4.3.3余角和补角 教案
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4.3.3余角和补角 教学设计
课题 4.3.3余角和补角 单元 第4 单元 学科 数学 年级 七年级（上）
教材分析 本节是继“角”及“角的比较和运算”之后的内容，是进一步认识角，并认识互为余角、互为补角之间的关系，并为寻找角之间的数量关系打下基础.同时也为以后的学习做好铺垫. 从知识的准备上，学生已认识了角，有了这个基础，对于本节认识做好了铺垫；从应用上，学生经常找角的数量关系，应用价值很大.
核心素养分析 通过余角、补角性质的探索，渗透从特殊到一般、类比、化归的数学思想方法，进一步提高学生的抽象概括能力，发展空间观念和知识运用能力，学会简单的逻辑推理，并能对问题的结论进行合理的猜想.
学习目标 理解余角、补角的意义及其性质. 初步掌握图形语言与符号语言之间的相互转化. 3、运用余角、补角的性质解决一些简单的问题.
重点 认识角的互余、互补关系及其性质.
难点 通过简单的推理，归纳出余角、补角的性质，用规范的语言描述性质.
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
导入新课 一、创设情景，引出课题） 比萨斜塔建于1173年，工程曾间断了两次，历经约二百年才完工，设计为垂直建造，但是在工程开始后不久便由于地基不均匀和土层松软而倾斜，你知道比萨斜塔倾斜多少度角吗？它现在与地面成多少度角？倾斜了约3.97°.它现在与地面成的夹角约是86.03°.这两个角之和是多少 问题1：如图，将三角板（尺）的直角顶点放在直线 上，绕该顶点在同一平面内转动三角板问∠1与∠2的和是否会发生变化？如果两个角的和等于90 (直角)，就说这两个角互为余角，即其中每一个角是另一个角的余角.∵ ∠1+∠2=90°∴∠1与∠2互为余角∵∠1与∠2互为余角∴ ∠1+∠2=90°试一试：判断①32°与58°互为余角。（ ）②∠1＋∠2 ＋∠3= 90°，则∠1、∠2 、∠3 互为余角。（ ）③两个锐角一定互为余角。（ ） √,×,× 问题2：你能类比互为余角的定义得到互为补角的定义吗？如果两个角的和等于180°(平角)，就说这两个角互为补角( 简称为两个角互补 ). 如图，可以说 ∠3 是 ∠4 的补角，或 ∠4是 ∠3 的补角，或 ∠3 和 ∠4 互补.如果两个角的和等于180 (平角)，就说这两个角互为补角，即其中一个角是另一个角的补角. ∵ ∠3+∠4=180°∴∠3与∠4互为补角∵∠3与∠4互为补角 ∴ ∠3+∠4=180°问题3：∠1和∠2互余，∠1也与∠3互余，请问∠2与∠3是什么关系？解：因为∠1+∠2=90°，∠1+∠3=90°所以∠2=90°-∠1，∠3=90°-∠1所以∠2=∠3问题4：若∠1与∠2互余，∠3与∠4互余，如果∠1=∠3，那么∠2和∠4相等吗？解：∠2与∠4相等因为∠1=∠3,所以90°-∠1=90°-∠3所以∠2=∠4性质：同角 (等角) 的余角相等.问题5：对于补角是否也有类似性质？性质：同角 (等角) 的补角相等. 思考自议 运用余角、补角的性质解决一些简单的问题.毛 通过简单的推理，归纳出余角、补角的性质，并能用规范的语言描述性质.
讲授新课 提炼概念典例精讲例1 如图，点A，O， B在同一条直线 上，射线OD和射线OE分别平分∠AOC和∠BOC， 图中哪些角互为余角？解：因为点A，O， B在同一条直线上， 所以 ∠AOC和∠BOC互为补角. 又因为射线OD和射线OE分别平分∠AOC和∠BOC， 所以∠COD+∠COE= ∠AOC+ ∠BOC = (∠AOC+∠BOC)= 90°. 所以，∠COD和∠COE互为余角， 同理，∠AOD和∠BOE，∠AOD和∠COE，∠COD和∠BOE也互为余角.知识：方位角1.定义：以正北、正南方向为基准，描述物体运动的方向，即正北、正南方向与物体运动方向的夹角为方位角．注意事项：方位角在叙述时，一般先说南北，后说东西， 如南偏东30°.但与南北方向夹角为45°时，常简称为东北、东南、西北、西南，如南偏东45°，即为东南方向．如何表示在甲地观察乙地的方位角？1.先找到观测点，然后画出方向指标；2.把观测点和被观测点用线段连接起来；3.度量正北或正南方向的射线和视线之间的角度，就是所求方位角了。例4 如图，货轮O在航行过程中,发现灯塔A在它南偏东60 的方向上.同时,在它北偏东40 、南偏西10 、西北(即北偏西45 )方向上又分别发现了客轮B、货轮C和海岛D.仿照表示灯塔方位的方法，画出表示客轮B、货轮C和海岛D方向的射线.画法:以点O为顶点,表示正北方向的射线为角的一边，画40°的角，使它的另一边OB落在东和北之间.射线OB的方向就是北偏东40°，即客轮B所在的方向.同理，可以画出表示货轮C和海岛D方向的射线. 认识角的互余、互补关系及其性质，确定方位角. 通过余角、补角性质的探索，渗透从特殊到一般、类比、化归的数学思想方法，进一步提高学生的抽象概括能力.
课堂练习 四、巩固训练1.如图所示，∠AOB＝∠COD＝90°，那么∠AOC＝∠BOD，这是根据( ) A．直角都相等 B．同角的余角相等 C．同角的补角相等 D．互为余角的两个角相等B2.如图所示，点O在直线AE上，OB平分∠AOC，∠BOD＝90°，则∠DOE和∠COB的关系是( ) A．互余 B．互补 C．相等 D．和是钝角A3. 如图，下面说法中不正确的是( )A．射线OA表示北偏东30°B．射线OB表示西北方向C．射线OC表示西偏南80°D．射线OD表示南偏东70°C4. 一个角的补角比它的余角的3倍小20°，求这个角的度数．解：设这个角的度数为x°.由题意，得180－x＝3(90－x)－20，解得x＝35.答：这个角的度数为35°.5. 如图，D是直线EF上一点，∠CDE＝90°，∠1＝∠2，哪些角互为余角？哪些角互为补角？解：∠1与∠ADC，∠1与∠BDC，∠2与∠BDC，∠2与∠ADC互为余角；∠1与∠ADF，∠2与∠ADF，∠2与∠BDE，∠1与∠BDE，∠EDC与∠FDC互为补角．
课堂小结 课堂小结
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课题 4.3.3余角和补角 单元 第4 单元 学科 数学 年级 七年级（上）
教材分析 本节是继“角”及“角的比较和运算”之后的内容，是进一步认识角，并认识互为余角、互为补角之间的关系，并为寻找角之间的数量关系打下基础.同时也为以后的学习做好铺垫. 从知识的准备上，学生已认识了角，有了这个基础，对于本节认识做好了铺垫；从应用上，学生经常找角的数量关系，应用价值很大.
核心素养分析 通过余角、补角性质的探索，渗透从特殊到一般、类比、化归的数学思想方法，进一步提高学生的抽象概括能力，发展空间观念和知识运用能力，学会简单的逻辑推理，并能对问题的结论进行合理的猜想.
学习目标 理解余角、补角的意义及其性质. 初步掌握图形语言与符号语言之间的相互转化. 3、运用余角、补角的性质解决一些简单的问题.
重点 认识角的互余、互补关系及其性质.
难点 通过简单的推理，归纳出余角、补角的性质，用规范的语言描述性质.
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
导入新课 一、创设情景，引出课题） 比萨斜塔建于1173年，工程曾间断了两次，历经约二百年才完工，设计为垂直建造，但是在工程开始后不久便由于地基不均匀和土层松软而倾斜，你知道比萨斜塔倾斜多少度角吗？它现在与地面成多少度角？倾斜了约3.97°.它现在与地面成的夹角约是86.03°.这两个角之和是多少 问题1：如图，将三角板（尺）的直角顶点放在直线 上，绕该顶点在同一平面内转动三角板问∠1与∠2的和是否会发生变化？如果两个角的和等于90 (直角)，就说这两个角互为余角，即其中每一个角是另一个角的余角.∵ ∠1+∠2=90°∴∠1与∠2互为余角∵∠1与∠2互为余角∴ ∠1+∠2=90°试一试：判断①32°与58°互为余角。（ ）②∠1＋∠2 ＋∠3= 90°，则∠1、∠2 、∠3 互为余角。（ ）③两个锐角一定互为余角。（ ） √,×,× 问题2：你能类比互为余角的定义得到互为补角的定义吗？如果两个角的和等于180°(平角)，就说这两个角互为补角( 简称为两个角互补 ). 如图，可以说 ∠3 是 ∠4 的补角，或 ∠4是 ∠3 的补角，或 ∠3 和 ∠4 互补.如果两个角的和等于180 (平角)，就说这两个角互为补角，即其中一个角是另一个角的补角. ∵ ∠3+∠4=180°∴∠3与∠4互为补角∵∠3与∠4互为补角 ∴ ∠3+∠4=180°问题3：∠1和∠2互余，∠1也与∠3互余，请问∠2与∠3是什么关系？解：因为∠1+∠2=90°，∠1+∠3=90°所以∠2=90°-∠1，∠3=90°-∠1所以∠2=∠3问题4：若∠1与∠2互余，∠3与∠4互余，如果∠1=∠3，那么∠2和∠4相等吗？解：∠2与∠4相等因为∠1=∠3,所以90°-∠1=90°-∠3所以∠2=∠4性质：同角 (等角) 的余角相等.问题5：对于补角是否也有类似性质？性质：同角 (等角) 的补角相等. 思考自议 运用余角、补角的性质解决一些简单的问题.毛 通过简单的推理，归纳出余角、补角的性质，并能用规范的语言描述性质.
讲授新课 提炼概念典例精讲例1 如图，点A，O， B在同一条直线 上，射线OD和射线OE分别平分∠AOC和∠BOC， 图中哪些角互为余角？解：因为点A，O， B在同一条直线上， 所以 ∠AOC和∠BOC互为补角. 又因为射线OD和射线OE分别平分∠AOC和∠BOC， 所以∠COD+∠COE= ∠AOC+ ∠BOC = (∠AOC+∠BOC)= 90°. 所以，∠COD和∠COE互为余角， 同理，∠AOD和∠BOE，∠AOD和∠COE，∠COD和∠BOE也互为余角.知识：方位角1.定义：以正北、正南方向为基准，描述物体运动的方向，即正北、正南方向与物体运动方向的夹角为方位角．注意事项：方位角在叙述时，一般先说南北，后说东西， 如南偏东30°.但与南北方向夹角为45°时，常简称为东北、东南、西北、西南，如南偏东45°，即为东南方向．如何表示在甲地观察乙地的方位角？1.先找到观测点，然后画出方向指标；2.把观测点和被观测点用线段连接起来；3.度量正北或正南方向的射线和视线之间的角度，就是所求方位角了。例4 如图，货轮O在航行过程中,发现灯塔A在它南偏东60 的方向上.同时,在它北偏东40 、南偏西10 、西北(即北偏西45 )方向上又分别发现了客轮B、货轮C和海岛D.仿照表示灯塔方位的方法，画出表示客轮B、货轮C和海岛D方向的射线.画法:以点O为顶点,表示正北方向的射线为角的一边，画40°的角，使它的另一边OB落在东和北之间.射线OB的方向就是北偏东40°，即客轮B所在的方向.同理，可以画出表示货轮C和海岛D方向的射线. 认识角的互余、互补关系及其性质，确定方位角. 通过余角、补角性质的探索，渗透从特殊到一般、类比、化归的数学思想方法，进一步提高学生的抽象概括能力.
课堂练习 四、巩固训练1.如图所示，∠AOB＝∠COD＝90°，那么∠AOC＝∠BOD，这是根据( ) A．直角都相等 B．同角的余角相等 C．同角的补角相等 D．互为余角的两个角相等B2.如图所示，点O在直线AE上，OB平分∠AOC，∠BOD＝90°，则∠DOE和∠COB的关系是( ) A．互余 B．互补 C．相等 D．和是钝角A3. 如图，下面说法中不正确的是( )A．射线OA表示北偏东30°B．射线OB表示西北方向C．射线OC表示西偏南80°D．射线OD表示南偏东70°C4. 一个角的补角比它的余角的3倍小20°，求这个角的度数．解：设这个角的度数为x°.由题意，得180－x＝3(90－x)－20，解得x＝35.答：这个角的度数为35°.5. 如图，D是直线EF上一点，∠CDE＝90°，∠1＝∠2，哪些角互为余角？哪些角互为补角？解：∠1与∠ADC，∠1与∠BDC，∠2与∠BDC，∠2与∠ADC互为余角；∠1与∠ADF，∠2与∠ADF，∠2与∠BDE，∠1与∠BDE，∠EDC与∠FDC互为补角．
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