函数性质专题 函数的奇偶性、周期性、对称性（答案）
第一部分 函数的奇偶性
一、奇偶函数的定义
偶函数 奇函数
定义 设函数f(x)的定义域为I，如果 x∈I，都有－x∈I
且f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数 且f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数
图象特征 关于y轴对称 关于原点对称
函数的奇偶性常用结论
奇偶函数定义的等价形式
①f－x＝fx f－x－fx＝0 ＝1 fx为偶函数；
②f－x＝－fx f－x＋fx＝0 ＝－1 fx为奇函数.
2、如果函数f(x)是奇函数且在x＝0处有定义，则一定有f(0)＝0.如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|).
3、在公共定义域内有：奇±奇＝奇，偶±偶＝偶，奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．
函数的奇偶性常见题型
函数奇偶性的判断
例1判断下列函数的奇偶性．
(1)f(x)＝x3－；
(2)f(x)＝＋；
(3)f(x)＝
解：(1)原函数的定义域为{x|x≠0}，关于原点对称，
并且对于定义域内的任意一个x都有
f(－x)＝(－x)3－＝－＝－f(x)，
从而函数f(x)为奇函数．
(2)f(x)的定义域为{－1，1}，关于原点对称．
又f(－1)＝f(1)＝0，f(－1)＝－f(1)＝0，
所以f(x)既是奇函数又是偶函数．
（3）如图，作出函数f(x)的图象，由奇函数的图象关于原点对称的特征知函数f(x)为奇函数．
跟踪练习
1、下列函数中为偶函数的是( C )
A．f(x)＝2x＋1 B．f(x)＝x3＋x
C．f(x)＝ D．f(x)＝x＋
2、函数f(x)＝－x的图像( C )
A．关于y轴对称 B．关于直线y＝x对称
C．关于坐标原点对称 D．关于直线y＝－x对称
3、已知函数f(x)＝x·|x|－2x，则下列结论正确的是( C )
A．f(x)是偶函数，递增区间是(－∞，0)
B．f(x)是偶函数，递减区间是(－∞，1)
C．f(x)是奇函数，递减区间是(－1,1)
D．f(x)是奇函数，递增区间是(0，＋∞)
4、设函数f(x)＝，则下列函数中为奇函数的是( B )
A．f(x－1)－1 B．f(x－1)＋1
C．f(x＋1)－1 D．f(x＋1)＋1
5、设函数f(x)在(－∞，＋∞)内有定义，下列函数必为奇函数的是( B )
A．y＝－|f(x)| B．y＝xf(x2)
C．y＝－f(－x) D．y＝f(x)＋f(－x)
6、已知函数f(x)＝，则函数f(x)( C )
A．既是奇函数也是偶函数 B．既不是奇函数也不是偶函数
C．是奇函数，但不是偶函数 D．是偶函数，但不是奇函数
7、已知定义在R上的函数f(x)满足对任意x1，x2∈R，有f(x1＋x2)＝f(x1)＋f(x2)－1，则( D )
A．f(x)是偶函数 B．f(x)是奇函数
C．f(x)－1是偶函数 D．f(x)－1是奇函数
8、(多选)下列函数是奇函数的是( BD )
A．y＝2x2－3 B．y＝x3
C．y＝x2，x∈[0，1] D．y＝x
9、(多选)下列说法中正确的是( AB )
A．图象关于坐标原点对称的函数是奇函数
B．图象关于y轴对称的函数是偶函数
C．函数y＝x2在x∈(0，＋∞)上是偶函数
D．若函数f(x)为奇函数，则一定有f(0)＝0
10、(多选)已知y＝f(x)是定义在R上的奇函数，则下列函数中为奇函数的是( BD )
A．y＝f(|x|) B．y＝f(－x)
C．y＝xf(x) D．y＝f(x)＋x
11、(多选)设函数f(x)，g(x)的定义域都为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论中正确的有( BC )
A．f(x)g(x)是偶函数 B．|f(x)|＋g(x)是偶函数
C．f(x)|g(x)|是奇函数 D．|f(x)g(x)|是奇函数
12、(多选)如果f(x)是定义在R上的奇函数，那么下列函数中，一定为具有奇偶性的函数的是( ABD )
A．y＝x＋f(x) B．y＝xf(x)
C．y＝x2＋f(x) D．y＝x2f(x)
13、(多选)函数f(x)的定义域为R，且f(x)与f(x＋1)都为奇函数，则( ABC )
A．f(x－1)为奇函数
B．f(x)为周期函数
C．f(x＋3)为奇函数
D．f(x＋2)为偶函数
14、判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝＋；
(2)f(x)＝
解 (1)由得x2＝3，解得x＝±，
即函数f(x)的定义域为{－，}，
从而f(x)＝＋＝0.
因此f(－x)＝－f(x)且f(－x)＝f(x)，
所以函数f(x)既是奇函数又是偶函数．
(2)显然函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称．
∵当x<0时，－x>0，
则f(－x)＝－(－x)2－x
＝－x2－x＝－f(x)；
当x>0时，－x<0，
则f(－x)＝(－x)2－x＝x2－x＝－f(x)；
综上可知，对于定义域内的任意x，总有f(－x)＝－f(x)成立，
∴函数f(x)为奇函数．
15、判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝；
(2)f(x)＝x2－x3；
(3)f(x)＝|x－2|－|x＋2|；
(4)f(x)＝x2＋(x≠0，a∈R).
解：(1)∵函数f(x)＝的定义域为{x|x∈R且x≠1}，定义域不关于原点对称，∴该函数既不是奇函数也不是偶函数．
(2)f(x)的定义域为R，是关于原点对称的．
∵f(－x)＝(－x)2－(－x)3＝x2＋x3，又－f(x)＝－x2＋x3，
∴f(－x)既不等于f(x)，也不等于－f(x).
故f(x)＝x2－x3既不是奇函数也不是偶函数．
(3)方法一(定义法) 函数f(x)＝|x－2|－|x＋2|的定义域为R，关于原点对称．
∵f(－x)＝|－x－2|－|－x＋2|＝|x＋2|－|x－2|＝－(|x－2|－|x＋2|)＝－f(x)，∴函数f(x)＝|x－2|－|x＋2|是奇函数．
方法二(根据图像进行判断)
f(x)＝|x－2|－|x＋2|＝
画出图像如图所示，图像关于原点对称，因此函数f(x)是奇函数．
(4)当a＝0时，f(x)＝x2为偶函数．
当a≠0时，f(x)＝x2＋(x≠0)，取x＝±1，得f(－1)＋f(1)＝2≠0，f(－1)－f(1)＝－2a≠0，即f(－1)≠－f(1)，f(－1)≠f(1)，∴函数f(x)既不是奇函数也不是偶函数．
综上所述，当a∈R且a≠0时，函数f(x)既不是奇函数也不是偶函数；当a＝0时，函数f(x)为偶函数．
16、(1)已知函数f(x)，x∈R，若 a，b∈R，都有f(a＋b)＝f(a)＋f(b)，求证：f(x)为奇函数；
(2)已知函数f(x)，x∈R，若 x1，x2∈R，都有f(x1＋x2)＋f(x1－x2)＝2f(x1)·f(x2)，求证：f(x)为偶函数；
(3)设函数f(x)定义在(－l，l)上，证明：f(x)＋f(－x)是偶函数，f(x)－f(－x)是奇函数．
证明：(1)令a＝0，则f(b)＝f(0)＋f(b)，∴f(0)＝0．
令a＝－x，b＝x，则f(0)＝f(－x)＋f(x)，∴f(－x)＝－f(x)．
∴f(x)是奇函数．
(2)令x1＝0，x2＝x，得f(x)＋f(－x)＝2f(0)f(x)，①
令x2＝0，x1＝x，得f(x)＋f(x)＝2f(0)f(x)，②
由①②得f(x)＋f(－x)＝f(x)＋f(x)，即f(－x)＝f(x)，
∴f(x)是偶函数．
(3)∵x∈(－l，l)，∴－x∈(－l，l)．
可见，f(－x)的定义域也是(－l，l)．
设F(x)＝f(x)＋f(－x)，G(x)＝f(x)－f(－x)，
则F(x)与G(x)的定义域也是(－l，l)，显然是关于原点对称的．
∵F(－x)＝f(－x)＋f(－(－x))＝f(－x)＋f(x)＝F(x)，
G(－x)＝f(－x)－f(－(－x))＝f(－x)－f(x)＝－[f(x)－f(－x)]＝－G(x)，
∴F(x)为偶函数，G(x)为奇函数，即f(x)＋f(－x)是偶函数，f(x)－f(－x)是奇函数．
17、已知f(x)是定义在R上的函数，设g(x)＝，h(x)＝.
(1)试判断g(x)与h(x)的奇偶性；
(2)试判断g(x)，h(x)与f(x)的关系；
(3)由此你能猜想出什么样的结论？
解：(1)∵g(－x)＝＝g(x)，h(－x)＝＝－h(x)，∴g(x)是偶函数，h(x)是奇函数．
(2)g(x)＋h(x)＝＋＝f(x)．
(3)如果一个函数的定义域关于原点对称，那么这个函数就一定可以表示为一个奇函数与一个偶函数的和．
根据奇偶性求函数值
例2(2022·重庆模拟)已知函数f(x)＝ax5＋bx3＋2，若f(2)＝7，求f(－2)的值.
解：设g(x)＝f(x)－2＝ax5＋bx3，
则g(－x)＝－ax5－bx3＝－g(x)，
即f(x)－2＝－f(－x)＋2，
故f(－2)＝－f(2)＋4＝－3.
跟踪练习
1、(2022·青岛模拟)已知f(x)＝x5＋ax3＋bx－8(a，b是常数)，且f(－3)＝5，则f(3)＝( B )
A．21 B．－21
C．26 D．－26
2、如图，给出奇函数y＝f(x)的局部图像，则f(－2)＋f(－1)的值为( A )
A.－2 B．2 C．1 D．0
3、已知f(x)为奇函数，在区间[3，6]上是增函数，且在此区间上的最大值为8，最小值为－1，则2f(－6)＋f(－3)＝( A )
A．－15 B．－13
C．－5 D．5
4、已知f(x)＝ax3＋bx＋1(ab≠0)，若f(2019)＝k，则f(－2019)＝( D )
A．k B．－k C．1－k D．2－k
5、已知f(x)为定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝2x＋m，则f(－2)＝( A )
－3 B．－ C． D．3
6、已知定义在R上的偶函数f(x)满足f(2－x)－f(x)＝0，f(0)＝，则f(10)＝________．
7、已知y＝f(x)是奇函数，当x<0时，f(x)＝x2＋ax，且f(3)＝6，则a的值为____5____．
8、若函数f(x)＝为奇函数，则f(g(－1))＝___-1_____.
9、已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且当x>0时，f(x)＝x(1＋x)，则f(－1)＝_____－2___．
10、已知f(x)是奇函数，当x<0时，f(x)＝x2＋2x，则f(1)的值是____1____．
11、若f(x)＝(m－1)x2＋6mx＋2是偶函数，则f(0)，f(1)，f(－2)从小到大的排列是____f(－2)
根据奇偶性求函数的解析式
例3(1)已知y＝f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x(x－2)，则当x＜0时，求f(x)的表达式.
(2)已知函数f(x)为偶函数，且当x<0时，f(x)＝x＋1，则x>0时，求f(x)的表达式
解：∵函数y＝f(x)是定义在R上的奇函数，
∴f(－x)＝－f(x)．
∵当x≥0时，f(x)＝x(x－2)，
∴当x＜0，即－x＞0时，
f(x)＝－f(－x)＝－[(－x)·(－x－2)]＝－x(x＋2)，
∴当x＜0时，f(x)＝－x(x＋2).
(2)当x>0时，－x<0，
∴f(－x)＝－x＋1，
又f(x)为偶函数，
∴f(x)＝－x＋1.
跟踪练习
1、(2022·广东模拟)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝x2－x－1，则当x∈(－∞，0)时，f(x)＝___－x2－x＋1_____．
2、已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0，f(x)＝2x－2x＋a，则a＝___-1_____；当x<0时，f(x)＝___－2－x－2x＋1_____.
3、已知函数y＝f(x)是定义在R上的偶函数，当x≤0时，f(x)＝x(x＋1)，_____f(x)＝_____
4、已知函数f(x)是定义域为R的奇函数，当x>0时，f(x)＝x2－2x.
(1)求出函数f(x)在R上的解析式；
(2)画出函数f(x)的图像．
解：(1)①由于函数f(x)是定义域为R的奇函数，
则f(0)＝0；
②当x<0时，－x>0，∵f(x)是奇函数，
∴f(－x)＝－f(x)，
∴f(x)＝－f(－x)＝－[(－x)2－2(－x)]＝－x2－2x，
综上，f(x)＝
(2)图像如图：
5、已知函数f(x)＝x2－mx(m>0)在区间[0，2]上的最小值为g(m)．
(1)求函数g(m)的解析式；
解：(1)因为f(x)＝x2－mx＝－(m>0)，
所以当0<≤2，0此时g(m)＝f＝－.
当>2，即m>4时，函数f(x)＝－在区间[0，2]上单调递减，
所以g(m)＝f(2)＝4－2m.
综上可知，g(m)＝
6、设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f(x＋2)＝－f(x)．当x∈[0,2]时，f(x)＝2x－x2.
(1)求证：f(x)是周期函数；
(2)当x∈[2,4]时，求f(x)的解析式．
解：(1)证明 ∵f(x＋2)＝－f(x)，
∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)．
∴f(x)是周期为4的周期函数．
(2)∵x∈[2,4]，∴－x∈[－4，－2]，
∴4－x∈[0,2]，
∴f(4－x)＝2(4－x)－(4－x)2
＝－x2＋6x－8.
∵f(4－x)＝f(－x)＝－f(x)，
∴－f(x)＝－x2＋6x－8，
即当x∈[2,4]时，f(x)＝x2－6x＋8.
7、已知函数f(x)＝是定义在(－1，1)上的奇函数，且f＝.
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)用定义证明f(x)在(－1，1)上是增函数；
(3)解关于实数t的不等式f(t－1)＋f(t)<0.
解：(1)因为函数f(x)＝是定义在(－1，1)上的奇函数，所以f(0)＝0，得b＝0.
又知f＝，所以＝，解得a＝1，
所以f(x)＝.
(2)证明：任取x1，x2∈(－1，1)，且x1由于－10，
所以>0，即f(x2)－f(x1)>0，所以f(x)在(－1，1)上是增函数．
(3)因为f(x)是奇函数，
所以f(－x)＝－f(x)，
所以f(t－1)＋f(t)<0等价于f(t－1)<－f(t)＝f(－t)，即f(t－1)又由(2)知f(x)在(－1，1)上是增函数，
所以解得0即原不等式的解集为.
函数奇偶性的应用
例4已知定义在(－1，1)上的函数f(x)＝.
(1)试判断f(x)的奇偶性及在(－1，1)上的单调性；
(2)解不等式f(t－1)＋f(2t)<0.
解：(1)因为f(x)＝，
所以f(－x)＝＝－＝－f(x)．
故f(x)＝为奇函数．
任取x1，x2∈(－1，1)且x1所以f(x2)－f(x1)＝－
＝＝.
因为x2－x1>0，1－x1x2>0且分母x＋1>0，x＋1>0，所以f(x2)>f(x1)，
故f(x)＝在(－1，1)上为增函数．
(2)因为定义在(－1，1)上的奇函数f(x)是增函数，
由f(t－1)＋f(2t)<0，
得f(t－1)<－f(2t)＝f(－2t)．
所以有即解得0故不等式f(t－1)＋f(2t)<0的解集为.
跟踪练习
1、已知函数y＝f(x)是定义在R上的偶函数，当x≤0时，f(x)＝x(x＋1)，则下列说法正确的是( B )
A.函数f(x)有3个单调区间
B．当x>0时，f(x)＝x(x－1)
C．函数f(x)有最小值
D．不等式f(x)<0的解集是(－1，1)
2、已知定义在R上的函数f(x)在(－∞，2)上单调递减，且f(x＋2)为偶函数，则f(－1)，f(4)，f的大小关系为( A )
A．f(4)C．f3、定义在R上的奇函数f(x)满足f(x－3)＝－f(x)，当x∈[0，3]时，f(x)＝x2－3x，则以下关于f(x)的结论错误的是( B )
A．周期为6 B．图象关于对称
C．f(2 021)＝2 D．图象关于x＝对称
4、若函数f(x)(f(x)≠0)为奇函数，则必有( B )
A．f(x)·f(－x)>0 B．f(x)·f(－x)<0
C．f(x)f(－x)
5、(2022·白银模拟)已知f(x)＝ax－2x(a≠2)为奇函数，则“m<－”是“f(m)>0”的( B )
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
6、设f(x)是R上的偶函数，且在[0，＋∞)上单调递增，则f(－2)，f(－π)，f(3)的大小顺序是( A )
A．f(－π)>f(3)>f(－2) B．f(－π)>f(－2)>f(3)
C．f(3)>f(－2)>f(－π) D．f(3)>f(－π)>f(－2)
7、如果奇函数f(x)在[3,7]上单调递增且最小值为5，那么f(x)在区间[－7，－3]上( C )
A．单调递增且最小值为－5
B．单调递减且最小值为－5
C．单调递增且最大值为－5
D．单调递减且最大值为－5
8、已知f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意的x∈R都有f(x＋2)＝－f(x)，当x∈[0,2]时，f(x)＝x2＋ax＋b，则a＋b等于( C )
A．0 B．－1 C．－2 D．2
9、已知f(x)是定义在R上的以3为周期的偶函数，若f(1)<1，f(5)＝，则实数a的取值范围为( A )
A．(－1,4) B．(－2,0)
C．(－1,0) D．(－1,2)
10、设偶函数f(x)满足f(x)＝x3－8(x≥0)，则{x|f(x－2)>0}＝( B )
A．{x|x<－2或x>4} B．{x|x<0或x>4}
C．{x|x<0或x>6} D．{x|x<－2或x>2}
11、已知定义在R上的偶函数f(x)满足在[0，＋∞)上单调递增，f(3)＝0，则关于x的不等式>0的解集为( D )
A．(－5，－2)∪(0，＋∞) B．(－∞，－5)∪(0,1)
C．(－3,0)∪(3，＋∞) D．(－5,0)∪(1，＋∞)
12、设f(x)为偶函数，且在区间(－∞，0)内是增函数，f(－2)＝0，则xf(x)<0的解集为( C )
A．(－1，0)∪(2，＋∞) B．(－∞，－2)∪(0，2)
C．(－2，0)∪(2，＋∞) D．(－2，0)∪(0，2)
13、(多选)(2022·岳阳质检)设x∈R，用[x]表示不超过x的最大整数，则y＝[x]称为高斯函数，也叫取整函数．令f(x)＝x－[x]，以下结论正确的有( AD )
A．f(－1.1)＝0.9 B．函数f(x)为奇函数
C．f(x＋1)＝f(x)＋1 D．函数f(x)的值域为[0,1)
14、(多选)已知定义在区间[－7，7]上的一个偶函数，它在[0，7]上的图象如图，则下列说法正确的有( BC )
A．这个函数有两个单调递增区间
B．这个函数有三个单调递减区间
C．这个函数在其定义域内有最大值7
D．这个函数在其定义域内有最小值－7
15、若函数f(x)＝ax＋b，x∈[a－4，a]的图象关于原点对称，则a＝____2____，函数g(x)＝bx＋，x∈[－4，－1]的值域为________．
16、已知f(x)＝ax2＋bx＋1是定义在[a－1,2a]上的偶函数，则a＋b＝________.
17、若函已知f(x)＝ax2＋bx＋3a＋b是偶函数，定义域为[a－1，2a]，则a＋b＝________
18、单调递减区间是_(－∞，0]_______．数f(x)＝在定义域上为奇函数，则实数k＝___±1_____．
19、已知定义在R上的偶函数f(x)在[0，＋∞)上单调递增，且f(2)＝1，若f(x＋a)≤1对x∈[－1，1]恒成立，则实数a的取值范围是___[－1，1]_____．
20、若函数f(x－2)为奇函数，f(－2)＝0，且f(x)在区间[－2，＋∞)上单调递减，则不等式f(3－x)>0的解集为___(5，＋∞)_____．
21、已知实数a，b满足(a－1)5＋(b－3)5＝2 020(1－a)3＋2 020(3－b)3，则a＋b＝____4____．
22、函数f(x)在(－∞，＋∞)单调递减，且为奇函数．若f(1)＝－1，则满足－1≤f(x－2)≤1的x的取值范围是____{x|1≤x≤3}____．
23、(2022·福建质检)已知f(x)是定义在R上的偶函数，其图象关于点(1,0)对称．以下关于f(x)的结论：
①f(x)是周期函数；
②f(x)在(0,2)上单调递减；
③f(x)满足f(x)＝f(4－x)；
其中正确的结论是___①③_____(写出所有正确结论的序号)．
24、设f(x)是(－∞，＋∞)上的奇函数，f(x＋2)＝－f(x)，当0≤x≤1时，f(x)＝x.
(1)求f(π)；
(2)当－4≤x≤4时，求f(x)的图象与x轴所围成的图形的面积．
解：(1)由题意得f(x)是以4为周期的周期函数．
所以f(π)＝f(－1×4＋π)＝f(π－4)
＝－f(4－π)＝－(4－π)＝π－4.
(2)由f(x)是奇函数与f(x＋2)＝－f(x)，
得f[(x－1)＋2]＝－f(x－1)＝f[－(x－1)]，
即f(1＋x)＝f(1－x).
从而可知函数y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称．
又当0≤x≤1时，f(x)＝x，且f(x)的图象关于原点成中心对称，则f(x)的图象如图所示．
设当－4≤x≤4时，f(x)的图象与x轴围成的图形面积为S，则S＝4S△OAB＝4×＝4.
25、已知函数f(x)＝是奇函数．
(1)求实数m的值；
(2)若函数f(x)在区间[－1，a－2]上单调递增，求实数a的取值范围．
解 (1)设x<0，则－x>0，
所以f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)＝－x2－2x.
又f(x)为奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，
于是x<0时，f(x)＝x2＋2x＝x2＋mx，
所以m＝2.
(2) 要使f(x)在[－1，a－2]上单调递增，结合f(x)的图象(如图所示)知所以1故实数a的取值范围是(1,3]．
26、设函数f(x)＝x2－2|x－a|＋3，x∈R.
(1)王鹏同学认为，无论a取何值，f(x)都不可能是奇函数．你同意他的观点吗？请说明你的理由；
(2)若f(x)是偶函数，求a的值；
(3)在(2)的情况下，画出y＝f(x)的图象并指出其单调递增区间．
解：(1)我同意王鹏同学的观点．
理由如下：
假设f(x)是奇函数，
则由f(a)＝a2＋3，f(－a)＝a2－4|a|＋3，
可得f(a)＋f(－a)＝0，
即a2－2|a|＋3＝0，
显然a2－2|a|＋3＝0无解，
∴f(x)不可能是奇函数．
(2)若f(x)为偶函数，则有f(a)＝f(－a)，
即a2＋3＝a2－4|a|＋3，解得a＝0.
经验证，此时f(x)＝x2－2|x|＋3是偶函数．
(3)由(2)知f(x)＝x2－2|x|＋3，其图象如图所示，
由图可得，其单调递增区间是(－1，0)和(1，＋∞)．
第二部分 函数的周期性
一、函数周期的定义
(1)周期函数：一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果存在一个非零常数T，使得对每一个x∈D都有x＋T∈D，且f(x＋T)＝f(x)，那么函数f(x)就叫作周期函数．非零常数T叫作这个函数的周期．
(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫作f(x)的最小正周期．
二、函数周期性常用结论
对f(x)定义域内任一自变量的值x：
(1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a>0).
(2)若f(x＋a)＝，则T＝2a(a>0).
(3)若f(x＋a)＝－，则T＝2a(a>0).
三、函数周期性的应用
例1定义在R上的函数f(x)满足f(x＋6)＝f(x)，当－3≤x<－1时，f(x)＝－(x＋2)2，当－1≤x<3时，f(x)＝x，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 023)等于( B )
A．336 B．338
C．337 D．339
解：因为f(x＋6)＝f(x)，所以函数的周期T＝6，
于是f(1)＝1，f(2)＝2，
f(3)＝f(－3)＝－(－3＋2)2＝－1，
f(4)＝f(－2)＝－(－2＋2)2＝0，
f(5)＝f(－1)＝－1，f(6)＝f(0)＝0，
所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)＋f(6)＝1，
而2 023＝6×337＋1，
所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 023)
＝337×1＋1＝338.
跟踪练习
1、(2022·重庆质检)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，对任意的实数x，f(x－2)＝f(x＋2)，当x∈(0,2)时，f(x)＝x2，则f 等于( A )
A．－ B．－ C. D.
2、在R上函数f(x)满足f(x＋1)＝f(x－1)，且f(x)＝其中a∈R，若f(－5)＝f(4.5)，则a＝( C )
A．0.5 B．1.5 C．2.5 D．3.5
3、定义在R上的偶函数f(x)满足f(x＋3)＝f(x).若f(2)>1，f(7)＝a，则实数a的取值范围为( D )
A．(－∞，－3) B．(3，＋∞)
C．(－∞，－1) D．(1，＋∞)
4、(2022·宿州市模拟(一))已知f(x)是定义在R上的奇函数，且满足f(x)＝f(2－x)，当x∈[0，1]时，f(x)＝4x－1，则在(1，3)上，f(x)≤1的解集是( C )
A． B．
C． D．[2，3)
5、已知定义在R上的函数f(x)满足f(－x)＝－f(x)，f(3－x)＝f(x)，则f(2 025)＝( B )
A．－3 B．0 C．1 D．3
6、已知函数y＝f(x)是定义在R上的奇函数，且满足f(2＋x)＋f(x)＝0，当x∈[－2，0]时，f(x)＝－x2－2x，则当x∈[4，6]时，y＝f(x)的最小值为( B )
A．－8 B．－1 C．0 D．1
7、已知函数f(x)的图象关于原点对称，且周期为4，f(3)＝－2，则f(2 021)等于( A )
A．2 B．0 C．－2 D．－4
8、已知f(x)是定义在R上的以3为周期的偶函数，若f(1)<1，f(5)＝，则实数a的取值范围为( A )
A．(－1,4) B．(－2,0)
C．(－1,0) D．(－1,2)
9、已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)＝－f，f(－1)＝1，f(0)＝－2，且f为奇函数，则下列说法错误的是( A )
A．f(x)为奇函数 B．f(x)为偶函数
C．f(x)是周期为3的周期函数 D．f(0)＋f(1)＋…＋f(2 021)＝0
10、函数f(x)满足f(x)＝－f(x＋4)，若f(2)＝3，则f(2 022)＝( B )
A．3 B．－3 C．6 D．2 022
11、已知f(x)为R上的偶函数，且f(x＋2)是奇函数，则( AD )
A．f(x)的图象关于点(2,0)对称
B．f(x)的图象关于直线x＝2对称
C．f(x)的周期为4
D．f(x)的周期为8
12、函数f(x)满足f(x)f(x＋2)＝13，且f(1)＝2，则f(2 023)＝________.
13、若函数f(x)＝则f(2 023)＝____-1____.
14、函数f(x)满足f(x＋1)＝f(x－1)，且f(x)为定义在R上的奇函数，则f(2 021)＋f(2 022)＝_____0___.
15、已知f(x)是R上最小正周期为2的周期函数，且当0≤x<2时，f(x)＝x3－x，则函数y＝f(x)的图象在区间[0,6]上与x轴的交点个数为____7____．
16、已知定义在R上的函数f(x)，对任意实数x有f(x＋4)＝－f(x)，若函数f(x－1)的图象关于直线x＝1对称，f(－6)＝0，则f(2 022)＝___0_____．
17、已知定义在R上的函数f(x)，对任意实数x有f(x＋4)＝－f(x)，若函数f(x－1)的图象关于直线x＝1对称，f(－2)＝2，则f(2 026)＝____2____．
18、已知f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x＋4)＝f(x－2).若当x∈[－3，0]时，f(x)＝6－x，则f(919)＝___6_____．
19、设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f(x＋2)＝－f(x)．当x∈[0,2]时，f(x)＝2x－x2.
(1)求证：f(x)是周期函数；
(2)当x∈[2,4]时，求f(x)的解析式．
(1)证明 ∵f(x＋2)＝－f(x)，
∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)．
∴f(x)是周期为4的周期函数．
(2)解 ∵x∈[2,4]，∴－x∈[－4，－2]，
∴4－x∈[0,2]，
∴f(4－x)＝2(4－x)－(4－x)2
＝－x2＋6x－8.
∵f(4－x)＝f(－x)＝－f(x)，
∴－f(x)＝－x2＋6x－8，
即当x∈[2,4]时，f(x)＝x2－6x＋8.
第三部分 函数的对称性
一、函数对称性常用结论
(1)f(a－x)＝f(a＋x) f(－x)＝f(2a＋x) f(x)＝f(2a－x) f(x)的图象关于直线x＝a对称．
(2)f(a＋x)＝f(b－x) f(x)的图象关于直线x＝对称．
f(a＋x)＝－f(b－x) f(x)的图象关于点对称．
f(2a－x)＝－f(x)＋2b f(x)的图象关于点(a，b)对称．
二、函数对称性的应用
例已知函数y＝f(x)－2为奇函数，g(x)＝，且f(x)与g(x)图象的交点分别为(x1，y1)，(x2，y2)，…，(x6，y6)，则y1＋y2＋…＋y6＝________.
解：∵函数y＝f(x)－2为奇函数，
∴函数y＝f(x)的图象关于点(0,2)对称，
又g(x)＝＝＋2，其图象也关于(0,2)对称，
∴两函数图象交点关于(0,2)对称，
则y1＋y2＋…＋y6＝3×4＝12.
跟踪练习
1、(2022·山东师大附中第二次月考)定义在R上的奇函数f(x)满足f(x－3)＝－f(x)，当x∈[0，3]时，f(x)＝x2－3x，则以下关于f(x)的结论错误的是( B )
A．周期为6 B．图象关于对称
C．f(2 021)＝2 D．图象关于x＝对称
2、已知函数f(x)的图象关于原点对称，且周期为4，f(3)＝－2，则f(2 021)等于( A )
A．2 B．0 C．－2 D．－4
3、已知f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意的x∈R都有f(x＋2)＝－f(x)，当x∈[0,2]时，f(x)＝x2＋ax＋b，则a＋b等于( C )
A．0 B．－1 C．－2 D．2
4、(多选)(2022·湖北新高考9＋N联盟模拟)已知f(x)为R上的偶函数，且f(x＋2)是奇函数，则( AD )
A．f(x)的图象关于点(2,0)对称
B．f(x)的图象关于直线x＝2对称
C．f(x)的周期为4
D．f(x)的周期为8
5、(2022·承德模拟)已知函数f(x)的定义域为R，对任意x都有f(2＋x)＝f(2－x)，且f(－x)＝f(x)，则下列结论正确的是( ACD )
A．f(x)的图象关于直线x＝2对称
B．f(x)的图象关于点(2,0)对称
C．f(x)的周期为4
D．y＝f(x＋4)为偶函数
6、已知定义在R上的奇函数f(x)对 x∈R都有f(x＋2)＝－f(x)，则下列判断正确的是( ACD )
A．f(x)是周期函数且周期为4
B．f(x)的图象关于点(1,0)对称
C．f(x)的图象关于直线x＝－1对称
D．f(x)在[－4,4]上至少有5个零点
7、函数f(x)的周期为6，且f(x＋2)为偶函数，当x∈[0,2]时，f(x)＝2x－1，则
f(2 025)＝____1____.
8、已知函数f(x)满足对 x∈R，有f(1－x)＝f(1＋x)，f(x＋2)＝－f(x)，当x∈(0,1)时，f(x)＝x2＋mx，若f ＝，则m＝______.
9、函数f(x)的周期为6，且f(x＋2)为偶函数，当x∈[0,2]时，f(x)＝2x－1，则
f(2 025)＝___1_____.
10、已知函数f(x)满足：①f(0)＝0；②在[1,3]上是减函数；③f(1＋x)＝f(1－x)．请写出一个满足以上条件的f(x)＝__－x2＋2x______．
11、已知函数y＝f(x)－2为奇函数，g(x)＝，且f(x)与g(x)图象的交点分别为(x1，y1)，(x2，y2)，…，(x6，y6)，则y1＋y2＋…＋y6＝____12____.
12、函数y＝f(x)对任意x∈R都有f(x＋2)＝f(－x)成立，且函数y＝f(x－1)的图象关于点(1，0)对称，f(1)＝4，则f(2 020)＋f(2 021)＋f(2 022)＝_____4___．
13、若函数f(x)＝ax＋b，x∈[a－4，a]的图象关于原点对称，则a＝___2_____，函数g(x)＝bx＋，x∈[－4，－1]的值域为________．函数性质专题 函数的奇偶性、周期性、对称性
第一部分 函数的奇偶性
一、奇偶函数的定义
偶函数 奇函数
定义 设函数f(x)的定义域为I，如果 x∈I，都有－x∈I
且f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数 且f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数
图象特征 关于y轴对称 关于原点对称
函数的奇偶性常用结论
奇偶函数定义的等价形式
①f－x＝fx f－x－fx＝0 ＝1 fx为偶函数；
②f－x＝－fx f－x＋fx＝0 ＝－1 fx为奇函数.
2、如果函数f(x)是奇函数且在x＝0处有定义，则一定有f(0)＝0.如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|).
3、在公共定义域内有：奇±奇＝奇，偶±偶＝偶，奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．
函数的奇偶性常见题型
函数奇偶性的判断
例1判断下列函数的奇偶性．
(1)f(x)＝x3－；
(2)f(x)＝＋；
(3)f(x)＝
跟踪练习
1、下列函数中为偶函数的是( )
A．f(x)＝2x＋1 B．f(x)＝x3＋x
C．f(x)＝ D．f(x)＝x＋
2、函数f(x)＝－x的图像( )
A．关于y轴对称 B．关于直线y＝x对称
C．关于坐标原点对称 D．关于直线y＝－x对称
3、已知函数f(x)＝x·|x|－2x，则下列结论正确的是( )
A．f(x)是偶函数，递增区间是(－∞，0)
B．f(x)是偶函数，递减区间是(－∞，1)
C．f(x)是奇函数，递减区间是(－1,1)
D．f(x)是奇函数，递增区间是(0，＋∞)
4、设函数f(x)＝，则下列函数中为奇函数的是( )
A．f(x－1)－1 B．f(x－1)＋1
C．f(x＋1)－1 D．f(x＋1)＋1
5、设函数f(x)在(－∞，＋∞)内有定义，下列函数必为奇函数的是( )
A．y＝－|f(x)| B．y＝xf(x2)
C．y＝－f(－x) D．y＝f(x)＋f(－x)
6、已知函数f(x)＝，则函数f(x)( )
A．既是奇函数也是偶函数 B．既不是奇函数也不是偶函数
C．是奇函数，但不是偶函数 D．是偶函数，但不是奇函数
7、已知定义在R上的函数f(x)满足对任意x1，x2∈R，有f(x1＋x2)＝f(x1)＋f(x2)－1，则( )
A．f(x)是偶函数 B．f(x)是奇函数
C．f(x)－1是偶函数 D．f(x)－1是奇函数
8、(多选)下列函数是奇函数的是( )
A．y＝2x2－3 B．y＝x3
C．y＝x2，x∈[0，1] D．y＝x
9、(多选)下列说法中正确的是( )
A．图象关于坐标原点对称的函数是奇函数
B．图象关于y轴对称的函数是偶函数
C．函数y＝x2在x∈(0，＋∞)上是偶函数
D．若函数f(x)为奇函数，则一定有f(0)＝0
10、(多选)已知y＝f(x)是定义在R上的奇函数，则下列函数中为奇函数的是( )
A．y＝f(|x|) B．y＝f(－x)
C．y＝xf(x) D．y＝f(x)＋x
11、(多选)设函数f(x)，g(x)的定义域都为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论中正确的有( )
A．f(x)g(x)是偶函数 B．|f(x)|＋g(x)是偶函数
C．f(x)|g(x)|是奇函数 D．|f(x)g(x)|是奇函数
12、(多选)如果f(x)是定义在R上的奇函数，那么下列函数中，一定为具有奇偶性的函数的是( )
A．y＝x＋f(x) B．y＝xf(x)
C．y＝x2＋f(x) D．y＝x2f(x)
13、(多选)函数f(x)的定义域为R，且f(x)与f(x＋1)都为奇函数，则( )
A．f(x－1)为奇函数
B．f(x)为周期函数
C．f(x＋3)为奇函数
D．f(x＋2)为偶函数
14、判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝＋；
(2)f(x)＝
15、判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝；
(2)f(x)＝x2－x3；
(3)f(x)＝|x－2|－|x＋2|；
(4)f(x)＝x2＋(x≠0，a∈R).
16、(1)已知函数f(x)，x∈R，若 a，b∈R，都有f(a＋b)＝f(a)＋f(b)，求证：f(x)为奇函数；
(2)已知函数f(x)，x∈R，若 x1，x2∈R，都有f(x1＋x2)＋f(x1－x2)＝2f(x1)·f(x2)，求证：f(x)为偶函数；
(3)设函数f(x)定义在(－l，l)上，证明：f(x)＋f(－x)是偶函数，f(x)－f(－x)是奇函数．
17、已知f(x)是定义在R上的函数，设g(x)＝，h(x)＝.
(1)试判断g(x)与h(x)的奇偶性；
(2)试判断g(x)，h(x)与f(x)的关系；
(3)由此你能猜想出什么样的结论？
根据奇偶性求函数值
例2(2022·重庆模拟)已知函数f(x)＝ax5＋bx3＋2，若f(2)＝7，求f(－2)的值.
跟踪练习
1、(2022·青岛模拟)已知f(x)＝x5＋ax3＋bx－8(a，b是常数)，且f(－3)＝5，则f(3)＝( )
A．21 B．－21
C．26 D．－26
2、如图，给出奇函数y＝f(x)的局部图像，则f(－2)＋f(－1)的值为( )
A.－2 B．2 C．1 D．0
3、已知f(x)为奇函数，在区间[3，6]上是增函数，且在此区间上的最大值为8，最小值为－1，则2f(－6)＋f(－3)＝( )
A．－15 B．－13
C．－5 D．5
4、已知f(x)＝ax3＋bx＋1(ab≠0)，若f(2019)＝k，则f(－2019)＝( )
A．k B．－k C．1－k D．2－k
5、已知f(x)为定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝2x＋m，则f(－2)＝( )
－3 B．－ C． D．3
6、已知定义在R上的偶函数f(x)满足f(2－x)－f(x)＝0，f(0)＝，则f(10)＝________．
7、已知y＝f(x)是奇函数，当x<0时，f(x)＝x2＋ax，且f(3)＝6，则a的值为________．
8、若函数f(x)＝为奇函数，则f(g(－1))＝________.
9、已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且当x>0时，f(x)＝x(1＋x)，则f(－1)＝________．
10、已知f(x)是奇函数，当x<0时，f(x)＝x2＋2x，则f(1)的值是________．
11、若f(x)＝(m－1)x2＋6mx＋2是偶函数，则f(0)，f(1)，f(－2)从小到大的排列是____________．
根据奇偶性求函数的解析式
例3(1)已知y＝f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x(x－2)，则当x＜0时，求f(x)的表达式.
(2)已知函数f(x)为偶函数，且当x<0时，f(x)＝x＋1，则x>0时，求f(x)的表达式
跟踪练习
1、(2022·广东模拟)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝x2－x－1，则当x∈(－∞，0)时，f(x)＝________．
2、已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0，f(x)＝2x－2x＋a，则a＝________；当x<0时，f(x)＝_______.
3、已知函数y＝f(x)是定义在R上的偶函数，当x≤0时，f(x)＝x(x＋1)，f(x)＝_______.
4、已知函数f(x)是定义域为R的奇函数，当x>0时，f(x)＝x2－2x.
(1)求出函数f(x)在R上的解析式；
(2)画出函数f(x)的图像．
5、已知函数f(x)＝x2－mx(m>0)在区间[0，2]上的最小值为g(m)．
求函数g(m)的解析式；
6、设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f(x＋2)＝－f(x)．当x∈[0,2]时，f(x)＝2x－x2.
(1)求证：f(x)是周期函数；
(2)当x∈[2,4]时，求f(x)的解析式．
7、已知函数f(x)＝是定义在(－1，1)上的奇函数，且f＝.
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)用定义证明f(x)在(－1，1)上是增函数；
(3)解关于实数t的不等式f(t－1)＋f(t)<0.
函数奇偶性的应用
例4已知定义在(－1，1)上的函数f(x)＝.
(1)试判断f(x)的奇偶性及在(－1，1)上的单调性；
(2)解不等式f(t－1)＋f(2t)<0.
跟踪练习
1、已知函数y＝f(x)是定义在R上的偶函数，当x≤0时，f(x)＝x(x＋1)，则下列说法正确的是( )
A.函数f(x)有3个单调区间
B．当x>0时，f(x)＝x(x－1)
C．函数f(x)有最小值
D．不等式f(x)<0的解集是(－1，1)
2、已知定义在R上的函数f(x)在(－∞，2)上单调递减，且f(x＋2)为偶函数，则f(－1)，f(4)，f的大小关系为( )
A．f(4)C．f3、定义在R上的奇函数f(x)满足f(x－3)＝－f(x)，当x∈[0，3]时，f(x)＝x2－3x，则以下关于f(x)的结论错误的是( )
A．周期为6 B．图象关于对称
C．f(2 021)＝2 D．图象关于x＝对称
4、若函数f(x)(f(x)≠0)为奇函数，则必有( )
A．f(x)·f(－x)>0 B．f(x)·f(－x)<0
C．f(x)f(－x)
5、(2022·白银模拟)已知f(x)＝ax－2x(a≠2)为奇函数，则“m<－”是“f(m)>0”的( )
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
6、设f(x)是R上的偶函数，且在[0，＋∞)上单调递增，则f(－2)，f(－π)，f(3)的大小顺序是( )
A．f(－π)>f(3)>f(－2) B．f(－π)>f(－2)>f(3)
C．f(3)>f(－2)>f(－π) D．f(3)>f(－π)>f(－2)
7、如果奇函数f(x)在[3,7]上单调递增且最小值为5，那么f(x)在区间[－7，－3]上( )
A．单调递增且最小值为－5
B．单调递减且最小值为－5
C．单调递增且最大值为－5
D．单调递减且最大值为－5
8、已知f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意的x∈R都有f(x＋2)＝－f(x)，当x∈[0,2]时，f(x)＝x2＋ax＋b，则a＋b等于( )
A．0 B．－1 C．－2 D．2
9、已知f(x)是定义在R上的以3为周期的偶函数，若f(1)<1，f(5)＝，则实数a的取值范围为( )
A．(－1,4) B．(－2,0)
C．(－1,0) D．(－1,2)
10、设偶函数f(x)满足f(x)＝x3－8(x≥0)，则{x|f(x－2)>0}＝( )
A．{x|x<－2或x>4} B．{x|x<0或x>4}
C．{x|x<0或x>6} D．{x|x<－2或x>2}
11、已知定义在R上的偶函数f(x)满足在[0，＋∞)上单调递增，f(3)＝0，则关于x的不等式>0的解集为( )
A．(－5，－2)∪(0，＋∞) B．(－∞，－5)∪(0,1)
C．(－3,0)∪(3，＋∞) D．(－5,0)∪(1，＋∞)
12、设f(x)为偶函数，且在区间(－∞，0)内是增函数，f(－2)＝0，则xf(x)<0的解集为( )
A．(－1，0)∪(2，＋∞) B．(－∞，－2)∪(0，2)
C．(－2，0)∪(2，＋∞) D．(－2，0)∪(0，2)
13、(多选)(2022·岳阳质检)设x∈R，用[x]表示不超过x的最大整数，则y＝[x]称为高斯函数，也叫取整函数．令f(x)＝x－[x]，以下结论正确的有( )
A．f(－1.1)＝0.9 B．函数f(x)为奇函数
C．f(x＋1)＝f(x)＋1 D．函数f(x)的值域为[0,1)
14、(多选)已知定义在区间[－7，7]上的一个偶函数，它在[0，7]上的图象如图，则下列说法正确的有( )
A．这个函数有两个单调递增区间
B．这个函数有三个单调递减区间
C．这个函数在其定义域内有最大值7
D．这个函数在其定义域内有最小值－7
15、若函数f(x)＝ax＋b，x∈[a－4，a]的图象关于原点对称，则a＝________，函数g(x)＝bx＋，x∈[－4，－1]的值域为________．
16、已知f(x)＝ax2＋bx＋1是定义在[a－1,2a]上的偶函数，则a＋b＝________.
17、若函已知f(x)＝ax2＋bx＋3a＋b是偶函数，定义域为[a－1，2a]，则a＋b＝________
18、单调递减区间是_______．数f(x)＝在定义域上为奇函数，则实数k＝________．
19、已知定义在R上的偶函数f(x)在[0，＋∞)上单调递增，且f(2)＝1，若f(x＋a)≤1对x∈[－1，1]恒成立，则实数a的取值范围是________．
20、若函数f(x－2)为奇函数，f(－2)＝0，且f(x)在区间[－2，＋∞)上单调递减，则不等式f(3－x)>0的解集为________．
21、已知实数a，b满足(a－1)5＋(b－3)5＝2 020(1－a)3＋2 020(3－b)3，则a＋b＝________．
22、函数f(x)在(－∞，＋∞)单调递减，且为奇函数．若f(1)＝－1，则满足－1≤f(x－2)≤1的x的取值范围是________．
23、(2022·福建质检)已知f(x)是定义在R上的偶函数，其图象关于点(1,0)对称．以下关于f(x)的结论：
①f(x)是周期函数；
②f(x)在(0,2)上单调递减；
③f(x)满足f(x)＝f(4－x)；
其中正确的结论是________(写出所有正确结论的序号)．
24、设f(x)是(－∞，＋∞)上的奇函数，f(x＋2)＝－f(x)，当0≤x≤1时，f(x)＝x.
(1)求f(π)；
(2)当－4≤x≤4时，求f(x)的图象与x轴所围成的图形的面积．
25、已知函数f(x)＝是奇函数．
(1)求实数m的值；
(2)若函数f(x)在区间[－1，a－2]上单调递增，求实数a的取值范围．
26、设函数f(x)＝x2－2|x－a|＋3，x∈R.
(1)王鹏同学认为，无论a取何值，f(x)都不可能是奇函数．你同意他的观点吗？请说明你的理由；
(2)若f(x)是偶函数，求a的值；
(3)在(2)的情况下，画出y＝f(x)的图象并指出其单调递增区间．
第二部分 函数的周期性
一、函数周期的定义
(1)周期函数：一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果存在一个非零常数T，使得对每一个x∈D都有x＋T∈D，且f(x＋T)＝f(x)，那么函数f(x)就叫作周期函数．非零常数T叫作这个函数的周期．
(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫作f(x)的最小正周期．
二、函数周期性常用结论
对f(x)定义域内任一自变量的值x：
(1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a>0).
(2)若f(x＋a)＝，则T＝2a(a>0).
(3)若f(x＋a)＝－，则T＝2a(a>0).
三、函数周期性的应用
例1定义在R上的函数f(x)满足f(x＋6)＝f(x)，当－3≤x<－1时，f(x)＝－(x＋2)2，当－1≤x<3时，f(x)＝x，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 023)等于( )
A．336 B．338
C．337 D．339
跟踪练习
(2022·重庆质检)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，对任意的实数x，f(x－2)＝f(x＋2)，当x∈(0,2)时，f(x)＝x2，则f 等于( )
A．－ B．－ C. D.
2、在R上函数f(x)满足f(x＋1)＝f(x－1)，且f(x)＝其中a∈R，若f(－5)＝f(4.5)，则a＝( )
A．0.5 B．1.5 C．2.5 D．3.5
3、定义在R上的偶函数f(x)满足f(x＋3)＝f(x).若f(2)>1，f(7)＝a，则实数a的取值范围为( )
A．(－∞，－3) B．(3，＋∞)
C．(－∞，－1) D．(1，＋∞)
4、(2022·宿州市模拟(一))已知f(x)是定义在R上的奇函数，且满足f(x)＝f(2－x)，当x∈[0，1]时，f(x)＝4x－1，则在(1，3)上，f(x)≤1的解集是( )
A． B．
C． D．[2，3)
5、已知定义在R上的函数f(x)满足f(－x)＝－f(x)，f(3－x)＝f(x)，则f(2 025)＝( )
A．－3 B．0 C．1 D．3
6、已知函数y＝f(x)是定义在R上的奇函数，且满足f(2＋x)＋f(x)＝0，当x∈[－2，0]时，f(x)＝－x2－2x，则当x∈[4，6]时，y＝f(x)的最小值为( )
A．－8 B．－1 C．0 D．1
7、已知函数f(x)的图象关于原点对称，且周期为4，f(3)＝－2，则f(2 021)等于( )
A．2 B．0 C．－2 D．－4
8、已知f(x)是定义在R上的以3为周期的偶函数，若f(1)<1，f(5)＝，则实数a的取值范围为( )
A．(－1,4) B．(－2,0)
C．(－1,0) D．(－1,2)
9、已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)＝－f，f(－1)＝1，f(0)＝－2，且f为奇函数，则下列说法错误的是( )
A．f(x)为奇函数 B．f(x)为偶函数
C．f(x)是周期为3的周期函数 D．f(0)＋f(1)＋…＋f(2 021)＝0
10、函数f(x)满足f(x)＝－f(x＋4)，若f(2)＝3，则f(2 022)＝( )
A．3 B．－3 C．6 D．2 022
11、已知f(x)为R上的偶函数，且f(x＋2)是奇函数，则( )
A．f(x)的图象关于点(2,0)对称
B．f(x)的图象关于直线x＝2对称
C．f(x)的周期为4
D．f(x)的周期为8
12、函数f(x)满足f(x)f(x＋2)＝13，且f(1)＝2，则f(2 023)＝________.
13、若函数f(x)＝则f(2 023)＝________.
14、函数f(x)满足f(x＋1)＝f(x－1)，且f(x)为定义在R上的奇函数，则f(2 021)＋f(2 022)＝________.
15、已知f(x)是R上最小正周期为2的周期函数，且当0≤x<2时，f(x)＝x3－x，则函数y＝f(x)的图象在区间[0,6]上与x轴的交点个数为________．
16、已知定义在R上的函数f(x)，对任意实数x有f(x＋4)＝－f(x)，若函数f(x－1)的图象关于直线x＝1对称，f(－6)＝0，则f(2 022)＝________．
17、已知定义在R上的函数f(x)，对任意实数x有f(x＋4)＝－f(x)，若函数f(x－1)的图象关于直线x＝1对称，f(－2)＝2，则f(2 026)＝_______．
18、已知f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x＋4)＝f(x－2).若当x∈[－3，0]时，f(x)＝6－x，则f(919)＝________．
19、设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f(x＋2)＝－f(x)．当x∈[0,2]时，f(x)＝2x－x2.
(1)求证：f(x)是周期函数；
(2)当x∈[2,4]时，求f(x)的解析式．
第三部分 函数的对称性
一、函数对称性常用结论
(1)f(a－x)＝f(a＋x) f(－x)＝f(2a＋x) f(x)＝f(2a－x) f(x)的图象关于直线x＝a对称．
(2)f(a＋x)＝f(b－x) f(x)的图象关于直线x＝对称．
f(a＋x)＝－f(b－x) f(x)的图象关于点对称．
f(2a－x)＝－f(x)＋2b f(x)的图象关于点(a，b)对称．
二、函数对称性的应用
例已知函数y＝f(x)－2为奇函数，g(x)＝，且f(x)与g(x)图象的交点分别为(x1，y1)，(x2，y2)，…，(x6，y6)，则y1＋y2＋…＋y6＝________.
跟踪练习
1、(2022·山东师大附中第二次月考)定义在R上的奇函数f(x)满足f(x－3)＝－f(x)，当x∈[0，3]时，f(x)＝x2－3x，则以下关于f(x)的结论错误的是( )
A．周期为6 B．图象关于对称
C．f(2 021)＝2 D．图象关于x＝对称
2、已知函数f(x)的图象关于原点对称，且周期为4，f(3)＝－2，则f(2 021)等于( )
A．2 B．0 C．－2 D．－4
3、已知f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意的x∈R都有f(x＋2)＝－f(x)，当x∈[0,2]时，f(x)＝x2＋ax＋b，则a＋b等于( )
A．0 B．－1 C．－2 D．2
4、(多选)(2022·湖北新高考9＋N联盟模拟)已知f(x)为R上的偶函数，且f(x＋2)是奇函数，则( )
A．f(x)的图象关于点(2,0)对称
B．f(x)的图象关于直线x＝2对称
C．f(x)的周期为4
D．f(x)的周期为8
5、(2022·承德模拟)已知函数f(x)的定义域为R，对任意x都有f(2＋x)＝f(2－x)，且f(－x)＝f(x)，则下列结论正确的是( )
A．f(x)的图象关于直线x＝2对称
B．f(x)的图象关于点(2,0)对称
C．f(x)的周期为4
D．y＝f(x＋4)为偶函数
6、已知定义在R上的奇函数f(x)对 x∈R都有f(x＋2)＝－f(x)，则下列判断正确的是( )
A．f(x)是周期函数且周期为4
B．f(x)的图象关于点(1,0)对称
C．f(x)的图象关于直线x＝－1对称
D．f(x)在[－4,4]上至少有5个零点
7、函数f(x)的周期为6，且f(x＋2)为偶函数，当x∈[0,2]时，f(x)＝2x－1，则
f(2 025)＝________.
8、已知函数f(x)满足对 x∈R，有f(1－x)＝f(1＋x)，f(x＋2)＝－f(x)，当x∈(0,1)时，f(x)＝x2＋mx，若f ＝，则m＝______.
9、函数f(x)的周期为6，且f(x＋2)为偶函数，当x∈[0,2]时，f(x)＝2x－1，则
f(2 025)＝______.
10、已知函数f(x)满足：①f(0)＝0；②在[1,3]上是减函数；③f(1＋x)＝f(1－x)．请写出一个满足以上条件的f(x)＝_______．
11、已知函数y＝f(x)－2为奇函数，g(x)＝，且f(x)与g(x)图象的交点分别为(x1，y1)，(x2，y2)，…，(x6，y6)，则y1＋y2＋…＋y6＝________.
12、函数y＝f(x)对任意x∈R都有f(x＋2)＝f(－x)成立，且函数y＝f(x－1)的图象关于点(1，0)对称，f(1)＝4，则f(2 020)＋f(2 021)＋f(2 022)＝________．
13、若函数f(x)＝ax＋b，x∈[a－4，a]的图象关于原点对称，则a＝________，函数g(x)＝bx＋，x∈[－4，－1]的值域为________．