，
∵AB＝AC，D、E分别在BC、AC上，AD＝AE，∠CDE＝x°，
∴∠B＝∠C，∠ADE＝∠AED＝∠C+12°，
∴∠C+∠BAD＝∠C+x°+x°，
∵∠EDC＝12°，
∴∠BAD＝24°，
故答案为：24°
11．解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠B＝60°，
∵DE⊥BC，
∴∠EDB＝90°，∠BED＝30°，
∵BD＝2，
∴EB＝2BD＝4，
∴AE＝AB﹣BE＝6﹣4＝2，
故答案为：2．
12．解：∵DA＝DB＝DC，
∴点D为三边中垂线的交点，∠DAB＝∠DBA，∠DAC＝∠DCA，
∵∠DAB＝15°，∠DCA＝35°，
∴∠BDC＝2（∠DAB+∠DCA）＝2×（15°+35°）＝100°．
故答案为：三边中垂线，100．
三．解答题
13．证明：∵在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，
∴∠B＝∠C＝30°，
∵AD⊥AB，AE⊥AC，
∴∠BAE＝∠B＝30°，∠C＝∠CAD＝30°，
∴∠ADE＝∠B+∠BAD＝60°，∠AED＝∠C+∠CAE＝60°，
∴AD＝AE，
∴△ADE是等边三角形．
14．解：如图，延长AD到E，使DE＝AD，连接BE，
∵AD是中线，
∴BD＝CD，
在△ADC和△EBD中，，
∴△ADC≌△EBD（SAS），
∴BE＝AC，∠E＝∠CAD，
∵AD是角平分线，
∴∠CAD＝∠BAD，
∴∠E＝∠BAD，
∴AB＝BE，
∴AB＝AC，
∴△ABC是等腰三角形．
15．解：（1）∵AC＝AB，∠BAC＝120°，
∴∠B＝∠C＝30°，
∵BA＝BD，CA＝CE，
∴∠ADB＝∠BAD＝（180°﹣30°）＝75°，同法可得∠AED＝75°，
∴∠DAE＝180°﹣75°﹣75°＝30°．
故答案为30°．
（2）结论：∠DAE的度数不变．
理由：∵BD＝BA，CA＝CE，
∴2∠ADB+∠B＝180°，2∠CEA+∠C＝180°，
∴2∠ADB+2∠CEA＝360°﹣60°，
∴∠ADB+∠CEA＝150°，
∴∠DAE＝180°﹣150°＝30°．
（3）同法可得：2∠ADB+∠B＝180°，2∠CEA+∠C＝180°，
∴2∠ADE+2∠AED＝360°﹣（180°﹣α）
∴∠ADE+∠AED＝90°+α．
∴∠EAD＝180°﹣90°﹣α＝90°﹣α．
16．证明：连接BD，
∵AB＝AD，
∴∠ADB＝∠ABD，
∵∠ABC＝∠ADC，
∴∠ABC﹣∠ABD＝∠ADC﹣∠ADB，
即∠CBD＝∠CDB，
∴CD＝CB．
17．解：（1）∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C；
∵AD＝BD，
∴∠1＝∠B，
∴∠1＝∠B＝∠C；
（2）∵AC＝CD，
∴∠2＝∠ADC，
∴∠ADC＝∠B+∠1＝2∠C，
∴∠2+∠ADC+∠C＝180°，
∴2∠C+2∠C+∠C＝180°，
∴∠C＝36°．
18．证明：（1）∵△ABC为等边三角形，
∴∠A＝∠ABC＝∠C＝60°．
∵DE∥BC，
∴∠AED＝∠ABC＝60°，∠ADE＝∠C＝60°．
∴△ADE是等边三角形．
（2）∵△ABC为等边三角形，
∴AB＝BC＝AC．
∵BD平分∠ABC，
∴AD＝AC．
∵△ADE是等边三角形，
∴AE＝AD．
∴AE＝AB．
19．证明：∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD，
∵DE∥BC，
∴∠EDB＝∠CBD，
∴∠ABD＝∠EDB，
∴DE＝BE，
同理DF＝CF，
∵EF＝DE﹣DF，
∴EF＝BE﹣CF．
20．（1）证明：∵△ABC为等腰直角三角形，AD⊥l，BE⊥l，
∴AC＝BC，∠ADC＝∠CEB＝90°．
又∵∠ACB＝90°，
∴∠ACE＝∠DAC+∠ADC，
∵∠ACB＝∠ADC
∴∠ACB+∠BCE＝∠DAC+∠ADC．
∴∠BCE＝∠DAC，即∠ACD＝∠CBE，
所以可根据全等三角形的判定定理（ASA）可得△ACD≌△CBE．
（2）解：是真命题，证明方法同（1）．（3分）
∵AC＝BC，∠ADC＝∠BEC＝90°，
又∠ACE＝90°﹣∠BCE，∠EBC＝90°﹣∠BCE，
∴∠ACE＝∠EBC，即∠CAD＝∠BCE，
∴△ACD≌△CBE（ASA）．