第一章 集合与常用逻辑用语
1.1.1 集合及其表示方法
第一章 集合与常用逻辑用语 1
题型1 集合的概念 2
题型2 元素与集合的关系 5
题型3 集合的表示 9
类型1列举法表示集合 9
类型2列举法表示集合 10
题型4 集合元素的特性及应用 13
题型5 新题型 18
学习目标 通过实例了解集合的含义.2.理解集合中元素的特征.3.体会元素与集合的“属于”关系，记住常用数集的表示符号并会应用．
知识点一 元素与集合的概念
1．元素：一般地，把研究对象统称为元素(element)，常用小写的拉丁字母a，b，c…表示．
2．集合：把一些元素组成的总体叫做集合(set)，(简称为集)，常用大写拉丁字母A，B，C…表示．
3．集合相等：指构成两个集合的元素是一样的．
4．集合中元素的特性：给定的集合，它的元素必须是确定的、互不相同的．
思考 我班所有的“追梦人”能否构成一个集合？
答案 不能构成集合，因为“追梦人”没有明确的标准．
知识点二 元素与集合的关系
1．属于：如果a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作a∈A.
2．不属于：如果a不是集合A中的元素，就说a不属于集合A，记作a A.
知识点三 常见的数集及表示符号
数集 非负整数集(自然数集) 正整数集 整数集 有理数集 实数集
符号 N N*或N＋ Z Q R
知识点四 集合的表示方法
知识点1 列举法
把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫做列举法．
知识点2 描述法
一般地，设A是一个集合，把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所组成的集合表示为{x∈A|P(x)}，这种表示集合的方法称为描述法．
思考 不等式x－2<3的解集中的元素有什么共同特征？
答案 元素的共同特征为x∈R，且x<5.
题型探究
题型1 集合的概念
知识点1 集合的概念的理解
【例题1】考察下列每组对象，能构成集合的是( )
①中国各地的美丽乡村；
②直角坐标系中横、纵坐标相等的点；
③不小于3的自然数；
④截止到2019年1月1日，参加一带一路的国家．
A．③④ B．②③④ C．②③ D．②④
答案 B
解析 ①中“美丽”标准不明确，不符合确定性，②③④中的元素标准明确，均可构成集合，故选B.
【变式1-1】1.下列给出的对象中，能组成集合的是( )
A．一切很大的数
B．好心人
C．漂亮的小女孩
D．方程x2－1＝0的实数根
答案 D
【变式1-1】2.下列说法中，正确的有______．(填序号)
①单词book的所有字母组成的集合的元素共有4个；
②集合M中有3个元素a，b，c，其中a，b，c是△ABC的三边长，则△ABC不可能是等腰三角形；
③将小于10的自然数按从小到大的顺序排列和按从大到小的顺序排列分别得到不同的两个集合．
答案 ②
解析 ①不正确. book的字母o有重复，共有3个不同字母，元素个数是3.
②正确. 集合M中有3个元素a，b，c，所以a，b，c都不相等，它们构成的三角形三边不相等，故不可能是等腰三角形．
③不正确. 小于10的自然数不管按哪种顺序排列，里面的元素都是0,1,2,3,4,5,6,7,8,9这10个数，集合是相同的，和元素的排列顺序无关．
反思感悟 判断一组对象是否为集合的三依据
(1)确定性：负责判断这组元素是否构成集合．
(2)互异性：负责判断构成集合的元素的个数．
(3)无序性：表示只要一个集合的元素确定，则这个集合也随之确定，与元素之间的排列顺序无关．
【变式1】3.下列各项中,不可以组成集合的是 ( )
A.所有的正数 B.等于2的数
C.接近于0的数 D.不等于0的偶数
答案C.
解析“接近于0”的标准是不确定的,故不能构成集合.
【变式1】4.下列说法：
①地球周围的行星能确定一个集合；
②实数中不是有理数的所有数能确定一个集合；
③我们班视力较差的同学能确定一个集合．
其中正确的个数是( )
A．0 B．1 C．2 D．3
答案B②
①是错误的，因为“周围”是个模糊的概念，随便找一颗行星无法判断其是否属于地球的周围，因此它不满足集合元素的确定性．
②是正确的，虽然满足条件的数有无数多个，但任给一个元素都能判断出其是否属于这个集合．
③是错误的，因为“较差”是个模糊的概念，因此它不满足集合元素的确定性．
【变式1】5.有下列4组对象：(1)某校2015级新生；(2)小于0的自然数；(3)所有数学难题；(4)接近1的数．其中能构成集合的是________．
答案 (1)(2) 解析 集合中的元素具有确定性．(1)中对于任意一个学生可以明确地判断出是不是该校2015级新生；(2)为空集；(3)、(4)中的对象不确定，故(1)、(2)能构成集合，(3)、(4)不能构成集合．
【变式1】6．若以集合A的四个元素a，b，c，d为边长构成一个四边形，则这个四边形可能是( )
A．梯形 B．平行四边形
C．菱形 D．矩形
答案 A
解析 由于a，b，c，d四个元素互不相同，故它们组成的四边形的四条边都不相等．
【变式1】7．一个小书架上有十个不同品种的书各3本，那么由这个书架上的书组成的集合中含有________个元素．
答案 10
解析 由集合元素的互异性知：集合中的元素必须是互不相同的(即没有重复现象)，相同的元素在集合中只能算作一个，因此书架上的书组成的集合中有10个元素．
【变式1-2】1．如果有一集合含有两个元素：x，x2－x，则实数x的取值范围是________．
答案 x≠0,2
解析 由集合元素的互异性可得x2－x≠x，解得x≠0,2.
【变式1-2】2．由a2,2－a,4组成一个集合A，且集合A中含有3个元素，则实数a的取值可以是( )
A．1 B．－2 C．－1 D．2
答案 C
解析 由题意知a2≠4,2－a≠4，a2≠2－a，解得a≠±2，且a≠1，结合选项知C正确，故选C.
课堂小结：1．知识清单：
(1)元素与集合的概念、元素与集合的关系．
(2)常用数集的表示．
(3)集合中元素的特性及应用．
2．方法归纳：分类讨论．
3．常见误区：忽视集合中元素的互异性．
题型2 元素与集合的关系
【例题2-1】用符号∈或 填空：
(1) -1________N；(2) -2________Q；(3)________Z.
答案 (1) (2)∈ (3)
解析 -1不是自然数，故-1 N；-2是有理数，故-2∈Q；不是整数，故 Z.
【变式2-1】1．下列结论不正确的是( )
A．0∈N B. Q C．0 Q D．8∈Z
答案 C
解析 0是有理数，故0∈Q，所以C错误．
【变式2-1】2.下列关系中正确的个数为( )
①∈Q；②－1 N；③π R；④|－4|∈Z.
A．1 B．2 C．3 D．4
答案 B
解析 ①∵是无理数，∴ Q，故①错误；②－1 N，②正确；③∵π是实数，∴π∈R，故③错误；④∵|－4|＝4是整数，∴|－4|∈Z，故④正确．
反思感悟 判断元素和集合关系的两种方法
(1)直接法：集合中的元素是直接给出的．
(2)推理法：对于某些不便直接表示的集合，只要判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可．
【变式2-1】3.(多选题)下列表述正确的是 ( )
A.0∈N B.∈Z C.∈Z D.π Q
答案 选A、D
解析 因为N、Z、Q分别表示自然数集、整数集、有理数集.0是自然数,不是整数,不是整数,π不是有理数,所以0∈N和π Q正确.
【变式2-1】4．有下列说法：
①集合N中最小的数为1；②若－a∈N，则a∈N；③若a∈N，b∈N，则a＋b的最小值为2；④所有小的正数组成一个集合．
其中正确命题的个数是( )
A．0 B．1 C．2 D．3
答案 A
解析 N中最小的数为0，所以①错；由－(－2)∈N，而－2 N可知②错；若a∈N，b∈N，则a＋b的最小值为0，所以③错；“小”的正数没有明确的标准，所以④错，故选A.
【变式2-1】5.给出下列说法：
①R中最小的元素是0；
②若a∈Z，则－a Z；
③若a∈Q，b∈N*，则a＋b∈Q.
其中正确的个数为( )
A．0 B．1 C．2 D．3
答案 B
解析 实数集中没有最小的元素，故①不正确；对于②，若a∈Z，则－a也是整数，故－a∈Z，所以②也不正确；只有③正确．
【变式2-2】1.用符号“∈”或“ ”填空:
(1)设集合B是小于的所有实数的集合,则2________B,1+________ B.
(2)设集合C是满足方程x=n2+1(其中n为正整数)的实数x的集合,则3________C,5________C.
(3)设集合D是满足方程y=x2的有序实数对(x,y)的集合,则-1________D,(-1,1) ________D.
(4)若A表示第一、三象限的角平分线上的点的集合,则点(0,0)____A, (1,1)______A,(-1,1)______A.
答案:(1) ∈ (2) ∈ (3) ∈ (4)∈ ∈
解析 (1)因为2=>,所以2 B;因为(1+)2=3+2<3+2×4=11,所以1+<,所以1+∈B.
(2)因为n是正整数,所以n2+1≠3,所以3 C;当n=2时,n2+1=5,所以5∈C.
(3)因为集合D中的元素是有序实数对(x,y),则-1是数,所以-1 D;又(-1)2=1,所以(-1,1)∈D.
(4) 第一、三象限的角平分线上的点的集合可以用直线y=x表示,显然(0,0),(1,1)都在直线y=x上,(-1,1)不在直线上.所以(0,0)∈A,(1,1)∈A,(-1,1) A.
【变式2-2】2．已知集合A中的元素满足x＝3k－1，k∈Z，则－1________A，－34________A．(填“∈”或“ ”)
答案 ∈ ∈
解析 当k＝0时，x＝－1，所以－1∈A；令－34＝3k－1，得k＝－11，所以－34∈A.
【变式2-2】3．已知集合M有2个元素x,2－x，若－1 M，则下列说法一定错误的是________．
①2∈M；②1∈M；③x≠3.
答案 ②
解析 依题意解得x≠－1，x≠1且x≠3，
当x＝2或2－x＝2，即x＝2或0时，M中的元素为0,2，故①可能正确；
当x＝1或2－x＝1，即x＝1时，M中两元素为1,1不满足互异性，故②不正确，③显然正确．
【例题2-3】集合A中的元素x满足∈N，x∈N，则集合A中的元素为________．
答案 0,1,2 解析 由∈N，x∈N知x≥0，＞0，且x≠3，故0≤x＜3.又x∈N，故x＝0,1,2.当x＝0时，＝2∈N；当x＝1时，＝3∈N；当x＝2时，＝6∈N.故集合A中的元素为0,1,2.
【变式2-3】1．集合A是由正整数构成的且满足“若x∈A，则10－x∈A”，则集合A中元素个数至多有多少个？
答案 9 解析 由x∈A，则10－x∈A可得：x＞0,10－x＞0，解得：0＜x＜10，x∈N*.
若1∈A，则9∈A.同理可得：2,3,4,5,6,7,8，都属于集合A.
因此集合A中元素个数至多有9个．
【变式2-3】2．集合A是由形如m＋n(m∈Z，n∈Z)(例如数2－1)的数构成的，判断是不是集合A中的元素．
答案 ＝＋1＝1×＋1，而1,1∈Z，所以＋1∈A，即∈A.
【变式2-3】3.如果具有下述性质的x都是集合M中的元素，其中x＝a＋b(a、b为有理数)，则下列元素中，不属于集合M的元素的有( )
①x＝0；②x＝；③x＝3－2π；④x＝；⑤x＝＋.
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
答案 A 解析 ①0＝0＋0×；②＝0＋1×；③2π不是有理数；④＝3＋2；⑤＋＝(2－)＋(2＋)＝4＋0×.
【变式2-3】4.设A是由一些实数构成的集合,若a∈A,则∈A,且1 A,
(1)若3∈A,求A.
(2)证明:若a∈A,则1- ∈A.
答案 (1)因为3∈A,所以 = -∈A,所以=∈A,所以=3∈A,所以A= .
因为a∈A,所以∈A,所以 = =1- ∈A.
题型3 集合的表示
知识点3 集合的表示
方法小结：两步认识描述法表示的集合
(1)一看代表元素：例如{x|p(x)}表示数集，{(x，y)|y＝p(x)}表示点集．
(2)二看条件：即看代表元素满足什么条件(公共特征)．
类型1列举法表示集合
【例题3-1】用列举法表示下列集合：
(1)不大于10的非负偶数组成的集合；
(2)方程x2＝2x的所有实数解组成的集合；
(3)直线y＝2x＋1与y轴的交点所组成的集合；
(4)由所有正整数构成的集合．
解析： (1)因为不大于10是指小于或等于10，非负是大于或等于0的意思，所以不大于10的非负偶数集是 {0,2,4,6,8,10}．
(2)方程x2＝2x的解是x＝0或x＝2，所以方程的解组成的集合为{0,2}．
(3)将x＝0代入y＝2x＋1，得y＝1，即交点是(0,1)，故交点组成的集合是{(0,1)}．
(4)正整数有1,2,3，…，所求集合为{1,2,3，…}．
反思感悟 用列举法表示集合应注意的两点
(1)应先弄清集合中的元素是什么，是数还是点，还是其他元素；
(2)若集合中的元素是点时，则应将有序实数对用小括号括起来表示一个元素．
【变式3-1】1.用列举法表示下列给定的集合：
(1)大于1且小于6的整数组成的集合A；
(2)方程x2－9＝0的实数根组成的集合B；
(3)一次函数y＝x＋2与y＝－2x＋5的图象的交点组成的集合D.
解析 (1)因为大于1且小于6的整数包括2,3,4,5，所以A＝{2,3,4,5}．
(2)方程x2－9＝0的实数根为－3,3，所以B＝{－3,3}．
(3)由得
所以一次函数y＝x＋2与y＝－2x＋5的交点为(1,3)，所以D＝{(1,3)}．
类型2列举法表示集合
【例题3-2】用描述法表示下列集合：
(1)正偶数集；
(2)被3除余2的正整数集合；
(3)平面直角坐标系中坐标轴上的点组成的集合．
解析： (1)偶数可用式子x＝2n，n∈Z表示，但此题要求为正偶数，故限定n∈N*，所以正偶数集可表示为{x|x＝2n，n∈N*}．
(2)设被3除余2的数为x，则x＝3n＋2，n∈Z，但元素为正整数，故n∈N，所以被3除余2的正整数集合可表示为{x|x＝3n＋2，n∈N}．
(3)坐标轴上的点(x，y)的特点是横、纵坐标中至少有一个为0，即xy＝0，故平面直角坐标系中坐标轴上的点的集合可表示为{(x，y)|xy＝0}．
反思感悟 利用描述法表示集合应关注五点
(1)写清楚该集合代表元素的符号．例如，集合{x∈R|x<1}不能写成{x<1}．
(2)所有描述的内容都要写在花括号内．例如，{x∈Z|x＝2k}，k∈Z，这种表达方式就不符合要求，需将k∈Z也写进花括号内，即{x∈Z|x＝2k，k∈Z}．
(3)不能出现未被说明的字母．
(4)在通常情况下，集合中竖线左侧元素的所属范围为实数集时可以省略不写．例如，方程x2－2x＋1＝0的实数解集可表示为{x∈R|x2－2x＋1＝0}，也可写成{x|x2－2x＋1＝0}．
【变式3-2】1.下列三个集合：
①A＝{x|y＝x2＋1}；
②B＝{y|y＝x2＋1}；
③C＝{(x，y)|y＝x2＋1}．
(1)它们是不是相同的集合？
(2)它们各自的含义分别是什么？
解析： (1)不相同．
(2)集合A＝{x|y＝x2＋1}的代表元素是x，且x∈R，所以{x|y＝x2＋1}＝R，即A＝R；集合B＝{y|y＝x2＋1}的代表元素是y，满足条件y＝x2＋1的y的取值范围是y≥1，所以{y|y＝x2＋1}＝{y|y≥1}．集合C＝{(x，y)|y＝x2＋1}的代表元素是(x，y)，是满足y＝x2＋1的数对．可以认为集合C是由坐标平面内满足y＝x2＋1的点(x，y)构成的．
【变式3-2】2.用描述法表示下列集合:
(1){0,2,4,6,8}.
(2){3,9,27,81,…}.
(3)
(4)到两坐标轴距离相等的点.
答案 (1){x∈N|0≤x<10,且x是偶数}.(2){x|x=3n,n∈N*}.(3).(4){(x,y)|x±y=0}.
【变式3-2】3.用描述法表示下列集合:
{3,6,9,12,…}.
(3)数轴上与原点的距离小于或等于2的点的集合.
(4)平面直角坐标系中第一、三象限内的点的集合.
答案 (1)表示的都是被3整除的正整数.表示为{x|x=3n,n∈N*}.
(2)先统一形式,,,,,…找出规律,集合表示为.
(3)数轴上的点与实数对应,集合为{x||x|≤2}.
(4)平面直角坐标系中第一、三象限内的点的特点是横坐标与纵坐标正负相同,即乘积大于零.所以集合表示为{(x,y)|xy>0}.
【变式3-2】4.教材给出了奇数集合{x∈Z|x＝2k＋1，k∈Z}．
(1)用这样的方法表示偶数集．
(2)用这样的方法表示除以3余1的整数集合．
(3)当x∈Z，y∈Z点(x，y)称为整点，如何表示坐标系中第一象限内的整点？
答案(1)偶数集{x∈Z|x＝2k，k∈Z}．
(2){x∈Z|x＝3k＋1，k∈Z}
(3){(x，y)|x＞0，y＞0，x∈Z，y∈Z}
方法总结：
1．对于含有有限个元素且个数较少的集合，采用列举法表示集合较合适；对于元素个数较多的集合，如果构成该集合的元素具有明显的规律，在不发生误解的情况下，可以列举出几个元素作为代表，其他元素用省略号表示，如N*＝{1,2,3，…}．
2．一般地，元素较多的无限集用描述法表示集合．
【变式3-3】1.用另一种方法表示下列集合：
(1){绝对值不大于2的整数}；
(2){能被3整除，且小于10的正数}；
(3){x|x＝|x|，x∈Z且x＜5}；
(4){－3，－1,1,3,5}．
答案 (1){－2，－1,0,1,2}．(2){3,6,9}．
(3)因为x＝|x|，所以x≥0.又因为x∈Z且x＜5，所以x＝0,1,2,3,4.所以集合可以表示为{0,1,2,3,4}．
(4){x|x＝2k－1，－1≤k≤3，k∈Z}．
【变式3-3】2．二次函数y＝x2-1上的图象上纵坐标为3的点的集合为________．
答案 {(－2,3)，(2,3)}或 解析 点可看作由组成的解集可用描述法．
令y＝3得：x2－1＝3，所以x＝－2或x＝2.所以在y＝x2－1的图象上且纵坐标为3的点的集合为：{(－2,3)，(2,3)}．
【变式3-3】3.把集合{x|x2-4x-5=0}用列举法表示为 ( )
A.{x=-1,x=5} B.{x|x=-1或x=5}
C.{x2-4x-5=0} D.{-1,5}
答案D解析 根据题意,解x2-4x-5=0可得x=-1或5,用列举法表示可得{-1,5}.
【变式3-3】4.(多选题)方程组的解集可表示为 ( )
A. B. C.(2,1) D.{(2,1)}
答案 选A、B、D.方程组只有一个解,解为所以方程组的解集中只有一个元素,且此元素是有序数对,所以A、B、D都符合题意.
题型4 集合元素的特性及应用
方法小结：
只要构成两个集合的 元素是一样的 ，我们就称这两个集合是相等的．
【例题4 】已知集合A含有两个元素a－3和2a－1，若－3∈A，试求实数a的值．
解析： ∵－3∈A，
∴－3＝a－3或－3＝2a－1，
若－3＝a－3，
则a＝0，
此时集合A中含有两个元素－3，－1，符合题意；
若－3＝2a－1，则a＝－1，
此时集合A中含有两个元素－4，－3，符合题意；
综上所述，a＝0或a＝－1.
反思感悟 由集合中元素的特性求解字母取值(范围)的步骤
【变式4-1】1．集合A中含有三个元素2,4,6，若a∈A，且6－a∈A，那么a为( )
A．2 B．2或4 C．4 D．0
答案 B
解析 若a＝2，则6－2＝4∈A；
若a＝4，则6－4＝2∈A；
若a＝6，则6－6＝0 A，故选B.
【变式4-1】2．已知集合A是由0，m，m2－3m＋2三个元素构成的集合，且2∈A，则实数m＝________.
答案 3
解析 由题意知，m＝2或m2－3m＋2＝2，
解得m＝2或m＝0或m＝3，经验证，
当m＝0或m＝2时，不满足集合中元素的互异性，
当m＝3时，满足题意，故m＝3.
【变式4-1】3．设x∈R，集合A中含有三个元素3，x，x2－2x.
(1)求元素x应满足的条件；
(2)若－2∈A，求实数x的值．
解析：(1)由集合元素的互异性可得x≠3，x2－2x≠x，且x2－2x≠3，解得x≠－1，x≠0，且x≠3.
(2)若－2∈A，则x＝－2或x2－2x＝－2.
由于方程x2－2x＋2＝0无实数解，所以x＝－2.
经检验，知x＝－2符合互异性．故x＝－2.
【变式4-1】4. 已知集合A由a＋2，(a＋1)2，a2＋3a＋3三个元素构成，且1∈A，求实数a的值．
答案 ①若a＋2＝1，则a＝－1，此时A中有1,0,1，不符合要求；
②若(a＋1)2＝1，则a＝0或－2.当a＝0时，A中有2,1,3，符合要求；当a＝－2时，A中有0,1,1，不符合要求；
③若a2＋3a＋3＝1，则a＝－1或－2.当a＝－1时，A中有1,0,1，不符合要求；当a＝－2时，A中有0,1,1，不符合要求．综上所述，实数a的值为0.
【变式4-1】5.若一个集合中的三个元素a，b，c是△ABC的三边长，则△ABC一定不是( )
A．锐角三角形 B．等腰三角形 C．钝角三角形 D．直角三角形
答案 B 解析 根据集合中元素的互异性，可知三角形的三边长互不相等，故选B．
【变式4-1】6. 集合A是含有两个不同实数a-3,2a-1的集合，求实数a的取值范围．
答案 根据题意可知A中有两个元素，由集合中元素的互异性，可得a-3≠2a-1，所以a≠-2.
即实数a的取值范围为a∈R，a≠-2.
【变式4-1】7.若由a2,2 019a组成的集合M中有两个元素,则a的取值可以是( )
A.0 B.2 019 C.1 D.0或2 019
答案 选C.若集合M中有两个元素,则a2≠2 019a.即a≠0且a≠2 019.
【变式4-2】1.由实数x,-x,|x|,,-所组成的集合,最多含________个元素.
答案2 解析 当x>0时,x=|x|=,-=-x<0,此时集合共有2个元素,当x=0时,x=|x|== -= -x=0,此时集合共有1个元素,当x<0时,=|x|=-=-x,此时集合共有2个元素,综上,此集合最多有2个元素.
【变式4-2】2．已知x，y为非零实数，代数式＋＋的值所组成的集合是M，则下列判断正确的是( )
A．－1∈M B．1∈M C．2∈M D．3 M
答案 A
解析 ①当x，y均为正数时，代数式＋＋的值为3；②当x，y为一正一负时，代数式＋＋的值为－1；③当x，y均为负数时，代数式＋＋的值为－1，所以集合M的元素有－1,3，故选A.
【例题4-3】集合A＝{x|kx2－8x＋16＝0}，若集合A中只有一个元素，求实数k的值组成的集合．
解析(1)当k＝0时，方程kx2－8x＋16＝0变为－8x＋16＝0，解得x＝2，满足题意；
(2)当k≠0时，要使集合A＝{x|kx2－8x＋16＝0}中只有一个元素，则方程kx2－8x＋16＝0有两个相等的实数根，所以Δ＝64－64k＝0，解得k＝1，此时集合A＝{4}，满足题意．
综上所述，k＝0或k＝1，故实数k的值组成的集合为{0,1}．
【变式4-3】1. 已知集合A是方程ax2＋2x＋1＝0的解集．
(1)若A＝ ，求a的值；
(2)若A中只有一个元素，求a的值．
答案(1)∵A＝ ，∴方程ax2＋2x＋1＝0无实根，∴a≠0且Δ＝4－4a<0，解得a>1.
(2)A中只有一个元素，有两种情况：
当a≠0时，Δ＝4－4a＝0，解得a＝1；
当a＝0时，x＝－.故A中只有一个元素时，a＝0或a＝1.
【变式4-3】2.若集合A是方程x2＋(a－1)x＋b＝0的解集，且集合A中仅有一个元素a，求a＋b的值．
答案 由题意，得方程x2＋(a－1)x＋b＝0有两个相等的实根a，∴，解得.∴a＋b＝.
【变式4-3】3.若集合A是由元素-1,3组成的集合,集合B是由方程x2+ax+b=0的解组成的集合,且A=B,求实数a,b.
答案 因为A=B,所以-1,3是方程x2+ax+b=0的解.则解得
【变式4-3】4.已知集合A＝，B＝{a2，a＋b,0}，若A＝B，则a2 018＋b2 018的值为________．
答案 1 解析 因为＝(a2，a＋b,0)，又因为a≠0,1≠0，所以＝0，所以b＝0，所以{a,0,1}＝{a2，a,0}，所以a2＝1，即a＝±1，又当a＝1时，A＝{1,0,1}不满足集合中元素的互异性，舍去，所以a＝－1，即集合A＝{－1,0,1}，此时a＝－1，b＝0，故a2 018＋b2 018 ＝(－1)2 018＋02 018＝1＋0＝1.
题型5 新题型
【例题5】已知A＝{1,2,3}，B＝{2,4}，定义集合A，B间的运算A*B＝{x|x∈A且x B}，则集合A*B等于( )
A．{1,2,3} B．{2,3}
C．{1,3} D．{2}
答案 C 解析 x＝1∈A,1 B；x＝2∈A,2∈B；x＝3∈A,2 B ∴A*B＝{1,3}．
【变式5】1.设P,Q为两个数集,P中含有0,2,5三个元素,Q中含有1,2,6三个元素,定义集合P+Q中的元素是a+b,其中a∈P,b∈Q,求P+Q中元素的个数.
答案 当a=0时,由b∈Q可得a+b的值为1,2,6;当a=2时,由b∈Q可得a+b的值为3,4,8;
当a=5时,由b∈Q可得a+b的值为6,7,11.由集合元素的互异性可知,P+Q中的元素为1,2,3,4,6,7,8,11,共8个.
【变式5】2.设集合A含有-2,1两个元素,B含有-1,2两个元素,定义集合A☉B,满足x1∈A,x2∈B,且x1x2∈A☉B,则A☉B中所有元素之积为 ( )
A.-8 B.-16 C.8 D.16
答案 选C.因为集合A含有-2,1两个元素,B含有-1,2两个元素,由题意得,集合A☉B中所有元素是2,-4,-1,它们的积为:2×(-4)×(-1)=8.第一章 集合与常用逻辑用语
1.1.1 集合及其表示方法
第一章 集合与常用逻辑用语 1
题型1 集合的概念 2
题型2 元素与集合的关系 5
题型3 集合的表示 9
类型1列举法表示集合 9
类型2列举法表示集合 10
题型4 集合元素的特性及应用 13
题型5 新题型 18
学习目标 通过实例了解集合的含义.2.理解集合中元素的特征.3.体会元素与集合的“属于”关系，记住常用数集的表示符号并会应用．
知识点一 元素与集合的概念
1．元素：一般地，把研究对象统称为元素(element)，常用小写的拉丁字母a，b，c…表示．
2．集合：把一些元素组成的总体叫做集合(set)，(简称为集)，常用大写拉丁字母A，B，C…表示．
3．集合相等：指构成两个集合的元素是一样的．
4．集合中元素的特性：给定的集合，它的元素必须是确定的、互不相同的．
思考 我班所有的“追梦人”能否构成一个集合？
答案 不能构成集合，因为“追梦人”没有明确的标准．
知识点二 元素与集合的关系
1．属于：如果a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作a∈A.
2．不属于：如果a不是集合A中的元素，就说a不属于集合A，记作a A.
知识点三 常见的数集及表示符号
数集 非负整数集(自然数集) 正整数集 整数集 有理数集 实数集
符号 N N*或N＋ Z Q R
知识点四 集合的表示方法
知识点1 列举法
把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫做列举法．
知识点2 描述法
一般地，设A是一个集合，把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所组成的集合表示为{x∈A|P(x)}，这种表示集合的方法称为描述法．
思考 不等式x－2<3的解集中的元素有什么共同特征？
答案 元素的共同特征为x∈R，且x<5.
题型探究
题型1 集合的概念
知识点1 集合的概念的理解
【例题1】考察下列每组对象，能构成集合的是( )
①中国各地的美丽乡村；
②直角坐标系中横、纵坐标相等的点；
③不小于3的自然数；
④截止到2019年1月1日，参加一带一路的国家．
A．③④ B．②③④ C．②③ D．②④
【变式1-1】1.下列给出的对象中，能组成集合的是( )
A．一切很大的数
B．好心人
C．漂亮的小女孩
D．方程x2－1＝0的实数根
【变式1-1】2.下列说法中，正确的有______．(填序号)
①单词book的所有字母组成的集合的元素共有4个；
②集合M中有3个元素a，b，c，其中a，b，c是△ABC的三边长，则△ABC不可能是等腰三角形；
③将小于10的自然数按从小到大的顺序排列和按从大到小的顺序排列分别得到不同的两个集合．
【变式1】3.下列各项中,不可以组成集合的是 ( )
A.所有的正数 B.等于2的数
C.接近于0的数 D.不等于0的偶数
【变式1】4.下列说法：
①地球周围的行星能确定一个集合；
②实数中不是有理数的所有数能确定一个集合；
③我们班视力较差的同学能确定一个集合．
其中正确的个数是( )
A．0 B．1 C．2 D．3
【变式1】5.有下列4组对象：(1)某校2015级新生；(2)小于0的自然数；(3)所有数学难题；(4)接近1的数．其中能构成集合的是________．
【变式1】6．若以集合A的四个元素a，b，c，d为边长构成一个四边形，则这个四边形可能是( )
A．梯形 B．平行四边形
C．菱形 D．矩形
【变式1】7．一个小书架上有十个不同品种的书各3本，那么由这个书架上的书组成的集合中含有________个元素．
【变式1-2】1．如果有一集合含有两个元素：x，x2－x，则实数x的取值范围是________．
【变式1-2】2．由a2,2－a,4组成一个集合A，且集合A中含有3个元素，则实数a的取值可以是( )
A．1 B．－2 C．－1 D．2
题型2 元素与集合的关系
【例题2-1】用符号∈或 填空：
(1) -1________N；(2) -2________Q；(3)________Z.
【变式2-1】1．下列结论不正确的是( )
A．0∈N B. Q C．0 Q D．8∈Z
【变式2-1】2.下列关系中正确的个数为( )
①∈Q；②－1 N；③π R；④|－4|∈Z.
A．1 B．2 C．3 D．4
【变式2-1】3.(多选题)下列表述正确的是 ( )
A.0∈N B.∈Z C.∈Z D.π Q
【变式2-1】4．有下列说法：
①集合N中最小的数为1；②若－a∈N，则a∈N；③若a∈N，b∈N，则a＋b的最小值为2；④所有小的正数组成一个集合．
其中正确命题的个数是( )
A．0 B．1 C．2 D．3
【变式2-1】5.给出下列说法：
①R中最小的元素是0；
②若a∈Z，则－a Z；
③若a∈Q，b∈N*，则a＋b∈Q.
其中正确的个数为( )
A．0 B．1 C．2 D．3
【变式2-2】1.用符号“∈”或“ ”填空:
(1)设集合B是小于的所有实数的集合,则2________B,1+________ B.
(2)设集合C是满足方程x=n2+1(其中n为正整数)的实数x的集合,则3________C,5________C.
(3)设集合D是满足方程y=x2的有序实数对(x,y)的集合,则-1________D,(-1,1) ________D.
(4)若A表示第一、三象限的角平分线上的点的集合,则点(0,0)____A, (1,1)______A,(-1,1)______A.
【变式2-2】2．已知集合A中的元素满足x＝3k－1，k∈Z，则－1________A，－34________A．(填“∈”或“ ”)
【变式2-2】3．已知集合M有2个元素x,2－x，若－1 M，则下列说法一定错误的是________．
①2∈M；②1∈M；③x≠3.
【例题2-3】集合A中的元素x满足∈N，x∈N，则集合A中的元素为________．
【变式2-3】1．集合A是由正整数构成的且满足“若x∈A，则10－x∈A”，则集合A中元素个数至多有多少个？
【变式2-3】2．集合A是由形如m＋n(m∈Z，n∈Z)(例如数2－1)的数构成的，判断是不是集合A中的元素．
【变式2-3】3.如果具有下述性质的x都是集合M中的元素，其中x＝a＋b(a、b为有理数)，则下列元素中，不属于集合M的元素的有( )
①x＝0；②x＝；③x＝3－2π；④x＝；⑤x＝＋.
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【变式2-3】4.设A是由一些实数构成的集合,若a∈A,则∈A,且1 A,
(1)若3∈A,求A.
(2)证明:若a∈A,则1- ∈A.
题型3 集合的表示
知识点3 集合的表示
方法小结：两步认识描述法表示的集合
(1)一看代表元素：例如{x|p(x)}表示数集，{(x，y)|y＝p(x)}表示点集．
(2)二看条件：即看代表元素满足什么条件(公共特征)．
类型1列举法表示集合
【例题3-1】用列举法表示下列集合：
(1)不大于10的非负偶数组成的集合；
(2)方程x2＝2x的所有实数解组成的集合；
(3)直线y＝2x＋1与y轴的交点所组成的集合；
(4)由所有正整数构成的集合．
【变式3-1】1.用列举法表示下列给定的集合：
(1)大于1且小于6的整数组成的集合A；
(2)方程x2－9＝0的实数根组成的集合B；
(3)一次函数y＝x＋2与y＝－2x＋5的图象的交点组成的集合D.
类型2列举法表示集合
【例题3-2】用描述法表示下列集合：
(1)正偶数集；
(2)被3除余2的正整数集合；
(3)平面直角坐标系中坐标轴上的点组成的集合．
【变式3-2】1.下列三个集合：
①A＝{x|y＝x2＋1}；
②B＝{y|y＝x2＋1}；
③C＝{(x，y)|y＝x2＋1}．
(1)它们是不是相同的集合？
(2)它们各自的含义分别是什么？
【变式3-2】2.用描述法表示下列集合:
(1){0,2,4,6,8}.
(2){3,9,27,81,…}.
(3)
(4)到两坐标轴距离相等的点.
【变式3-2】3.用描述法表示下列集合:
{3,6,9,12,…}.
(3)数轴上与原点的距离小于或等于2的点的集合.
(4)平面直角坐标系中第一、三象限内的点的集合.
【变式3-2】4.教材给出了奇数集合{x∈Z|x＝2k＋1，k∈Z}．
(1)用这样的方法表示偶数集．
(2)用这样的方法表示除以3余1的整数集合．
(3)当x∈Z，y∈Z点(x，y)称为整点，如何表示坐标系中第一象限内的整点？
【变式3-3】1.用另一种方法表示下列集合：
(1){绝对值不大于2的整数}；
(2){能被3整除，且小于10的正数}；
(3){x|x＝|x|，x∈Z且x＜5}；
(4){－3，－1,1,3,5}．
【变式3-3】2．二次函数y＝x2-1上的图象上纵坐标为3的点的集合为________．
【变式3-3】3.把集合{x|x2-4x-5=0}用列举法表示为 ( )
A.{x=-1,x=5} B.{x|x=-1或x=5}
C.{x2-4x-5=0} D.{-1,5}
【变式3-3】4.(多选题)方程组的解集可表示为 ( )
A. B. C.(2,1) D.{(2,1)}
题型4 集合元素的特性及应用
方法小结：
只要构成两个集合的 元素是一样的 ，我们就称这两个集合是相等的．
【例题4 】已知集合A含有两个元素a－3和2a－1，若－3∈A，试求实数a的值．
【变式4-1】1．集合A中含有三个元素2,4,6，若a∈A，且6－a∈A，那么a为( )
A．2 B．2或4 C．4 D．0
【变式4-1】2．已知集合A是由0，m，m2－3m＋2三个元素构成的集合，且2∈A，则实数m＝________.
【变式4-1】3．设x∈R，集合A中含有三个元素3，x，x2－2x.
(1)求元素x应满足的条件；
(2)若－2∈A，求实数x的值．
【变式4-1】4. 已知集合A由a＋2，(a＋1)2，a2＋3a＋3三个元素构成，且1∈A，求实数a的值．
【变式4-1】5.若一个集合中的三个元素a，b，c是△ABC的三边长，则△ABC一定不是( )
A．锐角三角形 B．等腰三角形 C．钝角三角形 D．直角三角形
【变式4-1】6. 集合A是含有两个不同实数a-3,2a-1的集合，求实数a的取值范围．
【变式4-1】7.若由a2,2 019a组成的集合M中有两个元素,则a的取值可以是( )
A.0 B.2 019 C.1 D.0或2 019
【变式4-2】1.由实数x,-x,|x|,,-所组成的集合,最多含________个元素.
【变式4-2】2．已知x，y为非零实数，代数式＋＋的值所组成的集合是M，则下列判断正确的是( )
A．－1∈M B．1∈M C．2∈M D．3 M
【例题4-3】集合A＝{x|kx2－8x＋16＝0}，若集合A中只有一个元素，求实数k的值组成的集合．
【变式4-3】1. 已知集合A是方程ax2＋2x＋1＝0的解集．
(1)若A＝ ，求a的值；
(2)若A中只有一个元素，求a的值．
【变式4-3】2.若集合A是方程x2＋(a－1)x＋b＝0的解集，且集合A中仅有一个元素a，求a＋b的值．
【变式4-3】3.若集合A是由元素-1,3组成的集合,集合B是由方程x2+ax+b=0的解组成的集合,且A=B,求实数a,b.
【变式4-3】4.已知集合A＝，B＝{a2，a＋b,0}，若A＝B，则a2 018＋b2 018的值为________．
题型5 新题型
【例题5】已知A＝{1,2,3}，B＝{2,4}，定义集合A，B间的运算A*B＝{x|x∈A且x B}，则集合A*B等于( )
A．{1,2,3} B．{2,3}
C．{1,3} D．{2}
【变式5】1.设P,Q为两个数集,P中含有0,2,5三个元素,Q中含有1,2,6三个元素,定义集合P+Q中的元素是a+b,其中a∈P,b∈Q,求P+Q中元素的个数.
【变式5】2.设集合A含有-2,1两个元素,B含有-1,2两个元素,定义集合A☉B,满足x1∈A,x2∈B,且x1x2∈A☉B,则A☉B中所有元素之积为 ( )
A.-8 B.-16 C.8 D.16
