1.2.3 充分条件、必要条件
题型1充要条件的判断 1
题型2 利用充要条件求参数 4
题型3 证明充要条件（从条件到结论是充分性，从结论到条件是必要性） 6
知识点1 充要条件
知识点 充要条件
一般地，如果p q，且q p，那么称p是q的充分必要条件，简称充要条件，记作p q.
题型1充要条件的判断
方法小结：
判断充分条件、必要条件及充要条件的三种方法
(1)定义法：直接判断“若p，则q”以及“若q，则p”的真假．
(2)集合法：即利用集合的包含关系判断．
(3)传递法：充分条件和必要条件具有传递性，即由p1 p2 … pn，可得p1 pn；充要条件也有传递性．
【例题1-1】已知集合A＝{1，a}，B＝{1,2,3}，则“a＝3”是“A B”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【变式1-1】1．指出下列各组命题中，p是q的什么条件(充分不必要条件，必要不充分条件，充要条件，既不充分又不必要条件)．
(1)p：数a能被6整除，q：数a能被3整除；
(2)p：x>1，q：x2>1；
(3)p：△ABC有两个角相等，q：△ABC是正三角形；
(4)p：|ab|＝ab，q：ab>0.
【变式1-1】2．p：ab＝0，q：a2＋b2＝0.则p是q的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【变式1-1】3．p：|a|＋|b|＝0，q：a2＋b2＝0.则p是q的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【变式1-1】4. 已知实系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，在下列各结论中正确的为( )
①Δ＝b2-4ac≥0是这个方程有实根的充分条件；
②Δ＝b2-4ac≥0是这个方程有实根的必要条件；
③Δ＝b2-4ac≥0是这个方程有实根的充要条件；
④Δ＝b2-4ac＝0是这个方程有实根的充分条件．
A．③ B．①② C．①②③ D．①②③④
【变式1-1】5.给出下列各组条件：
(1)p：ab＝0，q：a2＋b2＝0；
(2)p：xy≥0，q：|x|＋|y|＝|x＋y|；
(3)p：m＞0，q：方程x2-x-m＝0有实根；
(4)p：|x-1|＞2，q：x＜-1.
其中p是q的充要条件的有( )
A．1组 B．2组 C．3组 D．4组
【变式1-1】6.设全集为U,在下列条件中,是B A的充要条件的有 ( )
①A∪B=A; ②(UA)∩B= ; ③UA UB; ④A∪(UB)=U.
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【变式1-1】7.若实数a,b满足a≥0,b≥0,且ab=0,则称a与b互补.记φ(a,b)= -a-b,那么φ(a,b)=0是a与b互补的 ( )
A.必要不充分条件
B.充分不必要条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
题型2 利用充要条件求参数
【例题2-1】求方程ax2＋2x＋1＝0至少有一个负的实数根的充要条件．
【变式2-1】1. 设A＝{x|-1＜x＜3}，B＝{x|-1＜x＜m＋1，x∈R}，若x∈B成立的一个充分不必要条件是x∈A，则实数m的取值范围是________．
【变式2-1】2.设集合A＝{x|2≤x≤6}，B＝{x|2m≤x≤m＋3}，若B A，则实数m的取值范围是________．
【变式2-1】3.已知p：x<－2或x>3，q：4x＋m<0，若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围．
【变式2-1】4．设m∈N*，一元二次方程x2－4x＋m＝0有整数根的充要条件是m＝________.
【变式2-1】5．求关于x的方程ax2＋2x＋1＝0至少有一个负的实数根的充要条件．
【变式2-2】1.已知p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m>0)，若p是q的必要不充【变式2-2】2.“函数y＝x2－2ax＋a的图象在x轴的上方”是“0≤a≤1”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
题型3 证明充要条件（从条件到结论是充分性，从结论到条件是必要性）
【例题3】 已知⊙O的半径为r，圆心O到点P的距离为d.求证d＝r是点P在⊙O上的充要条件．
【变式3-1】1.求证：关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1的充要条件是a＋b＋c＝0.
【变式3-1】2.设x,y∈R,求证|x+y|=|x|+|y|成立的充要条件是xy≥0.
【变式3-1】3.已知a，b是实数，求证：a4－b4－2b2＝1成立的充要条件是a2－b2＝1.1.2.3 充分条件、必要条件
题型1充要条件的判断 1
题型2 利用充要条件求参数 4
题型3 证明充要条件（从条件到结论是充分性，从结论到条件是必要性） 6
知识点1 充要条件
知识点 充要条件
一般地，如果p q，且q p，那么称p是q的充分必要条件，简称充要条件，记作p q.
题型1充要条件的判断
方法小结：
判断充分条件、必要条件及充要条件的三种方法
(1)定义法：直接判断“若p，则q”以及“若q，则p”的真假．
(2)集合法：即利用集合的包含关系判断．
(3)传递法：充分条件和必要条件具有传递性，即由p1 p2 … pn，可得p1 pn；充要条件也有传递性．
【例题1-1】已知集合A＝{1，a}，B＝{1,2,3}，则“a＝3”是“A B”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
答案：A
【变式1-1】1．指出下列各组命题中，p是q的什么条件(充分不必要条件，必要不充分条件，充要条件，既不充分又不必要条件)．
(1)p：数a能被6整除，q：数a能被3整除；
(2)p：x>1，q：x2>1；
(3)p：△ABC有两个角相等，q：△ABC是正三角形；
(4)p：|ab|＝ab，q：ab>0.
解 (1)∵p q，q不能推出p，
∴p是q的充分不必要条件．
(2)∵p q，q不能推出p，
∴p是q的充分不必要条件．
(3)∵p不能推出q，q p，
∴p是q的必要不充分条件．
(4)∵ab＝0时，|ab|＝ab，
∴“|ab|＝ab”不能推出“ab>0”，即p不能推出q.
而当ab>0时，有|ab|＝ab，即q p.
∴p是q的必要不充分条件．
【变式1-1】2．p：ab＝0，q：a2＋b2＝0.则p是q的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
答案：B
【变式1-1】3．p：|a|＋|b|＝0，q：a2＋b2＝0.则p是q的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
答案：C
【变式1-1】4. 已知实系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，在下列各结论中正确的为( )
①Δ＝b2-4ac≥0是这个方程有实根的充分条件；
②Δ＝b2-4ac≥0是这个方程有实根的必要条件；
③Δ＝b2-4ac≥0是这个方程有实根的充要条件；
④Δ＝b2-4ac＝0是这个方程有实根的充分条件．
A．③ B．①② C．①②③ D．①②③④
答案 D 首先我们应搞清楚Δ＝b2-4ac≥0是实系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有实根的充要条件．利用该结论可知：上述①②③是正确的．同时当Δ＝b2-4ac＝0时，方程有两相等的实根，故④也是正确的．
【变式1-1】5.给出下列各组条件：
(1)p：ab＝0，q：a2＋b2＝0；
(2)p：xy≥0，q：|x|＋|y|＝|x＋y|；
(3)p：m＞0，q：方程x2-x-m＝0有实根；
(4)p：|x-1|＞2，q：x＜-1.
其中p是q的充要条件的有( )
A．1组 B．2组 C．3组 D．4组
答案 对(1)，ab＝0指其中至少有一个为零，而a2＋b2＝0指两个都为零，因此q p，但pq，p是q的必要不充分条件；对(2)，|x＋y|＝|x|＋|y| (|x＋y|)2＝(|x|＋|y|)2 x2＋2xy＋y2＝x2＋2|xy|＋y2 xy＝|xy| xy≥0，所以p是q的充要条件；对(3)，方程x2-x-m＝0有实根的充要条件是Δ＝1＋4m＞0，m＞-，所以p q但qp，p是q的充分不必要条件；对(4)，|x-1|＞2 x＞3或x＜-1，所以pq但q p，所以p是q的必要不充分条件．综上可知选A.
【变式1-1】6.设全集为U,在下列条件中,是B A的充要条件的有 ( )
①A∪B=A; ②(UA)∩B= ; ③UA UB; ④A∪(UB)=U.
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
答案 D 解析 画出Venn图可知,
B A A∪B=A;B A (UA)∩B= ;B A UA UB;B A A∪(UB)=U.
【变式1-1】7.若实数a,b满足a≥0,b≥0,且ab=0,则称a与b互补.记φ(a,b)= -a-b,那么φ(a,b)=0是a与b互补的 ( )
A.必要不充分条件
B.充分不必要条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
答案 C 解析 若φ(a,b)=0,即=a+b,两边平方得ab=0,若a=0,则=b,所以b≥0,若b=0,则=a,所以a≥0,故具备充分性.若a≥0,b≥0,ab=0,则不妨设a=0.φ(a,b)=-a-b=-b=0.故具备必要性.
题型2 利用充要条件求参数
【例题2-1】求方程ax2＋2x＋1＝0至少有一个负的实数根的充要条件．
答案 当a＝0时，方程为2x＋1＝0，∴x＝－为一负根．
当a＜0时，∵Δ＝4－4a＞0，且x1x2＝＜0，x1＋x2＝－＞0，为一正根、一负根．
当a＞0时，得0＜a≤1.综上：a≤1.
【变式2-1】1. 设A＝{x|-1＜x＜3}，B＝{x|-1＜x＜m＋1，x∈R}，若x∈B成立的一个充分不必要条件是x∈A，则实数m的取值范围是________．
答案 因为A＝{x|-1＜x＜3}，x∈B成立的一个充分不必要条件是x∈A，所以A B，所以m＋1＞3，即m＞2.
【变式2-1】2.设集合A＝{x|2≤x≤6}，B＝{x|2m≤x≤m＋3}，若B A，则实数m的取值范围是________．
答案 ①当B≠ 时，则有解得1≤m≤3；
②当B＝ 时，2m＞m＋3，解得m＞3.综合①②，得m≥1，故实数m的取值范围是{m|m≥1}．
【变式2-1】3.已知p：x<－2或x>3，q：4x＋m<0，若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围．
解 设A＝{x|x<－2或x>3}，B＝，
因为p是q的必要不充分条件，
所以B?A，所以－≤－2，即m≥8.
所以m的范围为{m|m≥8}．
【变式2-1】4．设m∈N*，一元二次方程x2－4x＋m＝0有整数根的充要条件是m＝________.
答案 3或4
解析 x＝＝2±，因为x是整数，
即2±为整数，所以为整数，且m≤4，又m∈N*，取m＝1,2,3,4.验证可得m＝3,4符合题意，所以m＝3,4时可以推出一元二次方程x2－4x＋m＝0有整数根．
【变式2-1】5．求关于x的方程ax2＋2x＋1＝0至少有一个负的实数根的充要条件．
解 当a＝0时，x＝－符合题意．
当a≠0，令f(x)＝ax2＋2x＋1.
∵f(0)＝1>0，
∴若a>0，则－<0，>0，∴只要Δ＝4－4a≥0，即a≤1，∴0
若a<0，则<0，Δ＝4－4a>0，
方程恒有两异号实数根．
综上所述，a≤1为所求．
【变式2-2】1.已知p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m>0)，若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围．
解 p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m>0)．
因为p是q的必要不充分条件，
所以q是p的充分不必要条件，
即{x|1－m≤x≤1＋m}?{x|－2≤x≤10}，
故有或
解得m≤3.
又m>0，
所以实数m的取值范围为{m|0【变式2-2】2.“函数y＝x2－2ax＋a的图象在x轴的上方”是“0≤a≤1”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
答案 A
解析 函数y＝x2－2ax＋a的图象在x轴的上方，则Δ＝4a2－4a<0，解得0题型3 证明充要条件（从条件到结论是充分性，从结论到条件是必要性）
【例题3】 已知⊙O的半径为r，圆心O到点P的距离为d.求证d＝r是点P在⊙O上的充要条件．
证明 (充分性)根据圆的定义，
当d＞r，P在圆外．d＜r时，P在圆内．故当d＝r时，点P在圆上
必要性：若P在⊙O上，则满足P到⊙O的距离d＝r.
【变式3-1】1.求证：关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1的充要条件是a＋b＋c＝0.
证明：必要性：∵方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1，∴x＝1满足方程ax2＋bx＋c＝0，
a·12＋b·1＋c＝0，即a＋b＋c＝0.
充分性：∵a＋b＋c＝0，∴c＝－a－b.代入方程ax2＋bx＋c＝0中可得ax2＋bx－a－b＝0.
即(x－1)(ax＋a＋b)＝0.故方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1.
【变式3-1】2.设x,y∈R,求证|x+y|=|x|+|y|成立的充要条件是xy≥0.
【证明】设p:xy≥0,q:|x+y|=|x|+|y|,
(1)充分性(p q):如果xy≥0,则有xy=0和xy>0两种情况,当xy=0时,不妨设x=0,则|x+y|=|y|,|x|+|y|=|y|,所以等式成立.
当xy>0时,即x>0,y>0,或x<0,y<0,
又当x>0,y>0时,|x+y|=x+y,|x|+|y|=x+y,所以等式成立.
当x<0,y<0时,|x+y|=-(x+y),|x|+|y|=-x-y,所以等式成立.总之,当xy≥0时,|x+y|=|x|+|y|成立.
(2)必要性(q p):若|x+y|=|x|+|y|且x,y∈R,则|x+y|2=(|x|+|y|)2,
即x2+2xy+y2=x2+y2+2|x||y|,所以|xy|=xy,所以xy≥0.
由(1)(2)可得,xy≥0是等式|x+y|=|x|+|y|成立的充要条件.
【变式3-1】3.已知a，b是实数，求证：a4－b4－2b2＝1成立的充要条件是a2－b2＝1.
证明 充分性：若a2－b2＝1成立，
则a4－b4－2b2＝(a2＋b2)(a2－b2)－2b2＝a2＋b2－2b2＝a2－b2＝1，
所以a2－b2＝1是a4－b4－2b2＝1的充分条件．
必要性：若a4－b4－2b2＝1成立，
则a4－(b2＋1)2＝0，
即(a2＋b2＋1)(a2－b2－1)＝0.
因为a，b为实数，所以a2＋b2＋1≠0，
所以a2－b2－1＝0，即a2－b2＝1.
综上可知，a4－b4－2b2＝1成立的充要条件是a2－b2＝1.