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22.3实际问题与二次函数
(
课后培优练
级练
)
培优第一阶——基础过关练
一、单选题
1．小敏在某次投篮中，篮球的运动路线是抛物线3.5的一部分(如图)，若命中篮圈中心，则他与篮底的水平距离是（ ）
A．3.5m B．3.8m C．4m D．4.5m
【答案】C
【详解】如图，把y=3.05代入函数3.5，解得x=1.5或x=－1.5（舍去）
则l=2.5+1.5=4（m）
故选C．
2．某企业的销售利润原来是m万元，经过连续两年的增长达到了y万元，如果每年增长的百分数都是x，那么y 与x的函数关系式是（ ）
A．y=x+m B．y=m（x-1） C．y=m（1+x） D．y=m（1-x）
【答案】C
【详解】根据题意，某企业的销售利润原来是m万元，经过连续两年的增长达到了y万元，每年增长的百分数都是x，则,
故选C
3．已知烟花弹爆炸后某个残片的空中飞行轨迹可以看成为二次函数图像的一部分，其中x为爆炸后经过的时间（秒），y为残片离地面的高度（米），请问在爆炸后1秒到6秒之间，残片距离地面的高度范围为（ ）
A．0米到3米 B．5米到8米 C．到8米 D．5米到米
【答案】B
【详解】解：∵，
∴当 时， ，即此时残片离地面的高度最大，最大为8米，
∵ ，
∴在直线的左侧， 随 的增大而增大；在直线的右侧， 随 的增大而减小，
∵当 时， ，当 时， ，且 ，
∴在爆炸后1秒到6秒之间，残片距离地面的高度范围为5米到8米．
故选：B
4．2020年2月3日，随着南立交匝道最后一条交通线划线完毕，蒙山大道祊河桥迎来了南北东西方向全线通车，蒙山高架路“踏实落地”，市民从此可一路畅通．蒙山大道祊河桥（如图1），它由五个高度不同，跨径也不同的抛物线型钢拱通过吊桥，拉锁与主梁相连，最高的钢拱如图2所示，此钢拱（近似看成二次函数的图象－抛物线）在同一竖直平面内，与拱脚所在的水平面相交于A，B两点，拱高为78米（即最高点O到AB的距离为78米），跨径为90米（即AB＝90米），以最高点O为坐标原点，以平行于AB的直线为轴建立平面直角坐标系，则此抛物线钢拱的函数表达式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】∵拱高为78米(即最高点O到AB的距离为78米)，跨径为90米(即AB=90米)，以最高点O为坐标原点，以平行于AB的直线为x轴建立平面直角坐标系，
∴设抛物线解析式为y=ax2，点B(45，-78)，
∴-78=452a，解得：a=，
∴此抛物线钢拱的函数表达式为，
故选：B．
5．某景点的“喷水巨龙”口中C处的水流呈抛物线形，该水流喷出的高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系如图所示，D为该水流的最高点，DA⊥OB，垂足为A．已知OC＝OB＝8m，OA＝2m，则该水流距水平面的最大高度AD的长度为（ ）．
A．9m B．10m C．11m D．12m
【答案】A
【详解】解：根据题意，设抛物线解析式为y＝a（x﹣2）2+k，
将点C（0，8）、B（8，0）代入，得：
，解得，
∴抛物线解析式为y＝﹣（x﹣2）2+9，
∴当x＝2时，y＝9，即AD＝9m，
故选：A．
6．如图，某大门的形状是一抛物线形建筑，大门的地面宽8 m，在两侧距地面3.5 m高处有两个挂单位名牌匾用的铁环，两铁环的水平距离是6 m．若按图所示建立平面直角坐标系，则抛物线的解析式是（ ）．（建筑物厚度忽略不计）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：由函数图象可知，抛物线与轴的两个交点坐标为和，且经过点，
设抛物线的解析式为，
将点代入得：，解得，
则抛物线的解析式为，即为，
故选：A．
二、填空题
7．赵州桥的桥拱横截面是近似的抛物线形，其示意图如图所示，其解析式为y＝﹣x2．当水面离桥拱顶的高度DO为4m时，水面宽度AB为________m．
【答案】20
【详解】解：由题意得，﹣4 =﹣x2，解得x =±10，
即点A的坐标为（﹣10，﹣4），点B的坐标为（10，﹣4），
这时水面宽度AB为20m，
故答案为：20．
8．某地要建造一个圆形喷水池，在水池中央垂直于水面安装一个花形柱子OA，O恰在水面中心，安置在柱子顶端A处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，且在过OA的任一平面上，抛物线形状如图所示，如图建立直角坐标系，水流喷出的高度与水平距离之间的关系式是.请回答下列问题：柱子OA的高度为 _______米；喷出的水流距水平面的最大高度是______米；若不计其它因素，水池的半径至少要_____米，才能使喷出的水流不至于落在池外.
【答案】 2.5
【详解】（1）当x＝0时，y＝，
故OA的高度为米；
（2）∵y＝ x2＋2x＋＝-（x 1）2＋，
∴顶点是（1，），
故喷出的水流距水面的最大高度是米；
（3）解方程 x2＋2x＋＝0，
得x1＝ ，x2＝，
其中不合题意，
∴B点坐标为(，0)，
∴水池的半径至少要2.5米，才能使喷出的水流不至于落在池外．
故答案为：；；2.5．
9．位于贵州省的射电望远镜（FAT）（如图1）是目前世界上口径最大、精度最高的望远镜．根据有关资料显示，该望远镜的轴截面呈抛物线状，口径AB为500m，最低点P到口径面AB的距离是100m．若按如图2所示建立平面直角坐标系，则该抛物线的解析式为 _____．
【答案】
【详解】解：由题意可得：，，
设抛物线解析式为：，
则，解得：，
故抛物线解析式为：．
故答案为：．
10．如图（1）是一个横断面为抛物线形状的拱桥，水面在l时，拱顶(拱桥洞的最高点)离水面3米，水面宽4米．如果按图（2）建立平面直角坐标系，那么抛物线的解析式是__________．
【答案】
【详解】解：设出抛物线方程y=ax2（a≠0），由图象可知该图象经过（-2，-3）点，
∴-3=4a，a=-，
∴抛物线解析式为y=-x2．
故答案为：．
三、解答题
11．如图①，桥拱截面OBA可视为抛物线的一部分，在某一时刻，桥拱内的水面宽OA＝8m，桥拱顶点B到水面的距离是4m．
(1)按如图②所示建立平面直角坐标系，求桥拱部分抛物线的函数表达式；
(2)一只宽为1.2m的打捞船径直向桥驶来，当船驶到桥拱下方且距O点0.4m时，桥下水位刚好在OA处，有一名身高1.68m的工人站立在打捞船正中间清理垃圾，他的头顶是否会触碰到桥拱，请说明理由（假设船底与水面齐平）．
【答案】(1)y=-x2+2x （0≤x≤8）；(2)不会碰到头，理由见解析
【解析】(1)解：如图②，由题意得：水面宽OA是8m，桥拱顶点B到水面的距离是4m，
结合函数图象可知，顶点B （4，4），点O （0，0），
设二次函数的表达式为y=a（x-4）2+4，
将点O （0，0）代入函数表达式，解得：a=-，
∴二次函数的表达式为y=-（x-4）2+4，
即y=-x2+2x （0≤x≤8）；
(2)解：工人不会碰到头，理由如下：
∵小船距O点0.4m，小船宽1.2m，工人直立在小船中间，
由题意得：工人距O点距离为0.4+×1.2=1，
∴将x=1代入y=-x2+2x，解得：y==1.75，
∵1.75m＞1.68m，
∴此时工人不会碰到头．
12．如图，一个圆形喷水池的中央垂直于水面安装了一个柱形喷水装置OA，O恰好在水面中心，安置在柱子顶端A处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，且在过OA的平面上，按如图所示建立直角坐标系，水流喷出的高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系式可以用表示，且抛物线经过点，．请根据以上信息，解答下列问题：
(1)求抛物线的函数关系式，并确定喷水装置OA的高度；
(2)喷出的水流距水面的最大高度是多少米？
(3)若不计其他因素，水池的半径至少要多少米，才能使喷出的水流不至于落在池外？
【答案】(1)喷水装置OA的高度为米；(2)喷出的水流距水面的最大高度是米；(3)水池的半径至少要1+米，才能使喷出的水流不至于落在池外
【解析】(1)解：根据题意，将点B（，），C（2，）代入y＝﹣x2+bx+c，
得：，解得：，
∴y与x的函数关系式为：y＝﹣x2+2x+，
当x＝0时，y＝，
∴喷水装置OA的高度为米；
(2)解∵y＝﹣x2+2x+＝﹣（x﹣1）2+，
∴当x＝1时，y取得最大值，
故喷出的水流距水面的最大高度是米；
(3)解：当y＝0时，﹣x2+2x+＝0，
解得：x1＝1﹣，x2＝1+，
∵x1＝1﹣＜0，不合题意，舍去，
∴x2＝1+，
答：水池的半径至少要1+米，才能使喷出的水流不至于落在池外．
13．大润发超市进了一批成本为8元/个的文具盒，调查发现：这种文具盒每个星期的销售量y（个）与它的定价x（元/个）的关系如图所示；
(1)求这种文具盒每个星期的销售量y（个）与它的定价x（元/个）之间的函数关系式（不必写出自变量x的取值范围）；
(2)每个文具盒的定价是多少元时，超市每星期销售这种文具盒可获得的利润为1200元？
(3)当每个文具盒定价多少元时，超市每星期的利润最高？最高利润是多少？
【答案】(1)；(2)当定价为18元或20元时，利润为1200元；(3)当定价19元/个时，超市可获得的利润最高；最高利润为1210元．
【解析】(1)解：设这种文具盒每个星期的销售量y（个）与它的定价x（元/个）之间的函数关系式y=kx+b，
由题意，得，，解得：，
则y=-10x+300；
(2)解：由题意，得（x-8） y=1200，
（x-8）（-10x+300）=1200，
解得：x1=18，x2=20，
答：当定价为18元或20元时，利润为1200元；
(3)解：由（2）知超市每星期的利润：
W=（x-8） y，
=（x-8）（-10x+300）
=-10（x-8）（x-30）
=-10（x2-38x+240）
=-10（x-19）2+1210．
∵，
∴当x=19即定价19元/个时，超市可获得的利润最高；最高利润为1210元．
培优第二阶——拓展培优练
一、单选题
1．地面竖直向上抛出一小球，小球的高度单位：与小球运动时间单位：之间的函数关系如图所示下列结论：①小球抛出秒时速度为；②小球在空中经过的路程是；③小球的高度时，；④小球抛出秒后，速度越来越快其中正确的是( )
A．①② B．①④ C．①②④ D．②③
【答案】B
【详解】解：①小球抛出秒时达到最高点即速度为；故①正确；
②由图象知小球在空中达到的最大高度是；故②错误；
③设函数解析式为：，
把代入得，解得，
函数解析式为，
把代入解析式得，，解得：或，
小球的高度时，或，故③错误；
④小球抛出秒后速度越来越快；故④正确；
故选：．
2．如图，要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1m处达到最高，高度为3m，水柱落地处离池中心3m，水管的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：由题意可知点（1，3）是抛物线的顶点，
∴设这段抛物线的解析式为y=a（x-1）2+3．
∵该抛物线过点（3，0），
∴0=a（3-1）2+3，解得：a=-．
∴y=-（x-1）2+3．
∵当x=0时，y=-（0-1）2+3=-+3=，
∴水管应长m．
故选：A
3．如图所示，一座抛物线形的拱桥在正常水位时，水面AB宽为20米，拱桥的最高点O到水面AB的距离为4米．如果此时水位上升3米就达到警戒水位CD，那么CD宽为（ ）
A．4米 B．10米 C．4米 D．12米
【答案】B
【详解】解：以O点为坐标原点，AB的垂直平分线为y轴，过O点作y轴的垂线，建立直角坐标系，
设抛物线的解析式为y＝ax2，
∵O点到水面AB的距离为4米，
∴A、B点的纵坐标为﹣4，
∵水面AB宽为20米，
∴A（﹣10，﹣4），B（10，﹣4），
将A代入y＝ax2，﹣4＝100a，
∴a＝﹣，∴y＝﹣x2，
∵水位上升3米就达到警戒水位CD，
∴C点的纵坐标为﹣1，
∴﹣1＝﹣x2，
∴x＝±5，
∴CD＝10，
故选：B．
4．某商品的利润y（元）与售价x（元）之间的函数关系式为y＝﹣x2+8x+9，且售价x的范围是1≤x≤3，则最大利润是（ ）
A．16元 B．21元 C．24元 D．25元
【答案】C
【详解】解：y=-x2+8x+9=-（x-4）2+25，
∵a=-1＜0，
∴利润y有最大值，
当x＜4时，y随x的增大而增大，
∵售价x的范围是1≤x≤3，
∴当x=3时，最大利润y是24元，
故选：C．
5．如图，某拱桥呈抛物线形状，桥的最大高度是16米，跨度是40米，在线段AB上离中心M处5米的地方，桥的高度是（ ）
A．12米 B．13米 C．14米 D．15米
【答案】D
【详解】解：以M为坐标原点，AB所在直线为x轴，建直角坐标系，如图：
∵桥的最大高度是16米，跨度是40米，
∴抛物线顶点C（0，16），A（20，0），B（20，0），
设抛物线解析式为y=ax2+16，将A（20，0）代入得：
0=400a+16，解得，
∴抛物线解析式为，
当x=5时，，
∴在线段AB上离中心M处5米的地方，桥的高度是15米，
故选：D．
6．小明以二次函数的图象为灵感为“2017北京房山国际葡萄酒大赛”设计了一款杯子，如图为杯子的设计稿，若，，则杯子的高为（ ）
A．14 B．11 C．6 D．3
【答案】B
【详解】解：，
抛物线顶点的坐标为，
，
点的横坐标为，
把代入，得到，
，
．
故选：B．
二、填空题
7．如图是抛物线型拱桥，当拱顶高距离水面2m时，水面宽4m，如果水面上升1.5m，则水面宽度为________．
【答案】2m
【详解】解：如图建立平面直角坐标系，
设抛物线的解析式为y=ax2，
由已知可得，点（2，-2）在此抛物线上，
则-2=a×22， 解得，
∴，
当y=-0.5时，，
解得x=±1， 此时水面的宽度为2m，
故答案为：2m．
8．如图，一次足球训练中，一球员从球门正前方将球射向球门，球射向球门的路线呈抛物线，当球飞行的水平距离为6米时，球达到最高点，此时球离地面3米，当足球下落到离地面米时，足球飞行的水平距离为__________米．
【答案】10
【详解】设抛物线的解析式为，代入原点，得：
，解得a=，
∴抛物线的解析式为，
当y=米时，
，解得x=10，x=2（舍去），
足球飞行的水平距离为10米，
故答案为：10．
9．如图是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面在正常水位的情况下，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面2m，水面宽4m．则当水位下降m=________时，水面宽为5m？
【答案】
【详解】解：如图，建立如下的坐标系：
水面与抛物线的交点坐标是（-2，-2），，
设函数的解析式是y=ax2， 则4a=-2， 解得，
则函数的解析式是．
当水面宽为5米时，把代入抛物线的解析式可得：
（米），
故答案为：．
10．如图，排球运动员站在点O处练习发球，将球从O点正上方2m的A处发出，把球看成点，其运行的高度y（m）与运行的水平距离x（m）满足关系式．已知球网与O点的水平距离为9m，高度为2.43m，球场的边界距O点的水平距离为18m．若球能越过球网，又不出边界，则h的取值范围为_________．
【答案】
【详解】解：点A（0，2），将点A的坐标代入抛物线表达式得：2＝a（0﹣6）2+h，
解得：a＝，
∴抛物线的表达式为y＝（x﹣6）2+h，
由题意得：当x＝9时，y＝（x﹣6）2+h＝（9﹣6）2+h＞2.43，
解得：h＞；
当x＝18时，y＝（x﹣6）2+h＝（18﹣6）2+h≤0，
解得：h≥，
故h的取值范围是h≥．
故答案为：
三、解答题
11．超市以每瓶12元的价格购进一批饮料，销售一段时间后，为了获得更多利润，超市决定提高价格销售．若按每瓶20元的价格销售，每月能卖120瓶；若按每瓶25元的价格销售，每月能卖70瓶．已知每月销售瓶数 y（瓶）是每瓶销售价格x（元）的一次函数．每瓶饮料的销售价格定为多少元时，能使该月获得最大利润？
【答案】当每瓶销售价格定为22元时，能使该月获得最大利润
【详解】解：设y与x的函数关系式为y＝kx+b，
由题意，解得，
∴y与x的函数关系式为y＝﹣10x+320．
设每月的利润为P，则P＝（﹣10x+320）x﹣（﹣10x+320）×12
＝﹣10x2+440x﹣3840，
∴x＝时，利润最大，
∴销售价格定为每瓶22元时，该月获得利润最大．
12．某公司生产一种呼吸机，该产品在市场上很受欢迎，每月可在国内和国外两个市场全部销售完，该公司每月的产量为6台，若在国内销售，平均每台产品的利润（万元）与国内销售量x（台）的函数关系式为，若在国外销售，销售量为t（台）（），平均每台产品的利润均为60万元．
(1)用x的代数式表示t：______；
(2)求该公司每月的国内、国外销售的总利润w（万元）与国内销售量x（台）的函数关系式，并指出x的取值范围；
(3)该公司每月的国内、国外销售量各为多少时，可使公司每月的总利润最大？最大值是多少？
【答案】(1)t=6-x
(2)
(3)该公司每月的国内销售为4台，国外的销售为2台时，公司的利润最大，且最大利润为440万
【解析】(1)总产量为6台，国内销售量为x，则国外销售量为t=6-x，
故答案为：t=6-x；
(2)当时，总利润为，
即；
当时，总利润为，
即，
综上：，
(3)当时，，此时函数随x的增大而增大，
即当x=4时，有最大利润为：（万元），
当时，总利润为，，
即在区间内，函数w随x的增大而减小，
∵x为整数，
∴当x=5时，利润有最大值，即（万元），
∵410＜440，
∴该公司每月的国内销售为4台，国外的销售为2台时，公司的利润最大，且最大利润为440万．
13．如图，隧道的截面由抛物线和矩形构成，矩形的长为，宽为，以所在的直线为轴，线段的中垂线为轴，建立平面直角坐标系．轴是抛物线的对称轴，最高点到地面距离为4米．
(1)求出抛物线的解析式．
(2)在距离地面米高处，隧道的宽度是多少？
(3)如果该隧道内设单行道（只能朝一个方向行驶），现有一辆货运卡车高3.6米，宽2.4米，这辆货运卡车能否通过该隧道？通过计算说明你的结论．
【答案】(1)；(2)米；(3)能通过，见解析
【解析】(1)解：最高点到地面距离为4米，
米，点E为抛物线的顶点，抛物线的对称轴为y轴，
设抛物线的解析式为，
四边形ABCD是矩形，
，
又，
四边形BCOF是矩形，
米，
(米)，
点E的纵坐标为1，
，
，
又米，
点C的坐标为(2,0)，
把点C的坐标代入解析式，得，
解得，
故抛物线的解析式为；
(2)解：把代入解析式，
得，
解得，，
故在距离地面米高处，隧道的宽度是(米)；
(3)解：这辆货运卡车能通过该隧道；
当x=1.2时，，
，
这辆货运卡车能通过该隧道．
培优第三阶——中考沙场点兵
一、单选题
1．（2020·湖南长沙·中考真题）“闻起来臭，吃起来香”的臭豆腐是长沙特色小吃，臭豆腐虽小，但制作流程却比较复杂，其中在进行加工煎炸臭豆腐时，我们把焦脆而不糊的豆腐块数的百分比称为“可食用率”，在特定条件下，“可食用率”p与加工煎炸的时间t（单位：分钟）近似满足函数关系式：（a，b，c为常数），如图纪录了三次实验数据，根据上述函数关系和实验数据，可以得到加工煎炸臭豆腐的最佳时间为( )
A．3.50分钟 B．4.05分钟 C．3.75分钟 D．4.25分钟
【答案】C
【详解】将(3,0.8)(4,0．9)(5,0.6)代入得:
②－①和③－②得
⑤－④得,解得a=﹣0.2．
将a=﹣0.2．代入④可得b=1.5．
对称轴=．
故选C．
2．（2021·北京·中考真题）如图，用绳子围成周长为的矩形，记矩形的一边长为，它的邻边长为，矩形的面积为．当在一定范围内变化时，和都随的变化而变化，则与与满足的函数关系分别是（ ）
A．一次函数关系，二次函数关系 B．反比例函数关系，二次函数关系
C．一次函数关系，反比例函数关系 D．反比例函数关系，一次函数关系
【答案】A
【详解】解：由题意得：
，整理得：，
，
∴y与x成一次函数的关系，S与x成二次函数的关系；
故选A．
3．（2020·河南·渑池县教育体育局教研室九年级期中）2019年女排世界杯于9月在日本举行，中国女排以十一连胜的骄人成绩卫冕冠军，充分展现了团队协作、顽强拼搏的女排精神．如图是某次比赛中垫球时的动作，若将垫球后排球的运动路线近似的看作拋物线，在同一竖直平面内建立如图所示的直角坐标系，已知运动员垫球时（图中点A）离球网的水平距离为5米，排球与地面的垂直距离为0.5米，排球在球网上端0.26米处（图中点B）越过球网（女子排球赛中球网上端距地面的高度为2.24米），落地时（图中点）距球网的水平距离为2.5米，则排球运动路线的函数表达式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】解：由题意可知点A坐标为（-5，0.5），点B坐标为（0，2.5），点C坐标为（2.5，0）
设排球运动路线的函数解析式为：y=ax2+bx+c，
∵排球经过A、B、C三点，
，解得： ，
∴排球运动路线的函数解析式为，
故选：A．
4．（2020·山西·中考真题）竖直上抛物体离地面的高度与运动时间之间的关系可以近似地用公式表示，其中是物体抛出时离地面的高度，是物体抛出时的速度．某人将一个小球从距地面的高处以的速度竖直向上抛出，小球达到的离地面的最大高度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：依题意得：=，=，
把=，=代入得
当时，
故小球达到的离地面的最大高度为：
故选：C
5．（2020·四川绵阳·中考真题）三孔桥横截面的三个孔都呈抛物线形，两小孔形状、大小完全相同．当水面刚好淹没小孔时，大孔水面宽度为10米，孔顶离水面1.5米；当水位下降，大孔水面宽度为14米时，单个小孔的水面宽度为4米，若大孔水面宽度为20米，则单个小孔的水面宽度为（ ）
A．4米 B．5米 C．2米 D．7米
【答案】B
【详解】解：如图，建立如图所示的平面直角坐标系，由题意可得MN=4，EF=14，BC=10，DO=，
设大孔所在抛物线解析式为y=ax2+，
∵BC=10，∴点B（﹣5，0），
∴0=a×（﹣5）2+，
∴a=-，
∴大孔所在抛物线解析式为y=-x2+，设点A（b，0），则设顶点为A的小孔所在抛物线的解析式为y=m（x﹣b）2，
∵EF=14，
∴点E的横坐标为-7，
∴点E坐标为（-7，-），
∴-=m（x﹣b）2，
∴x1=+b，x2=-+b，
∴MN=4，
∴|+b-（-+b）|=4
∴m=-，
∴顶点为A的小孔所在抛物线的解析式为y=-（x﹣b）2，
∵大孔水面宽度为20米，
∴当x=-10时，y=-，
∴-=-（x﹣b）2，
∴x1=+b，x2=-+b，
∴单个小孔的水面宽度=|（+b）-（-+b）|=5（米），
故选：B．
6．（2022·四川自贡·中考真题）九年级2班计划在劳动实践基地内种植蔬菜，班长买回来8米长的围栏，准备围成一边靠墙（墙足够长）的菜园，为了让菜园面积尽可能大，同学们提出了围成矩形，等腰三角形（底边靠墙），半圆形这三种方案，最佳方案是（ ）
A．方案1 B．方案2 C．方案3 D．方案1或方案2
【答案】C
【详解】解：方案1，设米，则米，
则菜园的面积
当时，此时散架的最大面积为8平方米；
方案2，当∠时，菜园最大面积平方米；
方案3，半圆的半径
此时菜园最大面积平方米>8平方米，
故选：C
二、填空题
7．（2022·四川南充·中考真题）如图，水池中心点O处竖直安装一水管，水管喷头喷出抛物线形水柱，喷头上下移动时，抛物线形水柱随之竖直上下平移，水柱落点与点O在同一水平面．安装师傅调试发现，喷头高时，水柱落点距O点；喷头高时，水柱落点距O点．那么喷头高_______________m时，水柱落点距O点．
【答案】8
【详解】解：由题意可知，在调整喷头高度的过程中，水柱的形状不发生变化，
当喷头高2.5m时，可设y=ax2+bx+2.5，
将（2.5，0）代入解析式得出2.5a+b+1=0①，
喷头高4m时，可设y=ax2+bx+4，
将（3，0）代入解析式得9a+3b+4=0②，
联立可求出，，
设喷头高为h时，水柱落点距O点4m，
∴此时的解析式为，
将（4，0）代入可得，解得h=8．
故答案为：8．
8．（2020·广西贺州·中考真题）某学生在一平地上推铅球，铅球出手时离地面的高度为 米，出手后铅球在空中运动的高度y（米）与水平距离x（米）之间的函数关系式为，当铅球运行至与出手高度相等时，与出手点水平距离为8米，则该学生推铅球的成绩为________米．
【答案】10．
【详解】解：设铅球出手点为点A，当铅球运行至与出手高度相等时为点B，根据题意建立平面直角坐标系，如图：
由题意可知，点，点，代入，得：
，解得．
∴，
当时，，
解得，（不符合题意，舍去）．
∴该学生推铅球的成绩为10m．
故答案为：10．
9．（2020·四川巴中·中考真题）现有一“祥云”零件剖面图，如图所示，它由一个半圆和左右两支抛物线的一部分组成，且关于y轴对称．其中半圆交y轴于点E，直径，；两支抛物线的顶点分别为点A、点B．与x轴分别交于点C、点D；直线BC的解析式为：．则零件中BD这段曲线的解析式为_________．
【答案】
【详解】解：记AB与y轴的交点为F，
∵AB＝2，且半圆关于y轴对称，
∴FA＝FB＝FE＝1，
∵OE＝2，
∴，
则右侧抛物线的顶点B坐标为，
将点代入得，解得，
∴，
当时，，解得，
∴，
则，
设右侧抛物线解析式为，
将点代入解析式得，解得，
∴．
故答案为：．
10．（2022·四川成都·中考真题）距离地面有一定高度的某发射装置竖直向上发射物体，物体离地面的高度（米）与物体运动的时间（秒）之间满足函数关系，其图像如图所示，物体运动的最高点离地面20米，物体从发射到落地的运动时间为3秒．设表示0秒到秒时的值的“极差”（即0秒到秒时的最大值与最小值的差），则当时，的取值范围是_________；当时，的取值范围是_________．
【答案】
【详解】根据题意，得-45+3m+n=0，，
∴ ，
∴ ，
解得m=50，m=10，
当m=50时，n=-105；当m=10时，n=15；
∵抛物线与y轴交于正半轴，
∴n＞0，
∴，
∵对称轴为t==1，a=-5＜0，
∴时，h随t的增大而增大，
当t=1时，h最大，且（米）；当t=0时，h最最小，且（米）；
∴w=，
∴w的取值范围是，
故答案为：．
当时，的取值范围是
∵对称轴为t==1，a=-5＜0，
∴时，h随t的增大而减小，
当t=2时，h=15米，且（米）；当t=3时，h最最小，且（米）；
∴w=，w=，
∴w的取值范围是，
故答案为：．
三、解答题
11．（2022·北京·中考真题）单板滑雪大跳台是北京冬奥会比赛项目之一，举办场地为首钢滑雪大跳台，运动员起跳后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，从起跳到着陆的过程中，运动员的竖直高度（单位：m）与水平距离（单位：m）近似满足函数关系．
某运动员进行了两次训练．
(1)第一次训练时，该运动员的水平距离与竖直高度的几组数据如下：
水平距离x/m 0 2 5 8 11 14
竖直高度y/m 20.00 21.40 22.75 23.20 22.75 21.40
根据上述数据，直接写出该运动员竖直高度的最大值，并求出满足的函数关系
(2)第二次训练时，该运动员的竖直高度y与水平距离x近似满足函数关系记该运动员第一次训练的着陆点的水平距离为d1，第二次训练的着陆点的水平距离为，则______（填“>”“=”或“<”）．
【答案】(1)23.20m；；(2)
【解析】(1)解：根据表格中的数据可知，抛物线的顶点坐标为：，
∴，，
即该运动员竖直高度的最大值为23.20m，
根据表格中的数据可知，当时，，代入得：
，解得：，
∴函数关系关系式为：．
(2)设着陆点的纵坐标为，则第一次训练时，，
解得：或，
∴根据图象可知，第一次训练时着陆点的水平距离，
第二次训练时，，
解得：或，
∴根据图象可知，第二次训练时着陆点的水平距离，
∵，
∴，
∴．
故答案为：．
12．（2022·贵州铜仁·中考真题）为实施“乡村振兴”计划，某村产业合作社种植了“千亩桃园”．2022年该村桃子丰收，销售前对本地市场进行调查发现：当批发价为4千元/吨时，每天可售出12吨，每吨涨1千元，每天销量将减少2吨，据测算，每吨平均投入成本2千元，为了抢占市场，薄利多销，该村产业合作社决定，批发价每吨不低于4千元，不高于5.5千元．请解答以下问题：
(1)求每天销量y（吨）与批发价x（千元/吨）之间的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围；
(2)当批发价定为多少时，每天所获利润最大？最大利润是多少？
【答案】(1)，；(2)定价为5.5元时，每天获得的利润w元最大，最大利润是31.5元【解析】(1)解：根据题意得，
所以每天销量y（吨）与批发价x（千元/吨）之间的函数关系式，
自变量x的取值范围是
(2)解：设每天获得的利润为W元，根据题意得
，
∵，
∴当，W随x的增大而增大．
∵，
∴当时，w有最大值，最大值为，
∴将批发价定为5.5元时，每天获得的利润w元最大，最大利润是31.5元．
13．（2022·黑龙江大庆·中考真题）果园有果树60棵，现准备多种一些果树提高果园产量．如果多种树，那么树之间的距离和每棵果树所受光照就会减少，每棵果树的平均产量随之降低．根据经验，增种10棵果树时，果园内的每棵果树平均产量为．在确保每棵果树平均产量不低于的前提下，设增种果树x（且x为整数）棵，该果园每棵果树平均产量为，它们之间的函数关系满足如图所示的图象．
(1)图中点P所表示的实际意义是________________________，每增种1棵果树时，每棵果树平均产量减少____________；
(2)求y与x之间的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围；
(3)当增种果树多少棵时，果园的总产量最大？最大产量是多少？
【答案】(1)增种28棵果树时，每棵果树的平均产量为66kg；0.5
(2)y与x的函数关系式为y=-0.5x+80(0(3)增种果树50棵时，果园的总产量最大，最大产量是6050kg
【解析】(1)①根据图像可知，设增种果树x（且x为整数）棵，该果园每棵果树平均产量为，
所以图中点P表示的实际意义是：增种28棵果树时，每棵果树的平均产量为66kg，
所以答案为：增种28棵果树时，每棵果树的平均产量为66kg，
②根据增种10棵果树时，果园内的每棵果树平均产量为．
增种28棵果树时，每棵果树的平均产量为66kg，
可以得出：每增种1棵果树时，每棵果树平均产量减少为：
(75-66)÷（28-10）=9÷18=0.5（kg）
所以答案为：0.5
(2)根据增种10棵果树时，果园内的每棵果树平均产量为．增种28棵果树时，每棵果树的平均产量为66kg，设y与x的函数关系式为y=kx+b
将x=10，y=75；x=28，y=66代入可得
解得
∴y与x的函数关系式为y=-0.5x+80(0(3)根据题意，果园的总产量w=每棵果树平均产量×果树总棵树可得
w=(-0.5x+80)(60+x)
=-0.5x2+50x+4800
∵a=-0.5<0
所以当x= 时，w有最大值
w最大=6050
所以增种果树50棵时，果园的总产量最大，最大产量是6050kg
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22.3实际问题与二次函数
(
课后培优练
级练
)
培优第一阶——基础过关练
一、单选题
1．小敏在某次投篮中，篮球的运动路线是抛物线3.5的一部分(如图)，若命中篮圈中心，则他与篮底的水平距离是（ ）
A．3.5m B．3.8m C．4m D．4.5m
2．某企业的销售利润原来是m万元，经过连续两年的增长达到了y万元，如果每年增长的百分数都是x，那么y 与x的函数关系式是（ ）
A．y=x+m B．y=m（x-1） C．y=m（1+x） D．y=m（1-x）
3．已知烟花弹爆炸后某个残片的空中飞行轨迹可以看成为二次函数图像的一部分，其中x为爆炸后经过的时间（秒），y为残片离地面的高度（米），请问在爆炸后1秒到6秒之间，残片距离地面的高度范围为（ ）
A．0米到3米 B．5米到8米 C．到8米 D．5米到米
4．2020年2月3日，随着南立交匝道最后一条交通线划线完毕，蒙山大道祊河桥迎来了南北东西方向全线通车，蒙山高架路“踏实落地”，市民从此可一路畅通．蒙山大道祊河桥（如图1），它由五个高度不同，跨径也不同的抛物线型钢拱通过吊桥，拉锁与主梁相连，最高的钢拱如图2所示，此钢拱（近似看成二次函数的图象－抛物线）在同一竖直平面内，与拱脚所在的水平面相交于A，B两点，拱高为78米（即最高点O到AB的距离为78米），跨径为90米（即AB＝90米），以最高点O为坐标原点，以平行于AB的直线为轴建立平面直角坐标系，则此抛物线钢拱的函数表达式为（ ）
A． B． C． D．
5．某景点的“喷水巨龙”口中C处的水流呈抛物线形，该水流喷出的高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系如图所示，D为该水流的最高点，DA⊥OB，垂足为A．已知OC＝OB＝8m，OA＝2m，则该水流距水平面的最大高度AD的长度为（ ）．
A．9m B．10m C．11m D．12m
6．如图，某大门的形状是一抛物线形建筑，大门的地面宽8 m，在两侧距地面3.5 m高处有两个挂单位名牌匾用的铁环，两铁环的水平距离是6 m．若按图所示建立平面直角坐标系，则抛物线的解析式是（ ）．（建筑物厚度忽略不计）
A． B． C． D．
二、填空题
7．赵州桥的桥拱横截面是近似的抛物线形，其示意图如图所示，其解析式为y＝﹣x2．当水面离桥拱顶的高度DO为4m时，水面宽度AB为________m．
8．某地要建造一个圆形喷水池，在水池中央垂直于水面安装一个花形柱子OA，O恰在水面中心，安置在柱子顶端A处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，且在过OA的任一平面上，抛物线形状如图所示，如图建立直角坐标系，水流喷出的高度与水平距离之间的关系式是.请回答下列问题：柱子OA的高度为 _______米；喷出的水流距水平面的最大高度是______米；若不计其它因素，水池的半径至少要_____米，才能使喷出的水流不至于落在池外.
三、解答题
11．如图①，桥拱截面OBA可视为抛物线的一部分，在某一时刻，桥拱内的水面宽OA＝8m，桥拱顶点B到水面的距离是4m．
(1)按如图②所示建立平面直角坐标系，求桥拱部分抛物线的函数表达式；
(2)一只宽为1.2m的打捞船径直向桥驶来，当船驶到桥拱下方且距O点0.4m时，桥下水位刚好在OA处，有一名身高1.68m的工人站立在打捞船正中间清理垃圾，他的头顶是否会触碰到桥拱，请说明理由（假设船底与水面齐平）．
12．如图，一个圆形喷水池的中央垂直于水面安装了一个柱形喷水装置OA，O恰好在水面中心，安置在柱子顶端A处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，且在过OA的平面上，按如图所示建立直角坐标系，水流喷出的高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系式可以用表示，且抛物线经过点，．请根据以上信息，解答下列问题：
(1)求抛物线的函数关系式，并确定喷水装置OA的高度；
(2)喷出的水流距水面的最大高度是多少米？
(3)若不计其他因素，水池的半径至少要多少米，才能使喷出的水流不至于落在池外？
13．大润发超市进了一批成本为8元/个的文具盒，调查发现：这种文具盒每个星期的销售量y（个）与它的定价x（元/个）的关系如图所示；
(1)求这种文具盒每个星期的销售量y（个）与它的定价x（元/个）之间的函数关系式（不必写出自变量x的取值范围）；
(2)每个文具盒的定价是多少元时，超市每星期销售这种文具盒可获得的利润为1200元？
(3)当每个文具盒定价多少元时，超市每星期的利润最高？最高利润是多少？
培优第二阶——拓展培优练
一、单选题
1．地面竖直向上抛出一小球，小球的高度单位：与小球运动时间单位：之间的函数关系如图所示下列结论：①小球抛出秒时速度为；②小球在空中经过的路程是；③小球的高度时，；④小球抛出秒后，速度越来越快其中正确的是( )
A．①② B．①④ C．①②④ D．②③
2．如图，要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1m处达到最高，高度为3m，水柱落地处离池中心3m，水管的长为（ ）
A． B． C． D．
3．如图所示，一座抛物线形的拱桥在正常水位时，水面AB宽为20米，拱桥的最高点O到水面AB的距离为4米．如果此时水位上升3米就达到警戒水位CD，那么CD宽为（ ）
A．4米 B．10米 C．4米 D．12米
4．某商品的利润y（元）与售价x（元）之间的函数关系式为y＝﹣x2+8x+9，且售价x的范围是1≤x≤3，则最大利润是（ ）
A．16元 B．21元 C．24元 D．25元
5．如图，某拱桥呈抛物线形状，桥的最大高度是16米，跨度是40米，在线段AB上离中心M处5米的地方，桥的高度是（ ）
A．12米 B．13米 C．14米 D．15米
6．小明以二次函数的图象为灵感为“2017北京房山国际葡萄酒大赛”设计了一款杯子，如图为杯子的设计稿，若，，则杯子的高为（ ）
A．14 B．11 C．6 D．3
二、填空题
7．如图是抛物线型拱桥，当拱顶高距离水面2m时，水面宽4m，如果水面上升1.5m，则水面宽度为________．
8．如图，一次足球训练中，一球员从球门正前方将球射向球门，球射向球门的路线呈抛物线，当球飞行的水平距离为6米时，球达到最高点，此时球离地面3米，当足球下落到离地面米时，足球飞行的水平距离为__________米．
9．如图是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面在正常水位的情况下，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面2m，水面宽4m．则当水位下降m=________时，水面宽为5m？
10．如图，排球运动员站在点O处练习发球，将球从O点正上方2m的A处发出，把球看成点，其运行的高度y（m）与运行的水平距离x（m）满足关系式．已知球网与O点的水平距离为9m，高度为2.43m，球场的边界距O点的水平距离为18m．若球能越过球网，又不出边界，则h的取值范围为_________．
三、解答题
11．超市以每瓶12元的价格购进一批饮料，销售一段时间后，为了获得更多利润，超市决定提高价格销售．若按每瓶20元的价格销售，每月能卖120瓶；若按每瓶25元的价格销售，每月能卖70瓶．已知每月销售瓶数 y（瓶）是每瓶销售价格x（元）的一次函数．每瓶饮料的销售价格定为多少元时，能使该月获得最大利润？
12．某公司生产一种呼吸机，该产品在市场上很受欢迎，每月可在国内和国外两个市场全部销售完，该公司每月的产量为6台，若在国内销售，平均每台产品的利润（万元）与国内销售量x（台）的函数关系式为，若在国外销售，销售量为t（台）（），平均每台产品的利润均为60万元．
(1)用x的代数式表示t：______；
(2)求该公司每月的国内、国外销售的总利润w（万元）与国内销售量x（台）的函数关系式，并指出x的取值范围；
(3)该公司每月的国内、国外销售量各为多少时，可使公司每月的总利润最大？最大值是多少？
13．如图，隧道的截面由抛物线和矩形构成，矩形的长为，宽为，以所在的直线为轴，线段的中垂线为轴，建立平面直角坐标系．轴是抛物线的对称轴，最高点到地面距离为4米．
(1)求出抛物线的解析式．
(2)在距离地面米高处，隧道的宽度是多少？
(3)如果该隧道内设单行道（只能朝一个方向行驶），现有一辆货运卡车高3.6米，宽2.4米，这辆货运卡车能否通过该隧道？通过计算说明你的结论．
培优第三阶——中考沙场点兵
一、单选题
1．（2020·湖南长沙·中考真题）“闻起来臭，吃起来香”的臭豆腐是长沙特色小吃，臭豆腐虽小，但制作流程却比较复杂，其中在进行加工煎炸臭豆腐时，我们把焦脆而不糊的豆腐块数的百分比称为“可食用率”，在特定条件下，“可食用率”p与加工煎炸的时间t（单位：分钟）近似满足函数关系式：（a，b，c为常数），如图纪录了三次实验数据，根据上述函数关系和实验数据，可以得到加工煎炸臭豆腐的最佳时间为( )
A．3.50分钟 B．4.05分钟 C．3.75分钟 D．4.25分钟
2．（2021·北京·中考真题）如图，用绳子围成周长为的矩形，记矩形的一边长为，它的邻边长为，矩形的面积为．当在一定范围内变化时，和都随的变化而变化，则与与满足的函数关系分别是（ ）
A．一次函数关系，二次函数关系 B．反比例函数关系，二次函数关系
C．一次函数关系，反比例函数关系 D．反比例函数关系，一次函数关系
3．（2020·河南·渑池县教育体育局教研室九年级期中）2019年女排世界杯于9月在日本举行，中国女排以十一连胜的骄人成绩卫冕冠军，充分展现了团队协作、顽强拼搏的女排精神．如图是某次比赛中垫球时的动作，若将垫球后排球的运动路线近似的看作拋物线，在同一竖直平面内建立如图所示的直角坐标系，已知运动员垫球时（图中点A）离球网的水平距离为5米，排球与地面的垂直距离为0.5米，排球在球网上端0.26米处（图中点B）越过球网（女子排球赛中球网上端距地面的高度为2.24米），落地时（图中点）距球网的水平距离为2.5米，则排球运动路线的函数表达式为（ ）
A． B．
C． D．
4．（2020·山西·中考真题）竖直上抛物体离地面的高度与运动时间之间的关系可以近似地用公式表示，其中是物体抛出时离地面的高度，是物体抛出时的速度．某人将一个小球从距地面的高处以的速度竖直向上抛出，小球达到的离地面的最大高度为（ ）
A． B． C． D．
5．（2020·四川绵阳·中考真题）三孔桥横截面的三个孔都呈抛物线形，两小孔形状、大小完全相同．当水面刚好淹没小孔时，大孔水面宽度为10米，孔顶离水面1.5米；当水位下降，大孔水面宽度为14米时，单个小孔的水面宽度为4米，若大孔水面宽度为20米，则单个小孔的水面宽度为（ ）
A．4米 B．5米 C．2米 D．7米
6．（2022·四川自贡·中考真题）九年级2班计划在劳动实践基地内种植蔬菜，班长买回来8米长的围栏，准备围成一边靠墙（墙足够长）的菜园，为了让菜园面积尽可能大，同学们提出了围成矩形，等腰三角形（底边靠墙），半圆形这三种方案，最佳方案是（ ）
A．方案1 B．方案2 C．方案3 D．方案1或方案2
二、填空题
7．（2022·四川南充·中考真题）如图，水池中心点O处竖直安装一水管，水管喷头喷出抛物线形水柱，喷头上下移动时，抛物线形水柱随之竖直上下平移，水柱落点与点O在同一水平面．安装师傅调试发现，喷头高时，水柱落点距O点；喷头高时，水柱落点距O点．那么喷头高_______________m时，水柱落点距O点．
8．（2020·广西贺州·中考真题）某学生在一平地上推铅球，铅球出手时离地面的高度为 米，出手后铅球在空中运动的高度y（米）与水平距离x（米）之间的函数关系式为，当铅球运行至与出手高度相等时，与出手点水平距离为8米，则该学生推铅球的成绩为________米．
9．（2020·四川巴中·中考真题）现有一“祥云”零件剖面图，如图所示，它由一个半圆和左右两支抛物线的一部分组成，且关于y轴对称．其中半圆交y轴于点E，直径，；两支抛物线的顶点分别为点A、点B．与x轴分别交于点C、点D；直线BC的解析式为：．则零件中BD这段曲线的解析式为_________．
10．（2022·四川成都·中考真题）距离地面有一定高度的某发射装置竖直向上发射物体，物体离地面的高度（米）与物体运动的时间（秒）之间满足函数关系，其图像如图所示，物体运动的最高点离地面20米，物体从发射到落地的运动时间为3秒．设表示0秒到秒时的值的“极差”（即0秒到秒时的最大值与最小值的差），则当时，的取值范围是_________；当时，的取值范围是_________．
三、解答题
11．（2022·北京·中考真题）单板滑雪大跳台是北京冬奥会比赛项目之一，举办场地为首钢滑雪大跳台，运动员起跳后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，从起跳到着陆的过程中，运动员的竖直高度（单位：m）与水平距离（单位：m）近似满足函数关系．
某运动员进行了两次训练．
(1)第一次训练时，该运动员的水平距离与竖直高度的几组数据如下：
水平距离x/m 0 2 5 8 11 14
竖直高度y/m 20.00 21.40 22.75 23.20 22.75 21.40
根据上述数据，直接写出该运动员竖直高度的最大值，并求出满足的函数关系
(2)第二次训练时，该运动员的竖直高度y与水平距离x近似满足函数关系记该运动员第一次训练的着陆点的水平距离为d1，第二次训练的着陆点的水平距离为，则______（填“>”“=”或“<”）．
12．（2022·贵州铜仁·中考真题）为实施“乡村振兴”计划，某村产业合作社种植了“千亩桃园”．2022年该村桃子丰收，销售前对本地市场进行调查发现：当批发价为4千元/吨时，每天可售出12吨，每吨涨1千元，每天销量将减少2吨，据测算，每吨平均投入成本2千元，为了抢占市场，薄利多销，该村产业合作社决定，批发价每吨不低于4千元，不高于5.5千元．请解答以下问题：
(1)求每天销量y（吨）与批发价x（千元/吨）之间的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围；
(2)当批发价定为多少时，每天所获利润最大？最大利润是多少？
13．（2022·黑龙江大庆·中考真题）果园有果树60棵，现准备多种一些果树提高果园产量．如果多种树，那么树之间的距离和每棵果树所受光照就会减少，每棵果树的平均产量随之降低．根据经验，增种10棵果树时，果园内的每棵果树平均产量为．在确保每棵果树平均产量不低于的前提下，设增种果树x（且x为整数）棵，该果园每棵果树平均产量为，它们之间的函数关系满足如图所示的图象．
(1)图中点P所表示的实际意义是________________________，每增种1棵果树时，每棵果树平均产量减少____________；
(2)求y与x之间的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围；
(3)当增种果树多少棵时，果园的总产量最大？最大产量是多少？
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