第三讲-基本不等式
知识点一、基本不等式
定理1：如果，那么（当且仅当时取“”）
定理2：如果是正数，那么（当且仅当时取“=”）
常用的基本不等式变形：①； ② ；
③ .
总：
知识点二、基本不等式的三要素
★应用：(最值定理）一正、二定、三相等
1、积为定值，和式有最小值
，
2、和为定值，积式有最大值
，
一正——即要看取值是否符合条件，
二定——即一边一定要是一个定值。
三取等——等号成立的条件要存在。
★利用基本不等式求最值
在应用基本不等式求最值时，分以下三步进行：
首先：看式子能否出现和（或积）的定值，若不具备，需对式子变形，凑出需要的定值；
其次：看所用的两项是否同正，若不满足，通过分类解决，同负时，可提取变为同正；
利用已知条件对取等号的情况进行验证，若满足，则可取最值，若不满足，则可通过函数单调性解决.
考点一、配凑基本不等式求最值
【典型例题】
1、以下函数中，最小值为的是（ ）
A. B.
C. D.
2、函数的最小值为 .
3、已知，则的最大值 .
4、函数的最小值为 .
5、若对任意恒成立，则的取值范围 .
【变式练习】
1、在下列函数中，最小值为的是 ( )
. .
. .
2、函数的最大值为 .
3、已知，则的最大值为 .
4、函数的最小值为 .
5、若，则的最大值为 .
6、若正实数满足，且不等式恒成立，则实数a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
考点二、“1”的代换
【典型例题】
1、已知，，且，则的最小值是___________.
2、已知，且，则的最小值为_________．
3、已知正数满足，则的最大值等于 .
【变式练习】
1、若正实数满足，则取最小值时，的值为（ ）
. . . .
2、若正数，满足，则的最小值为__________.
3、若，且，则的最小值为__________.
4、已知实数满足，且，则的最大值是__________.
考点三、条件等式求最值
【典型例题】
若正数满足，则的取值范围是___________，则的取值范围是 .
2、已知，则的最小值是（ ）
A．14 B． C．8 D．
【变式练习】
1、已知正数满足,则的取值范围是 ( )
A. B. ? C. D.
2、已知实数满足，且，则的值最小时，实数（ ）
A． B．
C． D．1
考点四、实际应用
【典型例题】
1、为了保护环境，发展低碳经济，某单位在国家科研部门的支持下进行技术攻关，新上了把二氧化碳处理转化为一种可利用的化工产品的项目．经测算，该项目月处理成本（元）与月处理量（吨）之间的函数关系可近似地表示为且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为200元，若该项目不获利，国家将给予补偿．
(1)当时，判断该项目能否获利．如果获利，求出最大利润；如果不获利，则国家每月至少需要补贴多少元才能使该项目不亏损；
(2)该项目每月处理量为多少吨时，每吨的平均处理成本最低．
【变式练习】
1、如图，将一矩形花坛扩建成一个更大的矩形花坛，要求点在上，点在上，点在上，米，米．
(1)要使扩建成的花坛面积大于27，则的长度应在什么范围内？
(2)当的长度是多少米时，扩建成的花坛面积最小？并求出最小面积．
【模拟训练】
1、下列各函数中，最小值为2的是（ ）
A． B． C． D．
2、已知函数，当时，取得最小值，则等于（ ）
. . . .
3、若，则函数的最小值为___________.
4、已知，则的最大值是___________.
5、已知函数，则的最大值为__________.
6、已知，且，若恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C. D.
7、已知正实数满足，则的最小值为__________．
8、已知，则的最小值是 .
9、已知正数满足，则的最大值等于 .
10、（多选题）已知，且，则（ ）
A．的最大值为 B．的最小值为
C．的最小值为 D．的最大值为3
11、已知正实数满足，试求实数为何值时，取得最大值．
12、为宣传2022年北京冬奥会，某公益广告公司拟在一张矩形海报纸（记为矩形，如图）上设计三个等高的宜传栏（栏面分别为一个等腰三角形和两个全等的直角梯形），宣传栏（图中阴影部分）的面积之和为.为了美观，要求海报上所有水平方向和竖直方向的留空宽度均为.设直角梯形的高为.
(1)当时，求海报纸的面积；
(2)为节约成本，应如何选择海报纸的尺寸，可使用纸量最少（即矩形的面积最小）？第三讲-基本不等式
知识点一、基本不等式
定理1：如果，那么（当且仅当时取“”）
定理2：如果是正数，那么（当且仅当时取“=”）
常用的基本不等式变形：①； ② ；
③ .
总：
知识点二、基本不等式的三要素
★应用：(最值定理）一正、二定、三相等
1、积为定值，和式有最小值
，
2、和为定值，积式有最大值
，
一正——即要看取值是否符合条件，
二定——即一边一定要是一个定值。
三取等——等号成立的条件要存在。
★利用基本不等式求最值
在应用基本不等式求最值时，分以下三步进行：
首先：看式子能否出现和（或积）的定值，若不具备，需对式子变形，凑出需要的定值；
其次：看所用的两项是否同正，若不满足，通过分类解决，同负时，可提取变为同正；
利用已知条件对取等号的情况进行验证，若满足，则可取最值，若不满足，则可通过函数单调性解决.
考点一、配凑基本不等式求最值
【典型例题】
1、以下函数中，最小值为的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
2、函数的最小值为 .
【答案】0
3、已知，则的最大值 .
【答案】
【解析】
因为，所以，
当且仅当，即时，等号成立，所以的最大值是
4、函数的最小值为 .
【答案】-1
5、若对任意恒成立，则的取值范围 .
【答案】
【变式练习】
1、在下列函数中，最小值为的是 ( )
. .
. .
【答案】C
2、函数的最大值为 .
【答案】
3、已知，则的最大值为 .
【答案】
【解析】
当且仅当，即时等号成立
4、函数的最小值为 .
【答案】
5、若，则的最大值为 .
【答案】
【解析】
因为，所以，当且仅当，即时等号成立，
6、若正实数满足，且不等式恒成立，则实数a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
正实数x，y满足，可得，不等式恒成立，
即恒成立，变形可得恒成立，
即恒成立，，，，当且仅当时等号成立，
，即，解不等式可得，或舍
可得，要使恒成立，只需恒成立，化简可得，即，解得或，故实数a的取值范围是
考点二、“1”的代换
【典型例题】
1、已知，，且，则的最小值是___________.
【答案】
【解析】
由，可得，
所以，
当且仅当，即，时，等号成立，
所以的最小值是，
2、已知，且，则的最小值为_________．
【答案】
【详解】
依题意，因为，，且，
所以，
当且仅当时，且，即或时，等号成立，
故答案为：.
3、已知正数满足，则的最大值等于 .
【答案】12
【变式练习】
1、若正实数满足，则取最小值时，的值为（ ）
. . . .
【答案】D
2、若正数，满足，则的最小值为__________.
【答案】
【解析】
所以，
则
，
当且仅当，即等号成立，
所以的最小值为.
3、若，且，则的最小值为___________
【答案】
【解析】
因为，
所以，
因为，当且仅当时取等号，即时取等号，
，当且仅当时取等号，即时取等号，
所以，当且仅当时取等号，
4、已知实数满足，且，则的最大值是__________.
【答案】9
考点三、条件等式求最值
【典型例题】
若正数满足，则的取值范围是___________，则的取值范围是 .
【答案】 ；
2、已知，则的最小值是（ ）
A．14 B． C．8 D．
【答案】A
【解析】
因为，则，
于是得，
当且仅当，即时取“=”，
所以当时，取最小值14.
【变式练习】
1、已知正数满足,则的取值范围是 ( )
A. B. ? C. D.
【答案】C
2、已知实数满足，且，则的值最小时，实数（ ）
A． B．
C． D．1
【答案】A
【解析】
设，解得 ，所以 ，即，
设，则，即，
当且仅当，即时取等号，即，
则的值最小时，实数
考点四、实际应用
【典型例题】
1、为了保护环境，发展低碳经济，某单位在国家科研部门的支持下进行技术攻关，新上了把二氧化碳处理转化为一种可利用的化工产品的项目．经测算，该项目月处理成本（元）与月处理量（吨）之间的函数关系可近似地表示为且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为200元，若该项目不获利，国家将给予补偿．
(1)当时，判断该项目能否获利．如果获利，求出最大利润；如果不获利，则国家每月至少需要补贴多少元才能使该项目不亏损；
(2)该项目每月处理量为多少吨时，每吨的平均处理成本最低．
【答案】(1)不能，5000元；(2)400吨.
【解析】
(1)当时，设该项目获利为S，
则；
当时，，此时该项目不会获利；
当时，S取得最大值-5000，所以，国家每月至少补贴5000元才能使该项目不亏损．
(2)由题意知，二氧化碳的每吨平均处理成本为：
则：①当时，，∴当时，取得最小值240；
②当时，，当且仅当，即时，取得最小值200；
∵，∴当每月处理量为400吨时，才能使每吨的平均处理成本最低．
【变式练习】
1、如图，将一矩形花坛扩建成一个更大的矩形花坛，要求点在上，点在上，点在上，米，米．
(1)要使扩建成的花坛面积大于27，则的长度应在什么范围内？
(2)当的长度是多少米时，扩建成的花坛面积最小？并求出最小面积．
【答案】(1)或
(2)当的长度是4米时，扩建成的花坛的面积最小，最小值为24
【解析】
(1)解：设，则．
∽，
，即，
解得．
花坛AMPN的面积．
由，得，则，
解得或，
故AN的长度范围是或．
(2)由，
当且仅当，即时，等号成立．
当的长度是4米时，扩建成的花坛的面积最小，最小值为24．
【模拟训练】
1、下列各函数中，最小值为2的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
2、已知函数，当时，取得最小值，则等于( )
. . . .
【答案】C
3、若，则函数的最小值为___________.
【答案】
【解析】
依题意，，
当且仅当，即时等号成立，
故的最小值为.故答案为：
4、已知，则的最大值是___________.
【答案】
【解析】
，则，
所以，
当且仅当时，因为，即当时，等号成立，
所以的最大值为.
5、已知函数，则的最大值为__________.
【答案】2
6、已知，且，若恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C. D.
【答案】D
7、已知正实数满足，则的最小值为__________．
【答案】17
【解析】
因为，
当且仅当，即时等号成立，
所以．
8、已知，则的最小值是 .
【答案】9
9、已知正数满足，则的最大值等于 .
【答案】8
10、（多选题）已知，且，则（ ）
A．的最大值为 B．的最小值为
C．的最小值为 D．的最大值为3
【答案】ABC
【解析】
因为，且，
A. ，当且仅当时，等号成立，故正确；
B. ，
当且仅当，即时，等号成立，故正确；
C. ，当且仅当时，等号成立，故正确；
D. ，
当且仅当，即时，等号成立，故错误；
11、已知正实数满足，试求实数为何值时，取得最大值．
【答案】
【解析】
由可得，
令，则，即，
所以，解得，，
当且仅当即，时等号成立.
12、为宣传2022年北京冬奥会，某公益广告公司拟在一张矩形海报纸（记为矩形，如图）上设计三个等高的宜传栏（栏面分别为一个等腰三角形和两个全等的直角梯形），宣传栏（图中阴影部分）的面积之和为.为了美观，要求海报上所有水平方向和竖直方向的留空宽度均为.设直角梯形的高为.
(1)当时，求海报纸的面积；
(2)为节约成本，应如何选择海报纸的尺寸，可使用纸量最少（即矩形的面积最小）？
【答案】(1)(2)当海报纸宽为，长为，可使用纸量最少．
【解析】
(1)宣传栏（图中阴影部分）的面积之和为，直角梯形的高为，
则梯形长的底边，
海报上所有水平方向和竖直方向的留空宽度均为，
，，
故海报面积为．
(2)
直角梯形的高为，宣传栏（图中阴影部分）的面积之和为，
，
海报上所有水平方向和竖直方向的留空宽度均为，
海报宽，海报长，
故，
当且仅当，即，
故当海报纸宽为，长为，可使用纸量最少．
