人教版八年级数学上册 12.2 三角形全等的判定 解答题训练2022-2023学年（含解析）
文档属性
| 名称 | 人教版八年级数学上册 12.2 三角形全等的判定 解答题训练2022-2023学年（含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 540.2KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-09-24 07:01:37 | ||
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文档简介
12.2 三角形全等的判定 解答题训练
1．如图，AB与CD交于点E，点E是AB的中点，∠A＝∠B．试说明：AC＝BD．
2．如图所示，A、D、B、E四点在同一条直线上，若AD＝BE，∠A＝∠EDF，∠E+∠CBE＝180°，求证：AC＝DF．
3．已知：如图，AB∥CD，AB＝DC，BE＝CF．求证：AF＝DE．
4．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，BE⊥CE于E，AD⊥CE于D，AD＝2.5cm，DE＝1.7cm，求BE的长．
5．如图，△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝90°，F为AB延长线上一点，点E在BC上，且AE＝CF．
（1）求证：Rt△ABE≌Rt△CBF；
（2）若∠CAE＝30°，∠BAC＝45°，求∠ACF的度数．
6．如图，已知AE⊥BC，DF⊥BC，垂足分别为E，F，AE＝DF，AB＝DC．
求证：（1）∠ABE＝∠DCF；
（2）AC＝DB．
7．如图，已知，EC＝AC，∠BCE＝∠DCA，∠A＝∠E．
（1）求证：BC＝DC；
（2）若∠A＝25°，∠D＝15°，求∠ACB的度数．
8．如图，已知AC、DB的交点为E，AE＝DE，∠A＝∠D；过点E作EF⊥BC，垂足为F．
（1）求证：△ABE≌△DCE；
（2）求证：F为BC边的中点．
9．如图，在△ABC中，AE＝DE，过点A作AF∥BC交BE的延长线于F点．
（1）求证：△AEF≌△DEB；
（2）若∠ABD＝∠BAD，AD＝6，求AF的长．
10．如图：在△ABC中，BE、CF分别是AC、AB两边上的高，在BE上截取BD＝AC，在CF的延长线上截取CG＝AB，连接AD、AG．
（1）求证：AD＝AG；
（2）AD与AG的位置关系如何，请说明理由．
11．如图，平面直角坐标系中，A（0，3），B（4，3），点C、D、E在x轴上，且点E在点D的右侧．AC⊥AE，∠ACE＝∠BDE．
（1）试说明BD和AE的位置关系，并说明理由．
（2）求证：∠ACE＝∠B．
12．如图，点C在线段AB上，AD∥EB，AC＝BE，AD＝BC，F是DE的中点．求证：
（1）△ACD≌△BEC；
（2）CF⊥DE．
13．如图，在△ABC和△ADE中，AB＝AD，AC＝AE，BC＝DE，延长BC分别交边AD、DE于点F、G．
（1）求证：∠B＝∠D；
（2）若∠CAE＝49°，求∠BGD的度数．
14．如图，在△ABC中，BD⊥AC于点D，CE⊥AB于点E，BD、CE相交于点G，BD＝DC，DF∥BC交AB于点F，连接FG．
求证：（1）△DAB≌△DGC；
（2）CG＝FB+FG．
15．如图，在△ABC中，点D是边BC上一点，CD＝AB，点E在边AC上，且AD＝DE，∠BAD＝∠CDE．
（1）如图1，求证：BD＝CE；
（2）如图2，若DE平分∠ADC，在不添加辅助线的情况下，请直接写出图中所有与∠ADE相等的角（∠ADE除外）．
16．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB上一点，且BD＝AD＝CD，过B作BE⊥CD，分别交AC于点E、交CD于点F．
（1）求证：∠A＝∠EBC；
（2）如果AC＝2BC，请猜想BE和CD的数量关系，并证明你的猜想．
17．如图，△ABC中，∠ABC＝45°，D为BC上一点，∠ADC＝60°，AE⊥BC于点E，CF⊥AD于点F，AE、CF相交于点G，∠CAE＝15°．
（1）求∠ACF的度数；
（2）求证：DF＝AG．
18．已知AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE．
（1）如图1，当点D在BC上时，求证：BD＝CE；
（2）如图2，当点D、E、C在同一直线上，且∠BAC＝α，∠BAE＝β时，求∠DBC的度数（用含α和β的式子表示）．
19．如图1，△ABE是等腰三角形，AB＝AE，∠BAE＝45°，过点B作BC⊥AE于点C，在BC上截取CD＝CE，连接AD、DE并延长AD交BE于点P；
（1）求证：AD＝BE；
（2）试说明AD平分∠BAE；
（3）如图2，将△CDE绕着点C旋转一定的角度，那么AD与BE的位置关系是否发生变化，说明理由．
20．如图：已知A（a，0）、B（0，b），且a、b满足（a﹣2）2+|2b﹣4|＝0．
（1）如图1，求△AOB的面积；
（2）如图2，点C在线段AB上（不与A、B重合）移动，AB⊥BD，且∠COD＝45°，猜想线段AC、BD、CD之间的数量关系并证明你的结论；
（3）如图3，若P为x轴上异于原点O和点A的一个动点，连接PB，将线段PB绕点P顺时针旋转90°至PE，直线AE交y轴Q，点Q，当P点在x轴上移动时，线段BE和线段BQ中，请判断哪条线段长为定值，并求出该定值．
参考答案与试题解析
1．如图，AB与CD交于点E，点E是AB的中点，∠A＝∠B．试说明：AC＝BD．
【分析】证明△AEC≌△BED（ASA），可得AC＝BD．
【解答】证明：∵E是AB的中点，
∴AE＝BE，
在△AEC和△BED中，
，
∴△AEC≌△BED（ASA），
∴AC＝BD．
2．如图所示，A、D、B、E四点在同一条直线上，若AD＝BE，∠A＝∠EDF，∠E+∠CBE＝180°，求证：AC＝DF．
【分析】根据∠E+∠CBE＝180°，∠ABC+∠CBE＝180°，可得∠E＝∠ABC，根据AD＝BE可得AB＝DE，利用ASA证明△ABC≌△DEF，可得结论．
【解答】证明：∵∠E+∠CBE＝180°，∠ABC+∠CBE＝180°，
∴∠E＝∠ABC，
∵AD＝BE，
∴AD+DB＝BE+DB，
即AB＝DE，
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（ASA），
∴AC＝DF．
3．已知：如图，AB∥CD，AB＝DC，BE＝CF．求证：AF＝DE．
【分析】由全等三角形的判定定理SAS证得△ABF≌△DCE，由全等三角形的性质可得出结论．
【解答】证明：如图，∵AB∥CD，
∴∠B＝∠C．
∵BE＝CF，
∴BE﹣EF＝CF﹣EF，
即BF＝CE，
在△ABF与△DCE中，
，
∴△ABF≌△DCE（SAS），
∴AF＝DE．
4．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，BE⊥CE于E，AD⊥CE于D，AD＝2.5cm，DE＝1.7cm，求BE的长．
【分析】先证明△ACD≌△CBE，再求出EC的长，解决问题．
【解答】解：∵BE⊥CE于E，AD⊥CE于D
∴∠E＝∠ADC＝90°
∵∠BCE+∠ACE＝∠DAC+∠ACE＝90°
∴∠BCE＝∠DAC
∵AC＝BC
∴△ACD≌△CBE
∴CE＝AD，BE＝CD＝2.5﹣1.7＝0.8（cm）．
5．如图，△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝90°，F为AB延长线上一点，点E在BC上，且AE＝CF．
（1）求证：Rt△ABE≌Rt△CBF；
（2）若∠CAE＝30°，∠BAC＝45°，求∠ACF的度数．
【分析】（1）由AB＝CB，∠ABC＝90°，AE＝CF，即可利用HL证得Rt△ABE≌Rt△CBF；
（2）由AB＝CB，∠ABC＝90°，即可求得∠ACB的度数，即可得∠BAE的度数，又由Rt△ABE≌Rt△CBF，即可求得∠BCF的度数，则由∠ACF＝∠BCF+∠ACB即可求得答案．
【解答】（1）证明：∵∠ABC＝90°，
∴∠CBF＝∠ABE＝90°，
在Rt△ABE和Rt△CBF中，，
∴Rt△ABE≌Rt△CBF（HL）；
（2）解：∵∠ABC＝90°，∠BAC＝45°，
∴∠ACB＝45°，
又∵∠BAE＝∠CAB﹣∠CAE＝45°﹣30°＝15°，
由（1）知：Rt△ABE≌Rt△CBF，
∴∠BCF＝∠BAE＝15°，
∴∠ACF＝∠BCF+∠ACB＝45°+15°＝60°．
6．如图，已知AE⊥BC，DF⊥BC，垂足分别为E，F，AE＝DF，AB＝DC．
求证：（1）∠ABE＝∠DCF；
（2）AC＝DB．
【分析】（1）利用HL证明Rt△ABE≌Rt△CDF，从而证明结论；
（2）由（1）得∠ABE＝∠DCF，再利用SAS证明△ABC≌△DCB即可．
【解答】证明：（1）在Rt△ABE与Rt△DCF中，
，
∴Rt△ABE≌Rt△CDF（HL），
∴∠ABE＝∠DCF；
（2）由（1）得∠ABE＝∠DCF，
在△ABC与△DCB中，
，
∴△ABC≌△DCB（SAS），
∴AC＝DB．
7．如图，已知，EC＝AC，∠BCE＝∠DCA，∠A＝∠E．
（1）求证：BC＝DC；
（2）若∠A＝25°，∠D＝15°，求∠ACB的度数．
【分析】（1）根据ASA证明△BCA≌△DCE，进而利用全等三角形的性质解答即可；
（2）根据全等三角形的性质解答即可．
【解答】证明：（1）∵∠BCE＝∠DCA，
∴∠BCE+∠ACE＝∠DCA+∠ECA，
即∠BCA＝∠DCE，
在△BCA和△DCE中，
，
∴△BCA≌△DCE（ASA），
∴BC＝DC；
（2）∵△BCA≌△DCE，
∴∠B＝∠D＝15°，
∵∠A＝25°，
∴∠ACB＝180°﹣∠A﹣∠B＝140°．
8．如图，已知AC、DB的交点为E，AE＝DE，∠A＝∠D；过点E作EF⊥BC，垂足为F．
（1）求证：△ABE≌△DCE；
（2）求证：F为BC边的中点．
【分析】（1）根据ASA证明△ABE≌△DCE即可；
（2）根据等腰三角形的性质解答即可．
【解答】证明：（1）在△ABE和△DCE中，
，
∴△ABE≌△DCE（ASA）；
（2）∵△ABE≌△DCE，
∴EB＝EC，
又∵EF⊥BC，
∴F为BC边的中点 （三线合一）．
9．如图，在△ABC中，AE＝DE，过点A作AF∥BC交BE的延长线于F点．
（1）求证：△AEF≌△DEB；
（2）若∠ABD＝∠BAD，AD＝6，求AF的长．
【分析】（1）通过AAS证明△AEF≌△DEB即可；
（2）根据全等三角形的性质可得答案．
【解答】（1）证明：∵AF∥BC，
∴∠F＝∠CBF，
在△AEF与△DEB中，
，
∴△AEF≌△DEB（AAS），
（2）∵△AEF≌△DEB，
∴AF＝BD，
∵∠ABD＝∠BAD，
∴BD＝AD＝6．
∴AF＝6．
10．如图：在△ABC中，BE、CF分别是AC、AB两边上的高，在BE上截取BD＝AC，在CF的延长线上截取CG＝AB，连接AD、AG．
（1）求证：AD＝AG；
（2）AD与AG的位置关系如何，请说明理由．
【分析】（1）由BE垂直于AC，CF垂直于AB，利用垂直的定义得∠HFB＝∠HEC，由得对顶角相等得∠BHF＝∠CHE，所以∠ABD＝∠ACG．再由AB＝CG，BD＝AC，利用SAS可得出三角形ABD与三角形ACG全等，由全等三角形的对应边相等可得出AD＝AG，
（2）利用全等得出∠ADB＝∠GAC，再利用三角形的外角和定理得到∠ADB＝∠AED+∠DAE，又∠GAC＝∠GAD+∠DAE，利用等量代换可得出∠AED＝∠GAD＝90°，即AG与AD垂直．
【解答】（1）证明：∵BE⊥AC，CF⊥AB，
∴∠HFB＝∠HEC＝90°，又∵∠BHF＝∠CHE，
∴∠ABD＝∠ACG，
在△ABD和△GCA中
，
∴△ABD≌△GCA（SAS），
∴AD＝GA（全等三角形的对应边相等）；
（2）位置关系是AD⊥GA，
理由：∵△ABD≌△GCA，
∴∠ADB＝∠GAC，
又∵∠ADB＝∠AED+∠DAE，∠GAC＝∠GAD+∠DAE，
∴∠AED＝∠GAD＝90°，
∴AD⊥GA．
11．如图，平面直角坐标系中，A（0，3），B（4，3），点C、D、E在x轴上，且点E在点D的右侧．AC⊥AE，∠ACE＝∠BDE．
（1）试说明BD和AE的位置关系，并说明理由．
（2）求证：∠ACE＝∠B．
【分析】（1）根据∠ACE＝∠BDE，判定AC∥BD，再根据“同一平面内，如果一条直线垂直于两条平行线中的一条，那么它也垂直于另一条”即可得出BD⊥AE；
（2）根据题意得到AB∥CD，根据平行线的性质即可得解．
【解答】（1）解：BD⊥AE，理由如下：
∵∠ACE＝∠BDE，
∴AC∥BD，
∵AC⊥AE，
∴BD⊥AE；
（2）证明：∵A（0，3），B（4，3），
∴AB∥CD，
∴∠B＝∠BDE，
∵∠ACE＝∠BDE，
∴∠ACE＝∠B．
12．如图，点C在线段AB上，AD∥EB，AC＝BE，AD＝BC，F是DE的中点．求证：
（1）△ACD≌△BEC；
（2）CF⊥DE．
【分析】（1）根据平行线性质得出∠A＝∠EBC，根据SAS证出△ADC≌△BCE；
（2）由全等三角形的性质得出DC＝CE，根据等腰三角形的三线合一定理推出即可．
【解答】（1）证明：∵AD∥EB，
∴∠A＝∠EBC，
在△ADC和△BCE中，
，
∴△ADC≌△BCE（SAS）；
（2）证明：∵△ADC≌△BCE，
∴DC＝CE，
又∵F是DE的中点，
∴CF⊥DE．
13．如图，在△ABC和△ADE中，AB＝AD，AC＝AE，BC＝DE，延长BC分别交边AD、DE于点F、G．
（1）求证：∠B＝∠D；
（2）若∠CAE＝49°，求∠BGD的度数．
【分析】（1）由“SSS”可证△ABC≌△ADE，可得结论；
（2）由全等三角形的性质可得∠DAE＝∠BAC，由三角形外角性质可求解．
【解答】（1）证明：在△ABC和△ADE中，
，
∴△ABC≌△ADE（SSS），
∴∠B＝∠D；
（2）∵△ABC≌△ADE，
∴∠DAE＝∠BAC，
∴∠DAB＝∠EAC＝49°，
∵∠AFG＝∠B+∠DAB＝∠D+∠BGD，
∴∠BGD＝∠DAB＝49°．
14．如图，在△ABC中，BD⊥AC于点D，CE⊥AB于点E，BD、CE相交于点G，BD＝DC，DF∥BC交AB于点F，连接FG．
求证：（1）△DAB≌△DGC；
（2）CG＝FB+FG．
【分析】（1）由“ASA”可证△DAB≌△DGC；
（2）由全等三角形的性质可得AB＝CG，DA＝DG，由“SAS”可证△DFA≌△DFG，可得FA＝FG，可得结论．
【解答】证明：（1）∵BD⊥AC，CE⊥AB，
∴∠ABD+∠A＝90°，∠ACE+∠A＝90°，
∴∠ABD＝∠ACE，
在△DAB和△DGC中，
，
∴△DAB≌△DGC（ASA）；
（2）∵△DAB≌△DGC，
∴AB＝CG，DA＝DG，
∵BD＝CD．∠BDC＝90°，
∴∠DBC＝∠DCB＝45°，
∵DF∥BC，
∴∠FDA＝∠FDG＝45°，
在△DFA和△DFG中，
，
∴△DFA≌△DFG（SAS），
∴FA＝FG．
∴CG＝AB＝FB+FA＝FB+FG．
15．如图，在△ABC中，点D是边BC上一点，CD＝AB，点E在边AC上，且AD＝DE，∠BAD＝∠CDE．
（1）如图1，求证：BD＝CE；
（2）如图2，若DE平分∠ADC，在不添加辅助线的情况下，请直接写出图中所有与∠ADE相等的角（∠ADE除外）．
【分析】（1）由“SAS”可证△ABD≌△DCE，可得BD＝CE；
（2）由全等三角形的性质可得∠B＝∠C，由三角形的外角性质和角平分线的性质可求解．
【解答】解：（1）在△ABD和△DCE中，
，
∴△ABD≌△DCE（SAS），
∴BD＝CE；
（2）∵△ABD≌△DCE，
∴∠B＝∠C，
∵DE平分∠ADC，
∴∠ADE＝∠CDE＝∠BAD，
∵∠ADC＝∠B+∠BAD＝∠ADE+∠CDE，
∴∠B＝∠ADE＝∠BAD＝∠EDC＝∠C，
∴与∠ADE相等的角有∠EDC，∠BAD，∠B，∠C．
16．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB上一点，且BD＝AD＝CD，过B作BE⊥CD，分别交AC于点E、交CD于点F．
（1）求证：∠A＝∠EBC；
（2）如果AC＝2BC，请猜想BE和CD的数量关系，并证明你的猜想．
【分析】（1）证得∠EBC＝∠ACD，∠A＝∠ACD，则结论可得出；
（2）过点D作DG⊥AC于点G，根据ASA证明△DCG≌△EBC，可得出结论．
【解答】（1）证明：∵BE⊥CD，
∴∠BFC＝90°，
∴∠EBC+∠BCF＝180°﹣∠BFC＝90°，
∵∠ACB＝∠BCF+∠ACD＝90°，
∴∠EBC＝∠ACD，
∵AD＝CD，
∴∠A＝∠ACD，
∴∠A＝∠EBC；
（2）解：CD＝BE．
过点D作DG⊥AC于点G，
∵DA＝DC，DG⊥AC，
∴AC＝2CG，
∵AC＝2BC，
∴CG＝BC，
∵∠DGC＝90°，∠ECB＝90°，
∴∠DGC＝∠ECB，
在△DGC和△ECB中，
，
∴△DCG≌△EBC（ASA），
∴CD＝BE．
17．如图，△ABC中，∠ABC＝45°，D为BC上一点，∠ADC＝60°，AE⊥BC于点E，CF⊥AD于点F，AE、CF相交于点G，∠CAE＝15°．
（1）求∠ACF的度数；
（2）求证：DF＝AG．
【分析】（1）证△ABE是等腰直角三角形，得∠BAE＝45°，则∠DAE＝∠BAE﹣∠BAD＝30°，再求出∠CAF＝45°，即可解决问题；
（2）证△AFG≌△CFD（ASA），得GF＝DF，再由含30°角的直角三角形的性质得FG＝AG，即可得出结论．
【解答】（1）解：∵∠ABC＝45°，∠ADC＝60°，
∴∠BAD＝∠ADC﹣∠ABC＝60°﹣45°＝15°，
∵AE⊥BC，
∴∠AEB＝90°，
∴△ABE是等腰直角三角形，
∴∠BAE＝45°，
∴∠DAE＝∠BAE﹣∠BAD＝45°﹣15°＝30°，
∴∠CAF＝∠DAE+∠CAE＝30°+15°＝45°，
∵CF⊥AD，
∴∠AFC＝90°，
∴∠ACF＝90°﹣∠CAF＝45°；
（2）证明：由（1）可知，∠DAC＝45°，∠AFG＝∠CFD＝90°，∠ACF＝∠CAF＝45°，
∴AF＝CF，
∵AE⊥CB，
∴∠CEG＝∠AFG＝90°，
∵∠CGE＝∠AGF，
∴∠FAG＝∠FCD，
在△AFG和△CFD中，
，
∴△AFG≌△CFD（ASA），
∴GF＝DF，
由（1）可知，∠FAG＝30°，
∵∠AFG＝90°，
∴FG＝AG，
∴DF＝AG．
18．已知AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE．
（1）如图1，当点D在BC上时，求证：BD＝CE；
（2）如图2，当点D、E、C在同一直线上，且∠BAC＝α，∠BAE＝β时，求∠DBC的度数（用含α和β的式子表示）．
【分析】（1）证出△ABD≌△ACE即可；
（2）由（1）的结论以及四边形的内角和定理可得答案．
【解答】（1）证明：∵∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAC﹣∠CAD＝∠DAE﹣∠CAD，
即∠BAD＝∠CAE，
在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴BD＝CE；
（2）解：∵AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝α，
∴∠ABC＝∠ACB＝＝90°﹣α＝∠ADE＝∠AED，
由（1）得△ABD≌△ACE，
∴∠ADB＝∠AEC＝180°﹣∠AED＝90°+α，
∴∠DBC＝360°﹣∠BCA﹣∠CAD﹣∠ADB
＝360°﹣（90°﹣α）﹣（2α﹣β）﹣（90°+α）
＝180°﹣2α+β．
19．如图1，△ABE是等腰三角形，AB＝AE，∠BAE＝45°，过点B作BC⊥AE于点C，在BC上截取CD＝CE，连接AD、DE并延长AD交BE于点P；
（1）求证：AD＝BE；
（2）试说明AD平分∠BAE；
（3）如图2，将△CDE绕着点C旋转一定的角度，那么AD与BE的位置关系是否发生变化，说明理由．
【分析】（1）利用SAS证明△BCE≌△ACD，根据全等三角形的对应边相等得到AD＝BE．
（2）根据△BCE≌△ACD，得到∠EBC＝∠DAC，由∠BDP＝∠ADC，得到∠BPD＝∠DCA＝90°，利用等腰三角形的三线合一，即可得到AD平分∠BAE；
（3）AD⊥BE不发生变化．由△BCE≌△ACD，得到∠EBC＝∠DAC，由对顶角相等得到∠BFP＝∠AFC，根据三角形内角和为180°，所以∠BPF＝∠ACF＝90°，即AD⊥BE．
【解答】解：（1）∵BC⊥AE，∠BAE＝45°，
∴∠CBA＝∠CAB，
∴BC＝CA，
在△BCE和△ACD中，
，
∴△BCE≌△ACD（SAS），
∴AD＝BE．
（2）∵△BCE≌△ACD，
∴∠EBC＝∠DAC，
∵∠BDP＝∠ADC，
∴∠BPD＝∠DCA＝90°，
∵AB＝AE，
∴AD平分∠BAE．
（3）AD⊥BE不发生变化．
如图2，
∵△BCE≌△ACD，
∴∠EBC＝∠DAC，
∵∠BFP＝∠AFC，
∴∠BPF＝∠ACF＝90°，
∴AD⊥BE．
20．如图：已知A（a，0）、B（0，b），且a、b满足（a﹣2）2+|2b﹣4|＝0．
（1）如图1，求△AOB的面积；
（2）如图2，点C在线段AB上（不与A、B重合）移动，AB⊥BD，且∠COD＝45°，猜想线段AC、BD、CD之间的数量关系并证明你的结论；
（3）如图3，若P为x轴上异于原点O和点A的一个动点，连接PB，将线段PB绕点P顺时针旋转90°至PE，直线AE交y轴Q，点Q，当P点在x轴上移动时，线段BE和线段BQ中，请判断哪条线段长为定值，并求出该定值．
【分析】（1）根据非负数的性质得到a﹣2＝0，2b﹣4＝0，求得a＝2，b＝2，得到OA＝2，OB＝2，于是得到结果；
（2）证明：将△AOC绕点O逆时针旋转90°得到△OBF根据已知条件得到∠BDF＝180°，由∠DOC＝45°，∠AOB＝90°，同时代的∠BOD+∠AOC＝45°，求出∠FOD＝∠BOF+∠BOD＝∠BOD+∠AOC＝45°，推出△ODF≌△ODC，根据全等三角形的性质得到DC＝DF＝DB+BF＝DB+DC；
（3）BQ是定值，作EF⊥OA于F，在FE上截取PF＝FD，由∠BAO＝∠PDF＝45°，得到∠PAB＝∠PD，E＝135°，根据余角的性质得到∠BPA＝∠PED，推出△PBA≌EPD，根据全等三角形的性质得到AP＝ED，于是得到FD+ED＝PF+AP．即：FE＝FA，根据等腰直角三角形的性质得到结论．
【解答】（1）解：∵（a﹣2）2+|2b﹣4|＝0，∴a﹣2＝0，2b﹣4＝0，
∴a＝2，b＝2，
∴A（2，0）、B（0，2），
∴OA＝2，OB＝2，
∴△AOB的面积＝＝2；
（2）证明：将△AOC绕点O逆时针旋转90°得到△OBF，
∵∠OAC＝∠OBF＝∠OBA＝45°，∠DBA＝90°，
∴∠BDF＝180°，
∵∠DOC＝45°，∠AOB＝90°，
∴∠BOD+∠AOC＝45°，
∴∠FOD＝∠BOF+∠BOD＝∠BOD+∠AOC＝45°，
在△ODF与△ODC中，，
∴：△ODF≌△ODC，∴DC＝DF，DF＝BD+BF，故CD＝BD+AC．
（3）BQ是定值，作EF⊥OA于F，在FE上截取PF＝FD，
∵∠BAO＝∠PDF＝45°，
∴∠PAB＝∠PD，E＝135°，
∴∠BPA+∠EPF＝90°∠EPF+∠PED＝90°，
∴∠BPA＝∠PED，
在△PBA与△EPD中，
，
∴△PBA≌EPD（AAS），
∴AP＝ED，
∴FD+ED＝PF+AP，
即：FE＝FA，
∴∠FEA＝∠FAE＝45°，
∴∠QAO＝∠EAF＝∠OQA＝45°，
∴OA＝OQ＝2，
∴BQ＝4．
1．如图，AB与CD交于点E，点E是AB的中点，∠A＝∠B．试说明：AC＝BD．
2．如图所示，A、D、B、E四点在同一条直线上，若AD＝BE，∠A＝∠EDF，∠E+∠CBE＝180°，求证：AC＝DF．
3．已知：如图，AB∥CD，AB＝DC，BE＝CF．求证：AF＝DE．
4．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，BE⊥CE于E，AD⊥CE于D，AD＝2.5cm，DE＝1.7cm，求BE的长．
5．如图，△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝90°，F为AB延长线上一点，点E在BC上，且AE＝CF．
（1）求证：Rt△ABE≌Rt△CBF；
（2）若∠CAE＝30°，∠BAC＝45°，求∠ACF的度数．
6．如图，已知AE⊥BC，DF⊥BC，垂足分别为E，F，AE＝DF，AB＝DC．
求证：（1）∠ABE＝∠DCF；
（2）AC＝DB．
7．如图，已知，EC＝AC，∠BCE＝∠DCA，∠A＝∠E．
（1）求证：BC＝DC；
（2）若∠A＝25°，∠D＝15°，求∠ACB的度数．
8．如图，已知AC、DB的交点为E，AE＝DE，∠A＝∠D；过点E作EF⊥BC，垂足为F．
（1）求证：△ABE≌△DCE；
（2）求证：F为BC边的中点．
9．如图，在△ABC中，AE＝DE，过点A作AF∥BC交BE的延长线于F点．
（1）求证：△AEF≌△DEB；
（2）若∠ABD＝∠BAD，AD＝6，求AF的长．
10．如图：在△ABC中，BE、CF分别是AC、AB两边上的高，在BE上截取BD＝AC，在CF的延长线上截取CG＝AB，连接AD、AG．
（1）求证：AD＝AG；
（2）AD与AG的位置关系如何，请说明理由．
11．如图，平面直角坐标系中，A（0，3），B（4，3），点C、D、E在x轴上，且点E在点D的右侧．AC⊥AE，∠ACE＝∠BDE．
（1）试说明BD和AE的位置关系，并说明理由．
（2）求证：∠ACE＝∠B．
12．如图，点C在线段AB上，AD∥EB，AC＝BE，AD＝BC，F是DE的中点．求证：
（1）△ACD≌△BEC；
（2）CF⊥DE．
13．如图，在△ABC和△ADE中，AB＝AD，AC＝AE，BC＝DE，延长BC分别交边AD、DE于点F、G．
（1）求证：∠B＝∠D；
（2）若∠CAE＝49°，求∠BGD的度数．
14．如图，在△ABC中，BD⊥AC于点D，CE⊥AB于点E，BD、CE相交于点G，BD＝DC，DF∥BC交AB于点F，连接FG．
求证：（1）△DAB≌△DGC；
（2）CG＝FB+FG．
15．如图，在△ABC中，点D是边BC上一点，CD＝AB，点E在边AC上，且AD＝DE，∠BAD＝∠CDE．
（1）如图1，求证：BD＝CE；
（2）如图2，若DE平分∠ADC，在不添加辅助线的情况下，请直接写出图中所有与∠ADE相等的角（∠ADE除外）．
16．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB上一点，且BD＝AD＝CD，过B作BE⊥CD，分别交AC于点E、交CD于点F．
（1）求证：∠A＝∠EBC；
（2）如果AC＝2BC，请猜想BE和CD的数量关系，并证明你的猜想．
17．如图，△ABC中，∠ABC＝45°，D为BC上一点，∠ADC＝60°，AE⊥BC于点E，CF⊥AD于点F，AE、CF相交于点G，∠CAE＝15°．
（1）求∠ACF的度数；
（2）求证：DF＝AG．
18．已知AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE．
（1）如图1，当点D在BC上时，求证：BD＝CE；
（2）如图2，当点D、E、C在同一直线上，且∠BAC＝α，∠BAE＝β时，求∠DBC的度数（用含α和β的式子表示）．
19．如图1，△ABE是等腰三角形，AB＝AE，∠BAE＝45°，过点B作BC⊥AE于点C，在BC上截取CD＝CE，连接AD、DE并延长AD交BE于点P；
（1）求证：AD＝BE；
（2）试说明AD平分∠BAE；
（3）如图2，将△CDE绕着点C旋转一定的角度，那么AD与BE的位置关系是否发生变化，说明理由．
20．如图：已知A（a，0）、B（0，b），且a、b满足（a﹣2）2+|2b﹣4|＝0．
（1）如图1，求△AOB的面积；
（2）如图2，点C在线段AB上（不与A、B重合）移动，AB⊥BD，且∠COD＝45°，猜想线段AC、BD、CD之间的数量关系并证明你的结论；
（3）如图3，若P为x轴上异于原点O和点A的一个动点，连接PB，将线段PB绕点P顺时针旋转90°至PE，直线AE交y轴Q，点Q，当P点在x轴上移动时，线段BE和线段BQ中，请判断哪条线段长为定值，并求出该定值．
参考答案与试题解析
1．如图，AB与CD交于点E，点E是AB的中点，∠A＝∠B．试说明：AC＝BD．
【分析】证明△AEC≌△BED（ASA），可得AC＝BD．
【解答】证明：∵E是AB的中点，
∴AE＝BE，
在△AEC和△BED中，
，
∴△AEC≌△BED（ASA），
∴AC＝BD．
2．如图所示，A、D、B、E四点在同一条直线上，若AD＝BE，∠A＝∠EDF，∠E+∠CBE＝180°，求证：AC＝DF．
【分析】根据∠E+∠CBE＝180°，∠ABC+∠CBE＝180°，可得∠E＝∠ABC，根据AD＝BE可得AB＝DE，利用ASA证明△ABC≌△DEF，可得结论．
【解答】证明：∵∠E+∠CBE＝180°，∠ABC+∠CBE＝180°，
∴∠E＝∠ABC，
∵AD＝BE，
∴AD+DB＝BE+DB，
即AB＝DE，
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（ASA），
∴AC＝DF．
3．已知：如图，AB∥CD，AB＝DC，BE＝CF．求证：AF＝DE．
【分析】由全等三角形的判定定理SAS证得△ABF≌△DCE，由全等三角形的性质可得出结论．
【解答】证明：如图，∵AB∥CD，
∴∠B＝∠C．
∵BE＝CF，
∴BE﹣EF＝CF﹣EF，
即BF＝CE，
在△ABF与△DCE中，
，
∴△ABF≌△DCE（SAS），
∴AF＝DE．
4．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，BE⊥CE于E，AD⊥CE于D，AD＝2.5cm，DE＝1.7cm，求BE的长．
【分析】先证明△ACD≌△CBE，再求出EC的长，解决问题．
【解答】解：∵BE⊥CE于E，AD⊥CE于D
∴∠E＝∠ADC＝90°
∵∠BCE+∠ACE＝∠DAC+∠ACE＝90°
∴∠BCE＝∠DAC
∵AC＝BC
∴△ACD≌△CBE
∴CE＝AD，BE＝CD＝2.5﹣1.7＝0.8（cm）．
5．如图，△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝90°，F为AB延长线上一点，点E在BC上，且AE＝CF．
（1）求证：Rt△ABE≌Rt△CBF；
（2）若∠CAE＝30°，∠BAC＝45°，求∠ACF的度数．
【分析】（1）由AB＝CB，∠ABC＝90°，AE＝CF，即可利用HL证得Rt△ABE≌Rt△CBF；
（2）由AB＝CB，∠ABC＝90°，即可求得∠ACB的度数，即可得∠BAE的度数，又由Rt△ABE≌Rt△CBF，即可求得∠BCF的度数，则由∠ACF＝∠BCF+∠ACB即可求得答案．
【解答】（1）证明：∵∠ABC＝90°，
∴∠CBF＝∠ABE＝90°，
在Rt△ABE和Rt△CBF中，，
∴Rt△ABE≌Rt△CBF（HL）；
（2）解：∵∠ABC＝90°，∠BAC＝45°，
∴∠ACB＝45°，
又∵∠BAE＝∠CAB﹣∠CAE＝45°﹣30°＝15°，
由（1）知：Rt△ABE≌Rt△CBF，
∴∠BCF＝∠BAE＝15°，
∴∠ACF＝∠BCF+∠ACB＝45°+15°＝60°．
6．如图，已知AE⊥BC，DF⊥BC，垂足分别为E，F，AE＝DF，AB＝DC．
求证：（1）∠ABE＝∠DCF；
（2）AC＝DB．
【分析】（1）利用HL证明Rt△ABE≌Rt△CDF，从而证明结论；
（2）由（1）得∠ABE＝∠DCF，再利用SAS证明△ABC≌△DCB即可．
【解答】证明：（1）在Rt△ABE与Rt△DCF中，
，
∴Rt△ABE≌Rt△CDF（HL），
∴∠ABE＝∠DCF；
（2）由（1）得∠ABE＝∠DCF，
在△ABC与△DCB中，
，
∴△ABC≌△DCB（SAS），
∴AC＝DB．
7．如图，已知，EC＝AC，∠BCE＝∠DCA，∠A＝∠E．
（1）求证：BC＝DC；
（2）若∠A＝25°，∠D＝15°，求∠ACB的度数．
【分析】（1）根据ASA证明△BCA≌△DCE，进而利用全等三角形的性质解答即可；
（2）根据全等三角形的性质解答即可．
【解答】证明：（1）∵∠BCE＝∠DCA，
∴∠BCE+∠ACE＝∠DCA+∠ECA，
即∠BCA＝∠DCE，
在△BCA和△DCE中，
，
∴△BCA≌△DCE（ASA），
∴BC＝DC；
（2）∵△BCA≌△DCE，
∴∠B＝∠D＝15°，
∵∠A＝25°，
∴∠ACB＝180°﹣∠A﹣∠B＝140°．
8．如图，已知AC、DB的交点为E，AE＝DE，∠A＝∠D；过点E作EF⊥BC，垂足为F．
（1）求证：△ABE≌△DCE；
（2）求证：F为BC边的中点．
【分析】（1）根据ASA证明△ABE≌△DCE即可；
（2）根据等腰三角形的性质解答即可．
【解答】证明：（1）在△ABE和△DCE中，
，
∴△ABE≌△DCE（ASA）；
（2）∵△ABE≌△DCE，
∴EB＝EC，
又∵EF⊥BC，
∴F为BC边的中点 （三线合一）．
9．如图，在△ABC中，AE＝DE，过点A作AF∥BC交BE的延长线于F点．
（1）求证：△AEF≌△DEB；
（2）若∠ABD＝∠BAD，AD＝6，求AF的长．
【分析】（1）通过AAS证明△AEF≌△DEB即可；
（2）根据全等三角形的性质可得答案．
【解答】（1）证明：∵AF∥BC，
∴∠F＝∠CBF，
在△AEF与△DEB中，
，
∴△AEF≌△DEB（AAS），
（2）∵△AEF≌△DEB，
∴AF＝BD，
∵∠ABD＝∠BAD，
∴BD＝AD＝6．
∴AF＝6．
10．如图：在△ABC中，BE、CF分别是AC、AB两边上的高，在BE上截取BD＝AC，在CF的延长线上截取CG＝AB，连接AD、AG．
（1）求证：AD＝AG；
（2）AD与AG的位置关系如何，请说明理由．
【分析】（1）由BE垂直于AC，CF垂直于AB，利用垂直的定义得∠HFB＝∠HEC，由得对顶角相等得∠BHF＝∠CHE，所以∠ABD＝∠ACG．再由AB＝CG，BD＝AC，利用SAS可得出三角形ABD与三角形ACG全等，由全等三角形的对应边相等可得出AD＝AG，
（2）利用全等得出∠ADB＝∠GAC，再利用三角形的外角和定理得到∠ADB＝∠AED+∠DAE，又∠GAC＝∠GAD+∠DAE，利用等量代换可得出∠AED＝∠GAD＝90°，即AG与AD垂直．
【解答】（1）证明：∵BE⊥AC，CF⊥AB，
∴∠HFB＝∠HEC＝90°，又∵∠BHF＝∠CHE，
∴∠ABD＝∠ACG，
在△ABD和△GCA中
，
∴△ABD≌△GCA（SAS），
∴AD＝GA（全等三角形的对应边相等）；
（2）位置关系是AD⊥GA，
理由：∵△ABD≌△GCA，
∴∠ADB＝∠GAC，
又∵∠ADB＝∠AED+∠DAE，∠GAC＝∠GAD+∠DAE，
∴∠AED＝∠GAD＝90°，
∴AD⊥GA．
11．如图，平面直角坐标系中，A（0，3），B（4，3），点C、D、E在x轴上，且点E在点D的右侧．AC⊥AE，∠ACE＝∠BDE．
（1）试说明BD和AE的位置关系，并说明理由．
（2）求证：∠ACE＝∠B．
【分析】（1）根据∠ACE＝∠BDE，判定AC∥BD，再根据“同一平面内，如果一条直线垂直于两条平行线中的一条，那么它也垂直于另一条”即可得出BD⊥AE；
（2）根据题意得到AB∥CD，根据平行线的性质即可得解．
【解答】（1）解：BD⊥AE，理由如下：
∵∠ACE＝∠BDE，
∴AC∥BD，
∵AC⊥AE，
∴BD⊥AE；
（2）证明：∵A（0，3），B（4，3），
∴AB∥CD，
∴∠B＝∠BDE，
∵∠ACE＝∠BDE，
∴∠ACE＝∠B．
12．如图，点C在线段AB上，AD∥EB，AC＝BE，AD＝BC，F是DE的中点．求证：
（1）△ACD≌△BEC；
（2）CF⊥DE．
【分析】（1）根据平行线性质得出∠A＝∠EBC，根据SAS证出△ADC≌△BCE；
（2）由全等三角形的性质得出DC＝CE，根据等腰三角形的三线合一定理推出即可．
【解答】（1）证明：∵AD∥EB，
∴∠A＝∠EBC，
在△ADC和△BCE中，
，
∴△ADC≌△BCE（SAS）；
（2）证明：∵△ADC≌△BCE，
∴DC＝CE，
又∵F是DE的中点，
∴CF⊥DE．
13．如图，在△ABC和△ADE中，AB＝AD，AC＝AE，BC＝DE，延长BC分别交边AD、DE于点F、G．
（1）求证：∠B＝∠D；
（2）若∠CAE＝49°，求∠BGD的度数．
【分析】（1）由“SSS”可证△ABC≌△ADE，可得结论；
（2）由全等三角形的性质可得∠DAE＝∠BAC，由三角形外角性质可求解．
【解答】（1）证明：在△ABC和△ADE中，
，
∴△ABC≌△ADE（SSS），
∴∠B＝∠D；
（2）∵△ABC≌△ADE，
∴∠DAE＝∠BAC，
∴∠DAB＝∠EAC＝49°，
∵∠AFG＝∠B+∠DAB＝∠D+∠BGD，
∴∠BGD＝∠DAB＝49°．
14．如图，在△ABC中，BD⊥AC于点D，CE⊥AB于点E，BD、CE相交于点G，BD＝DC，DF∥BC交AB于点F，连接FG．
求证：（1）△DAB≌△DGC；
（2）CG＝FB+FG．
【分析】（1）由“ASA”可证△DAB≌△DGC；
（2）由全等三角形的性质可得AB＝CG，DA＝DG，由“SAS”可证△DFA≌△DFG，可得FA＝FG，可得结论．
【解答】证明：（1）∵BD⊥AC，CE⊥AB，
∴∠ABD+∠A＝90°，∠ACE+∠A＝90°，
∴∠ABD＝∠ACE，
在△DAB和△DGC中，
，
∴△DAB≌△DGC（ASA）；
（2）∵△DAB≌△DGC，
∴AB＝CG，DA＝DG，
∵BD＝CD．∠BDC＝90°，
∴∠DBC＝∠DCB＝45°，
∵DF∥BC，
∴∠FDA＝∠FDG＝45°，
在△DFA和△DFG中，
，
∴△DFA≌△DFG（SAS），
∴FA＝FG．
∴CG＝AB＝FB+FA＝FB+FG．
15．如图，在△ABC中，点D是边BC上一点，CD＝AB，点E在边AC上，且AD＝DE，∠BAD＝∠CDE．
（1）如图1，求证：BD＝CE；
（2）如图2，若DE平分∠ADC，在不添加辅助线的情况下，请直接写出图中所有与∠ADE相等的角（∠ADE除外）．
【分析】（1）由“SAS”可证△ABD≌△DCE，可得BD＝CE；
（2）由全等三角形的性质可得∠B＝∠C，由三角形的外角性质和角平分线的性质可求解．
【解答】解：（1）在△ABD和△DCE中，
，
∴△ABD≌△DCE（SAS），
∴BD＝CE；
（2）∵△ABD≌△DCE，
∴∠B＝∠C，
∵DE平分∠ADC，
∴∠ADE＝∠CDE＝∠BAD，
∵∠ADC＝∠B+∠BAD＝∠ADE+∠CDE，
∴∠B＝∠ADE＝∠BAD＝∠EDC＝∠C，
∴与∠ADE相等的角有∠EDC，∠BAD，∠B，∠C．
16．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB上一点，且BD＝AD＝CD，过B作BE⊥CD，分别交AC于点E、交CD于点F．
（1）求证：∠A＝∠EBC；
（2）如果AC＝2BC，请猜想BE和CD的数量关系，并证明你的猜想．
【分析】（1）证得∠EBC＝∠ACD，∠A＝∠ACD，则结论可得出；
（2）过点D作DG⊥AC于点G，根据ASA证明△DCG≌△EBC，可得出结论．
【解答】（1）证明：∵BE⊥CD，
∴∠BFC＝90°，
∴∠EBC+∠BCF＝180°﹣∠BFC＝90°，
∵∠ACB＝∠BCF+∠ACD＝90°，
∴∠EBC＝∠ACD，
∵AD＝CD，
∴∠A＝∠ACD，
∴∠A＝∠EBC；
（2）解：CD＝BE．
过点D作DG⊥AC于点G，
∵DA＝DC，DG⊥AC，
∴AC＝2CG，
∵AC＝2BC，
∴CG＝BC，
∵∠DGC＝90°，∠ECB＝90°，
∴∠DGC＝∠ECB，
在△DGC和△ECB中，
，
∴△DCG≌△EBC（ASA），
∴CD＝BE．
17．如图，△ABC中，∠ABC＝45°，D为BC上一点，∠ADC＝60°，AE⊥BC于点E，CF⊥AD于点F，AE、CF相交于点G，∠CAE＝15°．
（1）求∠ACF的度数；
（2）求证：DF＝AG．
【分析】（1）证△ABE是等腰直角三角形，得∠BAE＝45°，则∠DAE＝∠BAE﹣∠BAD＝30°，再求出∠CAF＝45°，即可解决问题；
（2）证△AFG≌△CFD（ASA），得GF＝DF，再由含30°角的直角三角形的性质得FG＝AG，即可得出结论．
【解答】（1）解：∵∠ABC＝45°，∠ADC＝60°，
∴∠BAD＝∠ADC﹣∠ABC＝60°﹣45°＝15°，
∵AE⊥BC，
∴∠AEB＝90°，
∴△ABE是等腰直角三角形，
∴∠BAE＝45°，
∴∠DAE＝∠BAE﹣∠BAD＝45°﹣15°＝30°，
∴∠CAF＝∠DAE+∠CAE＝30°+15°＝45°，
∵CF⊥AD，
∴∠AFC＝90°，
∴∠ACF＝90°﹣∠CAF＝45°；
（2）证明：由（1）可知，∠DAC＝45°，∠AFG＝∠CFD＝90°，∠ACF＝∠CAF＝45°，
∴AF＝CF，
∵AE⊥CB，
∴∠CEG＝∠AFG＝90°，
∵∠CGE＝∠AGF，
∴∠FAG＝∠FCD，
在△AFG和△CFD中，
，
∴△AFG≌△CFD（ASA），
∴GF＝DF，
由（1）可知，∠FAG＝30°，
∵∠AFG＝90°，
∴FG＝AG，
∴DF＝AG．
18．已知AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE．
（1）如图1，当点D在BC上时，求证：BD＝CE；
（2）如图2，当点D、E、C在同一直线上，且∠BAC＝α，∠BAE＝β时，求∠DBC的度数（用含α和β的式子表示）．
【分析】（1）证出△ABD≌△ACE即可；
（2）由（1）的结论以及四边形的内角和定理可得答案．
【解答】（1）证明：∵∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAC﹣∠CAD＝∠DAE﹣∠CAD，
即∠BAD＝∠CAE，
在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴BD＝CE；
（2）解：∵AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝α，
∴∠ABC＝∠ACB＝＝90°﹣α＝∠ADE＝∠AED，
由（1）得△ABD≌△ACE，
∴∠ADB＝∠AEC＝180°﹣∠AED＝90°+α，
∴∠DBC＝360°﹣∠BCA﹣∠CAD﹣∠ADB
＝360°﹣（90°﹣α）﹣（2α﹣β）﹣（90°+α）
＝180°﹣2α+β．
19．如图1，△ABE是等腰三角形，AB＝AE，∠BAE＝45°，过点B作BC⊥AE于点C，在BC上截取CD＝CE，连接AD、DE并延长AD交BE于点P；
（1）求证：AD＝BE；
（2）试说明AD平分∠BAE；
（3）如图2，将△CDE绕着点C旋转一定的角度，那么AD与BE的位置关系是否发生变化，说明理由．
【分析】（1）利用SAS证明△BCE≌△ACD，根据全等三角形的对应边相等得到AD＝BE．
（2）根据△BCE≌△ACD，得到∠EBC＝∠DAC，由∠BDP＝∠ADC，得到∠BPD＝∠DCA＝90°，利用等腰三角形的三线合一，即可得到AD平分∠BAE；
（3）AD⊥BE不发生变化．由△BCE≌△ACD，得到∠EBC＝∠DAC，由对顶角相等得到∠BFP＝∠AFC，根据三角形内角和为180°，所以∠BPF＝∠ACF＝90°，即AD⊥BE．
【解答】解：（1）∵BC⊥AE，∠BAE＝45°，
∴∠CBA＝∠CAB，
∴BC＝CA，
在△BCE和△ACD中，
，
∴△BCE≌△ACD（SAS），
∴AD＝BE．
（2）∵△BCE≌△ACD，
∴∠EBC＝∠DAC，
∵∠BDP＝∠ADC，
∴∠BPD＝∠DCA＝90°，
∵AB＝AE，
∴AD平分∠BAE．
（3）AD⊥BE不发生变化．
如图2，
∵△BCE≌△ACD，
∴∠EBC＝∠DAC，
∵∠BFP＝∠AFC，
∴∠BPF＝∠ACF＝90°，
∴AD⊥BE．
20．如图：已知A（a，0）、B（0，b），且a、b满足（a﹣2）2+|2b﹣4|＝0．
（1）如图1，求△AOB的面积；
（2）如图2，点C在线段AB上（不与A、B重合）移动，AB⊥BD，且∠COD＝45°，猜想线段AC、BD、CD之间的数量关系并证明你的结论；
（3）如图3，若P为x轴上异于原点O和点A的一个动点，连接PB，将线段PB绕点P顺时针旋转90°至PE，直线AE交y轴Q，点Q，当P点在x轴上移动时，线段BE和线段BQ中，请判断哪条线段长为定值，并求出该定值．
【分析】（1）根据非负数的性质得到a﹣2＝0，2b﹣4＝0，求得a＝2，b＝2，得到OA＝2，OB＝2，于是得到结果；
（2）证明：将△AOC绕点O逆时针旋转90°得到△OBF根据已知条件得到∠BDF＝180°，由∠DOC＝45°，∠AOB＝90°，同时代的∠BOD+∠AOC＝45°，求出∠FOD＝∠BOF+∠BOD＝∠BOD+∠AOC＝45°，推出△ODF≌△ODC，根据全等三角形的性质得到DC＝DF＝DB+BF＝DB+DC；
（3）BQ是定值，作EF⊥OA于F，在FE上截取PF＝FD，由∠BAO＝∠PDF＝45°，得到∠PAB＝∠PD，E＝135°，根据余角的性质得到∠BPA＝∠PED，推出△PBA≌EPD，根据全等三角形的性质得到AP＝ED，于是得到FD+ED＝PF+AP．即：FE＝FA，根据等腰直角三角形的性质得到结论．
【解答】（1）解：∵（a﹣2）2+|2b﹣4|＝0，∴a﹣2＝0，2b﹣4＝0，
∴a＝2，b＝2，
∴A（2，0）、B（0，2），
∴OA＝2，OB＝2，
∴△AOB的面积＝＝2；
（2）证明：将△AOC绕点O逆时针旋转90°得到△OBF，
∵∠OAC＝∠OBF＝∠OBA＝45°，∠DBA＝90°，
∴∠BDF＝180°，
∵∠DOC＝45°，∠AOB＝90°，
∴∠BOD+∠AOC＝45°，
∴∠FOD＝∠BOF+∠BOD＝∠BOD+∠AOC＝45°，
在△ODF与△ODC中，，
∴：△ODF≌△ODC，∴DC＝DF，DF＝BD+BF，故CD＝BD+AC．
（3）BQ是定值，作EF⊥OA于F，在FE上截取PF＝FD，
∵∠BAO＝∠PDF＝45°，
∴∠PAB＝∠PD，E＝135°，
∴∠BPA+∠EPF＝90°∠EPF+∠PED＝90°，
∴∠BPA＝∠PED，
在△PBA与△EPD中，
，
∴△PBA≌EPD（AAS），
∴AP＝ED，
∴FD+ED＝PF+AP，
即：FE＝FA，
∴∠FEA＝∠FAE＝45°，
∴∠QAO＝∠EAF＝∠OQA＝45°，
∴OA＝OQ＝2，
∴BQ＝4．