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23.1图形的旋转 (
课后培优练
级练
)
培优第一阶——基础过关练
一、单选题
1．下列现象中属于旋转的是（ ）
A．汽车在急刹车时向前滑动 B．拧开水龙头
C．雪橇在雪地里滑动 D．电梯的上升与下降
【答案】B
【详解】
A．汽车在急刹车时向前滑动不是旋转，故此选项错误；
B．拧开水龙头属于旋转，故此选项正确；
C．雪橇在雪地里滑动不是旋转，故此选项错误；
D．电梯的上升与下降不是旋转，故此选项错误；
故选：B．
2．如果规定：在平面内，将一个图形绕着某一点旋转一定的角度（小于周角）后能和自身重合，就称此图形为旋转对称图形，旋转的角度称为旋转角．下列图形是旋转对称图形，且有一个旋转角为60°的是（ ）
A．正三角形 B．正方形 C．正六边形 D．正八边形
【答案】C
【详解】
解：A．正三角形的最小旋转角是120°，故此选项不合题意；
B．正方形的旋转角度是90°，故此选项不合题意；
C．正六边形的最小旋转角是60°，故此选项符合题意；
D．正八边形的最小旋转角是45°，故此选项不合题意；
故选：C．
3．如图，将一个含角的直角三角板ABC绕点A旋转，使得点C，A，在同一条直线上，则三角板ABC旋转的角度是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】
解： ∵是由旋转得到.
故选：D．
4．如图，将绕着点O顺时针旋转，得到（点C落在外），若，，则最小旋转角度是（ ）
A．20° B．30° C．40° D．50°
【答案】C
【详解】
∵∠AOB= 30°，∠BOC = 10°，
∴∠AOC=∠AOB+∠COB = 30°+ 10°= 40°
∵将△AOB绕着点O顺时针旋转，得到△COD，
∴最小旋转角为∠AOC = 40°．
故选： C．
5．以原点为中心，将点按逆时针方向旋转，得到的点Q的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】
解：如图所示，建立平面直角坐标系，点Q的坐标为．
故选：C．
6．如图，点D为等边△ABC的边AB上一点，且ADAB，将△ACD绕点C逆时针旋转60°，得到△BCE，连接DE交BC于点F，则下列结论不成立的是（ ）
A．BE∥AC B．△CDE为等边三角形
C．∠BFD＝∠ADC D．DF＝4EF
【答案】D
【详解】
解：∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC，∠A＝∠ABC＝60°，
由旋转的性质得：∠DCE＝60°，△ACD≌△BCE，AC＝BC，AD＝BE，∠A＝∠ABE＝60°，
∴△CDE是等边三角形，∠A＋∠ABE＝180°，
∴BE∥AC，故A，B结论正确，但不符合题意；
∵△ABC和△CDE是等边三角形，
∴∠ABC＝∠CDF＝60°，
∵∠BFD＝∠CDF＋∠DCF＝60°＋∠DCF，
∠ADC＝∠ABC＋∠DCF＝60°＋∠DCF，
∴∠BFD＝∠ADC，故C结论正确，但不符合题意；
故选：D．
二、填空题
7．如图，P是正△ABC内的一点，若将△PAB绕点A逆时针旋转到△P1AC，则∠PAP1等于________度．
【答案】60
【详解】
解：∵ △ABC是正三角形，
∴，
由旋转的性质可知，∠PAP1．
故答案为：60．
8．如图，用六个全等的等边三角形可以拼成一个六边形，三角形的公共顶点为O，则该六边形绕点O至少旋转______°后能与原来的图形重合．
【答案】60
【详解】
解：由题意可知该六边形是正六边形，则可知正六边形每条边所对的圆心角为60°，所以该六边形绕点O至少旋转60°后能与原来的图形重合；
故答案为60．
9．在方格纸上建立如图所示的平面直角坐标系，将△ABO绕点O按顺时针方向旋转90°，得△A′B′O，则点A的对应点A′的坐标为_______．
【答案】（2，3）
【详解】
解：由图知A点的坐标为（-3，2），根据旋转中心O，旋转方向顺时针，旋转角度90°，如图，
故A′的坐标为（2，3）．
故答案为：（2，3）．
10．如图，四边形ABCD是正方形，点E在BC上，△ABE绕正方形的中心经顺时针旋转后与△DAF重合，则∠DGE=______度．
【答案】90
【详解】
解：∵△ABE绕正方形的中心经顺时针旋转后与△DAF重合，
∴∠ADF=∠BAE，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DAF=90°，
∴∠AFD+∠ADF=90°，
∴∠AFD+∠BAE=90°，
∵∠AFD+∠BAE+∠AGF=180°，
∴∠AGF=90°，
∴∠DGE=∠AGF=90°，
故答案为：90．
三、解答题
11．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，把Rt△ABC绕点B逆时针旋转，得到Rt△DBE，点E在AB上，若BC=8，AC=6，求DE及BD的长．
【答案】DE的长为6，BD的长为10．
【详解】
解：∵∠C=90°，BC=8，AC=6，
∴AB==10，
∵把Rt△ABC绕着B点逆时针旋转，得到Rt△DBE，
∴DE=AC=6，BD=AB=10．
∴DE的长为6，BD的长为10．
12．10×10网格中建立如图所示的平面直角坐标系，△ABC是格点三角形(顶点是网格线的交点)．
(1)画出△ABC绕点O逆时针方向旋转90°得到的△A1B1C1；
(2)画出△A1B1C1向下平移4个单位长度得到的△A2B2C2．
【答案】(1)见解析；(2)见解析
【解析】(1)解：如图，为所作；
(2)如图，为所作；
13．综合与探究
【问题情境】
数学活动课上，老师带领同学们一起探索旋转的奥秘．老师出示了一个问题：如图1，在△ABC中，，，点D是边BC上一点，连接AD，将△ABD绕着点A按逆时针方向旋转，使AB与AC重合，得到△ACE．
【操作探究】
(1)试判断△ADE的形状，并说明理由；
【深入探究】
(2)希望小组受此启发，如图2，在线段CD上取一点F，使得，连接EF，发现EF和DF有一定的关系，猜想两者的数量关系，并说明理由；
(3)智慧小组在图2的基础上继续探究，发现CF，FD，DB三条线段也有一定的数量关系，请你直接写出当，时DF的长．
【答案】(1)△ADE为等腰直角三角形，见解析；(2)，见解析；(3)
【解析】(1)解：△ADE为等腰直角三角形，
证明：由旋转得，，
∵．
∴．
∴△ADE为等腰直角三角形；
(2)解：．
证明： ∵，，
∴．
∴
又∵，，
∴△AFE≌△AFD（SAS），
∴ ；
(3)解：．
由旋转得△BAD≌△CAE，
∴BD=CE，∠B=∠ECA，
∵△ABC为等腰直角三角形，
∴∠BCA=∠B=45°，
∴∠ECF=∠BCA+∠ECA=90°，
∴△ECF为直角三角形，
∴,
由（2）得，DF=EF，
∴DF=．
培优第二阶——拓展培优练
一、单选题
1．如图，将绕点A逆时针旋转至的位置，连接，若，，则的度数为（ ）
A．25° B．30° C．28° D．32°
【答案】C
【详解】
解：由旋转可知：，
∴，
∴，
∴，
∴．
故选：C．
2．如图，等边三角形ABC内一点P到三角形三个顶点的距离PA＝3，PB＝4，PC＝5，则∠APB的大小是（ ）
A．150° B．120° C．100° D．以上都不对
【答案】A
【详解】
∵△ABC为等边三角形，
∴BA=BC，
可将△BPC绕点B逆时针旋转60°得△BEA，
如图，连接EP，
∴BE=BP=4，AE=PC=5，∠PBE=60°，
∴△BPE为等边三角形，
∴PE=PB=4，∠BPE=60°，
在△AEP中，AE=5，AP=3，PE=4，
∴AE2=PE2+PA2，
∴△APE为直角三角形，且∠APE=90°，
∴∠APB=90°+60°=150°．
故选：A．
3．如图，已知等边三角形OAB，顶点，，将△OAB绕原点O顺时针旋转，每次旋转90°，则第2021次旋转结束时，顶点A的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】
解：，
每4次一个循环，第2021次绕原点顺时针旋转结束时，相当于绕点顺时针旋转1次，
，，
等边三角形的边长为1，
第2021次旋转结束时，顶点的坐标为，．
故选：D．
4．如图，在平面直角坐标系中，已知点、，对连续作旋转变换依次得到三角形（1），（2），（3），（4），…，则第（6）个三角形的直角顶点的坐标是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】
解：∵点A( 4,0)，B(0,3)，
∴OB=3，OA=4，
∴根据勾股定理得：．
∵对△OAB连续作如图所示的旋转变换，
∴△OAB每三次旋转后回到原来的状态，并且每三次向前移动了3+4+5=12个单位，
∴三角形（6）和的状态一样，
∴三角形（6）的直角顶点的横坐标为2×12=24，纵坐标为0，
∴三角形（6）的直角顶点的坐标为（24，0）．
故选C．
5．如图，在中，，、是斜边上两点，且，将绕点顺时针旋转后，得到，连接．下列结论：①；②；③平分；④，其中正确的结论是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①②③④ D．①③④
【答案】D
【详解】
解：正确的有①③④，
理由是：∵在 中，AB=AC，
∴，
∵将绕点A顺时针旋转后，得到，
∴，
∴BF=DC，，，
∵，，
∴，
∴，
即
∴①正确；
在和中
，
∴，
∴，
即EA平分，
∴③正确；
∴EF=DE，
∵将绕点A顺时针旋转90°后，得到，
∴，BF=DC，
∵，
∴
在中，由勾股定理得：
∵BF=DC，EF=DE，
∴
∴④正确；
根据条件，不能推出，故不能推出BE=DC，
∴②错误；
∴正确的有①③④；
故选：D．
6．如图，在正方形ABCD中，，E为AB边上一点，点F在BC边上，且，将点E绕着点F顺时针旋转90°得到点G，连接DG，则DG的长的最小值为（ ）
A．2 B． C．3 D．
【答案】C
【详解】
解：过点作于点，延长交于点，则，
∵四边形是正方形，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，，
∵，
∴，
又，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∴，
设，则，
在中，由勾股定理得，
，
当时，有最小值为，
∴的最小值为，
故选：C
二、填空题
7．如图，△ABC是边长为6的等边三角形，BD＝CD，∠BDC＝120°，以点D为顶点作一个60°角，使其两边分别交AB于点M，交AC于点N，连接MN，则△AMN的周长是________．
【答案】12
【详解】
将△BDM绕点D旋转120°得到△；
∵△由△BDM旋转所得，
∴DM=，BD=DC，BM=∠=∠BDM；
∵∠BDC＝120°，∠MDN=60°，
∴∠BDM+∠CDN=120°-60°=60°，
故∠+∠CDN=60°，即∠=60°；
在△MDN和△中∶
DM=，∠=∠MDN，DN=DN
∴△MDN≌△；
∴MN=；
△AMN的周长=AM+AN+MN
=AM+AN+
=AM+AN+CN+
=(AM+)+(AN+CN)
=AB+AC；
∵△ABC是边长为6，
∴△AMN的周长=6+6=12．
故答案为：12
8．如图，P是等边三角形内一点，将线段绕点A顺时针旋转得到线段，连接．若，则三角形的面积为____________．
【答案】
【详解】
解：∵三角形为等边三角形，
∴，，
∵线段绕点A顺时针旋转得到线段，
∴，，
∴三角形PAQ为等边三角形，
∴，
∵，
∴，即，
在和中，
，
∴，
∴，
在中，，，，
则有，，即有，
∴为直角三角形，，
∴．
故答案为：6．
9．如图，在平面直角坐标系xOy中，有一个等腰直角三角形AOB，，直角边AO在x轴上，且．将绕原点O顺时针旋转90°，并将旋转后的图形放大，使，得到等腰直角三角形，……，依此规律，得到等腰直角三角形则点的坐标为________．
【答案】
【详解】
解：由题意知，图形每旋转四次就回到原来的象限，且每旋转一次长度扩大3倍，
∵2022÷4＝505……2，
∴点B2022和B2在同一象限，且OB2022＝32023，
∵三角形A2022OB2022是等腰直角三角形，
∴点B2022的坐标为
故答案为：．
10．如图，在正方形ABCD中，E、F分别是边BC、CD上的点，∠EAF＝45°，△ECF的周长为8，则正方形ABCD的边长为_____．
【答案】4
【详解】
解：将△DAF绕点A顺时针旋转90度到△BAF′位置，
由题意可得出：△DAF≌△BAF′，
∴DF=BF′，∠DAF=∠BAF′，
∴∠EAF′=45°，
在△FAE和△EAF′中,
，
∴△FAE≌△EAF′（SAS），
∴EF=EF′，
∵△ECF的周长为8，
∴EF+EC+FC=FC+CE+EF′=FC+BC+BF′=DF+FC+BC=2BC=8，
∴BC=4，
即正方形的边长为4．
故答案为：4．
三、解答题
11．阅读下面材料：
小伟遇到这样一个问题：如图1，在正三角形ABC内有一点P，且，，，求∠APB的度数．
小伟是这样思考的：如图2，利用旋转和全等的知识构造，连接，得到两个特殊的三角形，从而将问题解决．参考小伟同学思考问题的方法，解决下列问题．
(1)请你计算图1中∠APB的度数．
(2)如图3，在正方形ABCD内有一点P，且，，，求∠APB的度数．
【答案】(1)；(2)
【解析】(1)将△APB逆时针旋转60°得到；
∵由△APB旋转60°所得，
∴，
∴，，，，
在中，，，
∴为等边三角形，
∴，，
在中，，即，
∴，
∴，
∴；
(2)将绕A点顺时针旋转90°得，连接，
∵由旋转所得，
∴，
∴，，，∠=90°，
在△中，，且∠=90°，
∴，
∴，
∵，即，
∴，
∴．
12．问题：如图1，在等边三角形ABC内，点P到顶点A、B、C的距离分别是3，4，5，求∠APB的度数？
探究：由于PA、PB、PC不在同一个三角形中，为了解决本题，我们可以将△ABP绕点A逆时针旋转60°到△ACP′处，连结P P′，这样就将三条线段转化到一个三角形中，从而利用全等的知识，求出∠APB的度数．请你写出解答过程：
应用：请你利用上面的方法解答：如图2，△ABC中，∠CAB=90°，AB=AC，E、F为BC上的点，且∠EAF=45°，求证：
【答案】探究：∠APB=150°，应用：见解析
【解析】探究：解：将△ABP绕顶点A旋转到△ACP′处，
∴△BAP≌△CAP′，
∴AB＝AC，AP＝AP′，∠BAP＝∠CAP′，
∴∠BAC＝∠PAP′＝60°，
∴△APP′是等边三角形，
∴∠APP′＝60°，
因为BPP′不一定在一条直线上，
∴P′C＝PB＝4，PP′＝PA＝3，P′C＝PC＝5，
∴∠PP′C＝90°，
∴△PP′C是直角三角形，
∴∠APB＝∠AP′C＝∠APP′+∠P′PC＝60°+90°＝150°，
∴∠BPA＝150°；
应用：证明：把△ACF绕点A顺时针旋转90°，得到△ABG．连接EG．
则△ACF≌△ABG．
∴AG＝AF，BG＝CF，∠ABG＝∠ACF＝45°．
∵∠BAC＝90°，∠GAF＝90°．
∴∠GAE＝∠EAF＝45°，
在△AEG和△AFE中，
，
∴△AEG≌△AFE（SAS）．
∴EF＝EG，
又∵∠GBE＝90°，
∴BE2+BG2＝EG2，
即BE2+CF2＝EF2．
13．△ABC和△DEC是等腰直角三角形，，，．
(1)【观察猜想】当△ABC和△DEC按如图1所示的位置摆放，连接BD、AE，延长BD交AE于点F，猜想线段BD和AE有怎样的数量关系和位置关系．
(2)【探究证明】如图2，将△DCE绕着点C顺时针旋转一定角度，线段BD和线段AE的数量关系和位置关系是否仍然成立？如果成立，请证明：如果不成立，请说明理由．
(3)【拓展应用】如图3，在△ACD中，，，，将AC绕着点C逆时针旋转90°至BC，连接BD，求BD的长．
【答案】(1) ，；(2)成立，理由见解析；(3)
【解析】(1) ，，证明如下：
在和中，
，，，
，
，
，
，
，
，
；
(2)成立，理由如下：
∵，
∴，即，
在和中，
∵，，，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
(3)
如图，过点C作，垂足为C，交AD于点H，
由旋转性质可得：，，
∵，
∴，
∵，且，
∴，
∴，
∴，
在中：，
∵，
∴，即，
在和中，
∵，，，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴是直角三角形，
在中，．
培优第三阶——中考沙场点兵
一、单选题
1．（2022·上海·中考真题）有一个正n边形旋转后与自身重合，则n为（ ）
A．6 B．9 C．12 D．15
【答案】C
【详解】
如图所示，计算出每个正多边形的中心角，是的3倍，则可以旋转得到．
A.B.C.D.
观察四个正多边形的中心角，可以发现正12边形旋转90°后能与自身重合
故选C．
2．（2022·四川南充·中考真题）如图，将直角三角板绕顶点A顺时针旋转到，点恰好落在的延长线上，，则为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】
∵，
∴，
∵由旋转可知，
∴，
故答案选：B．
3．（2022·山东聊城·中考真题）如图，在直角坐标系中，线段是将绕着点逆时针旋转一定角度后得到的的一部分，则点的对应点的坐标是（ ）
A．(-2，3) B．(-3，2) C．(-2，4) D．(-3，3)
【答案】A
【解析】
【分析】
根据旋转的性质解答即可．
【详解】
解：∵线段是将绕着点逆时针旋转一定角度后得到的的一部分，
∴的对应点为，∴，∴旋转角为90°，
∴点C绕点P逆时针旋转90°得到的点的坐标为（-2，3），
故选：A．
4．（2022·湖南·中考真题）如图，点是等边三角形内一点，，，，则与的面积之和为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】
解：将绕点顺时针旋转得，连接，
，，，
是等边三角形，
，
∵，，
，
，
与的面积之和为
．
故选：C．
5．（2022·内蒙古呼和浩特·中考真题）如图，中，，将绕点顺时针旋转得到，使点的对应点恰好落在边上，、交于点．若，则的度数是（用含的代数式表示）（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】
解：∵将绕点顺时针旋转得到，且
∴BC=DC，∠ACE=α，∠A=∠E，
∴∠B=∠BDC，
∴，
∴，
∴，
，
故选：C．
6．（2022·天津·中考真题）如图，在△ABC中，AB=AC，若M是BC边上任意一点，将△ABM绕点A逆时针旋转得到△ACN，点M的对应点为点N，连接MN，则下列结论一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】
解：∵将△ABM绕点A逆时针旋转得到△ACN，∴△ABM≌△ACN，
∴AB=AC，AM=AN，
∴AB不一定等于AN，故选项A不符合题意；
∵△ABM≌△ACN，
∴∠ACN=∠B，
而∠CAB不一定等于∠B，
∴∠ACN不一定等于∠CAB，
∴AB与CN不一定平行，故选项B不符合题意；
∵△ABM≌△ACN，
∴∠BAM=∠CAN，∠ACN=∠B，
∴∠BAC=∠MAN，
∵AM=AN，AB=AC，
∴△ABC和△AMN都是等腰三角形，且顶角相等，
∴∠B=∠AMN，
∴∠AMN=∠ACN，故选项C符合题意；
∵AM=AN，
而AC不一定平分∠MAN，
∴AC与MN不一定垂直，故选项D不符合题意；
故选：C．
二、填空题
7．（2022·广东广州·中考真题）如图，在矩形ABCD中，BC=2AB，点P为边AD上的一个动点，线段BP绕点B顺时针旋转60°得到线段BP'，连接PP' ，CP'．当点P' 落在边BC上时，∠PP'C的度数为________； 当线段CP' 的长度最小时，∠PP'C的度数为________
【答案】 120°##120度 75°##75度
【详解】
解：由线段BP绕点B顺时针旋转60°得到线段BP'可知，△BPP′为等边三角形，
∴∠PP′B=60°，
当点P' 落在边BC上时，∠PP'C=180°-∠PP′B=180°-60°=120°；
将线段BA绕点B逆时针旋转60°，点A落在点E，连接BE，设EP′交BC于G点，如下图所示：
则∠ABP=∠ABE-∠PBE=60°-∠PBE，∠EBP′=∠PBP′-∠PBE=60°-∠PBE，
∴∠ABP=∠EBP′，
且BA=BE，BP=BP′，
∴△ABP≌△EBP′(SAS),
∴AP=EP′，∠E=∠A=90°，
由点P' 落在边BC上时，∠PP'C=120°可知，∠EGC=120°，
∴∠CGP′=∠EGB=180°-120°=60°，
∴△EBG于△P′CG均为30°、60°、90°直角三角形，
设EG=x，BC=2y，
则BG=2EG=2x，CG=BC-BG=2y-2x，GP′=CG=y-x，
∴EP′=EG+GP′=x+(y-x)=y=BC，
又已知AB=BC，∴EP′=AB，
又由△ABP≌△EBP′知：AP=EP′，
∴AB=AP，
∴△ABP为等腰直角三角形，
∴∠EP′B=∠APB=45°，∠EP′P=60°-∠EP′B=60°-45°=15°，
当CP′⊥EF于H时，CP′有最小值，
此时∠PP'C=∠EP′C-∠EP′P=90°-15°=75°，
故答案为：120°，75°．
8．（2022·山东潍坊·中考真题）如图，在直角坐标系中，边长为2个单位长度的正方形绕原点O逆时针旋转，再沿y轴方向向上平移1个单位长度，则点的坐标为___________．
【答案】
【详解】
解：如图：连接OB，，作⊥y轴
∵是正方形，OA=2
∴∠COB=45°，OB=
∵绕原点O逆时针旋转
∴∠=75°
∴∠=30°
∵=OB=
∴，
∴
∵沿y轴方向向上平移1个单位长度
∴
故答案为：
9．（2022·河南·中考真题）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，，点D为AB的中点，点P在AC上，且CP＝1，将CP绕点C在平面内旋转，点P的对应点为点Q，连接AQ，DQ．当∠ADQ＝90°时，AQ的长为______．
【答案】或
【详解】
如图，连接，
在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，，
，，
，
根据题意可得，当∠ADQ＝90°时，点在上，且，
，
如图，在中，，
在中，
故答案为：或．
10．（2022·广西贺州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，为等腰三角形，，点B到x轴的距离为4，若将绕点O逆时针旋转，得到，则点的坐标为__________．
【答案】
【详解】
过B作于，过作轴于，
∴，
∴，
由旋转可知，，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
三、解答题
11．（2022·山东临沂·中考真题）已知是等边三角形，点B，D关于直线AC对称，连接AD，CD．
(1)求证：四边形ABCD是菱形；
(2)在线段AC上任取一点Р（端点除外），连接PD．将线段PD绕点Р逆时针旋转，使点D落在BA延长线上的点Q处．请探究：当点Р在线段AC上的位置发生变化时，的大小是否发生变化？说明理由．
(3)在满足（2）的条件下，探究线段AQ与CP之间的数量关系，并加以证明．
【答案】(1)见解析；(2)大小不变，理由见解析；(3)，证明见解析
【解析】(1)
连接BD，
是等边三角形，
，
点B，D关于直线AC对称，
AC垂直平分BD，
，
，
四边形ABCD是菱形；
(2)当点Р在线段AC上的位置发生变化时，的大小不发生变化，始终等于60°，理由如下：
将线段PD绕点Р逆时针旋转，使点D落在BA延长线上的点Q处，
，
是等边三角形，
，
连接PB，过点P作交AB于点E，PF⊥AB于点F，
则，
，
是等边三角形，
，
，
，
点B，D关于直线AC对称，点P在线段AC上，
PB = PD，∠DPA =∠BPA，
PQ = PD，
，
，
∠QPF -∠APF =∠BPF -∠EPF，
即∠QPA = ∠BPE，
∠DPQ =∠DPA - ∠QPA=∠BPA-∠BPE = ∠APE = 60°；
(3)AQ= CP，证明如下：
AC = AB，AP= AE，
AC - AP = AB – AE，即CP= BE，
AP = EP，PF⊥AB，
AF = FE，
PQ= PD，PF⊥AB，
QF = BF，
QF - AF = BF – EF，即AQ= BE，
AQ= CP．
12．（2022·四川凉山·中考真题）在平面直角坐标系xoy中，已知抛物线y＝－x2＋bx＋c经过点A（－1，0）和点B（0，3），顶点为C，点D在其对称轴上，且位于点C下方，将线段DC绕点D按顺时针方向旋转90°，点C落在抛物线上的点P处．
(1)求抛物线的解析式；
(2)求点P的坐标；
(3)将抛物线平移，使其顶点落在原点O，这时点P落在点E的位置，在y轴上是否存在点M，使得MP＋ME的值最小，若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)；(2)；(3)存在，
【解析】(1)解：将点代入得：，解得，
则抛物线的解析式为．
(2)解：抛物线的对称轴为直线，其顶点的坐标为，
设点的坐标为，则，
由旋转的性质得：，
，即，
将点代入得：，
解得或（舍去），
当时，，
所以点的坐标为．
(3)解：抛物线的顶点的坐标为，
则将其先向左平移1个单位长度，再向下平移4个单位长度恰好落在原点，
这时点落在点的位置，且，
，即，恰好在对称轴直线上，
如图，作点关于轴的对称点，连接，
则，
由两点之间线段最短可知，与轴的交点即为所求的点，此时的值最小，即的值最小，
由轴对称的性质得：，
设直线的解析式为，
将点代入得：，解得，
则直线的解析式为，
当时，，
故在轴上存在点，使得的值最小，此时点的坐标为．
13．（2021·四川德阳·中考真题）如图，点E是矩形ABCD的边BC上一点，将△ABE绕点A逆时针旋转至△AB1E1的位置，此时E、B1、E1三点恰好共线．点M、N分别是AE和AE1的中点，连接MN、NB1．
（1）求证：四边形MEB1N是平行四边形；
（2）延长EE1交AD于点F，若EB1＝E1F，，判断△AE1F与△CB1E是否全等，并说明理由．
【答案】（1）见解析；（2）全等，理由见解析
【详解】
解：（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B=90°，
∵△AB1E1是△ABE旋转所得的，
∴AE=AE1，∠AB1E1=∠AB1E=∠B=90°，
∴B1是EE1的中点，
∴EB1=EE1，
∵M、N分别是AE和AE1的中点，
∴MN∥EB1，MN=EE1，
∴EB1=MN，
∴四边形MEB1N为平行四边形，
（2）△AE1F≌△CEB1，
证明：连接FC，
∵EB1=B1E1=E1F，
∴=S△EAF，
同理，=SFEC，
∵=S△EB1C，
∴S△EAF=S△FEC，
∵AF∥EC，
∴△AEF底边AF上的高和△FEC底边上的高相等．
∴AF=EC．
∵AF∥EC，
∴∠AFE=∠FEC，
在△AE1F和△CEB1中，
，
∴△AE1F≌△CEB1（SAS）．
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23.1图形的旋转
(
课后培优练
级练
)
培优第一阶——基础过关练
一、单选题
1．下列现象中属于旋转的是（ ）
A．汽车在急刹车时向前滑动 B．拧开水龙头
C．雪橇在雪地里滑动 D．电梯的上升与下降
2．如果规定：在平面内，将一个图形绕着某一点旋转一定的角度（小于周角）后能和自身重合，就称此图形为旋转对称图形，旋转的角度称为旋转角．下列图形是旋转对称图形，且有一个旋转角为60°的是（ ）
A．正三角形 B．正方形 C．正六边形 D．正八边形
3．如图，将一个含角的直角三角板ABC绕点A旋转，使得点C，A，在同一条直线上，则三角板ABC旋转的角度是（ ）
A． B． C． D．
4．如图，将绕着点O顺时针旋转，得到（点C落在外），若，，则最小旋转角度是（ ）
A．20° B．30° C．40° D．50°
5．以原点为中心，将点按逆时针方向旋转，得到的点Q的坐标为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，点D为等边△ABC的边AB上一点，且ADAB，将△ACD绕点C逆时针旋转60°，得到△BCE，连接DE交BC于点F，则下列结论不成立的是（ ）
A．BE∥AC B．△CDE为等边三角形
C．∠BFD＝∠ADC D．DF＝4EF
二、填空题
7．如图，P是正△ABC内的一点，若将△PAB绕点A逆时针旋转到△P1AC，则∠PAP1等于________度．
8．如图，用六个全等的等边三角形可以拼成一个六边形，三角形的公共顶点为O，则该六边形绕点O至少旋转______°后能与原来的图形重合．
9．在方格纸上建立如图所示的平面直角坐标系，将△ABO绕点O按顺时针方向旋转90°，得△A′B′O，则点A的对应点A′的坐标为_______．
10．如图，四边形ABCD是正方形，点E在BC上，△ABE绕正方形的中心经顺时针旋转后与△DAF重合，则∠DGE=______度．
三、解答题
11．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，把Rt△ABC绕点B逆时针旋转，得到Rt△DBE，点E在AB上，若BC=8，AC=6，求DE及BD的长．
【答案】DE的长为6，BD的长为10．
12．10×10网格中建立如图所示的平面直角坐标系，△ABC是格点三角形(顶点是网格线的交点)．
(1)画出△ABC绕点O逆时针方向旋转90°得到的△A1B1C1；
(2)画出△A1B1C1向下平移4个单位长度得到的△A2B2C2．
13．综合与探究
【问题情境】
数学活动课上，老师带领同学们一起探索旋转的奥秘．老师出示了一个问题：如图1，在△ABC中，，，点D是边BC上一点，连接AD，将△ABD绕着点A按逆时针方向旋转，使AB与AC重合，得到△ACE．
【操作探究】
(1)试判断△ADE的形状，并说明理由；
【深入探究】
(2)希望小组受此启发，如图2，在线段CD上取一点F，使得，连接EF，发现EF和DF有一定的关系，猜想两者的数量关系，并说明理由；
(3)智慧小组在图2的基础上继续探究，发现CF，FD，DB三条线段也有一定的数量关系，请你直接写出当，时DF的长．
培优第二阶——拓展培优练
一、单选题
1．如图，将绕点A逆时针旋转至的位置，连接，若，，则的度数为（ ）
A．25° B．30° C．28° D．32°
2．如图，等边三角形ABC内一点P到三角形三个顶点的距离PA＝3，PB＝4，PC＝5，则∠APB的大小是（ ）
A．150° B．120° C．100° D．以上都不对
3．如图，已知等边三角形OAB，顶点，，将△OAB绕原点O顺时针旋转，每次旋转90°，则第2021次旋转结束时，顶点A的坐标为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，在平面直角坐标系中，已知点、，对连续作旋转变换依次得到三角形（1），（2），（3），（4），…，则第（6）个三角形的直角顶点的坐标是（ ）．
A． B． C． D．
5．如图，在中，，、是斜边上两点，且，将绕点顺时针旋转后，得到，连接．下列结论：①；②；③平分；④，其中正确的结论是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①②③④ D．①③④
6．如图，在正方形ABCD中，，E为AB边上一点，点F在BC边上，且，将点E绕着点F顺时针旋转90°得到点G，连接DG，则DG的长的最小值为（ ）
A．2 B． C．3 D．
二、填空题
7．如图，△ABC是边长为6的等边三角形，BD＝CD，∠BDC＝120°，以点D为顶点作一个60°角，使其两边分别交AB于点M，交AC于点N，连接MN，则△AMN的周长是________．
8．如图，P是等边三角形内一点，将线段绕点A顺时针旋转得到线段，连接．若，则三角形的面积为____________．
9．如图，在平面直角坐标系xOy中，有一个等腰直角三角形AOB，，直角边AO在x轴上，且．将绕原点O顺时针旋转90°，并将旋转后的图形放大，使，得到等腰直角三角形，……，依此规律，得到等腰直角三角形则点的坐标为________．
10．如图，在正方形ABCD中，E、F分别是边BC、CD上的点，∠EAF＝45°，△ECF的周长为8，则正方形ABCD的边长为_____．
三、解答题
11．阅读下面材料：
小伟遇到这样一个问题：如图1，在正三角形ABC内有一点P，且，，，求∠APB的度数．
小伟是这样思考的：如图2，利用旋转和全等的知识构造，连接，得到两个特殊的三角形，从而将问题解决．参考小伟同学思考问题的方法，解决下列问题．
(1)请你计算图1中∠APB的度数．
(2)如图3，在正方形ABCD内有一点P，且，，，求∠APB的度数．
12．问题：如图1，在等边三角形ABC内，点P到顶点A、B、C的距离分别是3，4，5，求∠APB的度数？
探究：由于PA、PB、PC不在同一个三角形中，为了解决本题，我们可以将△ABP绕点A逆时针旋转60°到△ACP′处，连结P P′，这样就将三条线段转化到一个三角形中，从而利用全等的知识，求出∠APB的度数．请你写出解答过程：
应用：请你利用上面的方法解答：如图2，△ABC中，∠CAB=90°，AB=AC，E、F为BC上的点，且∠EAF=45°，求证：
13．△ABC和△DEC是等腰直角三角形，，，．
(1)【观察猜想】当△ABC和△DEC按如图1所示的位置摆放，连接BD、AE，延长BD交AE于点F，猜想线段BD和AE有怎样的数量关系和位置关系．
(2)【探究证明】如图2，将△DCE绕着点C顺时针旋转一定角度，线段BD和线段AE的数量关系和位置关系是否仍然成立？如果成立，请证明：如果不成立，请说明理由．
(3)【拓展应用】如图3，在△ACD中，，，，将AC绕着点C逆时针旋转90°至BC，连接BD，求BD的长．
培优第三阶——中考沙场点兵
一、单选题
1．（2022·上海·中考真题）有一个正n边形旋转后与自身重合，则n为（ ）
A．6 B．9 C．12 D．15
2．（2022·四川南充·中考真题）如图，将直角三角板绕顶点A顺时针旋转到，点恰好落在的延长线上，，则为（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·山东聊城·中考真题）如图，在直角坐标系中，线段是将绕着点逆时针旋转一定角度后得到的的一部分，则点的对应点的坐标是（ ）
A．(-2，3) B．(-3，2) C．(-2，4) D．(-3，3)
4．（2022·湖南·中考真题）如图，点是等边三角形内一点，，，，则与的面积之和为（ ）
A． B． C． D．
5．（2022·内蒙古呼和浩特·中考真题）如图，中，，将绕点顺时针旋转得到，使点的对应点恰好落在边上，、交于点．若，则的度数是（用含的代数式表示）（ ）
A． B． C． D．
6．（2022·天津·中考真题）如图，在△ABC中，AB=AC，若M是BC边上任意一点，将△ABM绕点A逆时针旋转得到△ACN，点M的对应点为点N，连接MN，则下列结论一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
7．（2022·广东广州·中考真题）如图，在矩形ABCD中，BC=2AB，点P为边AD上的一个动点，线段BP绕点B顺时针旋转60°得到线段BP'，连接PP' ，CP'．当点P' 落在边BC上时，∠PP'C的度数为________； 当线段CP' 的长度最小时，∠PP'C的度数为________
8．（2022·山东潍坊·中考真题）如图，在直角坐标系中，边长为2个单位长度的正方形绕原点O逆时针旋转，再沿y轴方向向上平移1个单位长度，则点的坐标为___________．
9．（2022·河南·中考真题）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，，点D为AB的中点，点P在AC上，且CP＝1，将CP绕点C在平面内旋转，点P的对应点为点Q，连接AQ，DQ．当∠ADQ＝90°时，AQ的长为______．
10．（2022·广西贺州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，为等腰三角形，，点B到x轴的距离为4，若将绕点O逆时针旋转，得到，则点的坐标为__________．
三、解答题
11．（2022·山东临沂·中考真题）已知是等边三角形，点B，D关于直线AC对称，连接AD，CD．
(1)求证：四边形ABCD是菱形；
(2)在线段AC上任取一点Р（端点除外），连接PD．将线段PD绕点Р逆时针旋转，使点D落在BA延长线上的点Q处．请探究：当点Р在线段AC上的位置发生变化时，的大小是否发生变化？说明理由．
(3)在满足（2）的条件下，探究线段AQ与CP之间的数量关系，并加以证明．
12．（2022·四川凉山·中考真题）在平面直角坐标系xoy中，已知抛物线y＝－x2＋bx＋c经过点A（－1，0）和点B（0，3），顶点为C，点D在其对称轴上，且位于点C下方，将线段DC绕点D按顺时针方向旋转90°，点C落在抛物线上的点P处．
(1)求抛物线的解析式；
(2)求点P的坐标；
(3)将抛物线平移，使其顶点落在原点O，这时点P落在点E的位置，在y轴上是否存在点M，使得MP＋ME的值最小，若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
13．（2021·四川德阳·中考真题）如图，点E是矩形ABCD的边BC上一点，将△ABE绕点A逆时针旋转至△AB1E1的位置，此时E、B1、E1三点恰好共线．点M、N分别是AE和AE1的中点，连接MN、NB1．
（1）求证：四边形MEB1N是平行四边形；
（2）延长EE1交AD于点F，若EB1＝E1F，，判断△AE1F与△CB1E是否全等，并说明理由．
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