1.2.1命题与量词
题型1 有关命题的概念 3
题型2 全称量词命题、存在量词命题的判断 4
题型3 全称量词命题、存在量词命题的真假 6
题型4 求取值范围 7
题型5 含有量词的命题的否定 8
题型6 全称量词命题、存在量词命题的应用 9
知识点一 命题的概念
命题的定义：命题是判断一件事情的语句，也就是“一句可以直接判断对错的话”
命题的结构：命题由条件和结论组成，标准写法是如果“条件”，那么“结论”。
命题的真假：结论为正确的命题叫真命题，结论错误的命题为假命题。
常见的命题： ①对顶角相等
②两直线平行，内错角相等
③爸爸的年龄比儿子大
④地球是方的
⑤如果一个函数是正比例函数，那么它也是一次函数
⑥等腰三角形底角相等
⑦数学比英语难
⑧正方形比圆面积大
关于命题的拓展:
①命题通常是陈述句，包括肯定句和否定句
②祈使句、疑问句、反问句一般不是命题。
③判定真命题，除了公认的事实外，还要严格的推理证明。
④判定假命题，只需要举出一个反例即可。
知识点1 全称量词与全称量词命题
小思考：
语句(1)“x＞3”；语句(2)“对所有的x∈R，x＞3”，两者有什么区别？
知识梳理：
(1)短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做__全称量词_ (universal quantifier)，
并用符合“ ”表示．含有全称量词的命题，叫做_全称量词命题(universal proposition)．
常见的全称量词还有“一切”“每一个”“任给”等．
(2)通常，将含有变量x 的语句用p(x)，q(x)，r(x)，…表示，变量x的取值范围用M表示．那么，
全称量词命题“对M中任意一个x，p(x)成立”可用符号简记为_ x∈M，p(x)_．
知识点二 存在量词与存在量词命题
知识点 全称量词和存在量词
全称量词 存在量词
量词 所有的、任意一个 存在一个、至少有一个
符号
命题 含有全称量词的命题是全称量词命题 含有存在量词的命题是存在量词命题
命题形式 “对M中任意一个x，p(x)成立”，可用符号简记为“ x∈M，p(x)” “存在M中的元素x，p(x)成立”，可用符号简记为“ x∈M，p(x)”
知识点三 含有量词命题的否定
知识点 含量词的命题的否定
p p 结论
全称量词命题 x∈M，p(x) x∈M，p(x) 全称量词命题的否定是存在量词命题
存在量词命题 x∈M，p(x) x∈M，p(x) 存在量词命题的否定是全称量词命题
关键量词的否定
词语 是 一定是 都是 大于 小于 且
词语的否定 不是 一定不是 不都是 小于或等于 大于或等于 或
词语 必有一个 至少有n个 至多有一个 所有x成立 所有x不成立
词语的否定 一个也没有 至多有n－1个 至少有两个 存在一个x不成立 存在有一个成立
原结论 否定形式 原结论 否定形式
是 不是 至少有一个 没有
都是 不都是 至多有一个 至少有二个
大于 小于或等于 至少有个 至多有-1个
小于 大于或等于 至多有个 至少有+1个
对所有的成立 存在不成立 或 非且非
对任何的不成立 存在成立 且 非或非
题型1 有关命题的概念
【例题1】判断下列语句是否是命题：
⑴张三是四川人；⑵是个很大的数；⑶；⑷；⑸；
【变式1-1】1.判断下列语句是不是命题，若是，判断出其真假，若不是，说明理由.
（1）矩形难道不是平行四边形吗？
（2）垂直于同一条直线的两条直线必平行吗？
（3）求证：，方程无实根.
（4）.
（5）人类在2020年登上火星.
【变式1-1】2.下面有三个命题：①若不属于，则属于；②若，则的最小值为；③的解可表示为．其中真命题的个数为（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
【变式1-1】3.判断下列命题的真假，如果是假命题，请举出一个反例？
（1）若a2>b2,则a>b
（2）同位角相等，两直线平行。
（3）一个角的余角小于这个角。
【例题1-2】命题“若，则”是____________命题（填“真”或“假”其中一个）.
【变式1-2】1．命题“若，则”是___________命题（填“真”或“假”）.
【变式1-2】2．判断命题“已知，若是奇数，则是奇数”是真命题还是假命题？___________.
【变式1-2】3．已知实数，命题“若，则或”是________命题.（判断真假）(逆否)
题型2 全称量词命题、存在量词命题的判断
【例题2-1】下列语句不是存在量词命题的是 ( )
A．有的无理数的平方是有理数
B．有的无理数的平方不是有理数
C．对于任意x∈Z,2x＋1是奇数
D．存在x∈R,2x＋1是奇数
【变式2-1】1.给出下列几个命题：
①至少有一个x，使x2＋2x＋1＝0成立；
②对任意的x，都有x2＋2x＋1＝0成立；
③对任意的x，都有x2＋2x＋1＝0不成立；
④存在x，使x2＋2x＋1＝0成立．
其中是全称量词命题的个数为( )
A．1 B．2 C．3 D．0
【变式2-1】2.判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题：
(1)负数没有倒数；
(2)至少有一个整数，它既能被2整除；又能被5整除；
(3) x∈{x|x是无理数}，x2是无理数；
(4)x＞7.
【变式2-1】3.下列命题是全称量词命题的是 ( )
A.有的三角形是等边三角形
B.所有2的倍数都是偶数
C.有一个实数,使|x|≤0
D.至少有一个x∈{x|x是无理数},x2是无理数
【变式2-1】4.下列命题中全称量词命题的个数为( )
①平行四边形的对角线互相平分；
②梯形有两边平行；
③存在一个菱形，它的四条边不相等．
A．0 B．1 C．2 D．3
【变式2-1】5.下列命题:
(1)今天有人请假.
(2)中国所有的江河都流入太平洋.
(3)中国公民都有受教育的权利.
(4)每一个中学生都要接受爱国主义教育.
(5)有人既能写小说,也能搞发明创造.
(6)任何一个数除0都等于0.
其中是全称量词命题的个数是 ( )
A.1 B.2
C.3 D.不少于4个
【变式2-2】1.命题“存在实数x,y,使得x+y>1”是______________(填全称量词命题或存在量词命题),用符号表示为______________.
【变式2-2】2．下列命题是“ x∈R，x2>3”的另一种表述方式的是( )
A．有一个x∈R，使得x2>3
B．对有些x∈R，使得x2>3
C．任选一个x∈R，使得x2>3
D．至少有一个x∈R，使得x2>3
【变式2-2】3．存在量词命题“存在实数x，使x2＋1<0”可写成( )
A．若x∈R，则x2＋1>0 B． x∈R，x2＋1<0
C． x∈R，x2＋1<0 D．以上都不正确
题型3 全称量词命题、存在量词命题的真假
【例题3-1】 判断下列命题的真假
(1)梯形的对角线相等；
(2)有些菱形是正方形；
(3)至少有一个整数n，n2＋1是4的倍数．
【变式3-1】1.判断下列命题的真假．
(1) x∈Z，x3<1；
(2)存在一个四边形不是平行四边形；
(3)在平面直角坐标系中，任意有序实数对(x，y)都对应一点P；
(4) x∈N，x2>0.
【变式3-1】2.判断下列存在量词命题的真假：
(1)存在一个四边形，它的两条对角线互相垂直；
(2)至少有一个整数n，使得n2＋n为奇数；
(3) x∈{y|y是无理数}，x2是无理数．
【变式3-1】3.下列说法正确的是( )
A．对所有的正实数t，有
B．存在实数x，使x2－3x－4＝0
C．不存在实数x，使x<4且x2＋5x－24＝0
D．任意实数x，使得|x＋1|≤1且x2>4
【变式3-1】4.用符号“ ”与“ ”表示下面含有量词的命题,并判断真假.
(1)不等式x2-x+≥0对一切实数x都成立.
(2)存在实数x,使得=
【变式3-1】5.下列命题中是真命题的是 ( )
A. x∈R,x2+1<0 B. x∈Z,3x+1是整数
C. x∈R,|x|>3 D. x∈Q,x2∈Z
【变式3-1】6.下列命题:①偶数都可以被2整除;②角平分线上的任一点到这个角的两边的距离相等;③任何一个实数乘以0都等于0;④有的实数是无限不循环小数;⑤有的菱形是正方形;⑥存在三角形其内角和大于180°.
既是全称量词命题又是真命题的是________,既是存在量词命题又是真命题的是________(填上所有满足要求的序号).
题型4 求取值范围
【例题4】已知 x∈{x|0≤x≤2},m>x, x∈{x|0≤x≤2},n>x,那么m,n的取值范围分别是 ( )
A.m∈{m|m>0},n∈{n|n>0} B.m∈{m|m>0},n∈{n|n>2}
C.m∈{m|m>2},n∈{n|n>0} D.m∈{m|m>2},n∈{n|n>2}
【变式4】1.已知命题p:“ x∈R,(a-3)x+1=0”是真命题,则实数a的取值集合是_________
【变式4】2. 若命题“对任意实数x,2x>m(x2＋1)”是真命题，求实数m的取值范围．
【变式4】3．已知命题p： x∈R，x2＋2x－a>0.若p为真命题，则实数a的取值范围是( )
A．a>－1 B．a<－1 C．a≥－1 D．a≤－1
【变式4】4．若存在x∈R，使ax2＋2x＋a<0，则实数a的取值范围为________．
题型5 含有量词的命题的否定
【例题5】写出下列命题的否定，并判断其否定的真假：
(1)p：不论m取何实数，方程x2＋mx－1＝0必有实根；
(2)p： x∈N,2x>0.
【变式5-1】1.写出下列存在量词命题的否定，并判断其否定的真假．
(1)有些实数的绝对值是正数；
(2)某些平行四边形是菱形；
(3) x0，y0∈Z，使得x0＋y0＝3.
【变式5-1】2.写出下列命题的否定．
(1)若x2＞4，则x＞2.
(2)若m≥0，则x2＋x－m＝0有实数根．
(3)可以被5整除的整数，末位是0.
(4)被8整除的数能被4整除．
(5)若一个四边形是正方形，则它的四条边相等．
【变式5-1】3.写出下列命题的否定．
(1)所有矩形都是平行四边形；
(2)每一个素数都是奇数；
(3) x∈R，x2－2x＋1≥0.
【变式5-1】4.写出下列命题的否定．
(1)有些四边形有外接圆；
(2)某些平行四边形是菱形；
(3) x∈R，x2＋1<0.
【变式5-1】5命题“ x∈R,x2=x”的否定是 ( )
A. x∈R,x2≠x B. x∈R,x2=x C. x R,x2≠x D. x∈R,x2≠x
【变式5-1】6.命题“ x∈R，|x|＋x2≥0”的否定是( )
A． x∈R，|x|＋x2<0
B． x∈R，|x|＋x2≤0
C． x∈R，|x|＋x2<0
D． x∈R，|x|＋x2≥0
【变式5-1】7．命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是( )
A．任意一个有理数，它的平方是有理数
B．任意一个无理数，它的平方不是有理数
C．存在一个有理数，它的平方是有理数
D．存在一个无理数，它的平方不是有理数
题型6 全称量词命题、存在量词命题的应用
【例题6】已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，且B≠ .
(1)若命题p：“ x∈B，x∈A”是真命题，求m的取值范围；
(2)命题q：“ x∈A，x∈B”是真命题，求m的取值范围．
【变式6-1】1.对于任意实数x，不等式x2＋4x－1>m恒成立．求实数m的取值范围．
【变式6-1】2.已知命题p: x∈{x|1A.a<1 B.a>3 C.a≤3 D.a≥3
【变式6-1】3.已知命题p: x>0,x+a-1=0,若p为假命题,则a的取值范围是______.
【变式6-1】4.已知函数y1＝x，y2＝－2x2－m，若对 x1∈{x|－1≤x≤3}， x2∈{x|0≤x≤2}，使得y1≥y2，求实数m的取值范围．
【变式6-1】5.令p(x)：ax2＋2x＋a＞0，若对任意x∈R，p(x)是真命题，则实数a的取值范围是________．
【变式6-1】6.若命题“ x∈R，ax2-ax-2≤0”是真命题，则实数a的取值范围是________．1.2.1命题与量词
题型1 有关命题的概念 3
题型2 全称量词命题、存在量词命题的判断 5
题型3 全称量词命题、存在量词命题的真假 8
题型3 求取值范围 10
题型5 含有量词的命题的否定 11
题型6 全称量词命题、存在量词命题的应用 14
知识点一 命题的概念
命题的定义：命题是判断一件事情的语句，也就是“一句可以直接判断对错的话”
命题的结构：命题由条件和结论组成，标准写法是如果“条件”，那么“结论”。
命题的真假：结论为正确的命题叫真命题，结论错误的命题为假命题。
常见的命题： ①对顶角相等
②两直线平行，内错角相等
③爸爸的年龄比儿子大
④地球是方的
⑤如果一个函数是正比例函数，那么它也是一次函数
⑥等腰三角形底角相等
⑦数学比英语难
⑧正方形比圆面积大
关于命题的拓展:
①命题通常是陈述句，包括肯定句和否定句
②祈使句、疑问句、反问句一般不是命题。
③判定真命题，除了公认的事实外，还要严格的推理证明。
④判定假命题，只需要举出一个反例即可。
知识点1 全称量词与全称量词命题
小思考：
语句(1)“x＞3”；语句(2)“对所有的x∈R，x＞3”，两者有什么区别？
知识梳理：
(1)短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做__全称量词_ (universal quantifier)，
并用符合“ ”表示．含有全称量词的命题，叫做_全称量词命题(universal proposition)．
常见的全称量词还有“一切”“每一个”“任给”等．
(2)通常，将含有变量x 的语句用p(x)，q(x)，r(x)，…表示，变量x的取值范围用M表示．那么，
全称量词命题“对M中任意一个x，p(x)成立”可用符号简记为_ x∈M，p(x)_．
知识点二 存在量词与存在量词命题
知识点 全称量词和存在量词
全称量词 存在量词
量词 所有的、任意一个 存在一个、至少有一个
符号
命题 含有全称量词的命题是全称量词命题 含有存在量词的命题是存在量词命题
命题形式 “对M中任意一个x，p(x)成立”，可用符号简记为“ x∈M，p(x)” “存在M中的元素x，p(x)成立”，可用符号简记为“ x∈M，p(x)”
知识点三 含有量词命题的否定
知识点 含量词的命题的否定
p p 结论
全称量词命题 x∈M，p(x) x∈M，p(x) 全称量词命题的否定是存在量词命题
存在量词命题 x∈M，p(x) x∈M，p(x) 存在量词命题的否定是全称量词命题
关键量词的否定
词语 是 一定是 都是 大于 小于 且
词语的否定 不是 一定不是 不都是 小于或等于 大于或等于 或
词语 必有一个 至少有n个 至多有一个 所有x成立 所有x不成立
词语的否定 一个也没有 至多有n－1个 至少有两个 存在一个x不成立 存在有一个成立
原结论 否定形式 原结论 否定形式
是 不是 至少有一个 没有
都是 不都是 至多有一个 至少有二个
大于 小于或等于 至少有个 至多有-1个
小于 大于或等于 至多有个 至少有+1个
对所有的成立 存在不成立 或 非且非
对任何的不成立 存在成立 且 非或非
题型1 有关命题的概念
【例题1】判断下列语句是否是命题：
⑴张三是四川人；⑵是个很大的数；⑶；⑷；⑸；
【答案】⑴是命题；⑵不是命题；⑶不是命题；⑷不是命题；⑸是命题．
【变式1-1】1.判断下列语句是不是命题，若是，判断出其真假，若不是，说明理由.
（1）矩形难道不是平行四边形吗？
（2）垂直于同一条直线的两条直线必平行吗？
（3）求证：，方程无实根.
（4）.
（5）人类在2020年登上火星.
【答案】（1）是命题，且是真命题.
（2）不是命题，这是疑问句，没有对垂直于同一条直线的两直线是否平行作出判断.
（3）不是命题，是祈使句.
（4）是开语句，不是命题.
（5）是命题.但目前无法判断真假.
【变式1-1】2.下面有三个命题：①若不属于，则属于；②若，则的最小值为；③的解可表示为．其中真命题的个数为（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
【答案】A【解析】①假命题，如a=；②假命题，集合N中最小的数是0，如a,b=1；③假命题，{1,1}与集合元素的互异性矛盾．
【变式1-1】3.判断下列命题的真假，如果是假命题，请举出一个反例？
（1）若a2>b2,则a>b
（2）同位角相等，两直线平行。
（3）一个角的余角小于这个角。
解析 （1）假命题。反例：a= 3,b=0
（2）真命题。
（3）假命题。反例：∠A=20°，∠A的余角为70°
【例题1-2】命题“若，则”是____________命题（填“真”或“假”其中一个）.
【答案】真 因为当时，一定成立，所以此命题为真命题，故答案为：真
【变式1-2】1．命题“若，则”是___________命题（填“真”或“假”）.
【答案】真【详解】因为“”等价于“或”，根据真值表可知，若“”为真，则“或”，即“”为真，所以“若，则”是真命题.故答案为：真
【变式1-2】2．判断命题“已知，若是奇数，则是奇数”是真命题还是假命题？___________.
【答案】真命题【详解】若为奇数，可设，则，
此时为奇数，合乎题意；
若为偶数，可设，则，此时为偶数，不合乎题意.
综上所述，已知，若是奇数，则是奇数，原命题为真命题.故答案为：真命题.
【变式1-2】3．已知实数，命题“若，则或”是________命题.（判断真假）(逆否)
【答案】真【详解】命题“若，则或”的逆否命题为“若且，则”，
明显命题“若且，则”为真命题，则其逆否命题也为真命题.故答案为：真.
题型2 全称量词命题、存在量词命题的判断
【例题2-1】下列语句不是存在量词命题的是 ( )
A．有的无理数的平方是有理数
B．有的无理数的平方不是有理数
C．对于任意x∈Z,2x＋1是奇数
D．存在x∈R,2x＋1是奇数
答案 C
解析 因为“有的”“存在”为存在量词，“任意”为全称量词，所以选项A，B，D均为存在量词命题，选项C为全称量词命题．
【变式2-1】1.给出下列几个命题：
①至少有一个x，使x2＋2x＋1＝0成立；
②对任意的x，都有x2＋2x＋1＝0成立；
③对任意的x，都有x2＋2x＋1＝0不成立；
④存在x，使x2＋2x＋1＝0成立．
其中是全称量词命题的个数为( )
A．1 B．2 C．3 D．0
答案 B
解析 因为“至少有一个”、“存在”是存在量词，“任意的”为全称量词，所以①④为存在量词命题，②③为全称量词命题，所以全称量词命题的个数为2.
反思感悟 全称量词命题或存在量词命题的判断
注意：全称量词命题可以省略全称量词，存在量词命题的存在量词一般不能省略．
【变式2-1】2.判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题：
(1)负数没有倒数；
(2)至少有一个整数，它既能被2整除；又能被5整除；
(3) x∈{x|x是无理数}，x2是无理数；
(4)x＞7.
答案：(1)(3)为全称量词命题 (2)为存在量词命题 (4)不是命题
【变式2-1】3.下列命题是全称量词命题的是 ( )
A.有的三角形是等边三角形
B.所有2的倍数都是偶数
C.有一个实数,使|x|≤0
D.至少有一个x∈{x|x是无理数},x2是无理数
【解析】选B.对于A、C、D中,分别含有存在量词“有的”“有一个”“至少有一个”,所以A、C、D都是存在量词命题,B中含有全称量词“所有”,所以B是全称量词命题.
【变式2-1】4.下列命题中全称量词命题的个数为( )
①平行四边形的对角线互相平分；
②梯形有两边平行；
③存在一个菱形，它的四条边不相等．
A．0 B．1 C．2 D．3
答案 C
解析 ①②是全称量词命题，③是存在量词命题．
【变式2-1】5.下列命题:
(1)今天有人请假.
(2)中国所有的江河都流入太平洋.
(3)中国公民都有受教育的权利.
(4)每一个中学生都要接受爱国主义教育.
(5)有人既能写小说,也能搞发明创造.
(6)任何一个数除0都等于0.
其中是全称量词命题的个数是 ( )
A.1 B.2
C.3 D.不少于4个
答案 D 解析 (2)(3)(4)(6)都含有全称量词.
【变式2-2】1.命题“存在实数x,y,使得x+y>1”是______________(填全称量词命题或存在量词命题),用符号表示为______________.
答案:存在量词命题 x,y∈R,x+y>1 解析 命题“存在实数x,y,使得x+y>1”是存在量词命题,用符号表示为 x,y∈R,x+y>1.
【变式2-2】2．下列命题是“ x∈R，x2>3”的另一种表述方式的是( )
A．有一个x∈R，使得x2>3
B．对有些x∈R，使得x2>3
C．任选一个x∈R，使得x2>3
D．至少有一个x∈R，使得x2>3
答案 C
【变式2-2】3．存在量词命题“存在实数x，使x2＋1<0”可写成( )
A．若x∈R，则x2＋1>0 B． x∈R，x2＋1<0
C． x∈R，x2＋1<0 D．以上都不正确
答案 C
解析 存在量词命题中“存在”可用符号“ ”表示，故选C.
题型3 全称量词命题、存在量词命题的真假
【例题3-1】 判断下列命题的真假
(1)梯形的对角线相等；
(2)有些菱形是正方形；
(3)至少有一个整数n，n2＋1是4的倍数．
答案 (1)假：省略了全称量词，如直角梯形的对角线不相等．
(2)真：正方形是菱形的特例．
(3)假：不存在n，使n2＋1是4的倍数．
【变式3-1】1.判断下列命题的真假．
(1) x∈Z，x3<1；
(2)存在一个四边形不是平行四边形；
(3)在平面直角坐标系中，任意有序实数对(x，y)都对应一点P；
(4) x∈N，x2>0.
解 (1)因为－1∈Z，且(－1)3＝－1<1，
所以“ x∈Z，x3<1”是真命题．
(2)真命题，如梯形．
(3)由有序实数对与平面直角坐标系中的点的对应关系知，它是真命题．
(4)因为0∈N,02＝0，所以命题“ x∈N，x2>0”是假命题．
【变式3-1】2.判断下列存在量词命题的真假：
(1)存在一个四边形，它的两条对角线互相垂直；
(2)至少有一个整数n，使得n2＋n为奇数；
(3) x∈{y|y是无理数}，x2是无理数．
答案：(1)真 (2)假 (3)真
【变式3-1】3.下列说法正确的是( )
A．对所有的正实数t，有B．存在实数x，使x2－3x－4＝0
C．不存在实数x，使x<4且x2＋5x－24＝0
D．任意实数x，使得|x＋1|≤1且x2>4
答案 B
解析 t＝时，>t，所以A选项错；由x2－3x－4＝0，得x＝－1或x＝4，因此当x＝－1或x＝4时，x2－3x－4＝0，故B选项正确；由x2＋5x－24＝0，得x＝－8或x＝3，所以C选项错；x＝0时，不成立，所以D选项错．
【变式3-1】4.用符号“ ”与“ ”表示下面含有量词的命题,并判断真假.
(1)不等式x2-x+≥0对一切实数x都成立.
(2)存在实数x,使得=
答案 (1) x∈R,x2-x+≥0恒成立.x2-x+=≥0,故该命题为真命题.
(2) x∈R,使得= 因为x2-2x+3=(x-1)2+2≥2,所以≤<.故该命题是假命题.
【变式3-1】5.下列命题中是真命题的是 ( )
A. x∈R,x2+1<0 B. x∈Z,3x+1是整数
C. x∈R,|x|>3 D. x∈Q,x2∈Z
答案 选B.
A是假命题.因为 x∈R,x2+1≥1; B是真命题.当x=1时,3x+1=4是整数;
C是假命题.如x=2,|x|<3; D是假命题.如x=,x2 Z.
【变式3-1】6.下列命题:①偶数都可以被2整除;②角平分线上的任一点到这个角的两边的距离相等;③任何一个实数乘以0都等于0;④有的实数是无限不循环小数;⑤有的菱形是正方形;⑥存在三角形其内角和大于180°.
既是全称量词命题又是真命题的是________,既是存在量词命题又是真命题的是________(填上所有满足要求的序号).
答案:①②③ ④⑤ 解析 ①是全称量词命题,是真命题;②是全称量词命题,是真命题;③是全称量词命题,是真命题;④含存在量词“有的”,是存在量词命题,是真命题;⑤是存在量词命题,是真命题;⑥是存在量词命题,是假命题,因为任意三角形内角和为180°.
题型4 求取值范围
【例题4】已知 x∈{x|0≤x≤2},m>x, x∈{x|0≤x≤2},n>x,那么m,n的取值范围分别是 ( )
A.m∈{m|m>0},n∈{n|n>0} B.m∈{m|m>0},n∈{n|n>2}
C.m∈{m|m>2},n∈{n|n>0} D.m∈{m|m>2},n∈{n|n>2}
答案 C 解析 由 x∈{x|0≤x≤2},m>x,可得m>2;由 x∈{x|0≤x≤2},n>x,可得n>0.
【变式4】1.已知命题p:“ x∈R,(a-3)x+1=0”是真命题,则实数a的取值集合是__________.
答案 {a∈R|a≠3} 解析 因为“ x∈R,(a-3)x+1=0”是真命题,所以关于x的方程(a-3)x+1=0有实数解,
所以a-3≠0,即a≠3,所以实数a的取值集合是{a∈R|a≠3}.
【变式4】2. 若命题“对任意实数x,2x>m(x2＋1)”是真命题，求实数m的取值范围．
解析：由题意知，不等式2x>m(x2＋1)恒成立，
即不等式mx2－2x＋m<0恒成立．
(1)当m＝0时，不等式可化为－2x<0，显然不恒成立，不合题意．
(2)当m≠0时，要使不等式mx2－2x＋m<0恒成立，
则
解得m<－1.
综上可知，所求实数m的取值范围是m<－1.
【变式4】3．已知命题p： x∈R，x2＋2x－a>0.若p为真命题，则实数a的取值范围是( )
A．a>－1 B．a<－1 C．a≥－1 D．a≤－1
答案 B
解析 依题意不等式x2＋2x－a>0对x∈R恒成立，所以必有Δ＝4＋4a<0，解得a<－1.
【变式4】4．若存在x∈R，使ax2＋2x＋a<0，则实数a的取值范围为________．
答案 {a|a<1}
解析 当a≤0时，显然存在x∈R，使ax2＋2x＋a<0；
当a>0时，需满足Δ＝4－4a2>0，得－1故0综上所述，实数a的取值范围是a<1.
题型5 含有量词的命题的否定
【例题5】写出下列命题的否定，并判断其否定的真假：
(1)p：不论m取何实数，方程x2＋mx－1＝0必有实根；
(2)p： x∈N,2x>0.
解 (1)p：存在一个实数m，使方程x2＋mx－1＝0没有实数根．因为该方程的判别式Δ＝m2＋4>0恒成立，故p为假命题．
(2)p： x∈N,2x≤0.p为假命题．
【变式5-1】1.写出下列存在量词命题的否定，并判断其否定的真假．
(1)有些实数的绝对值是正数；
(2)某些平行四边形是菱形；
(3) x0，y0∈Z，使得x0＋y0＝3.
答案 (1)命题的否定是“不存在一个实数，它的绝对值是正数”，即“所有实数的绝对值都不是正数”．它为假命题．
(2)命题的否定是“没有一个平行四边形是菱形”，即“每一个平行四边形都不是菱形”．由于菱形是平行四边形，因此命题的否定是假命题．
(3)命题的否定是“ x，y∈Z，x＋y≠3”．当x＝0，y＝3时，x＋y＝3，因此命题的否定是假命题．
【变式5-1】2.写出下列命题的否定．
(1)若x2＞4，则x＞2.
(2)若m≥0，则x2＋x－m＝0有实数根．
(3)可以被5整除的整数，末位是0.
(4)被8整除的数能被4整除．
(5)若一个四边形是正方形，则它的四条边相等．
答案 (1)否定：存在实数x0，虽然满足x＞4，但x0≤2.或者说：存在小于或等于2的数x0，满足x＞4.(原意表达为对任意的实数x，若x2＞4则x＞2)
(2)否定：虽然实数m≥0，但存在一个x0，使x＋x0－m＝0无实数根．(原意表达：对任意实数m，若m≥0，则x2＋x－m＝0有实数根．)
(3)否定：存在一个可以被5整除的整数，其末位不是0.
(4)否定：存在一个数能被8整除，但不能被4整除．(原意表达为所有能被8整除的数都能被4整除)
(5)否定：存在一个四边形，虽然它是正方形，但四条边中至少有两条不相等．(原意表达为无论哪个四边形，若它是正方形，则它的四条边中任何两条都相等．)
【变式5-1】3.写出下列命题的否定．
(1)所有矩形都是平行四边形；
(2)每一个素数都是奇数；
(3) x∈R，x2－2x＋1≥0.
解 (1)存在一个矩形不是平行四边形；
(2)存在一个素数不是奇数；
(3) x∈R，x2－2x＋1<0.
反思感悟 全称量词命题p： x∈M，p(x)，它的否定p： x∈M，p(x)，全称量词命题的否定是存在量词命题．
【变式5-1】4.写出下列命题的否定．
(1)有些四边形有外接圆；
(2)某些平行四边形是菱形；
(3) x∈R，x2＋1<0.
解 (1)所有的四边形都没有外接圆；
(2)所有平行四边形都不是菱形；
(3) x∈R，x2＋1≥0.
反思感悟 对存在量词命题进行否定时，首先把存在量词改为全称量词，然后对判断词进行否定，可以结合命题的实际意义进行表述．
【变式5-1】5命题“ x∈R,x2=x”的否定是 ( )
A. x∈R,x2≠x B. x∈R,x2=x C. x R,x2≠x D. x∈R,x2≠x
答案 D 解析 该命题的否定: x∈R,x2≠x.
【变式5-1】6.命题“ x∈R，|x|＋x2≥0”的否定是( )
A． x∈R，|x|＋x2<0
B． x∈R，|x|＋x2≤0
C． x∈R，|x|＋x2<0
D． x∈R，|x|＋x2≥0
答案 C
解析 条件 x∈R的否定是 x∈R，结论“|x|＋x2≥0”的否定是“|x|＋x2<0”．
【变式5-1】7．命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是( )
A．任意一个有理数，它的平方是有理数
B．任意一个无理数，它的平方不是有理数
C．存在一个有理数，它的平方是有理数
D．存在一个无理数，它的平方不是有理数
答案 B
解析 量词“存在”改为“任意”，结论“它的平方是有理数”否定后为“它的平方不是有理数”，故选B.
题型6 全称量词命题、存在量词命题的应用
【例题6】已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，且B≠ .
(1)若命题p：“ x∈B，x∈A”是真命题，求m的取值范围；
(2)命题q：“ x∈A，x∈B”是真命题，求m的取值范围．
解 (1)由于命题p：“ x∈B，x∈A”是真命题，所以B A，B≠ ，所以解得2≤m≤3.
(2)q为真，则A∩B≠ ，因为B≠ ，所以m≥2.所以解得2≤m≤4.
反思感悟 求解含有量词的命题中参数范围的策略
(1)对于全称量词命题“ x∈M，a>y(或aymax(或a(2)对于存在量词命题“ x∈M，a>y(或aymin(或a【变式6-1】1.对于任意实数x，不等式x2＋4x－1>m恒成立．求实数m的取值范围．
解 令y＝x2＋4x－1，x∈R，
则y＝(x＋2)2－5，
因为 x∈R，不等式x2＋4x－1>m恒成立，
所以只要m<－5即可．
所以所求m的取值范围是{m|m<－5}．
【变式6-1】2.已知命题p: x∈{x|1A.a<1 B.a>3 C.a≤3 D.a≥3
答案 D 解析 p是真命题,所以p是假命题;所以 x∈{x|1【变式6-1】3.已知命题p: x>0,x+a-1=0,若p为假命题,则a的取值范围是______.
答案 a≥1 解析 因为p为假命题,所以命题p的否定: x>0,x+a-1≠0是真命题,所以x≠1-a,所以1-a≤0,所以a≥1.
【变式6-1】4.已知函数y1＝x，y2＝－2x2－m，若对 x1∈{x|－1≤x≤3}， x2∈{x|0≤x≤2}，使得y1≥y2，求实数m的取值范围．
解 因为x1∈{x|－1≤x≤3}，x2∈{x|0≤x≤2}，
所以y1∈{y|0≤y≤9}，y2∈{y|－4－m≤y≤－m}，
又因为对 x1∈{x|－1≤x≤3}， x2∈{x|0≤x≤2}，使得y1≥y2，
即y1的最小值大于等于y2的最小值，
即－4－m≤0，
所以m≥－4.
【变式6-1】5.令p(x)：ax2＋2x＋a＞0，若对任意x∈R，p(x)是真命题，则实数a的取值范围是________．
答案 a＞1解析 ∵对任意x∈R，p(x)是真命题．∴对任意x∈R，ax2＋2x＋a＞0恒成立，
当a＝0时，不等式为2x＞0不恒成立，当a≠0时，若不等式恒成立，
则∴a＞1.
【变式6-1】6.若命题“ x∈R，ax2-ax-2≤0”是真命题，则实数a的取值范围是________．
答案 [－8,0] 解析 当a＝0时，不等式显然成立；当a≠0时，由题意知得-8≤a＜0.综上，-8≤a≤0.