1.1.2 集合的基本关系
题型1 集合间关系的判断 2
题型2 子集真子集个数的判断 6
题型3 由集合间的关系求参数的取值范围 8
题型4 集合相等 11
题型5 符号辨析 12
题型6 新情境题型 13
学习目标 1.理解子集、真子集、集合相等、空集的概念.2.能用符号和Venn图表达集合间的关系.3.掌握列举有限集的所有子集的方法．
知识点一 子集、真子集、集合相等
1．子集、真子集、集合相等
定义 符号表示 图形表示
子集 如果集合A中的任意一个元素都是集合B中的元素，就称集合A是集合B的子集 A B (或B A)
真子集 如果集合A B，但存在元素x∈B，且x A，就称集合A是集合B的真子集 A B (或B ?A)
集合相等 如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么集合A与集合B相等 A＝B
2.Venn图
用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为Venn图．
3．子集的性质
(1)任何一个集合是它本身的子集，即A A.
(2)对于集合A，B，C，如果A B，且B C，那么A C.
知识点二 空集
1．定义：不含任何元素的集合叫做空集，记为 .
2．规定：空集是任何集合的子集．
思考 {0}与 相等吗？
答案 不相等．{0}表示一个集合，且集合中有且仅有一个元素0；而 表示空集，其不含有任何元素，故{0}≠ .
题型1 集合间关系的判断
方法总结：
判断集合间关系的方法
(1)用定义判断
①任意x∈A时，x∈B，则A B.
②当A B时，存在x∈B，且x A，则A B.
③若既有A B，又有B A，则A＝B.
(2)数形结合判断
对于不等式表示的数集，可在数轴上标出集合，直观地进行判断，但要注意端点值的取舍．
【例题1-1】已知集合A＝{x|x＜-2或x＞0}，B＝{x|0＜x＜1}，则( )
A．A＝B B．A B C．B A D．A B
答案 C 解析 在数轴上分别画出集合A，B，如图所示，由数轴知B A.
【变式1-1】1.能正确表示集合M＝{x∈R|0≤x≤2}和集合N＝{x∈R|x2－x＝0}关系的Venn图是( )
答案 B
解析 x2－x＝0得x＝1或x＝0，故N＝{0,1}，
易得N?M，其对应的Venn图如选项B所示．
【变式1-1】2．集合A＝{x|(x-3)(x＋2)＝0}，B＝，则A与B的关系是( )
A．A B B．A＝B C．A B D．B A
答案 D解析 ∵A＝{－2,3}，B＝{3}，∴B A.
【变式1-1】3.下列四个集合中,是空集的是 ( )
A.{x|x+3=3} B.{(x,y)|y2=-x2,x,y∈R} C.{x|x2≤0} D.{x|x2-x+1=0,x∈R}
答案 D 因为x2-x+1=0,没有实根,所以集合{x|x2-x+1=0,x∈R}= .
【变式1-1】4.已知集合M={x|x=1+a2,a∈N*},P={x|x=a2-4a+5,a∈N*},那么M________P.(填“”“”或“=”)
答案: 解析 对于任意的x∈P,有x=a2-4a+5=(a-2)2+1,因为a∈N*,所以(a-2)2∈N,M={x|x≥2},则MP.
【变式1-1】5.指出下列各组集合之间的关系：
①A＝{－1,1}，B＝{(－1，－1)，(－1,1)，(1，－1)，(1,1)}；
②M＝{x|x＝2n－1，n∈N*}，N＝{x|x＝2n＋1，n∈N*}．
解析：①集合A的代表元素是数，集合B的代表元素是有序实数对，故A与B之间无包含关系．
②方法一 两个集合都表示正奇数组成的集合，但由于n∈N*，因此集合M含有元素“1”，而集合N不含元素“1”，故N?M.
方法二 由列举法知M＝{1,3,5,7，…}，N＝{3,5,7,9，…}，所以N M.
【例题1-2】已知集合M＝，N＝，P＝.试确定M，N，P之间的关系．
答案 集合M＝.关于集合N：
①当n是偶数时，令n＝2m(m∈Z)，则N＝；
②当n是奇数时，令n＝2m＋1(m∈Z)，则N＝＝.从而，得M N.
关于集合P：①当p＝2m(m∈Z)时，P＝；
②当p＝2m－1(m∈Z)时，P＝＝.从而，得N＝P.综上，知M N＝P.
【变式1-2】1 .集合M＝{x|x＝＋，k∈Z}，N＝{x|x＝k＋，k∈Z}，则( )
A．M＝N B．M N C．N M D．M∩N＝
答案 C 解析 M＝{x|x＝＋，k∈Z}，N＝{x|x＝＋，k∈Z}．∴N M.
【变式1】2.已知集合A＝，B＝{x|x＝-，b∈Z}，C＝{x|x＝＋，c∈Z}．则集合A、B、C满足的关系是( )
A．A＝B C B．A B＝C C．A B C D．B C A
答案 B 解析 简单列举集合中的元素．A＝，B＝，
C＝，∵＝∈B，＝∈B，∴A B．又－＝ A，∴A B，
∵－＝∈C，∴B C，又∈B，∴C B，∴B＝C．
【变式1-2】3.集合M={x|x=3k-2,k∈Z},P={y|y=3n+1,n∈Z},S={z|z=6m+1,m∈Z}之间的关系是 ( )
A.SPM B.S=PM
C.SP=M D.P=MS
答案 C 解析 运用整数的性质求解.集合M,P表示的是被3整除余1的整数集,集合S表示的是被6整除余1的整数集.
【变式1-2】4．已知A＝{x|x是菱形}，B＝{x|x是正方形}，C＝{x|x是平行四边形}，那么A，B，C之间的关系是( )
A．A B C B．B A C
C．A?B C D．A＝B C
答案 B
解析 集合A，B，C关系如图．
【变式1-2】5．设集合M＝{(x，y)|x＋y<0，xy>0}和P＝{(x，y)|x<0，y<0}，那么M与P的关系为________．
答案 M＝P
解析 因为xy>0，所以x，y同号，又x＋y<0，所以x<0，y<0，即集合M表示第三象限内的点，而集合P表示第三象限内的点，故M＝P.
题型2 子集真子集个数的判断
1．元素个数与集合子集个数的关系
(1)探究.
集合A 集合A中元素的个数n 集合A子集个数 真子集的个数 非空真子集
{a}
{a，b}
{a，b，c}
{a，b，c，d}
结论：
①A的子集的个数有2n个．
②A的真子集的个数有(2n－1)(n≥1)个．
③A的非空子集的个数有(2n－1)(n≥1)个．
④A的非空真子集的个数有(2n－2)(n≥1)个．
2．求给定集合的子集的两个关注点
(1)按子集中元素个数的多少，以一定的顺序来写．
(2)在写子集时要注意不要忘记空集和集合本身．
提醒：真子集个数是在子集的基础上去掉集合本身，做题时看清是真子集还是子集．
【例题2-1】写出集合{a、b、c}的所有子集，并指出它的真子集有多少个？
答案 子集有：{a}，{b}，{c}，{a，b}，{a，c}，{b，c}，{a，b，c}， 共8个．
真子集有：{a}，{b}，{c}，{a，b}，{a，c}，{b，c}， 共7个．
【变式2-1】1.已知集合M满足{1,2}?M {1,2,3,4,5}，写出集合M所有的可能情况．
解 由题意可以确定集合M必含有元素1,2，且至少含有元素3,4,5中的一个，因此依据集合M的元素个数分类如下：
含有3个元素：{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,5}；
含有4个元素：{1,2,3,4}，{1,2,3,5}，{1,2,4,5}；
含有5个元素：{1,2,3,4,5}．
故满足条件的集合M为{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,5}，{1,2,3,4}，{1,2,3,5}，{1,2,4,5}，{1,2,3,4,5}．
反思感悟 公式法求有限集合的子集个数
(1)含n个元素的集合有2n个子集．
(2)含n个元素的集合有(2n－1)个真子集．
(3)含n个元素的集合有(2n－1)个非空子集．
(4)含n个元素的集合有(2n－2)个非空真子集．
【变式2-1】2.已知集合A＝{x|0≤x<5，且x∈N}，则集合A的子集的个数为( )
A．15 B．16 C．31 D．32
答案 D
解析 A＝{0,1,2,3,4}，含有5个元素的集合的子集的个数为25＝32.
【变式2-1】3．若A＝{2,3,4}，B＝{x|x＝mn，m，n∈A且m≠n}，则集合B的非空真子集的个数为( )
A．3 B．6 C．7 D．8
解析 集个数为：23-2＝6.
【变式2-1】4.已知集合A＝{(x，y)|x＋y＝2，x，y∈N}，试写出A的所有子集．
解 因为A＝{(x，y)|x＋y＝2，x，y∈N}．所以A＝{(0,2)，(1,1)，(2,0)}．
所以A的子集有： ，{(0,2)}，{(1,1)}，{(2,0)}，{(0,2)，(1,1)}，{(0,2)，(2,0)}，{(1,1)，(2,0)}，{(0,2)，(1,1)，(2,0)}．
【例题2-2】已知集合M满足{1,2} M {1,2,3,4,5}，求所有满足条件的集合M.
答案 由条件知，集合M中一定有元素1,2，可能含有3,4,5中的部分数．故满足条件的集合M可以是：{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,5}，{1,2,3,4}，{1,2,3,5}，{1,2,4,5}．
【变式2-2】1.写出满足{3,4} P {0,1,2,3,4}的所有集合P.
答案 由题意知，集合P中一定含有元素3,4并且是至少含有三个元素的集合．因此所有满足题意的集合P为{0,3,4}，{1,3,4}，{2,3,4}，{0,1,3,4}，{0,2,3,4}，{1,2,3,4}，{0,1,2,3,4}．
【变式2-2】2.已知集合A＝{x∈R|x2-3x＋2＝0}，B＝{x∈N|0＜x＜5}，则满足条件A C B的集合C的个数为( ) A．1 B．2 C．3 D．4
答案B 由x2-3x＋2＝0，得x＝1或x＝2，所以A＝{1,2}．由题意知B＝{1,2,3,4}，所以满足条件的C可为{1,2,3}，{1,2,4}．
题型3 由集合间的关系求参数的取值范围
【例题3-1】已知集合A＝{-2}，B＝{x|ax＋1＝0，a∈R}，B A，求a的值．
答案 ∵B A，∴B＝ 或B≠ .当B＝ 时，方程ax＋1＝0无解，此时a＝0.当B≠ 时，此时a≠0，B＝{-}，∵B A．∴－∈A，即有-＝-2，得a＝.综上所述，a＝0或a＝.
【变式3-1】1.已知集合A＝{-1,3，m}，B＝{3,4}，若B A，则实数m的值是__________．
答案 4解析∵B A，∴4∈A，∴m＝4.
【变式3-1】2.已知集合A={1,2,m3},B={1,m},B A,求m的值.
答案 由B A得m∈A,所以m=m3或m=2,所以m=2或m=-1或m=1或m=0,又由集合中元素的互异性知m≠1.所以m=0或2或-1.
【变式3-1】3.若集合A＝{x|x2＋x－6＝0}，B＝{x|x2＋x＋a＝0}，且B A，求实数a的取值范围．
答案 A＝{－3,2}．对于x2＋x＋a＝0，①当Δ＝1－4a<0，即a>时，B＝ ，B A成立；
②当Δ＝1－4a＝0，即a＝时，B＝{－}，B A不成立；
③当Δ＝1－4a>0，即a<时，若B A成立，则B＝{－3,2}．∴a＝－3×2＝－6.
综上：a的取值范围为a>或a＝－6.
【变式3-1】4.已知集合A＝{x|ax2＋2x＋a＝0，a∈R}，若集合A有且仅有2个子集，则a的取值构成的集合为________．
答案 {0,1，－1}
解析 因为集合A有且仅有2个子集，所以A中仅有一个元素，
当a＝0时，方程化为2x＝0，
方程只有一个根x＝0，符合题意．
当a≠0时，方程ax2＋2x＋a＝0有两个相等的实数根，Δ＝22－4·a·a＝0，
即a2＝1，∴a＝±1.此时A＝{－1}或A＝{1}，符合题意．∴a＝0或a＝±1.
【变式3-1】5.已知集合A＝{x||x－a|＝4}，集合B＝{1,2，b}．
(1)是否存在实数a，使得对于任意实数b都有A B？若存在，求出对应的a值；若不存在，说明理由；
(2)若A B成立，求出对应的实数对(a，b)．
解 (1)对于任意实数b都有A B，当且仅当集合A中的元素为1,2.
∵A＝{a－4，a＋4}，
∴或
解方程组可知无解．
∴不存在实数a，使得对于任意实数b都有A B.
(2)由(1)易知，若A B，
则或
或或
解得或
或或
则所求实数对为(5,9)或(6,10)或(－3，－7)或(－2，－6)．
【例题3-2】集合A＝{x|1
答案 {a|a≥6}
解析 ∵A＝{x|1【变式3-2】1.若集合A＝{x|1a}，满足A B，则实数a的取值范围是( )
A．{a|a≥2} B．{a|a≤1}
C．{a|a≥1} D．{a|a≤2}
答案 B
解析 如图所示，A B，所以a≤1.
【变式3-2】2.已知集合A＝{x|-3≤x≤4}，B＝{x|2m-1答案 (1)当B＝ 时，m＋1≤2m－1.解得m≥2，这时B A．
(2)当B≠ 时，由B A得，解得－1≤m<2.综上得m≥－1.
【变式3-2】3.已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，若B A，求实数m的取值范围.
解 (1)当B≠ 时，如图所示．
∴或
解这两个不等式组，得2≤m≤3.
(2)当B＝ 时，
由m＋1>2m－1，得m<2.
综上可得，m的取值范围是{m|m≤3}．
【变式3-2】4.已知集合A＝{x|-2≤x≤7}，B＝{x|m＋1＜x＜2m-1}，若B A，则实数m的取值范围是________．
答案 当B＝ 时，B A显然成立，此时有m＋1≥2m－1，则m≤2.当B≠ 时，若B A，如图．则即解得2＜m≤4.综上，m的取值范围为{m|m≤4}.
【变式3-2】5.已知,若A={x|x<-1或x>5},B={x|a≤x答案 a≤-5或a>5 解析 因为A={x|x<-1或x>5},B={x|a≤x5,解得a≤-5或a>5.
题型4 集合相等
【例题4】已知集合{x2，x＋y,0}＝{x，，1}，求x2 015＋y2 015的值为________．
答案 -1解析 由题意知，0∈{x，，1}，又∵x≠0，∴y＝0.∴集合{x2，x＋y,0}＝{x2，x,0}．又1∈{x2，x,0}，且x≠1，∴x2＝1，∴x＝-1.故x2 015＋y2 015＝(-1)2 015＋02 015＝-1.
【变式4】1.已知集合A＝{2，a，b}，集合B＝{2a,2，b2}，若A＝B，求a、b的值．
解析∵A＝B，∴或，解得或或.由集合中元素的互异性，得或.
【变式4】2.若{1,2}={x|x2+bx+c=0},则b=________,c=________.
答案 -3 2 解析 依题意知,1,2是方程x2+bx+c=0的两根,由根与系数的关系得,b= -(1+2)= -3,c=1×2=2.
【变式4】3.若集合A＝{-1,3}，集合B＝{x|x2＋ax＋b＝0}，且A＝B，求实数a，b.
答案 ∵A＝B，∴B＝{x|x2＋ax＋b＝0}＝{－1,3}．∴∴a＝-2，b＝-3.
题型5 符号辨析
小结：
1．元素与集合、集合与集合的关系．
“∈”是“元素”与“集合”之间的从属关系，如a∈{a}．
“ 或 ”是两个集合之间的包含关系．
2．0、{0}、 、{ }的关系
(1)区别：0不是一个集合，而是一个元素，而{0}， ，{ }都为集合，其中{0}是包含一个元素0的集合；
为不含任何元素的集合；{ }为含有一个元素 的集合，此时 作为集合{ }的一个元素．
(2)联系：0∈{0},0 ，0 { }， {0}， {0}， { }， { }．
【例题5】下列关系式正确的是( )
A．{0} {0} B．{0}∈{0} C．0＝{0} D．0 {0}
答案：A
【变式5】1.下列各式中，正确的个数是( )
①{0}∈{0,1,2}；②{0,1,2} {2,1,0}；③ {0,1,2}；④ ?{0}；⑤{0,1}＝{(0,1)}；⑥0＝{0}．
A．1 B．2 C．3 D．4
答案 C
解析 对于①，是集合与集合的关系，应为{0}?{0,1,2}；对于②，实际为同一集合，任何一个集合是它本身的子集；对于③，空集是任何集合的子集；对于④，{0}是含有单元素0的集合，空集不含任何元素，并且空集是任何非空集合的真子集，所以 ?{0}；对于⑤，{0,1}是含有两个元素0与1的集合，而{(0,1)}是以有序实数对(0,1)为元素的单点集，所以{0,1}与{(0,1)}不相等；对于⑥，0与{0}是“属于与否”的关系，所以0∈{0}．故②③④是正确的．
【变式5】2.下列集合中是空集的是( )
A．{ } B．{x∈R|x2＋1＝0} C．{x|x＜4或x＞8} D．{x|x2＋2x＋1＝0}
答案：B
【变式5】3．用适当的符号填空：
(1)a________{a，b，c}；(2) ________{x∈R|x2＋7＝0}；(3){0}________{x|x2＝x}．
答案：(1)∈ (2)＝ (3)?
【变式5】4.如果集合A={x|x≤},a=,那么 ( )
A.a A B.{a}A C.{a}∈A D.a A
答案 B 解析 因为a=<,所以a∈A,A错误.由元素与集合之间的关系及集合与集合之间的关系可知,C,D错,B正确.
题型6 新情境题型
【例题6】设A是非空集合,对于k∈A,如果∈A,那么称集合A为“和谐集”,在集合M=的所有非空子集中,是和谐集的集合的个数为______.
答案 15 解析 由和谐集的定义知,该集合中可以含有元素-1,1,和3,和2,所以共有和谐集的集合的个数为15个.1.1.2 集合的基本关系
题型1 集合间关系的判断 2
题型2 子集真子集个数的判断 6
题型3 由集合间的关系求参数的取值范围 8
题型4 集合相等 11
题型5 符号辨析 12
题型6 新情境题型 13
学习目标 1.理解子集、真子集、集合相等、空集的概念.2.能用符号和Venn图表达集合间的关系.3.掌握列举有限集的所有子集的方法．
知识点一 子集、真子集、集合相等
1．子集、真子集、集合相等
定义 符号表示 图形表示
子集 如果集合A中的任意一个元素都是集合B中的元素，就称集合A是集合B的子集 A B (或B A)
真子集 如果集合A B，但存在元素x∈B，且x A，就称集合A是集合B的真子集 A B (或B ?A)
集合相等 如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么集合A与集合B相等 A＝B
2.Venn图
用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为Venn图．
3．子集的性质
(1)任何一个集合是它本身的子集，即A A.
(2)对于集合A，B，C，如果A B，且B C，那么A C.
知识点二 空集
1．定义：不含任何元素的集合叫做空集，记为 .
2．规定：空集是任何集合的子集．
思考 {0}与 相等吗？
答案 不相等．{0}表示一个集合，且集合中有且仅有一个元素0；而 表示空集，其不含有任何元素，故{0}≠ .
题型1 集合间关系的判断
方法总结：
判断集合间关系的方法
(1)用定义判断
①任意x∈A时，x∈B，则A B.
②当A B时，存在x∈B，且x A，则A B.
③若既有A B，又有B A，则A＝B.
(2)数形结合判断
对于不等式表示的数集，可在数轴上标出集合，直观地进行判断，但要注意端点值的取舍．
【例题1-1】已知集合A＝{x|x＜-2或x＞0}，B＝{x|0＜x＜1}，则( )
A．A＝B B．A B C．B A D．A B
答案 C 解析 在数轴上分别画出集合A，B，如图所示，由数轴知B A.
【变式1-1】1.能正确表示集合M＝{x∈R|0≤x≤2}和集合N＝{x∈R|x2－x＝0}关系的Venn图是( )
答案 B
解析 x2－x＝0得x＝1或x＝0，故N＝{0,1}，
易得N?M，其对应的Venn图如选项B所示．
【变式1-1】2．集合A＝{x|(x-3)(x＋2)＝0}，B＝，则A与B的关系是( )
A．A B B．A＝B C．A B D．B A
答案 D解析 ∵A＝{－2,3}，B＝{3}，∴B A.
【变式1-1】3.下列四个集合中,是空集的是 ( )
A.{x|x+3=3} B.{(x,y)|y2=-x2,x,y∈R} C.{x|x2≤0} D.{x|x2-x+1=0,x∈R}
答案 D 因为x2-x+1=0,没有实根,所以集合{x|x2-x+1=0,x∈R}= .
【变式1-1】4.已知集合M={x|x=1+a2,a∈N*},P={x|x=a2-4a+5,a∈N*},那么M________P.(填“”“”或“=”)
答案: 解析 对于任意的x∈P,有x=a2-4a+5=(a-2)2+1,因为a∈N*,所以(a-2)2∈N,M={x|x≥2},则MP.
【变式1-1】5.指出下列各组集合之间的关系：
①A＝{－1,1}，B＝{(－1，－1)，(－1,1)，(1，－1)，(1,1)}；
②M＝{x|x＝2n－1，n∈N*}，N＝{x|x＝2n＋1，n∈N*}．
解析：①集合A的代表元素是数，集合B的代表元素是有序实数对，故A与B之间无包含关系．
②方法一 两个集合都表示正奇数组成的集合，但由于n∈N*，因此集合M含有元素“1”，而集合N不含元素“1”，故N?M.
方法二 由列举法知M＝{1,3,5,7，…}，N＝{3,5,7,9，…}，所以N M.
【例题1-2】已知集合M＝，N＝，P＝.试确定M，N，P之间的关系．
答案 集合M＝.关于集合N：
①当n是偶数时，令n＝2m(m∈Z)，则N＝；
②当n是奇数时，令n＝2m＋1(m∈Z)，则N＝＝.从而，得M N.
关于集合P：①当p＝2m(m∈Z)时，P＝；
②当p＝2m－1(m∈Z)时，P＝＝.从而，得N＝P.综上，知M N＝P.
【变式1-2】1 .集合M＝{x|x＝＋，k∈Z}，N＝{x|x＝k＋，k∈Z}，则( )
A．M＝N B．M N C．N M D．M∩N＝
答案 C 解析 M＝{x|x＝＋，k∈Z}，N＝{x|x＝＋，k∈Z}．∴N M.
【变式1】2.已知集合A＝，B＝{x|x＝-，b∈Z}，C＝{x|x＝＋，c∈Z}．则集合A、B、C满足的关系是( )
A．A＝B C B．A B＝C C．A B C D．B C A
答案 B 解析 简单列举集合中的元素．A＝，B＝，
C＝，∵＝∈B，＝∈B，∴A B．又－＝ A，∴A B，
∵－＝∈C，∴B C，又∈B，∴C B，∴B＝C．
【变式1-2】3.集合M={x|x=3k-2,k∈Z},P={y|y=3n+1,n∈Z},S={z|z=6m+1,m∈Z}之间的关系是 ( )
A.SPM B.S=PM
C.SP=M D.P=MS
答案 C 解析 运用整数的性质求解.集合M,P表示的是被3整除余1的整数集,集合S表示的是被6整除余1的整数集.
【变式1-2】4．已知A＝{x|x是菱形}，B＝{x|x是正方形}，C＝{x|x是平行四边形}，那么A，B，C之间的关系是( )
A．A B C B．B A C
C．A?B C D．A＝B C
答案 B
解析 集合A，B，C关系如图．
【变式1-2】5．设集合M＝{(x，y)|x＋y<0，xy>0}和P＝{(x，y)|x<0，y<0}，那么M与P的关系为________．
答案 M＝P
解析 因为xy>0，所以x，y同号，又x＋y<0，所以x<0，y<0，即集合M表示第三象限内的点，而集合P表示第三象限内的点，故M＝P.
题型2 子集真子集个数的判断
1．元素个数与集合子集个数的关系
(1)探究.
集合A 集合A中元素的个数n 集合A子集个数 真子集的个数 非空真子集
{a}
{a，b}
{a，b，c}
{a，b，c，d}
结论：
①A的子集的个数有2n个．
②A的真子集的个数有(2n－1)(n≥1)个．
③A的非空子集的个数有(2n－1)(n≥1)个．
④A的非空真子集的个数有(2n－2)(n≥1)个．
2．求给定集合的子集的两个关注点
(1)按子集中元素个数的多少，以一定的顺序来写．
(2)在写子集时要注意不要忘记空集和集合本身．
提醒：真子集个数是在子集的基础上去掉集合本身，做题时看清是真子集还是子集．
【例题2-1】写出集合{a、b、c}的所有子集，并指出它的真子集有多少个？
答案 子集有：{a}，{b}，{c}，{a，b}，{a，c}，{b，c}，{a，b，c}， 共8个．
真子集有：{a}，{b}，{c}，{a，b}，{a，c}，{b，c}， 共7个．
【变式2-1】1.已知集合M满足{1,2}?M {1,2,3,4,5}，写出集合M所有的可能情况．
解 由题意可以确定集合M必含有元素1,2，且至少含有元素3,4,5中的一个，因此依据集合M的元素个数分类如下：
含有3个元素：{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,5}；
含有4个元素：{1,2,3,4}，{1,2,3,5}，{1,2,4,5}；
含有5个元素：{1,2,3,4,5}．
故满足条件的集合M为{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,5}，{1,2,3,4}，{1,2,3,5}，{1,2,4,5}，{1,2,3,4,5}．
反思感悟 公式法求有限集合的子集个数
(1)含n个元素的集合有2n个子集．
(2)含n个元素的集合有(2n－1)个真子集．
(3)含n个元素的集合有(2n－1)个非空子集．
(4)含n个元素的集合有(2n－2)个非空真子集．
【变式2-1】2.已知集合A＝{x|0≤x<5，且x∈N}，则集合A的子集的个数为( )
A．15 B．16 C．31 D．32
答案 D
解析 A＝{0,1,2,3,4}，含有5个元素的集合的子集的个数为25＝32.
【变式2-1】3．若A＝{2,3,4}，B＝{x|x＝mn，m，n∈A且m≠n}，则集合B的非空真子集的个数为( )
A．3 B．6 C．7 D．8
解析 集个数为：23-2＝6.
【变式2-1】4.已知集合A＝{(x，y)|x＋y＝2，x，y∈N}，试写出A的所有子集．
解 因为A＝{(x，y)|x＋y＝2，x，y∈N}．所以A＝{(0,2)，(1,1)，(2,0)}．
所以A的子集有： ，{(0,2)}，{(1,1)}，{(2,0)}，{(0,2)，(1,1)}，{(0,2)，(2,0)}，{(1,1)，(2,0)}，{(0,2)，(1,1)，(2,0)}．
【例题2-2】已知集合M满足{1,2} M {1,2,3,4,5}，求所有满足条件的集合M.
答案 由条件知，集合M中一定有元素1,2，可能含有3,4,5中的部分数．故满足条件的集合M可以是：{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,5}，{1,2,3,4}，{1,2,3,5}，{1,2,4,5}．
【变式2-2】1.写出满足{3,4} P {0,1,2,3,4}的所有集合P.
答案 由题意知，集合P中一定含有元素3,4并且是至少含有三个元素的集合．因此所有满足题意的集合P为{0,3,4}，{1,3,4}，{2,3,4}，{0,1,3,4}，{0,2,3,4}，{1,2,3,4}，{0,1,2,3,4}．
【变式2-2】2.已知集合A＝{x∈R|x2-3x＋2＝0}，B＝{x∈N|0＜x＜5}，则满足条件A C B的集合C的个数为( ) A．1 B．2 C．3 D．4
答案B 由x2-3x＋2＝0，得x＝1或x＝2，所以A＝{1,2}．由题意知B＝{1,2,3,4}，所以满足条件的C可为{1,2,3}，{1,2,4}．
题型3 由集合间的关系求参数的取值范围
【例题3-1】已知集合A＝{-2}，B＝{x|ax＋1＝0，a∈R}，B A，求a的值．
答案 ∵B A，∴B＝ 或B≠ .当B＝ 时，方程ax＋1＝0无解，此时a＝0.当B≠ 时，此时a≠0，B＝{-}，∵B A．∴－∈A，即有-＝-2，得a＝.综上所述，a＝0或a＝.
【变式3-1】1.已知集合A＝{-1,3，m}，B＝{3,4}，若B A，则实数m的值是__________．
答案 4解析∵B A，∴4∈A，∴m＝4.
【变式3-1】2.已知集合A={1,2,m3},B={1,m},B A,求m的值.
答案 由B A得m∈A,所以m=m3或m=2,所以m=2或m=-1或m=1或m=0,又由集合中元素的互异性知m≠1.所以m=0或2或-1.
【变式3-1】3.若集合A＝{x|x2＋x－6＝0}，B＝{x|x2＋x＋a＝0}，且B A，求实数a的取值范围．
答案 A＝{－3,2}．对于x2＋x＋a＝0，①当Δ＝1－4a<0，即a>时，B＝ ，B A成立；
②当Δ＝1－4a＝0，即a＝时，B＝{－}，B A不成立；
③当Δ＝1－4a>0，即a<时，若B A成立，则B＝{－3,2}．∴a＝－3×2＝－6.
综上：a的取值范围为a>或a＝－6.
【变式3-1】4.已知集合A＝{x|ax2＋2x＋a＝0，a∈R}，若集合A有且仅有2个子集，则a的取值构成的集合为________．
答案 {0,1，－1}
解析 因为集合A有且仅有2个子集，所以A中仅有一个元素，
当a＝0时，方程化为2x＝0，
方程只有一个根x＝0，符合题意．
当a≠0时，方程ax2＋2x＋a＝0有两个相等的实数根，Δ＝22－4·a·a＝0，
即a2＝1，∴a＝±1.此时A＝{－1}或A＝{1}，符合题意．∴a＝0或a＝±1.
【变式3-1】5.已知集合A＝{x||x－a|＝4}，集合B＝{1,2，b}．
(1)是否存在实数a，使得对于任意实数b都有A B？若存在，求出对应的a值；若不存在，说明理由；
(2)若A B成立，求出对应的实数对(a，b)．
解 (1)对于任意实数b都有A B，当且仅当集合A中的元素为1,2.
∵A＝{a－4，a＋4}，
∴或
解方程组可知无解．
∴不存在实数a，使得对于任意实数b都有A B.
(2)由(1)易知，若A B，
则或
或或
解得或
或或
则所求实数对为(5,9)或(6,10)或(－3，－7)或(－2，－6)．
【例题3-2】集合A＝{x|1答案 {a|a≥6}
解析 ∵A＝{x|1【变式3-2】1.若集合A＝{x|1a}，满足A B，则实数a的取值范围是( )
A．{a|a≥2} B．{a|a≤1}
C．{a|a≥1} D．{a|a≤2}
答案 B
解析 如图所示，A B，所以a≤1.
【变式3-2】2.已知集合A＝{x|-3≤x≤4}，B＝{x|2m-1答案 (1)当B＝ 时，m＋1≤2m－1.解得m≥2，这时B A．
(2)当B≠ 时，由B A得，解得－1≤m<2.综上得m≥－1.
【变式3-2】3.已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，若B A，求实数m的取值范围.
解 (1)当B≠ 时，如图所示．
∴或
解这两个不等式组，得2≤m≤3.
(2)当B＝ 时，
由m＋1>2m－1，得m<2.
综上可得，m的取值范围是{m|m≤3}．
【变式3-2】4.已知集合A＝{x|-2≤x≤7}，B＝{x|m＋1＜x＜2m-1}，若B A，则实数m的取值范围是________．
答案 当B＝ 时，B A显然成立，此时有m＋1≥2m－1，则m≤2.当B≠ 时，若B A，如图．则即解得2＜m≤4.综上，m的取值范围为{m|m≤4}.
【变式3-2】5.已知,若A={x|x<-1或x>5},B={x|a≤x答案 a≤-5或a>5 解析 因为A={x|x<-1或x>5},B={x|a≤x5,解得a≤-5或a>5.
题型4 集合相等
【例题4】已知集合{x2，x＋y,0}＝{x，，1}，求x2 015＋y2 015的值为________．
答案 -1解析 由题意知，0∈{x，，1}，又∵x≠0，∴y＝0.∴集合{x2，x＋y,0}＝{x2，x,0}．又1∈{x2，x,0}，且x≠1，∴x2＝1，∴x＝-1.故x2 015＋y2 015＝(-1)2 015＋02 015＝-1.
【变式4】1.已知集合A＝{2，a，b}，集合B＝{2a,2，b2}，若A＝B，求a、b的值．
解析∵A＝B，∴或，解得或或.由集合中元素的互异性，得或.
【变式4】2.若{1,2}={x|x2+bx+c=0},则b=________,c=________.
答案 -3 2 解析 依题意知,1,2是方程x2+bx+c=0的两根,由根与系数的关系得,b= -(1+2)= -3,c=1×2=2.
【变式4】3.若集合A＝{-1,3}，集合B＝{x|x2＋ax＋b＝0}，且A＝B，求实数a，b.
答案 ∵A＝B，∴B＝{x|x2＋ax＋b＝0}＝{－1,3}．∴∴a＝-2，b＝-3.
题型5 符号辨析
小结：
1．元素与集合、集合与集合的关系．
“∈”是“元素”与“集合”之间的从属关系，如a∈{a}．
“ 或 ”是两个集合之间的包含关系．
2．0、{0}、 、{ }的关系
(1)区别：0不是一个集合，而是一个元素，而{0}， ，{ }都为集合，其中{0}是包含一个元素0的集合；
为不含任何元素的集合；{ }为含有一个元素 的集合，此时 作为集合{ }的一个元素．
(2)联系：0∈{0},0 ，0 { }， {0}， {0}， { }， { }．
【例题5】下列关系式正确的是( )
A．{0} {0} B．{0}∈{0} C．0＝{0} D．0 {0}
答案：A
【变式5】1.下列各式中，正确的个数是( )
①{0}∈{0,1,2}；②{0,1,2} {2,1,0}；③ {0,1,2}；④ ?{0}；⑤{0,1}＝{(0,1)}；⑥0＝{0}．
A．1 B．2 C．3 D．4
答案 C
解析 对于①，是集合与集合的关系，应为{0}?{0,1,2}；对于②，实际为同一集合，任何一个集合是它本身的子集；对于③，空集是任何集合的子集；对于④，{0}是含有单元素0的集合，空集不含任何元素，并且空集是任何非空集合的真子集，所以 ?{0}；对于⑤，{0,1}是含有两个元素0与1的集合，而{(0,1)}是以有序实数对(0,1)为元素的单点集，所以{0,1}与{(0,1)}不相等；对于⑥，0与{0}是“属于与否”的关系，所以0∈{0}．故②③④是正确的．
【变式5】2.下列集合中是空集的是( )
A．{ } B．{x∈R|x2＋1＝0} C．{x|x＜4或x＞8} D．{x|x2＋2x＋1＝0}
答案：B
【变式5】3．用适当的符号填空：
(1)a________{a，b，c}；(2) ________{x∈R|x2＋7＝0}；(3){0}________{x|x2＝x}．
答案：(1)∈ (2)＝ (3)?
【变式5】4.如果集合A={x|x≤},a=,那么 ( )
A.a A B.{a}A C.{a}∈A D.a A
答案 B 解析 因为a=<,所以a∈A,A错误.由元素与集合之间的关系及集合与集合之间的关系可知,C,D错,B正确.
题型6 新情境题型
【例题6】设A是非空集合,对于k∈A,如果∈A,那么称集合A为“和谐集”,在集合M=的所有非空子集中,是和谐集的集合的个数为______.
答案 15 解析 由和谐集的定义知,该集合中可以含有元素-1,1,和3,和2,所以共有和谐集的集合的个数为15个.