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25.3用频率估计概率
(
课后培优练
)
培优第一阶——基础过关练
一、单选题
1．小明在一次用频率估计概率的实验中，从一副去掉大小王的扑克牌中，任意抽取一张，把抽到红桃出现的频率绘制的统计图，则满足题意的统计图是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】
一副去掉大小王的扑克牌有52张，红桃有13张，
任意抽取一张为红桃的概率是，
则统计图中抽中红桃的频率应该在0.25左右．
故选A．
2．在一个不透明的口袋中装有5个红球和若干个白球，它们除颜色外其他完全相同，通过多次摸球实验后发现，摸到红球的频率稳定在0.25附近，则估计口袋中大约共有白球（ ）
A．10 B．15 C．20 D．都不对
【答案】B
【详解】
∵摸到红球的频率稳定在0.25附近，
∴摸到红球的概率为0.25，
∴总球数：5÷0.25=20（个）
∴白球个数：20-5=15（个）
故答案为：B．
3．某射击运动员在同一条件下的射击，结果如下表：
射击总次数n 10 20 50 100 200 500 1000
击中靶心的次数m 9 16 41 88 168 429 861
击中靶心的频率 0.90 0.8 0.82 0.88 0.84 0.858 0.861
根据频率的稳定性，估计这名运动员射击一次时击中靶心的概率约是( )
A．0.90 B．0.82 C．0.84 D．0.861
【答案】D
【详解】
解：根据表格数据可知：
根据频率稳定在0.861，估计这名运动员射击一次时“击中靶心”的概率是0.861．
故选：D．
4．不透明的袋子中装有10个黑球和若干个白球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机摸出一球记下其颜色，再把它放回袋子中摇匀，重复上述过程，共试验400次，其中有300次摸到白球，由此估计袋子中的白球大约有( )
A．6个 B．10个 C．15个 D．30个
【详解】
解：设白球有个，根据题意得：
，
解得：，
经检验是分式方程的解，且符合题意，
∴估计袋子中的白球大约有30个．
故选：D．
5．某人在做抛掷硬币试验中，抛掷n次，正面朝上有m次，若正面朝上的频率是P，则下列说法正确的是( )
A．P一定等于0.5 B．多投一次，P更接近0.5
C．P一定不等于0.5 D．投掷次数逐渐增加，P稳定在0.5附近
【答案】D
【详解】
解：根据频率和概率的关系可知，投掷次数逐渐增加，P稳定在0.5附近，
故选：D．
6．某人在做掷硬币试验时，抛掷m次，正面朝上有n次，则即正面朝上的频率是P＝，下列说法中正确的是（ ）
A．P一定等于 B．抛掷次数逐渐增加，P稳定在附近
C．多抛掷一次，P更接近 D．硬币正面朝上的概率是
【答案】B
【详解】
解：某人在做掷硬币实验时，抛掷m次，正面朝上的有n次（即正面朝上的频率P＝，），则抛掷次数逐渐增加时，p稳定在左右．
故选B．
二、填空题
7．在一个不透明的袋子中装有3个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同．每次从袋子中随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，通过多次重复试验发现摸出红球的频率稳定在0.75附近，则袋子中红球约有______个．
【答案】9
【详解】
解：设袋中红球有x个，
根据题意，得：＝0.75，
解得：x＝9，
经检验：x＝9是分式方程的解，
所以袋中红球有9个，
故答案为：9．
8．如图是康康的健康绿码示意图，用黑白打印机打印于边长为10cm的正方形区域内，为了估计图中黑色部分的总面积，在正方形区域内随机掷点，经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在0.65左右，据此可以估计黑色部分的总面积约为_________cm2．
【答案】65
【详解】
∵经过大量重复实验，发现点落入黑色部分的频率稳定在0.65左右，
∴点落入黑色部分的概率为0.65，
∵边长为10cm的正方形面积为100cm2，
设黑色部分面积为S，则，
解得cm2，
故答案为：65．
9．某射击运动员在同一条件下进行射击，结果如下表：
射击总次数n 10 100 200 500 1000
击中靶心次数m 9 86 168 426 849
击中靶心频率m/n 0.9 0.86 0.84 0.852 0.849
则这名运动员在此条件下击中靶心的概率大约是__________（精确到0.01）．
【答案】0.85
【详解】
解：由击中靶心频率m/n分别为：0.9、0.86、0.84、0.852、0.849，可知随着射击次数的增多,频率都在0.85上下波动，
所以这名运动员在此条件下击中靶心的概率大约是0.85，
故答案为：0.85．
10．掷一枚质地不均匀的骰子，做了大量的重复试验，发现“朝上一面为1点”出现的频率越来越稳定于0.6，那么，掷一次该骰子，“朝上一面为1点”的概率为______．
【答案】0.6
【详解】
解：∵掷一枚质地不均匀的骰子，做了大量的重复试验，“朝上一面为1点”出现的频率越来越稳定于0.6，
∴掷一次该骰子，“朝上一面为1点”的概率为0.6，
故答案为：0.6．
三、解答题
11．某种油菜籽在相同条件下的发芽试验的结果如下：
试验的粒数n 20 80 100 200 400 800 1000 1500
发芽的粒数m 14 54 67 132 264 532 670 1000
发芽的频率 0.7 0.675 0.67 0.66 0.66 0.665 a 0.667
(1)填空：上表中a＝_________；
(2)根据上表，请估计，当n很大时，发芽的频率将会接近多少？（结果保留两位小数）
(3)根据上表，这种油菜籽发芽的概率的估计值是多少？（结果保留两位小数）
【答案】(1)0.67；(2)当n很大时，发芽的频率将会接近0.67；(3)这种油菜籽发芽的概率的估计值约为0.67
【解析】
（1）解：a=670÷1000= 0.67，故答案为：0.67；
（2）当n很大时，发芽的频率将会接近0.67；
（3）从频率的波动情况可以发现频率稳定在0.67附近，在相同条件下，当试验次数很大时，事件发生的频率可作为概率的估计值，所以这种油菜籽发芽的概率的估计值约为0.67．
12．概率与统计在我们日常生活中应用非常广泛，请同学们直接填出下列事件中所要求的结果：
(1)我们平时娱乐的一副标准扑克去掉大小王后剩下的四种花色（红桃、方块、梅花、黑桃）共有52张，如果从中任抽一张得到红桃的概率为______；
(2)盒子里有红黑两种颜色的5个相同的球，如果随机抽取1个球记下颜色，然后放回，再重复这个试验，通过大量重复试验后发现，抽到红球的频率稳定在0.8左右，则盒中红球有______个；
(3)形如的式子称为完全平方式．若有一多项式为，其中的值可以从4张分别写有－3，－6，6，9的卡片中随机抽取，那么正好让这个多项式为完全平方式的概率为______；
(4)如图是由全等的小正方形组成的图案，假设可以随意在图中取点，那么这个点取在阴影部分的概率是______．
【答案】(1)；(2)4；(3)；(4)
【解析】
（1）解：∵一幅扑克牌中有13张红桃，去掉大小王后剩下52张，∴P（抽中红桃）＝．故答案为：．
（2）解：∵抽到红球的频率稳定在0.8左右，∴抽到红球的概率为0.8，∴红球个数为：5×0.8＝4（个）．故答案为：4．
（3）解：∵当k＝±6时，是完全平方式，∴P（完全平方式）＝＝．故答案为：．
（4）解：∵图中有９个小正方形，阴影部分有５个，∴随意在图中取点，这个点取在阴影部分的概率P（阴影）＝．故答案为：．
13．电影公司随机收集了电影的有关数据，经分类整理得到下表：
电影类型 第一类 第二类 第三类 第四类 第五类 第六类
电影部数 140 50 300 200 800 510
好评率 0.4 0.2 0.25 0.2 0.1
说明：好评率是指一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值．
(1)已知第三类电影获得好评的有45部，则______；
(2)如果电影公司从收集的电影中随机选取1部，求抽到的这部电影是第四类电影中的好评电影的概率；
(3)根据前期调查反馈：第一类电影上座率与好评率的关系约为：上座率＝好评率×1.5+0.1，第二类电影上座率与好评率的关系约为：上座率＝好评率×1.5+0.1．现有一部第一类的A电影和一部第二类的B电影将同时在某影院上映．A电影的票价为45元，B电影的票价为40元，该影院的最大放映厅的满座人数为1000人，公司要求排片经理将这两部电影安排在最大放映厅放映，且两部电影每天都要有排片．现有3个场次可供排片，仅从该放映厅的票房收入最高考虑，排片经理应如何分配A、B两部电影的场次，以使得当天的票房收入最高？
【答案】(1)；(2)；(3)应安排A电影两个场次B电影一个场次
【解析】
(1)解：由题意可知，；
(2)∵总的电影部数是：（部），
第四类电影中获得好评的有（部），
∴P（这部电影是获得好评的第四类电影）
(3)A电影上座率，
B电影上座率，
排一场A电影收入（元），
排一场B电影收入（元），
由于有3个场次可供排片，为使当天的票房收入最高，应安排A电影两个场次B电影一个场次．
培优第二阶——拓展培优练
一、单选题
1．如图，小红在一张长为6m，宽为5m的长方形纸上画了一个老虎图案，他想知道该图案的面积大小，于是想了这样一个办法，朝长方形的纸上扔小球，并记录小球落在老虎图案上的次数（球扔在界线上或长方形纸外不计试验结果），他将若干次有效试验的结果整理成统计表，由此他估计此图案的面积大约为（ ）
试验次数m 60 120 180 240 300 360 420 480
小球落在图案内的次数n 22 38 65 83 102 126 151 168
小球落在图案内的频率 0.37 0.32 0.36 0.35 0.34 0.35 0.36 0.35
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】
解：设老虎图案的面积为，由已知条件，可知长方形纸张的面积为，
根据几何概率公式，小球落在老虎图案上的概率为，
当事件A试验次数足够多，即样本足够大时，其频率可作为事件A发生的概率的估计值，
小球落在老虎图案上的概率大约为0.35，
所以，解得．
故选：B．
2．一只不透明的袋子中装有若干个白球和红球，共计20个，这些球除颜色外都相同．将球搅匀，每次从中随机摸出一个球，记下颜色后放回、再搅匀、再摸球，通过大量重复摸球试验后，发现摸到白球的频率稳定于0.3，由此可估计袋子中红球的个数约为（ ）
A．6 B．14 C．5 D．20
【答案】B
【详解】
解：红球的个数为：（个），
故选：B．
3．甲、乙两名同学在做“用频率估计概率”的试验时，绘出的某一结果出现的频率折线图如图所示，则符合这一结果的试验可能是（ ）
A．抛一枚硬币，出现正面朝上
B．掷一个正六面体的骰子，出现点数6朝上
C．一副去掉大小王的扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃
D．从一个装有2个红球、1个黑球的袋子中任取一球，取到的是黑球
【答案】C
【详解】
解：由图看出，当实验次数很多时，频率在0.25，即附近小幅波动，
∴，
A抛一枚硬币，出现正面朝上的概率是，故选项A不合题意；
B掷一个正六面体的骰子，出现点数6朝上的概率是，故选项B不合题意；
C一副去掉大小王的扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃的概率是，符合这一数值的是C选项；
D从一个装有2个红球、1个黑球的袋子中任取一球，取到的是黑球的概率是，故选项D不合题意．
故选C．
4．某校九年级学生，在学习“用频率估计概率”时，五个班级的同学做抛掷一枚硬币的试验，并将所得的试验数据整理如下表：
试验班级 抛掷次数n “正面向上”的次数m “正面向上”的频率
九年级（1）班 2048 1061 0.5181
九年级（2）班 4040 2048 0.5069
九年级（3）班 10000 4979 0.4979
九年级（4）班 12000 6019 0.5016
九年级（5）班 24000 12012 0.5005
下面有四个推断：
①当抛掷次数是10000时，“正面向上”的次数是4979，所以“正面向上”的概率是0.4979；
②当抛掷次数是12000时，“正面向上”的次数是6019，所以“正面向上”的概率是0.5016；
③随着试验次数的增加，“正面向上”的频率总在0.5005附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“正面向上”的概率是0.5005；
④若再次做此试验，则当抛掷次数为30000时，“正面向上”的频率一定是0.5005．
其中合理的是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
【答案】C
【详解】
解：①当抛掷次数是1000时，“正面向上”的次数是4979，“正面向上”的频率是0.4979，但“正面向上”的概率不一定是0.4979，故本小题推断不合理；
②当抛掷次数是1200时，“正面向上”的次数是6019，“正面向上”的频率是0.5016，但“正面向上”的概率不一定是0.5016，故本小题推断不合理；
③随着试验次数的增加，“正面向上”的频率总在0.5005附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“正面向上”的概率是0.5005，故本小题推断合理；
④若再次做此试验，则当抛掷次数为30000时，“正面向上”的频率不一定是0.5005，故本小题推断不合理；
故选：C．
5．嘉淇在一次实验中，把四张扑克牌洗匀后，背面向上放在桌面上，并从中随机抽取一张，记录牌面上的数字出现的频率，并制成折线统计图，则符合这个结果的实验可能是（ ）
A．牌面数字是2的倍数 B．牌面数字是3的倍数
C．牌面数字是4的倍数 D．牌面数字是5的倍数
【答案】B
【详解】
解：A、牌面数字是2的倍数的概率为，故本选项不符合题意；
B、牌面数字是3的倍数的概率是，故本选项符合题意；
C、牌面数字是4的倍数的概率为，故本选项不符合题意；
D、牌面数字是5的倍数的概率为0，故本选项不符合题意；
故选：B.
6．某学习小组进行“用频率估计概率”的试验时，统计了某一结果出现的频率如下表，则符合这一结果的试验可能是（ ）
试验次数 100 200 500 800 1000 1200
实验频率 0.343 0.326 0.335 0.330 0.331 0.330
A．先后两次抛掷一枚质地均匀的硬币，两次都是反面朝上
B．先后两次掷一枚质地均匀的骰子，两次的点数和不大于6
C．将一个篮球和一个足球随机放入三个不同的篮子中，恰有一个篮子为空
D．从两男两女四人中抽取两人参加朗读比赛，两人性别相同
【答案】D
【详解】
解：由表格可知：此实验的频率最后稳定在0.33左右，
如下树状图：
故先后两次抛掷一枚质地均匀的硬币，两次都是反面朝上的概率为，与表格不符，不符合题意；
B．如下表：
1 2 3 4 5 6
1 2 3 4 5 6 7
2 3 4 5 6 7 8
3 4 5 6 7 8 9
4 5 6 7 8 9 10
5 6 7 8 9 10 11
6 7 8 9 10 11 12
先后两次掷一枚质地均匀的骰子，两次的点数和不大于6的概率为，与表格不符，不符合题意；
C．将一个篮球和一个足球随机放入三个不同的篮子中，恰有一个篮子为空的概率为1，与表格不相符，不符合题意；
D．如下树状图：
故从两男两女四人中抽取两人参加朗读比赛，两人性别相同的概率为，与表格相符，符合题意；
故选：D．
二、填空题
7．某鱼塘养了1000条草鱼、500条鲤鱼、若干条鲫鱼，鱼塘主通过多次捕捞试验发现，捕捞到鲫鱼的频率稳定在0.25左右．若鱼塘主随机在鱼塘里捕捞一条鱼，捕捞到草鱼的概率约为______．
【答案】0.5
【详解】
解：∵捕捞到鲫鱼的频率稳定在0.25左右，
设鲫鱼的条数为x，可得：
；解得：x=500，
经检验：x=500是原方程的解且符合实际意义
∴由题意可得，捞到草鱼的概率约为:
，
故答案为：0.5.
8．科研人员对某玉米种子在相同条件下的发芽情况进行试验，统计结果如下表：
试验的种子数n（单位：粒） 500 800 1000 2000 3000
发芽的频数m（单位：粒） 458 764 948 1902 2849
发芽的频率 0.916 0.955 0.948 0.9510 0.950
根据统计结果，该玉米种子发芽的概率估计值为______（结果精确到0.01）．
【答案】0.95
【详解】
解：观察表格得到这种油菜籽发芽的频率稳定在0.95附近，
则这种油菜籽发芽的概率是0.95，
故答案为：0.95．
9．在一个不透明的盒子里，装有4个黑球和若干个白球，它们除颜色外没有任何其他区别，摇匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复，共摸球40次，其中10次摸到黑球，则盒子中大约有白球_______个．
【答案】12
【详解】
解：∵共摸了40次，其中10次摸到黑球，
∴有30次摸到白球，
∴摸到黑球与摸到白球的次数之比为1：3，
∴口袋中黑球和白球个数之比为1：3，
4÷=12（个）．
故答案为：12．
10．在一个不透明的口袋中，装有若干个红球和6个黄球，它们除颜色外没有任何区别，摇匀后从中随机摸出一个球，记下颜色后再放回口袋中，通过大量重复摸球试验发现，摸到黄球的频率是0.3，摸到红球的频率是 _____，则估计盒子中大约有红球 _____个．
【答案】 0.7 14
【详解】
解：摸到黄球的频率是0.3，摸到红球的频率是，
设有红球x个，
根据题意得：，
解得：x＝14，
经检验，x＝14是原方程的解．
故答案是：0.7，14．
三、解答题
11．一个黑箱子里装有红，白两种颜色的球4只，除颜色外完全相同．小明将球搅匀后从箱子中随机摸出一个球，记下颜色，形把它放回不斯重复实验，将多次实验结果列出如下频率统计表．
摸球次数 100 180 600 1000 1500
摸到白球次数 24 46 149 251 371
摸到白球频率 0.24 0.256 0.248 0.251 0.247
(1)当揽球次数很大时，摸到白球的频率将会接近__________（精确到0.01），若从箱子中摸一次球，摸到红球的概率是________．
(2)从该箱子里随机摸出一个球，不放回，再摸出一个球．用树状图或列表法求出摸到一个红球一个白球的概率．
【答案】(1)0.25，；(2)
【解析】
（1）解：由表格知，当摸球次数很大时，摸到白球的频率将会接近0.25，从箱子中摸一次球，摸到红球的概率为1﹣0.25＝0.75＝，故答案为：0.25、；
（2）解：由题可知，白球的个数（个），红球个数（个），记红球为红1，红2，红3列出表格为：
白 红1 红2 红3
白 白红1 白红2 白红3
红1 红1白 红1红2 红1红3
红2 红2白 红2红1 红2红3
红3 红3白 红3红1 红3红2
共有12种情况，其中一红一白的有6种，所以概率为
12．在一个不透明的口袋里装有若干个相同的红球，为了估计袋中红球的数量，九（2）班学生在数学实验室分组做摸球实验：每组先将15个与红球大小形状完全相同的白球装入袋中，搅匀后从中随机摸出一个球并记下颜色，再把它放回袋中，不断重复．下表是这次活动统计汇总各小组数据后获得的全班数据统计表：
摸球的次数s 150 300 600 900 1200 1500
摸到红球的频数n 63 123 247 365 484 603
摸到红球的频率 0.420 0.410 0.412 0.406 0.403 a
(1)a＝______．
(2)请估计：当次数s很大时，摸到红球的频率将会接近______（精确到0.01）；请推测：摸到红球的概率是______（精确到0.1）．
(3)求口袋中红球的数量．
【答案】(1)0.402；(2)0.40，0.4；(3)口袋中有红球10个．
【解析】
（1）解： a=603÷1500=0.402，故答案为0.402；
（2）解：当次数s很大时，摸到红球的频率将会接近0.40，推测摸到红球的概率是0.4，故答案为：0.40，0.4；
（3）解：设口袋中有红球x个，则，解得x=10，∴口袋中有红球10个．
13．【数学试验】
数学学习小组在学习“用频率估计概率”的数学活动课上，做投掷骰子（质地均匀的正方体)试验，他们共做了100次试验，试验的结果如下：
向上点数 1 2 3 4 5 6
出现次数 12 19 15 18 20 x
(1)求表格中x的值；
(2)计算“3点朝上”的频率．
(3) 【数学发现】数学学习小组针对数学试验的结果提出结论：“根据试验及‘用频率估计概率’的知识，出现1点朝上的概率是12％．”你认为数学学习小组的结论正确吗？并说明理由．
(4) 【结论应用】在一个不透明的盒子里，装有40个黑球和若干个白球，它们除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出一个球，记下颜色再把它放回盒子中，不断重复试验，统计结果发现，随着试验次数越来越多，摸到黑球的频率逐渐稳定在0.2左右．据此估计盒子中大约有白球多少个？
【答案】(1)16；(2)；(3)不正确，理由见详解；(4)160
【解析】
(1)解：由题意得：；
(2)解：3点朝上出现的次数是15，
所以3点朝上出现的频率；
(3)答：数学学习小组的结论不正确，因为1点朝上的频率为，不能说明1点朝上这一事件发生的概率就是，只有当实验的次数足够多时，该事件发生的频率才稳定在事件发生的概率附近，才可以将这个频率的稳定值作为该事件发生的概率；
(4)解：设盒子中大约有白球个，根据题意得：
，
解得：．
经检验是原方程的解，
答：估计盒子中大约有白球160个．
培优第三阶——中考沙场点兵
一、单选题
1．（2020·辽宁盘锦·中考真题）为了解某地区九年级男生的身高情况，随机抽取了该地区1000名九年级男生的身高数据，统计结果如下．
身高
人数 60 260 550 130
根据以上统计结果，随机抽取该地区一名九年级男生，估计他的身高不低于的概率是（ ）A．0.32 B．0.55 C．0.68 D．0.87
【答案】C
【详解】
解：样本中身高不低于170cm的频率，
所以估计抽查该地区一名九年级男生的身高不低于170cm的概率是0.68．
故选：C．
2．（2020·江苏徐州·中考真题）在一个不透明的袋子里装有红球、黄球共个，这些球除颜色外都相同．小明通过多次实验发现，摸出红球的频率稳定在左右，则袋子中红球的个数最有可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】
解：设袋子中红球有x个，
根据题意，得： 解得
答：袋子中红球有5个．
故选：A．
3．（2020·湖南邵阳·中考真题）如图①所示，平整的地面上有一个不规则图案（图中阴影部分），小明想了解该图案的面积是多少，他采取了以下办法：用一个长为，宽为的长方形，将不规则图案围起来，然后在适当位置随机地朝长方形区域扔小球，并记录小球落在不规则图案上的次数（球扔在界线上或长方形区域外不计实验结果），他将若干次有效实验的结果绘制成了②所示的折线统计图，由此他估计不规则图案的面积大约为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】
假设不规则图案面积为x，
由已知得：长方形面积为20，
根据几何概率公式小球落在不规则图案的概率为： ，
当事件A实验次数足够多，即样本足够大时，其频率可作为事件A发生的概率估计值，故由折线图可知，小球落在不规则图案的概率大约为0.35，
综上有：，解得．
故选：B．
4．（2020·湖南湘潭·中考真题）为庆祝建党99周年，某校八年级（3）班团支部为了让同学们进一步了解中国科技的发展，给班上同学布置了一项课外作业，从选出的以下五个内容中任选部分内容进行手抄报的制作：、“北斗卫星”：、“时代”；、“智轨快运系统”；、“东风快递”；、“高铁”．统计同学们所选内容的频数，绘制如图所示的折线统计图，则选择“时代”的频率是（ ）
A．0.25 B．0.3 C．25 D．30
【答案】B
【详解】
由图知，八年级（3）班的全体人数为：（人）
选择“5G时代”的人数为：30人
∴选择“时代”的频率是：
故选：B．
5．（2019·江苏泰州·中考真题）小明和同学做“抛掷质地均匀的硬币试验”获得的数据如表：
抛掷次数 100 200 300 400 500
正面朝上的频数 53 98 156 202 244
若抛掷硬币的次数为1000，则“正面朝上”的频数最接近（ ）
A．20 B．300 C．500 D．800
【答案】C
【详解】
观察表格发现：随着实验次数的增加，正面朝上的频率逐渐稳定到0.5附近，
所以抛掷硬币的次数为1000，则“正面朝上”的频数最接近次，故选C．
6．（2019·海南·中考真题）某路口的交通信号灯每分钟红灯亮30秒，绿灯亮25秒，黄灯亮5秒，当小明到达该路口时，遇到绿灯的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】
解：每分钟红灯亮30秒，绿灯亮25秒，黄灯亮5秒，
当小明到达该路口时，遇到绿灯的概率，
故选D．
二、填空题
7．（2022·甘肃兰州·中考真题）2022年3月12日是我国第44个植树节，某林业部门为了考察某种幼树在一定条件下的移植成活率，在同等条件下，对这种幼树进行大量移植，并统计成活情况，下表是这种幼树移植过程中的一组统计数据：
幼树移植数（棵） 100 1000 5000 8000 10000 15000 20000
幼树移植成活数（棵） 87 893 4485 7224 8983 13443 18044
幼树移植成活的频率 0.870 0.893 0.897 0.903 0.898 0.896 0.902
估计该种幼树在此条件下移植成活的概率是______．（结果精确到0.1）
【答案】0.9
【详解】
∵幼树移植数20000时，幼树移植成活的频率是0.902，
∴估计该种幼树在此条件下移植成活的概率为0.902，精确到0.1，即为0.9，
故答案为：0.9．
8．（2022·辽宁·中考真题）在一个不透明的口袋中装有红球和白球共8个，这些球除颜色外都相同，将口袋中的球搅匀后，从中随机摸出一个球，记下它的颜色后再放回口袋中，不断重复这一过程，共摸了100次球，发现有75次摸到红球，则口袋中红球的个数约为___________．
【答案】6
【详解】
解：估计这个口袋中红球的数量为8×=6（个）．
故答案为：6．
9．（2022·广西桂林·中考真题）当重复试验次数足够多时，可用频率来估计概率．历史上数学家皮尔逊（Pearson）曾在实验中掷均匀的硬币24000次，正面朝上的次数是12012次，频率约为0.5，则掷一枚均匀的硬币，正面朝上的概率是 _____．
【答案】0.5
【详解】
解：当重复试验次数足够多时，频率逐渐稳定在0.5左右，
∴掷一枚均匀的硬币，正面朝上的概率是0.5．
故答案为：0.5．
10．（2022·四川自贡·中考真题）为了比较甲、乙两鱼池中的鱼苗数目，小明从两鱼池中各捞出100条鱼苗，每条做好记号，然后放回原鱼池；一段时间后，在同样的地方，小明再从甲、乙两鱼池中各捞出100条鱼苗，发现其中有记号的鱼苗分别是5条、10条，可以初步估计鱼苗数目较多的是____________鱼池（填甲或乙）
【答案】甲
【详解】
解：设甲鱼池鱼的总数为x条，则
鱼的概率近似，解得x＝2000；
设乙鱼池鱼的总数为y条，则
鱼的概率近似，解得y＝1000；
，
可以初步估计鱼苗数目较多的是甲鱼池，
故答案为：甲．
三、解答题
11．（2021·湖南长沙·中考真题）“网红”长沙入选2021年“五一”假期热门旅游城市．本市某景点为吸引游客，设置了一种游戏，其规则如下：凡参与游戏的游客从一个装有12个红球和若干个白球（每个球除颜色外，其他都相同）的不透明纸箱中，随机摸出一个球，摸到红球就可免费得到一个景点吉祥物．据统计参与这种游戏的游客共有60000人，景点一共为参与该游戏的游客免费发放了景点吉祥物15000个．
（1）求参与该游戏可免费得到景点吉祥物的频率；
（2）请你估计纸箱中白球的数量接近多少？
【答案】（1）；（2）纸箱中白球的数量接近36个．
【详解】
解：（1）由题意得：，
答：参与该游戏可免费得到景点吉祥物的频率为；
（2）设纸箱中白球的数量为个，
由（1）可知，随机摸出一个球是红球的概率约为，
则，解得，
经检验，是所列分式方程的解，且符合题意，
答：纸箱中白球的数量接近36个．
12．（2021·甘肃武威·中考真题）一个不透明的箱子里装有3个红色小球和若干个白色小球，每个小球除颜色外其他完全相同，每次把箱子里的小球摇匀后随机摸出一个小球，记下颜色后再放回箱子里，通过大量重复实验后，发现摸到红色小球的频率稳定于0.75左右．
（1）请你估计箱子里白色小球的个数；
（2）现从该箱子里摸出1个小球，记下颜色后放回箱子里，摇匀后，再摸出1个小球，求两次摸出的小球颜色恰好不同的概率（用画树状图或列表的方法）．
【答案】（1）1个；（2）
【详解】
解：（1）∵通过多次摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在0.75左右，
∴估计摸到红球的概率为0.75，
设白球有个，依题意得；解得，．
经检验：是原方程的解，且符合题意，
所以箱子里可能有1个白球；
（2）列表如下：
红 红 红 白
红 （红，红） （红，红） （红，红） （红，白）
红 （红，红） （红，红） （红，红） （红，白）
红 （红，红） （红，红） （红，红） （红，白）
白 （白，红） （白，红） （白，红） （白，白）
或画树状图如下：
∵一共有16种等可能的结果，两次摸出的小球颜色恰好不同的有：
（红，白）、（红，白）、（红，白）、（白，红）、（白，红）、（白，红）共6种．
∴两次摸出的小球恰好颜色不同的概率．
13．（2020·江苏泰州·中考真题）一只不透明袋子中装有个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同，某课外学习小组做摸球试验：将球搅匀后从中任意摸出个球，记下颜色后放回、搅匀，不断重复这个过程，获得数据如下：
（1）该学习小组发现，摸到白球的频率在一个常数附近摆动，这个常数是______（精确到），由此估出红球有______个．
（2）现从该袋中摸出个球，请用树状图或列表的方法列出所有等可能的结果，并求恰好摸到个白球，个红球的概率．
【答案】（1）0.33，2；（2）．
【详解】
解：（1）随着摸球次数的越来越多，频率越来越靠近0.33，因此接近的常数就是0.33；
设红球由个，由题意得：
，解得：，经检验：是分式方程的解；
故答案为：0.33，2；
（2）画树状图得：
∵共有9种等可能的结果，摸到一个白球，一个红球有4种情况，
∴摸到一个白球一个红球的概率为：；
故答案为：．
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25.3用频率估计概率
(
课后培优练
)
培优第一阶——基础过关练
一、单选题
1．小明在一次用频率估计概率的实验中，从一副去掉大小王的扑克牌中，任意抽取一张，把抽到红桃出现的频率绘制的统计图，则满足题意的统计图是（ ）
A． B．
C． D．
2．在一个不透明的口袋中装有5个红球和若干个白球，它们除颜色外其他完全相同，通过多次摸球实验后发现，摸到红球的频率稳定在0.25附近，则估计口袋中大约共有白球（ ）
A．10 B．15 C．20 D．都不对
3．某射击运动员在同一条件下的射击，结果如下表：
射击总次数n 10 20 50 100 200 500 1000
击中靶心的次数m 9 16 41 88 168 429 861
击中靶心的频率 0.90 0.8 0.82 0.88 0.84 0.858 0.861
根据频率的稳定性，估计这名运动员射击一次时击中靶心的概率约是( )
A．0.90 B．0.82 C．0.84 D．0.861
4．不透明的袋子中装有10个黑球和若干个白球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机摸出一球记下其颜色，再把它放回袋子中摇匀，重复上述过程，共试验400次，其中有300次摸到白球，由此估计袋子中的白球大约有( )
A．6个 B．10个 C．15个 D．30个
5．某人在做抛掷硬币试验中，抛掷n次，正面朝上有m次，若正面朝上的频率是P，则下列说法正确的是( )
A．P一定等于0.5 B．多投一次，P更接近0.5
C．P一定不等于0.5 D．投掷次数逐渐增加，P稳定在0.5附近
6．某人在做掷硬币试验时，抛掷m次，正面朝上有n次，则即正面朝上的频率是P＝，下列说法中正确的是（ ）
A．P一定等于 B．抛掷次数逐渐增加，P稳定在附近
C．多抛掷一次，P更接近 D．硬币正面朝上的概率是
二、填空题
7．在一个不透明的袋子中装有3个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同．每次从袋子中随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，通过多次重复试验发现摸出红球的频率稳定在0.75附近，则袋子中红球约有______个．
8．如图是康康的健康绿码示意图，用黑白打印机打印于边长为10cm的正方形区域内，为了估计图中黑色部分的总面积，在正方形区域内随机掷点，经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在0.65左右，据此可以估计黑色部分的总面积约为_________cm2．
9．某射击运动员在同一条件下进行射击，结果如下表：
射击总次数n 10 100 200 500 1000
击中靶心次数m 9 86 168 426 849
击中靶心频率m/n 0.9 0.86 0.84 0.852 0.849
则这名运动员在此条件下击中靶心的概率大约是__________（精确到0.01）．
10．掷一枚质地不均匀的骰子，做了大量的重复试验，发现“朝上一面为1点”出现的频率越来越稳定于0.6，那么，掷一次该骰子，“朝上一面为1点”的概率为______．
三、解答题
11．某种油菜籽在相同条件下的发芽试验的结果如下：
试验的粒数n 20 80 100 200 400 800 1000 1500
发芽的粒数m 14 54 67 132 264 532 670 1000
发芽的频率 0.7 0.675 0.67 0.66 0.66 0.665 a 0.667
(1)填空：上表中a＝_________；
(2)根据上表，请估计，当n很大时，发芽的频率将会接近多少？（结果保留两位小数）
(3)根据上表，这种油菜籽发芽的概率的估计值是多少？（结果保留两位小数）
12．概率与统计在我们日常生活中应用非常广泛，请同学们直接填出下列事件中所要求的结果：
(1)我们平时娱乐的一副标准扑克去掉大小王后剩下的四种花色（红桃、方块、梅花、黑桃）共有52张，如果从中任抽一张得到红桃的概率为______；
(2)盒子里有红黑两种颜色的5个相同的球，如果随机抽取1个球记下颜色，然后放回，再重复这个试验，通过大量重复试验后发现，抽到红球的频率稳定在0.8左右，则盒中红球有______个；
(3)形如的式子称为完全平方式．若有一多项式为，其中的值可以从4张分别写有－3，－6，6，9的卡片中随机抽取，那么正好让这个多项式为完全平方式的概率为______；
(4)如图是由全等的小正方形组成的图案，假设可以随意在图中取点，那么这个点取在阴影部分的概率是______．
13．电影公司随机收集了电影的有关数据，经分类整理得到下表：
电影类型 第一类 第二类 第三类 第四类 第五类 第六类
电影部数 140 50 300 200 800 510
好评率 0.4 0.2 0.25 0.2 0.1
说明：好评率是指一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值．
(1)已知第三类电影获得好评的有45部，则______；
(2)如果电影公司从收集的电影中随机选取1部，求抽到的这部电影是第四类电影中的好评电影的概率；
(3)根据前期调查反馈：第一类电影上座率与好评率的关系约为：上座率＝好评率×1.5+0.1，第二类电影上座率与好评率的关系约为：上座率＝好评率×1.5+0.1．现有一部第一类的A电影和一部第二类的B电影将同时在某影院上映．A电影的票价为45元，B电影的票价为40元，该影院的最大放映厅的满座人数为1000人，公司要求排片经理将这两部电影安排在最大放映厅放映，且两部电影每天都要有排片．现有3个场次可供排片，仅从该放映厅的票房收入最高考虑，排片经理应如何分配A、B两部电影的场次，以使得当天的票房收入最高？
培优第二阶——拓展培优练
一、单选题
1．如图，小红在一张长为6m，宽为5m的长方形纸上画了一个老虎图案，他想知道该图案的面积大小，于是想了这样一个办法，朝长方形的纸上扔小球，并记录小球落在老虎图案上的次数（球扔在界线上或长方形纸外不计试验结果），他将若干次有效试验的结果整理成统计表，由此他估计此图案的面积大约为（ ）
试验次数m 60 120 180 240 300 360 420 480
小球落在图案内的次数n 22 38 65 83 102 126 151 168
小球落在图案内的频率 0.37 0.32 0.36 0.35 0.34 0.35 0.36 0.35
A． B． C． D．
2．一只不透明的袋子中装有若干个白球和红球，共计20个，这些球除颜色外都相同．将球搅匀，每次从中随机摸出一个球，记下颜色后放回、再搅匀、再摸球，通过大量重复摸球试验后，发现摸到白球的频率稳定于0.3，由此可估计袋子中红球的个数约为（ ）
A．6 B．14 C．5 D．20
3．甲、乙两名同学在做“用频率估计概率”的试验时，绘出的某一结果出现的频率折线图如图所示，则符合这一结果的试验可能是（ ）
A．抛一枚硬币，出现正面朝上
B．掷一个正六面体的骰子，出现点数6朝上
C．一副去掉大小王的扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃
D．从一个装有2个红球、1个黑球的袋子中任取一球，取到的是黑球
4．某校九年级学生，在学习“用频率估计概率”时，五个班级的同学做抛掷一枚硬币的试验，并将所得的试验数据整理如下表：
试验班级 抛掷次数n “正面向上”的次数m “正面向上”的频率
九年级（1）班 2048 1061 0.5181
九年级（2）班 4040 2048 0.5069
九年级（3）班 10000 4979 0.4979
九年级（4）班 12000 6019 0.5016
九年级（5）班 24000 12012 0.5005
下面有四个推断：
①当抛掷次数是10000时，“正面向上”的次数是4979，所以“正面向上”的概率是0.4979；
②当抛掷次数是12000时，“正面向上”的次数是6019，所以“正面向上”的概率是0.5016；
③随着试验次数的增加，“正面向上”的频率总在0.5005附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“正面向上”的概率是0.5005；
④若再次做此试验，则当抛掷次数为30000时，“正面向上”的频率一定是0.5005．
其中合理的是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
5．嘉淇在一次实验中，把四张扑克牌洗匀后，背面向上放在桌面上，并从中随机抽取一张，记录牌面上的数字出现的频率，并制成折线统计图，则符合这个结果的实验可能是（ ）
A．牌面数字是2的倍数 B．牌面数字是3的倍数
C．牌面数字是4的倍数 D．牌面数字是5的倍数
6．某学习小组进行“用频率估计概率”的试验时，统计了某一结果出现的频率如下表，则符合这一结果的试验可能是（ ）
试验次数 100 200 500 800 1000 1200
实验频率 0.343 0.326 0.335 0.330 0.331 0.330
A．先后两次抛掷一枚质地均匀的硬币，两次都是反面朝上
B．先后两次掷一枚质地均匀的骰子，两次的点数和不大于6
C．将一个篮球和一个足球随机放入三个不同的篮子中，恰有一个篮子为空
D．从两男两女四人中抽取两人参加朗读比赛，两人性别相同
二、填空题
7．某鱼塘养了1000条草鱼、500条鲤鱼、若干条鲫鱼，鱼塘主通过多次捕捞试验发现，捕捞到鲫鱼的频率稳定在0.25左右．若鱼塘主随机在鱼塘里捕捞一条鱼，捕捞到草鱼的概率约为______．
8．科研人员对某玉米种子在相同条件下的发芽情况进行试验，统计结果如下表：
试验的种子数n（单位：粒） 500 800 1000 2000 3000
发芽的频数m（单位：粒） 458 764 948 1902 2849
发芽的频率 0.916 0.955 0.948 0.9510 0.950
根据统计结果，该玉米种子发芽的概率估计值为______（结果精确到0.01）．
9．在一个不透明的盒子里，装有4个黑球和若干个白球，它们除颜色外没有任何其他区别，摇匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复，共摸球40次，其中10次摸到黑球，则盒子中大约有白球_______个．
10．在一个不透明的口袋中，装有若干个红球和6个黄球，它们除颜色外没有任何区别，摇匀后从中随机摸出一个球，记下颜色后再放回口袋中，通过大量重复摸球试验发现，摸到黄球的频率是0.3，摸到红球的频率是 _____，则估计盒子中大约有红球 _____个．
三、解答题
11．一个黑箱子里装有红，白两种颜色的球4只，除颜色外完全相同．小明将球搅匀后从箱子中随机摸出一个球，记下颜色，形把它放回不斯重复实验，将多次实验结果列出如下频率统计表．
摸球次数 100 180 600 1000 1500
摸到白球次数 24 46 149 251 371
摸到白球频率 0.24 0.256 0.248 0.251 0.247
(1)当揽球次数很大时，摸到白球的频率将会接近__________（精确到0.01），若从箱子中摸一次球，摸到红球的概率是________．
(2)从该箱子里随机摸出一个球，不放回，再摸出一个球．用树状图或列表法求出摸到一个红球一个白球的概率．
12．在一个不透明的口袋里装有若干个相同的红球，为了估计袋中红球的数量，九（2）班学生在数学实验室分组做摸球实验：每组先将15个与红球大小形状完全相同的白球装入袋中，搅匀后从中随机摸出一个球并记下颜色，再把它放回袋中，不断重复．下表是这次活动统计汇总各小组数据后获得的全班数据统计表：
摸球的次数s 150 300 600 900 1200 1500
摸到红球的频数n 63 123 247 365 484 603
摸到红球的频率 0.420 0.410 0.412 0.406 0.403 a
(1)a＝______．
(2)请估计：当次数s很大时，摸到红球的频率将会接近______（精确到0.01）；请推测：摸到红球的概率是______（精确到0.1）．
(3)求口袋中红球的数量．
13．【数学试验】
数学学习小组在学习“用频率估计概率”的数学活动课上，做投掷骰子（质地均匀的正方体)试验，他们共做了100次试验，试验的结果如下：
向上点数 1 2 3 4 5 6
出现次数 12 19 15 18 20 x
(1)求表格中x的值；
(2)计算“3点朝上”的频率．
(3) 【数学发现】数学学习小组针对数学试验的结果提出结论：“根据试验及‘用频率估计概率’的知识，出现1点朝上的概率是12％．”你认为数学学习小组的结论正确吗？并说明理由．
(4) 【结论应用】在一个不透明的盒子里，装有40个黑球和若干个白球，它们除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出一个球，记下颜色再把它放回盒子中，不断重复试验，统计结果发现，随着试验次数越来越多，摸到黑球的频率逐渐稳定在0.2左右．据此估计盒子中大约有白球多少个？
培优第三阶——中考沙场点兵
一、单选题
1．（2020·辽宁盘锦·中考真题）为了解某地区九年级男生的身高情况，随机抽取了该地区1000名九年级男生的身高数据，统计结果如下．
身高
人数 60 260 550 130
根据以上统计结果，随机抽取该地区一名九年级男生，估计他的身高不低于的概率是（ ）
2．（2020·江苏徐州·中考真题）在一个不透明的袋子里装有红球、黄球共个，这些球除颜色外都相同．小明通过多次实验发现，摸出红球的频率稳定在左右，则袋子中红球的个数最有可能是（ ）
A． B． C． D．
3．（2020·湖南邵阳·中考真题）如图①所示，平整的地面上有一个不规则图案（图中阴影部分），小明想了解该图案的面积是多少，他采取了以下办法：用一个长为，宽为的长方形，将不规则图案围起来，然后在适当位置随机地朝长方形区域扔小球，并记录小球落在不规则图案上的次数（球扔在界线上或长方形区域外不计实验结果），他将若干次有效实验的结果绘制成了②所示的折线统计图，由此他估计不规则图案的面积大约为（ ）
A． B． C． D．
4．（2020·湖南湘潭·中考真题）为庆祝建党99周年，某校八年级（3）班团支部为了让同学们进一步了解中国科技的发展，给班上同学布置了一项课外作业，从选出的以下五个内容中任选部分内容进行手抄报的制作：、“北斗卫星”：、“时代”；、“智轨快运系统”；、“东风快递”；、“高铁”．统计同学们所选内容的频数，绘制如图所示的折线统计图，则选择“时代”的频率是（ ）
A．0.25 B．0.3 C．25 D．30
5．（2019·江苏泰州·中考真题）小明和同学做“抛掷质地均匀的硬币试验”获得的数据如表：
抛掷次数 100 200 300 400 500
正面朝上的频数 53 98 156 202 244
若抛掷硬币的次数为1000，则“正面朝上”的频数最接近（ ）
A．20 B．300 C．500 D．800
6．（2019·海南·中考真题）某路口的交通信号灯每分钟红灯亮30秒，绿灯亮25秒，黄灯亮5秒，当小明到达该路口时，遇到绿灯的概率是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
7．（2022·甘肃兰州·中考真题）2022年3月12日是我国第44个植树节，某林业部门为了考察某种幼树在一定条件下的移植成活率，在同等条件下，对这种幼树进行大量移植，并统计成活情况，下表是这种幼树移植过程中的一组统计数据：
幼树移植数（棵） 100 1000 5000 8000 10000 15000 20000
幼树移植成活数（棵） 87 893 4485 7224 8983 13443 18044
幼树移植成活的频率 0.870 0.893 0.897 0.903 0.898 0.896 0.902
估计该种幼树在此条件下移植成活的概率是______．（结果精确到0.1）
8．（2022·辽宁·中考真题）在一个不透明的口袋中装有红球和白球共8个，这些球除颜色外都相同，将口袋中的球搅匀后，从中随机摸出一个球，记下它的颜色后再放回口袋中，不断重复这一过程，共摸了100次球，发现有75次摸到红球，则口袋中红球的个数约为___________．
9．（2022·广西桂林·中考真题）当重复试验次数足够多时，可用频率来估计概率．历史上数学家皮尔逊（Pearson）曾在实验中掷均匀的硬币24000次，正面朝上的次数是12012次，频率约为0.5，则掷一枚均匀的硬币，正面朝上的概率是 _____．
10．（2022·四川自贡·中考真题）为了比较甲、乙两鱼池中的鱼苗数目，小明从两鱼池中各捞出100条鱼苗，每条做好记号，然后放回原鱼池；一段时间后，在同样的地方，小明再从甲、乙两鱼池中各捞出100条鱼苗，发现其中有记号的鱼苗分别是5条、10条，可以初步估计鱼苗数目较多的是____________鱼池（填甲或乙）
三、解答题
11．（2021·湖南长沙·中考真题）“网红”长沙入选2021年“五一”假期热门旅游城市．本市某景点为吸引游客，设置了一种游戏，其规则如下：凡参与游戏的游客从一个装有12个红球和若干个白球（每个球除颜色外，其他都相同）的不透明纸箱中，随机摸出一个球，摸到红球就可免费得到一个景点吉祥物．据统计参与这种游戏的游客共有60000人，景点一共为参与该游戏的游客免费发放了景点吉祥物15000个．
（1）求参与该游戏可免费得到景点吉祥物的频率；
（2）请你估计纸箱中白球的数量接近多少？
12．（2021·甘肃武威·中考真题）一个不透明的箱子里装有3个红色小球和若干个白色小球，每个小球除颜色外其他完全相同，每次把箱子里的小球摇匀后随机摸出一个小球，记下颜色后再放回箱子里，通过大量重复实验后，发现摸到红色小球的频率稳定于0.75左右．
（1）请你估计箱子里白色小球的个数；
（2）现从该箱子里摸出1个小球，记下颜色后放回箱子里，摇匀后，再摸出1个小球，求两次摸出的小球颜色恰好不同的概率（用画树状图或列表的方法）．
13．（2020·江苏泰州·中考真题）一只不透明袋子中装有个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同，某课外学习小组做摸球试验：将球搅匀后从中任意摸出个球，记下颜色后放回、搅匀，不断重复这个过程，获得数据如下：
（1）该学习小组发现，摸到白球的频率在一个常数附近摆动，这个常数是______（精确到），由此估出红球有______个．
（2）现从该袋中摸出个球，请用树状图或列表的方法列出所有等可能的结果，并求恰好摸到个白球，个红球的概率．
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