湘教版数学七年级上册 4.3.2 角的度量与计算（2） 课件(共28张PPT)

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讲授新课
当堂练习
课堂小结
4.3.2 角的度量与计算
第4章 图形的认识
4.3 角
第2课时 余角和补角
学习目标
1. 了解余角、补角的概念，掌握余角和补角的性质.
(重点)
2. 能利用余角、补角的知识解决相关问题.(难点)
1
2
比萨斜塔
导入新课
情境引入
1
3
比萨斜塔
活动：将一张长方形纸片，沿一个角折叠后，折痕与长方形的边形成了4个角.
1
2
3
4
思考：
1. ∠1 与∠2 有什么数量关系？
∠1+∠2 = 90°
2. ∠3与∠4有什么数量关系？
∠3+∠4 = 180°
讲授新课
余角和补角的概念
一
合作探究
1
如果两个角的和等于90°( 直角 )，就说这两个角互为余角 ( 简称为两个角互余 ).
如图，可以说 ∠1 是 ∠2 的余角，或∠2 是∠1的余角，或∠1和 ∠2互余.
2
概念学习
几何语言表示为：
若∠1+∠2=90°，
则∠1与∠2互为余角
如果两个角的和等于180°(平角)，就说这两个角互为补角 ( 简称为两个角互补 ).
如图，可以说 ∠3 是 ∠4 的补角，或 ∠4是 ∠3 的补角，或 ∠3 和 ∠4 互补.
4
3
概念学习
几何语言表示为：
若∠3+∠4=180°，
则∠3与∠4互为补角
1.图中给出的各角，哪些互为余角？
15o
24o
66o
75o
46.2o
43.8o
练一练
2.图中给出的各角，哪些互为补角？
10o
30o
60o
80o
100o
120o
150o
170o
练一练
∠α ∠α的余角 ∠α的补角
5°
32°
45°
77°
62°23′
x°(0＜x＜90)
27°37′
117°37′
85°
175°
58°
148°
45°
135°
103°
13°
观察与思考
(90－x)°
(180－x)°
观察可得结论：
锐角的补角比它的余角大_____.
90°
5）如果∠1=30°，∠2=25°，∠3=35°，那么∠1、∠2、∠3这三个角互为余角. （ ）
3）同一个角的补角比它的余角大多少90度. （ ）
4）互余的两个角一定都是锐角，两个锐角一定互余. （ ）
2）一个角的补角必为钝角. （ ）
1）一个角的余角必为锐角. （ ）
×
√
×
√
×
判一判
例1. 如图，∠AOB与∠BOD互为余角，OC是∠BOD的平分线，∠AOB=29.66°，求∠COD的度数.
解：因为∠AOB与∠BOD互为余角，
所以∠BOD = 90°-∠AOB
= 90°-29.66°= 60.34°.
又因为OC是∠BOD的平分线，
因此，∠COD 的度数为 30.17°.
29.66°
60.34°
所以
30.17°
典例精析
例2.已知一个角的余角是这个角的补角的 ，
求这个角的度数
解：设这个角为x°，
则这个角的余角为（90-x）°，
补角为（180-x）°.
根据题意，得 ，
解得 x = 45 .
因此，这个角的度数为45°.
练一练
已知 ∠A 与∠B 互余，且 ∠A 的度数比∠B 度数的 3 倍还多30°，求∠B的度数.
解：设∠B的度数为x°，则 ∠A 的度数为
(3x+30)°. 根据题意得：
x + ( 3x+30 ) = 90.
解得 x=15.
故 ∠B 的度数为15°.
方法总结：涉及到角度的计算时，除常规的和差倍分计算外，通常还需运用方程思想解决问题.
∠1 与∠2，∠3都互为补角，
∠2 与∠3 的大小有什么关系？
余角和补角的性质
二
思考：
1
2
同角 (等角) 的补角相等.
结论：
3
∠2=180°－∠1
∠3=180°－∠1
同角 (等角) 的余角相等.
类似地，可以得到：
=
如图,已知∠AOB=90°， ∠AOC= ∠BOD，则与∠AOC互余的角有__________________.
∠BOC 和 ∠AOD
练一练
O
A
B
C
D
例3 如图，点A，O，B在同一直线上，射线 OD 和射线 OE 分别平分∠AOC 和∠BOC，图中哪些角互为余角？
解：因为点A，O，B在同一直线
上，所以 ∠AOC 和 ∠BOC 互为补角.
O
A
B
C
D
E
又因为射线 OD 和射线 OE 分别平分∠AOC 和∠BOC，所以∠COD+∠COE= ∠AOC+
∠BOC = (∠AOC+∠BOC ) = 90°.
O
A
B
C
D
E
所以∠COD和∠COE互为余角，
同理∠AOD和∠BOE，∠AOD和∠COE，∠COD和∠BOE也互为余角.
变式训练：如图，O为直线AB上一点，OD平分∠AOC，∠DOE=90°．
（1）∠AOD的余角是_______________，∠COD的余角是_________________;
（2 ）OE是∠BOC的平分线吗？请说明理由．
∠COE、∠BOE
O
A
B
C
D
E
∠COE、∠BOE
解：OE平分∠BOC，理由如下：∵∠DOE=90°，∴∠AOD+∠BOE=90°，
∴∠COD+∠DOE=90°，
∴∠AOD+∠BOE=∠COD+∠DOE，
∵OD平分∠AOC∴∠AOD=∠COD，
∴∠COE=∠BOE，∴OE平分∠BOC．
例4 如图，已知O为AD上一点，∠AOC与∠AOB互补，OM，ON分别为∠AOC，∠AOB的平分线，若∠MON=40°，试求∠AOC与∠AOB的度数．
O
D
A
B
C
N
M
解：设∠AOB=x，
因为∠AOC与∠AOB互补，
则∠AOC=180°-x．
因为OM，ON分别为∠AOC，
∠AOB的平分线，
所以∠AOM= ，∠AOM= .
O
D
A
B
C
N
M
所以
解得x=50°，则180°-x=130°.
即∠AOB=50°，∠AOC=130°.
当堂练习
2.一个角的余角是它的2倍，这个角的度数是（　）
A．30° B．45° C．60° D．75°
A
1.下列说法正确的是（　　）
A．一个角的补角一定大于它本身
B．一个角的余角一定小于它本身
C．一个钝角减去一个锐角的差一定是一个锐角
D．一个角的余角一定小于其补角
D
3.已知∠A与∠B互余，∠B与∠C互补，若∠A=60°，则∠C的度数是_______.
150°
4. ∠1 与 ∠2 互余，∠1 = (6x + 8)°，∠2 = (4x－8)°，
则∠1= ，∠2= .
62°
28°
5. 若一个角的补角等于它的余角的 4 倍，求这个角的度数.
解：设这个角为 x°，则它的补角是 ( 180－x )°，
余角是 ( 90－x )° .
根据题意，得
180－x = 4 ( 90－x ) .
解得 x = 60.
答：这个角的度数是 60 °.
6.如图,已知直线AB和CD相交于点O,OM平分∠BOD,
∠MON是直角,∠AOC=50°.
(1)求∠BOD的度数.
解 ：
∵ ∠AOC+ ∠AOD=180°,
∠BOD+ ∠AOD=180° 且∠AOC=50°，
∴ ∠BOD=∠AOC=50° .(同角的补角相等）
因此， ∠BOD的度数是50°.
(2)求∠DON的度数.
解：
∵ OM平分∠BOD 且∠BOD=50 °(已知)
∴∠DOM=—∠BOD= —×50°= 25°；
∵ ∠DON与∠DOM 互余,
∴ ∠DON = 90°-∠DOM =90°- 25° =65°.
2
1
1
2
因此， ∠DON的度数是65°.
互余 互补
两角间的数量关系
对应图形
性质
同角或等角的
补角相等
课堂小结
同角或等角的
余角相等