3.3 幂函数练习
一、单选题
1、已知幂函数f(x)＝kxα(k∈R，α∈R)的图象过点，则k＋α＝( )
A． B．1 C． D．2
2、下列函数中，既是偶函数，又在区间(0，＋∞)上单调递减的函数是( )
A．y＝x－2 B．y＝x－1 C．y＝x2 D．y＝
3、幂函数y＝f(x)的图象过点(4,2)，则幂函数y＝f(x)的图象是( )
4、幂函数在上单调递减，则实数m的值为（ ）
A． B．3 C．或3 D．
5、若f(x)＝，则不等式f(x)>f(8x－16)的解集是( )
A． B．(0，2] C． D．[2，＋∞)
6、若幂函数f(x)＝在(0，＋∞)上单调递增，则a等于( )
A．1 B．6 C．2 D．－1
7、幂函数在第一象限的图像如图所示，则的大小关系是 （ ）
B．
C． D．
8、已知幂函数y＝(p，q∈Z且p，q互质)的图象关于y轴对称，如图所示，则( )
A．p，q均为奇数，且>0
B．q为偶数，p为奇数，且<0
C．q为奇数，p为偶数，且>0
D．q为奇数，p为偶数，且<0
二、多选题
9．下列关于幂函数的性质说法正确的有（ ）
A．当时，函数在其定义域上递减
B．当时，函数图象是一条直线
C．当时，函数是偶函数
D．当时，函数的图象与轴交点的横坐标为
10．已知函数的图象经过点则（ ）
A．的图象经过点 B．的图象关于y轴对称
C．在上单调递减 D．在内的值域为
11、已知幂函数f(x)＝，对任意x1，x2∈(0，＋∞)，且x1≠x2，都满足>0，若a，b∈R且f(a)＋f(b)<0，则下列结论可能成立的有( )
A．a＋b>0且ab<0 B．a＋b<0且ab<0
C．a＋b<0且ab>0 D．以上都可能
12．若函数的定义域为且为奇函数，则可能的值为（ ）
A． B． C． D．3
三、填空题
13．若幂函数为偶函数，则 ________ .
14、已知幂函数f(x)＝mxn＋k的图象过点，则m－2n＋3k＝_______.
若，则实数m的取值范围是________________.
16、给出下面四个条件：①f(m＋n)＝f(m)＋f(n)；②f(m＋n)＝f(m)·f(n)；③f(mn)＝f(m)·f(n)；④f(mn)＝f(m)＋f(n)．如果m，n是幂函数y＝f(x)定义域内的任意两个值，那么幂函数y＝f(x)一定满足的条件的序号为_______．
四、解答题
17．已知幂函数的图象经过点，求函数的解析式，并作出该函数图象的草图，判断该函数的奇偶性和单调性．
18、已知幂函数f(x)＝(m2－5m＋7)x－m－1(m∈R)为偶函数．
(1)求f的值；
(2)若f(2a＋1)＝f(a)，求实数a的值．
19、已知幂函数f(x)＝(m∈N*)．
(1)试确定该函数的定义域，并指明该函数在其定义域上的单调性；
(2)若函数f(x)的图象经过点(2，)，试确定m的值，并求满足条件f(2－a)>f(a－1)的实数a的取值范围．
20、已知函数为幂函数，且为奇函数.
(1)求的值，并确定的解析式；
(2)令，求在的值域.3.3 幂函数
教材分析
本节是在前面学习了函数的概念以及利用函数的概念和图像观察、研究函数性质的基础上，学习探究一类新的函数。教材首先通过给出五个函数解析式，引导学生观察它们的共同特征，引出幂函数的概念。在结合以往学习函数的经验的基础上，通过做出和的图像，观察图像引导学生总结幂函数的基本性质。教材通过这种引导式的设计安排，能够培养学生观察、分析、概括、总结的能力，能够培养学生的直观想象和数学抽象的核心素养。
教学目标
1．了解幂函数的基本概念。
2．通过探究幂函数和的图象和性质的过程，培养学生的直观想象和数学抽象的核心素养。
3.理解和掌握幂函数在第一象限的分类特征，能运用数形结合的方法处理幂函数的有关问题。
三、教学重难点
重点：了解幂函数的概念
难点：结合这五个幂函数的图象，理解幂函数图象的变化情况和性质
四、教学过程
（一）新知初探·自主学习
观察教材中的五个例子中的函数解析式，讨论它们的共同特征，并尝试用文字语言来描述。
1、幂函数的概念
一般地，函数 叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数．
注意：1、幂函数的系数是1；
幂函数的自变量是底数；
幂函数的指数是常数。
例1：判断下列说法是否正确。
一次函数和二次函数都是幂函数．
(2)f(x)＝2x3是幂函数．
(3)f(x)＝x－5是幂函数．
解析：（1）错误；（2）错误；（3）正确
课堂练习1
1.下列函数：①y＝x3；②y＝0.5x；③y＝4x2；④y＝x5＋1；⑤y＝(x－1)2；⑥y＝x；⑦y＝ax(a>1)．其中幂函数的个数为( )
A.1 B．2 C．3 D．4
2．幂函数f(x)的图像过点(3，)，则f(8)＝( )
A．8 B．6 C．4 D．2
3．已知幂函数f(x)＝(m2－3m＋3)xm＋1为偶函数，则m＝( )
A．1 B．2 C．1或2 D．3
幂函数的图像和性质
①尝试画出和的图象（学生尝试动手操作，教师归纳演示）
②通过观察图像，说出每个函数的定义域、值域、奇偶性、单调性，完成课本的表格。
y＝x y＝x2 y＝x3 y＝ y＝x－1
定义域 R R R [0，＋∞)
值域 R R
奇偶性
单调性 增 在[0，＋∞)上 ，在(－∞，0]上 在(0，＋∞)上 ，在(－∞，0)上
③④观察图像和表格，讨论幂函数的一般特征。
1．幂函数在(0，＋∞)上都有定义；
2．当α>0时，幂函数的图象都过点(1，1)和(0，0)，且在(0，＋∞)上单调递增；
3．当α<0时，幂函数的图象都过点(1，1)，且在(0，＋∞)上单调递减．
4．幂函数的图象吧不经过第四象限
5．第一象限内，在直线x＝1右侧，其指数越大，图象越高，即“指大图高”．
6．对于形如f(x)＝ (其中m∈N*，n∈Z，m与n互质)的幂函数：
(1)当n为偶数时，f(x)为偶函数，图象关于y轴对称；
(2)当m，n都为奇数时，f(x)为奇函数，图象关于原点对称；
(3)当m为偶数时，x>0(或x≥0)，f(x)是非奇非偶函数，图象只在第一象限(或第一象限及原点处)．
（二）课堂探究·素养提升
例2：证明是增函数。
（引导学生用定义证明，并与教材的证明过程对比）
例3：已知幂函数y＝f(x)的图象过点P.讨论y＝f(x)的定义域、值域、奇偶性、单调性，并画出草图．
解：设f(x)＝xn，由题意得＝4，所以2－n＝22，得n＝－2，所以f(x)＝x－2，即f(x)＝，其定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞).
因为x≠0，x2>0，所以f(x)>0，即函数的值域为(0，＋∞).
又f(－x)＝＝f(x)，所以f(x)是偶函数．
任取x1，x2∈(0，＋∞)，且x1
0，
即f(x1)>f(x2)，所以f(x)在(0，＋∞)上单调递减．
因为f(x)是偶函数，图象关于y轴对称，所以f(x)在(－∞，0)上单调递增．作出函数的图象大致如图所示．
课堂练习2
1.幂函数y＝f(x)的图象过点(4,2)，则幂函数y＝f(x)的图象是( )
2.若幂函数的图象经过点，则它的单调递增区间是( )
A．(0，＋∞) B．[0，＋∞)
C．(－∞，＋∞) D．(－∞，0)
3.已知幂函数f(x)＝(m∈N*)的图象关于y轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，则m的值为_________．
4.如图所示，曲线C1与C2分别是函数y＝xm和y＝xn在第一象限内的图象，则下列结论正确的是( )
A．nC．n>m>0 D．m>n>0
例3：若a＝，b＝，c＝，比较a，b，c的大小。
（引导学生构造幂函数，运用幂函数的单调性比较大小，教师点评，板书规范解题过程）
课堂练习3
1、若a<0，则0.5a，5a，0.2a的大小关系是( )
A．0.2a<5a<0.5a B．5a<0.5a<0.2a
C．0.5a<0.2a<5a D．5a<0.2a<0.5a
2、已知a＝，b＝，c＝，则( )
A．b3、已知点(m，8)在幂函数f(x)＝(m－1)xn的图象上，设a＝f，b＝f()，c＝f()，则a，b，c的大小关系是( )
A．aC．b4、已知f(x)＝x2，g(x)＝，h(x)＝x－2，当0五、小结
了解幂函数的概念；结合这五个幂函数的图象，理解幂函数图象的变化情况和性质。
六、作业
小练习1~3
尝试探究的性质
教学反思
本节课通过教师引导、学生探究的教学方式，从概括幂函数的概念到总结性质，最后到实际应用，充分发挥了以学生为主体的教学原则，整个教学过程学生主动参与，教师评价点评，提高了学生的探究学习能力，培养了学生的直观想象和数学抽象的核心素养。幂函数的图像GGB使用步骤
安装GeoGebra软件；
打开文件《幂函数的图像》，初始页面如下图；
勾选“绘图”选项，在“输入”框中输入幂函数的指数的值，按回车键，绘制幂函数的图像；
选择“定点”选项，显示幂函数图像经过的定点；
取消“绘图”选项，选择的对应的值，绘制常见幂函数的图像。
后期将持续更新相关教学素材，敬请关注……
幂函数f(x)=x的图像
4
3.5
幂函数：f(c)=x2
1
输入a=
2
2.5
绘图
定点
2
1.5
1
a=-1
□
2
0=1
0=2
0.5
a=3
-6
-5.5
-5
-4.5
-4
-3.5
-3
-2.5
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1.5
2
2.5
3
-0.5
-1
-1.5
幂函数f(x)=ca的图像
3.5
幂函数：f(x)=x2
输入a=
-2
2.5
绘图
口定点
2
1.5
1
□=-1
□=
2
□a=1
□a=2
0.5
a=3
-6
-5.5
4.5
.A
3.5
-2.5
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1.5
22.53
3.5
4
4.5
5
0.5
-1
-1.5
-2
幂函数f(x)=c的图像
3.5
幂函数：f(c)=心3
3
输入a=3
2.5
绘图
定点
1.5
1
=-1
□a=
2
1
A(1,1)
a=1
a=2
0.5
a=3
-6-5.5
-5
-4.5
-4-3.5-3-2.5-2-1.5
-1
0
0.5
11.52
2.53
3.544.5
5
-0.5
-1
-1.5
2
2.5
幂函数f(x)=x的图像
3.5
幂函数：f(c)=x6
3
输入a=
6
2.5
绘图
定点
2
1.5
1
a=-1
□
a=
2
1
A(1,1)
a=1
a=2
0.5
0=3
-6
-5.5
-5
-4.5
-4
-3.5
-3
-2.5
2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2.5
3
3.5
-0.5
-1.5
-2
-25
y=
幂函数f(x)=x的图像
y=x
3.5
幂函数：f(x)=x6
3
输入a=6
2.5
=c2
y
口绘图
口定点
7
a=-1
a=2
□a=1
□a=2
0.5
=3
-6
-5.5
-5-4.5
-4B-3.5
-3-2.5-2-1.5-1
0
0.5
1.5
22.533.544.555.566.5
0.5
1
-1.53.3 幂函数练习（答案）
一、单选题
1、已知幂函数f(x)＝kxα(k∈R，α∈R)的图象过点，则k＋α＝( A )
A． B．1 C． D．2
2、下列函数中，既是偶函数，又在区间(0，＋∞)上单调递减的函数是( A )
A．y＝x－2 B．y＝x－1 C．y＝x2 D．y＝
3、幂函数y＝f(x)的图象过点(4,2)，则幂函数y＝f(x)的图象是( C )
4、幂函数在上单调递减，则实数m的值为（ A ）
A． B．3 C．或3 D．
5、若f(x)＝，则不等式f(x)>f(8x－16)的解集是( A )
A． B．(0，2] C． D．[2，＋∞)
6、若幂函数f(x)＝在(0，＋∞)上单调递增，则a等于( D )
A．1 B．6 C．2 D．－1
7、幂函数在第一象限的图像如图所示，则的大小关系是 （ D ）
B．
C． D．
8、已知幂函数y＝(p，q∈Z且p，q互质)的图象关于y轴对称，如图所示，则( D )
A．p，q均为奇数，且>0
B．q为偶数，p为奇数，且<0
C．q为奇数，p为偶数，且>0
D．q为奇数，p为偶数，且<0
二、多选题
9．下列关于幂函数的性质说法正确的有（ CD ）
A．当时，函数在其定义域上递减
B．当时，函数图象是一条直线
C．当时，函数是偶函数
D．当时，函数的图象与轴交点的横坐标为
10．已知函数的图象经过点则（ CD ）
A．的图象经过点 B．的图象关于y轴对称
C．在上单调递减 D．在内的值域为
11、已知幂函数f(x)＝，对任意x1，x2∈(0，＋∞)，且x1≠x2，都满足>0，若a，b∈R且f(a)＋f(b)<0，则下列结论可能成立的有( BC )
A．a＋b>0且ab<0 B．a＋b<0且ab<0
C．a＋b<0且ab>0 D．以上都可能
12．若函数的定义域为且为奇函数，则可能的值为（ BD ）
A． B． C． D．3
三、填空题
13．若幂函数为偶函数，则 ___2_____ .
14、已知幂函数f(x)＝mxn＋k的图象过点，则m－2n＋3k＝_____0__.
若，则实数m的取值范围是________________.
16、给出下面四个条件：①f(m＋n)＝f(m)＋f(n)；②f(m＋n)＝f(m)·f(n)；③f(mn)＝f(m)·f(n)；④f(mn)＝f(m)＋f(n)．如果m，n是幂函数y＝f(x)定义域内的任意两个值，那么幂函数y＝f(x)一定满足的条件的序号为__③______．
四、解答题
17．已知幂函数的图象经过点，求函数的解析式，并作出该函数图象的草图，判断该函数的奇偶性和单调性．
解：因为幂函数的图象经过点，故可得，解得，
故，其定义域为，关于原点对称；
其函数图象如下所示：
数形结合可知，因为的图象关于轴对称，故其为偶函数；
且在单调递减，在单调递增.
18、已知幂函数f(x)＝(m2－5m＋7)x－m－1(m∈R)为偶函数．
(1)求f的值；
(2)若f(2a＋1)＝f(a)，求实数a的值．
解：(1)由m2－5m＋7＝1，得m＝2或3.
当m＝2时，f(x)＝x－3是奇函数，∴不满足题意，∴m＝2舍去；
当m＝3时，f(x)＝x－4，满足题意，
∴f(x)＝x－4，∴f＝＝16.
(2)由f(x)＝x－4为偶函数和f(2a＋1)＝f(a)可得|2a＋1|＝|a|，
即2a＋1＝a或2a＋1＝－a，∴a＝－1或a＝－.
19、已知幂函数f(x)＝(m∈N*)．
(1)试确定该函数的定义域，并指明该函数在其定义域上的单调性；
(2)若函数f(x)的图象经过点(2，)，试确定m的值，并求满足条件f(2－a)>f(a－1)的实数a的取值范围．
解：(1)因为m2＋m＝m(m＋1)(m∈N*)，
而m与m＋1中必有一个为偶数，所以m2＋m为偶数，
所以函数f(x)＝(m∈N*)的定义域为[0，＋∞)，并且该函数在[0，＋∞)上为增函数．
(2)因为函数f(x)的图象经过点(2，)，
所以＝2(m2＋m)－1，即＝，
所以m2＋m＝2，解得m＝1或m＝－2.
又因为m∈N*，所以m＝1，f(x)＝，
又因为f(2－a)>f(a－1)，
所以解得1≤a＜，
故函数f(x)的图象经过点(2，)时，m＝1.
满足条件f(2－a)>f(a－1)的实数a的取值范围为[1，)．
20、19．已知函数为幂函数，且为奇函数.
(1)求的值，并确定的解析式；
(2)令，求在的值域.
解：(1)因为函数为幂函数，
所以，解得或，
当时，函数是奇函数，符合题意，
当时，函数是偶函数，不符合题意，
综上所述，的值为，函数的解析式为.
(2)由（1）知，，
所以，
令，则，
，
所以，，
根据二次函数的性质知，的对称轴为，开口向上，
所以在上单调递增；
所以，
所以函数在的值域为.