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24.1圆的有关性质
(
课后培优练
)
培优第一阶——基础过关练
一、单选题
1．下列语句不正确的有（ ）个．
①直径是弦；②优弧一定大于劣弧；③长度相等的弧是等弧；④半圆是弧．
A．1 B．2 C．3 D．4
2．下列说法：（1）长度相等的弧是等弧；（2）相等的圆周角所对的弧相等；（3）劣弧一定比优弧短；（4）直径是圆中最长的弦．其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．一个圆弧形蔬菜大棚的剖面如图所示，已知AB＝16m，半径OA＝10m，则高度CD的长为（ ）
A．2m B．4m C．6m D．8m
4．如图，在⊙O中，弦AB，AC互相垂直，D，E分别为AB，AC的中点，则四边形OEAD是（ ）
A．梯形 B．矩形 C．菱形 D．正方形
5．如图，AB是⊙O的弦，点C是的中点，OC交AB于点D．若，⊙O的半径为5，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
6．如图，点是⊙O的圆心，点、、在⊙O上，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
7．如图是一个隧道的横截面，它的形状是以点O为圆心的圆的一部分，如果C是中弦AB的中点，CD经过圆心O交于点D，并且，，则的半径长为______m．
8．如图，在中，，，以为圆心，为半径的圆交于点，交于点．求弧所对的圆心角的度数_____．
9．如图，在⊙O中，点A，B，C是⊙O上的点，∠AOB=40°，则∠C的度数为_____．
10．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为⊙O的直径，∠ADC=130°，连接AC，则∠BAC的度数为___________．
三、解答题
11．如图，已知为的直径，，为上两点，，连接，过点作，垂足为点，求证：．
12．如图，在⊙O中，＝，∠BOC＝120°．求证：△ABC是等边三角形．
13．已知：如图，中，以AB为直径的⊙O分别交BC，AC于点D，E，连接DE，若．求证：．
培优第二阶——拓展培优练
一、单选题
1．如图，的半径为，圆心的坐标为，是上的任意一点，，且、与轴分别交于、两点若点、关于原点对称，则长的最小值为（ ）
A． B． C． D．
2．已知⊙O的直径CD＝100cm，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M，且AB＝96cm，则AC的长为（ ）
A．36cm或64cm B．60cm或80cm C．80cm D．60cm
3．如图，在半圆中，直径，是半圆上一点，将弧沿弦折叠交于，点是弧的中点．连接，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，中，，，．点为内一点，且满足．当的长度最小时，的面积是（ ）
A．3 B． C． D．
5．如图，AB为⊙O的直径，点D是弧AC的中点，过点D作DE⊥AB于点E，延长DE交⊙OO于点F，若AC=12，AE=3，则⊙O的直径长为（ ）
A．10 B．13 C．15 D．16
6．如图，点D在半圆O上，半径OB＝，AD＝10，点C在弧BD上移动，连接AC，H是AC上一点，∠DHC＝90°，连接BH，点C在移动的过程中，BH的最小值是（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
二、填空题
7．如图，在△ABC中，，，，，则AD的长的最大值为______．
8．如图，正方形的边长为10，点G是边的中点，点E是边上一动点，连接，将沿翻折得到，连接．当最小时，的长是_____________．
9．如图，在半径为3的中，B是劣弧AC的中点，连接AB并延长到D，使，连接AC、BC、CD，如果，那么CD等于______．
10．在⊙O中，AB是直径，AB＝2，C是上一点，D、E分别是、的中点，M是弦DE的中点，则CM的取值范围是__________________．
三、解答题
11．如图，是的直径，点、是上的点，且，分别与、相交于点、．
（1）求证：点为的中点；
（2）若，，求的长；
（3）若的半径为，，点是线段上任意一点，试求出的最小值．
12．已知的直径，弦与弦交于点E．且，垂足为点F．
（1）如图1，如果，求弦的长；
（2）如图2，如果E为弦的中点，求
13．几何模型：
条件：如图1，A、B是直线l同侧的两个定点．
问题：在直线l上确定一点P，使的值最小，
方法：作点B关于直线l的对称点，连接交l于点P，则的值最小．
直接应用：
(1)如图2，正方形ABCD的边长为8，M在DC上，且，N是AC上一动点，则的最小值为______．
变式练习：
(2)如图3，点A是半圆上（半径为1）的三等分点，B是的中点，P是直径MN上一动点，求的最小值．
深化拓展：
(3)如图4，在锐角中，，，的平分线交BC于点D，M、N分别是AD和AB上的动点，求的最小值．
(4)如图5，在四边形ABCD的对角线AC上找一点P，使．（要求：保留作图痕迹，并简述作法．）
培优第三阶——中考沙场点兵
一、单选题
1．（2022·青海·中考真题）如图所示，，，以点A为圆心，AB长为半径画弧交x轴负半轴于点C，则点C的坐标为（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·山东泰安·中考真题）如图，四边形为矩形，，．点P是线段上一动点，点M为线段上一点．，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·四川泸州·中考真题）如图，是的直径，垂直于弦于点，的延长线交于点．若，，则的长是（ ）
A．1 B． C．2 D．4
4．（2022·山东聊城·中考真题）如图，AB，CD是的弦，延长AB，CD相交于点P．已知，，则的度数是（ ）
A．30° B．25° C．20° D．10°
5．（2022·甘肃兰州·中考真题）如图，内接于，CD是的直径，，则（ ）
A．70° B．60° C．50° D．40°
6．（2022·辽宁锦州·中考真题）如图，线段是半圆O的直径。分别以点A和点O为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于M，N两点，作直线，交半圆O于点C，交于点E，连接，，若，则的长是（ ）
A． B．4 C．6 D．
二、填空题
7．（2022·吉林·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点在轴正半轴上，以点为圆心，长为半径作弧，交轴正半轴于点，则点的坐标为__________．
8．（2022·湖北荆州·中考真题）如图，将一个球放置在圆柱形玻璃瓶上，测得瓶高AB＝20cm，底面直径BC＝12cm，球的最高点到瓶底面的距离为32cm，则球的半径为______cm（玻璃瓶厚度忽略不计）．
9．（2022·四川雅安·中考真题）如图，∠DCE是⊙O内接四边形ABCD的一个外角，若∠DCE＝72°，那么∠BOD的度数为 _____．
10．（2022·黑龙江·中考真题）如图，在中，AB是的弦，的半径为3cm，C为上一点，，则AB的长为________cm．
三、解答题
11．（2022·湖北宜昌·中考真题）石拱桥是我国古代人民勤劳和智慧的结晶（如图1），隋代建造的赵州桥距今约有1400年历史，是我国古代石拱桥的代表．如图2是根据某石拱桥的实物图画出的几何图形，桥的主桥拱是圆弧形，表示为．桥的跨度（弧所对的弦长），设所在圆的圆心为，半径，垂足为．拱高（弧的中点到弦的距离）．连接．
(1)直接判断与的数量关系；
(2)求这座石拱桥主桥拱的半径（精确到）．
12．（2022·江苏盐城·中考真题）证明：垂直于弦的直径平分弦以及弦所对的两条弧．
13．（2022·山东泰安·中考真题）问题探究
（1）在中，，分别是与的平分线．
①若，，如图，试证明；
②将①中的条件“”去掉，其他条件不变，如图，问①中的结论是否成立？并说明理由．
迁移运用
（2）若四边形是圆的内接四边形，且，，如图，试探究线段，，之间的等量关系，并证明．
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24.1圆的有关性质
(
课后培优练
)
培优第一阶——基础过关练
一、单选题
1．下列语句不正确的有（ ）个．
①直径是弦；②优弧一定大于劣弧；③长度相等的弧是等弧；④半圆是弧．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【详解】
解：①直径是弦，①正确；
②在同圆或等圆中，优弧大于劣弧，②错误；
③在同圆或等圆中，长度相等的弧是等弧，③错误；
④半圆是弧，④正确；
故不正确的有个．
故选：B．
2．下列说法：（1）长度相等的弧是等弧；（2）相等的圆周角所对的弧相等；（3）劣弧一定比优弧短；（4）直径是圆中最长的弦．其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】A
【详解】
解：（1）长度相等的弧不一定是等弧，弧的度数必须相同，故错误；
（2）同圆或等圆中相等的圆心角所对的弧相等，故错误；
（3）同圆或等圆中劣弧一定比优弧短，故错误；
（4）直径是圆中最长的弦，正确，
综上所述，四个说法中正确的只有1个，
故选：A．
3．一个圆弧形蔬菜大棚的剖面如图所示，已知AB＝16m，半径OA＝10m，则高度CD的长为（ ）
A．2m B．4m C．6m D．8m
【答案】B
【详解】
∵CD垂直平分AB，
∴AD＝＝8m
∴OD＝＝6m
∴CD＝OC﹣OD＝10﹣6＝4m
故选：B．
4．如图，在⊙O中，弦AB，AC互相垂直，D，E分别为AB，AC的中点，则四边形OEAD是（ ）
A．梯形 B．矩形 C．菱形 D．正方形
【答案】B
【详解】
D，E分别为AB，AC的中点，
，
，
四边形OEAD是矩形(有三个角是直角的四边形是矩形)．
5．如图，AB是⊙O的弦，点C是的中点，OC交AB于点D．若，⊙O的半径为5，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【详解】
解：如图，连接OA，OB，
∵C是的中点，
∴=，
∴∠AOC=∠BOC，
又∵OA=OB=5，AB=8，
∴OC⊥AB，AD=BD=AB=4（等腰三角形的三线合一），
在Rt△AOD中
由勾股定理得：OD=，
∴CD=OC-OD=5-3=2．
故选：B．
6．如图，点是⊙O的圆心，点、、在⊙O上，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】
解：在⊙O中，
∠ACB＝∠AOB，
∠AOB＝48°，
∴∠ACB＝24°，
故选：B．
二、填空题
7．如图是一个隧道的横截面，它的形状是以点O为圆心的圆的一部分，如果C是中弦AB的中点，CD经过圆心O交于点D，并且，，则的半径长为______m．
【答案】
【详解】
解：如图，连接，
是中的弦的中点，且，
，，
设的半径长为，则，
，
，
在中，，即，
解得，
即的半径长为，
故答案为：．
8．如图，在中，，，以为圆心，为半径的圆交于点，交于点．求弧所对的圆心角的度数_____．
【答案】
【详解】
解：连接CD，如图所示：
∵∠ACB=90°，∠B=36°，
∴∠A=90°-∠B=54°，
∵CA=CD，
∴∠CDA=∠A=54°，
∴∠ACD=180°-54°-54°=72°，
∴∠DCE=90°-∠ACD=18°，
故答案为：18°．
9．如图，在⊙O中，点A，B，C是⊙O上的点，∠AOB=40°，则∠C的度数为_____．
【答案】20°
【详解】
解：∵∠AOB＝40°，∠C∠AOB，
∴∠C40°＝20°．
故答案为：20°．
10．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为⊙O的直径，∠ADC=130°，连接AC，则∠BAC的度数为___________．
【答案】40°
【详解】
解：∵四边形ABCD内接与⊙O，∠ADC=130°，
∴∠B=180°-∠ADC=180°-130°=50°，
∵AB为直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠CAB=90°-∠B=90°-50°=40°，
故答案为：40°．
三、解答题
11．如图，已知为的直径，，为上两点，，连接，过点作，垂足为点，求证：．
【答案】见解析
【详解】
解：连接DO并延长交⊙O于G，连接DC，DB，延长DE交⊙O于F，
∵AB为⊙O的直径，
∴DE=DF，，
∵，
∴DG⊥AC，∠C=∠B，，
∵∠1+∠C=90°，∠2+∠B=90°，
∴∠1=∠2，
∴，
∴，
∴AC=DF，
∴DE=AC．
12．如图，在⊙O中，＝，∠BOC＝120°．求证：△ABC是等边三角形．
【答案】见解析
【详解】
证明：∵＝，
∴AB=AC，
∵∠BOC＝120°．
∴，
∴△ABC是等边三角形．
13．已知：如图，中，以AB为直径的⊙O分别交BC，AC于点D，E，连接DE，若．求证：．
【答案】见解析
【详解】
连接，如图，
AB为直径的⊙O，
，
，
，
，
，
又，
，
，
，
．
培优第二阶——拓展培优练
一、单选题
1．如图，的半径为，圆心的坐标为，是上的任意一点，，且、与轴分别交于、两点若点、关于原点对称，则长的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】
解：∵PA⊥PB，∴∠APB=90°，
∵OA=OB，∴AB=2OP，
若要使AB取得最小值，则OP需取最小值，
连接OM，交于N，当点P位于点N时，OP取得最小值，
过点M作MQ⊥x轴于点Q，
则OQ=6，MQ=8，
∴OM=10，
又∵MN=4，
∴ON=6，∴AB=2ON=12，
故选：C．
2．已知⊙O的直径CD＝100cm，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M，且AB＝96cm，则AC的长为（ ）
A．36cm或64cm B．60cm或80cm C．80cm D．60cm
【答案】B
【详解】
解：连接AC，AO，
∵⊙O的直径CD＝100cm，AB⊥CD，AB＝96cm，
∴AM＝AB＝×96＝48（cm），OD＝OC＝50（cm），
如图1，∵OA＝50cm，AM＝48cm，CD⊥AB，
∴OM＝＝＝14（cm），
∴CM＝OC+OM＝50+14＝64（cm），
∴AC＝＝＝80（cm）；
如图2，同理可得，OM＝14cm，
∵OC＝50cm，
∴MC＝＝36（cm），
在Rt△AMC中，AC＝＝60（cm）；
综上所述，AC的长为80cm或60cm，
故选：B．
3．如图，在半圆中，直径，是半圆上一点，将弧沿弦折叠交于，点是弧的中点．连接，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】
解：把弧AEC的圆补全为⊙F，可知点F与点O关于AC对称，半径为2，
∴∠FCA=∠ACO，
∵OA=OC，
∴∠ACO=∠CAO，
∴∠FCA=∠CAO，
∴CF∥AB，
∵是弧的中点，
∴FE⊥AB，
∴∠F=∠BGE=90°，
∵FC=FE=2，
∴EC=，
∵OE≥EC-OC
即OE≥-2，
的最小值为，
故选：D．
4．如图，中，，，．点为内一点，且满足．当的长度最小时，的面积是（ ）
A．3 B． C． D．
【答案】D
【详解】
解：
取中点O，并以O为圆心，长为半径画圆
由题意知：当B、P、O三点共线时，BP最短
点P是BO的中点
在中，
是等边三角形
在中，
．
5．如图，AB为⊙O的直径，点D是弧AC的中点，过点D作DE⊥AB于点E，延长DE交⊙OO于点F，若AC=12，AE=3，则⊙O的直径长为（ ）
A．10 B．13 C．15 D．16
【答案】C
【详解】
解：如图，连接OF，
∵DE⊥AB，AB为⊙O的直径，
∴.
∵D是弧AC的中点，
∴，
∴，
∴AC=DF=12，
∴EF=6，
设OA=x，
∵OF2=OE2+EF2，
∴x2=（x-3）2+62，
解得：x=7.5，
∴⊙O的直径长为15，
故选：C.
6．如图，点D在半圆O上，半径OB＝，AD＝10，点C在弧BD上移动，连接AC，H是AC上一点，∠DHC＝90°，连接BH，点C在移动的过程中，BH的最小值是（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】C
【详解】
解：如图，取AD的中点M，连接BD，HM，BM．
∵∠DHC=90°，
∴∠AHD＝90°，
∴点H在以M为圆心，MD为半径的⊙M上，
∴当M、H、B共线时，BH的值最小，
∵AB是直径，
∴∠ADB＝90°，
∴BD＝＝12，
∴BM＝＝＝13，
∴BH的最小值为BM﹣MH＝13﹣5＝8．
故选：C．
二、填空题
7．如图，在△ABC中，，，，，则AD的长的最大值为______．
【答案】
【详解】
方法1：以AB为直角边在AB的上方作等腰直角△EAB，且EA=AB，连接 DE，如图，
则∠ABE=45°，由勾股定理得．
∵，，
∴∠CBD=45°=∠ABE，，
∴∠BED+∠EBC=∠EBC+∠ABE，即∠EBD=∠ABC．
∵，
∴△BED∽△BAC，
∴∠EDB=∠ACB=60°．
∵，
∴点D的运动轨迹是以BE为弦且圆周角为60°的弧，当AD垂直平分线段BE时，AD最长，设此时AD与BE交于点O；
当AD最长时，△BDE是等边三角形，边长为，
则，
∵AD⊥BE，∠ABE=45°，
∴∠ABE=∠OAB=45°，
∴OA=OB．
由勾股定理得：，
∴．
故答案为：．
方法2：如图，作DE⊥AC的延长线于点E，
∵∠ACB＝60°，DC⊥BC，
∴∠DCE=30°，
设CD=CB=x，AC=y，则DE=x，，，
在中，由勾股定理得，
∴，
∵，
∴，
∴，且当时，等号成立，
∴ ，
当时，AD有最大值， 且，
∵，
∴△ABC为等边三角形，
∴当时，，
又，
∴．
故答案为：．
8．如图，正方形的边长为10，点G是边的中点，点E是边上一动点，连接，将沿翻折得到，连接．当最小时，的长是_____________．
【答案】
【详解】
解：①分析所求线段端点：是定点、是动点；②动点的轨迹：正方形的边长为10，点E是边上一动点，连接，将沿翻折得到，连接，则，因此动点轨迹是以为圆心，为半径的圆周上，如图所示：
③最值模型为点圆模型；④最小值对应的线段为；⑤求线段长，连接，如图所示：
在中，，正方形的边长为10，点G是边的中点，则，根据勾股定理可得，
当三点共线时，最小为，
接下来，求的长：连接，如图所示
根据翻折可知，设，则根据等面积法可知，即整理得，解得，
故答案为：．
9．如图，在半径为3的中，B是劣弧AC的中点，连接AB并延长到D，使，连接AC、BC、CD，如果，那么CD等于______．
【答案】
【详解】
解：如图，连OA，OB，
∵B是弧AC的中点，AB＝BC＝BD，
∴△ACD是直角三角形，∠ACD＝90°，
由垂径定理知，OB⊥AC，点E是AC的中点，
设,则,
由勾股定理知，， ，
∴,
∵AB＝2，AO＝BO=3，
∴,
解得， ，即
∵∠AEB＝∠ACD＝90°，
∴BE∥CD，
∵点B是AD的中点，所以BE是△ACD的中位线，所以CD＝2BE＝ ．
故答案为：
10．在⊙O中，AB是直径，AB＝2，C是上一点，D、E分别是、的中点，M是弦DE的中点，则CM的取值范围是__________________．
【答案】1﹣≤CM＜
【详解】
解：如图，连接OD、OC，
∵AB为直径，
∴∠AOC+∠BOC＝180°，
∵D、E分别是、的中点，
∴∠AOD＝∠COD，∠COE＝∠BOE，
∴∠DOC+∠COE＝（∠AOC+∠BOC）＝90°，
∴△ODE为等腰直角三角形，
∴DE＝OD＝，
∵M是弦DE的中点，
∴OM＝DE＝，
∵C点在弧DE上，∴0≤∠COM＜45°，
△OMC中，OM，OC的长度确定，∴∠COM越大，CM越长，
∴O、C、M共线时CM最小，C在点A或点B时CM最长；
∴CM≥1﹣，
当C点在A点或B点时，CM＝，
∴CM的取值范围是1﹣≤CM＜．
三、解答题
11．如图，是的直径，点、是上的点，且，分别与、相交于点、．
（1）求证：点为的中点；
（2）若，，求的长；
（3）若的半径为，，点是线段上任意一点，试求出的最小值．
【答案】（1）见解析；（2）2；（3）
【详解】
（1）∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵OD∥BC，
∴∠OFA＝90°，
∴OF⊥AC，
∴＝，即点D为的中点；
（2）解：∵OF⊥AC，
∴AF＝CF，
而OA＝OB，
∴OF为△ACB的中位线，
∴OF＝BC＝3，
∴DF＝OD﹣OF＝5﹣3＝2；
（3）解：作C点关于AB的对称点C′，C′D交AB于P，连接OC，如图，
∵PC＝PC′，
∴PD+PC＝PD+PC′＝DC′，
∴此时PC+PD的值最小，
∵＝，
∴∠COD＝∠AOD＝80°，
∴∠BOC＝20°，
∵点C和点C′关于AB对称，
∴∠C′OB＝20°，
∴∠DOC′＝120°，
作OH⊥DC′于H，如图，
则∠ODH＝30°，则C′H＝DH，
在Rt△OHD中，OH＝OD＝，
∴DH＝OH＝，
∴DC′＝2DH＝，
∴PC+PD的最小值为．
12．已知的直径，弦与弦交于点E．且，垂足为点F．
（1）如图1，如果，求弦的长；
（2）如图2，如果E为弦的中点，求
【答案】（1）；（2）
【详解】
如图 ，连接OC，
又，
即，
，
则；
如图2，连接，
为直径，
，
，
，
又是的中位线，
设，则
解得：，
则
13．几何模型：
条件：如图1，A、B是直线l同侧的两个定点．
问题：在直线l上确定一点P，使的值最小，
方法：作点B关于直线l的对称点，连接交l于点P，则的值最小．
直接应用：
(1)如图2，正方形ABCD的边长为8，M在DC上，且，N是AC上一动点，则的最小值为______．
变式练习：
(2)如图3，点A是半圆上（半径为1）的三等分点，B是的中点，P是直径MN上一动点，求的最小值．
深化拓展：
(3)如图4，在锐角中，，，的平分线交BC于点D，M、N分别是AD和AB上的动点，求的最小值．
(4)如图5，在四边形ABCD的对角线AC上找一点P，使．（要求：保留作图痕迹，并简述作法．）
【答案】(1)10；(2)的最小值为；(3)的最小值为4；(4)见解析
【解析】
(1)解：连接BN，
∵四边形ABCD为正方形，AC是对角线为对称轴，
∴BN=DN，
∴DN+NM=BN+NM≥BM
∴当B、N、M三点共线时DN+NM最短=BM，
∵DM=2，DC=BC=8，
∴CM=DC-DM=8-2=6，
在Rt△BCM中，BM=，
∴DN+NM最小=10；
故答案为10；
(2)解：作点B关于NM的对称点B′，连接PB′，OB′，
则PB=PB′，
∴PA+PB=PA+PB′≥AB′，
∴当A、P、B′，三点共线时PA+PB最小=AB′
∵点A是半圆上（半径为1）的三等分点，
∴的度数为60°，
∵B是的中点，
∴的度数为30°，
∴的度数为60°+30°=90°，
∴∠AOB′=90°，
∵OA=OB′=1，
∴AB′=，
∴PA+PB最小=；
(3)解：作BE⊥AC于E，作点N关于AD的对称点N′，连接MN′
∵AD平分∠CAB，点N在AB上，
∴点N′在AC上，
MN=MN′，，
∴当点M，N′在BE上时最小=BE，
∵∠CAB=45°，BE⊥AC
∴∠EBA=180°-90°-45°=45°=∠CAB，
∴AE=BE，
∴△AEB为等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴最小=4；
(4)作点B关于AC对称点B′，作射线DB′交AC与P，连接BP，
∵点B与点B′关于AC对称，
∴PB=PB′，
∵PE⊥BB′∴PE平分∠BPB′，
∴∠APB=∠APD．
培优第三阶——中考沙场点兵
一、单选题
1．（2022·青海·中考真题）如图所示，，，以点A为圆心，AB长为半径画弧交x轴负半轴于点C，则点C的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】
解：∵，
∴OA=，
∵，以点A为圆心，AB长为半径画弧交x轴负半轴于点C，
∴，
∴，
∵点C为x轴负半轴上的点，
∴C，
故选：C．
2．（2022·山东泰安·中考真题）如图，四边形为矩形，，．点P是线段上一动点，点M为线段上一点．，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】
设AD的中点为O，以O点为圆心，AO为半径画圆
∵四边形为矩形
∴
∵
∴
∴
∴点M在O点为圆心，以AO为半径的园上
连接OB交圆O与点N
∵点B为圆O外一点
∴当直线BM过圆心O时，BM最短
∵，
∴
∴
∵
故选：D．
3．（2022·四川泸州·中考真题）如图，是的直径，垂直于弦于点，的延长线交于点．若，，则的长是（ ）
A．1 B． C．2 D．4
【答案】C
【详解】
设OD=x，则OE=OA=DE-OD=4-x．
∵是的直径，垂直于弦于点，
∴
∴OD是△ABC的中位线
∴BC=2OD
∵
∴，解得
∴BC=2OD=2x=2
故选：C
4．（2022·山东聊城·中考真题）如图，AB，CD是的弦，延长AB，CD相交于点P．已知，，则的度数是（ ）
A．30° B．25° C．20° D．10°
【答案】C
【详解】
解：如图，连接OB，OD，AC，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∴．
∴的度数20°．
故选：C．
5．（2022·甘肃兰州·中考真题）如图，内接于，CD是的直径，，则（ ）
A．70° B．60° C．50° D．40°
【答案】C
【详解】
解：∵CD是⊙O的直径，
∴∠CAD＝90°，
∴∠ACD+∠D＝90°，
∵∠ACD＝40°，
∴∠ADC＝∠B＝50°．
故选：C．
6．（2022·辽宁锦州·中考真题）如图，线段是半圆O的直径。分别以点A和点O为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于M，N两点，作直线，交半圆O于点C，交于点E，连接，，若，则的长是（ ）
A． B．4 C．6 D．
【答案】A
【详解】
解：根据作图知CE垂直平分AC，
∴，，
∴，
∴，
即，
∵线段AB是半圆O的直径，
∴，
在中，根据勾股定理得，
，
故选A．
二、填空题
7．（2022·吉林·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点在轴正半轴上，以点为圆心，长为半径作弧，交轴正半轴于点，则点的坐标为__________．
【答案】
【详解】
解：如图，连接，
点的坐标为，
，
由同圆半径相等得：，
是等腰三角形，
，
（等腰三角形的三线合一），
又点位于轴正半轴，
点的坐标为，
故答案为：．
8．（2022·湖北荆州·中考真题）如图，将一个球放置在圆柱形玻璃瓶上，测得瓶高AB＝20cm，底面直径BC＝12cm，球的最高点到瓶底面的距离为32cm，则球的半径为______cm（玻璃瓶厚度忽略不计）．
【答案】7.5
【详解】
如下图所示，设球的半径为rcm，
则OG=EG-r=EF-GF-r=EF-AB-r=32-20-r=（12-r）cm，
∵EG过圆心，且垂直于AD，
∴G为AD的中点，
则AG=0.5AD=0.5×12=6cm，
在中，由勾股定理可得，
，
即，
解方程得r=7.5，
则球的半径为7.5cm．
9．（2022·四川雅安·中考真题）如图，∠DCE是⊙O内接四边形ABCD的一个外角，若∠DCE＝72°，那么∠BOD的度数为 _____．
【答案】
【详解】
解：∠DCE＝72°，
四边形ABCD是⊙O内接四边形，
故答案为：
10．（2022·黑龙江·中考真题）如图，在中，AB是的弦，的半径为3cm，C为上一点，，则AB的长为________cm．
【答案】
【详解】
解：连接OA、OB，过点O作OD⊥AB于点D，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
三、解答题
11．（2022·湖北宜昌·中考真题）石拱桥是我国古代人民勤劳和智慧的结晶（如图1），隋代建造的赵州桥距今约有1400年历史，是我国古代石拱桥的代表．如图2是根据某石拱桥的实物图画出的几何图形，桥的主桥拱是圆弧形，表示为．桥的跨度（弧所对的弦长），设所在圆的圆心为，半径，垂足为．拱高（弧的中点到弦的距离）．连接．
(1)直接判断与的数量关系；
(2)求这座石拱桥主桥拱的半径（精确到）．
【答案】(1)；(2)这座石拱桥主桥拱半径约为
【解析】
(1)解：∵半径，
∴．
故答案为：．
(2)设主桥拱半径为，由题意可知，，
∴，，
在中，由勾股定理，得，
即，
解得，
∴，
因此，这座石拱桥主桥拱半径约为．
12．（2022·江苏盐城·中考真题）证明：垂直于弦的直径平分弦以及弦所对的两条弧．
【答案】见解析
【详解】
已知：如图，是的直径，是的弦，，垂足为．
求证：，，．
证明：如图，连接、．
因为 ，，
所以，．
所以，．
所以．
13．（2022·山东泰安·中考真题）问题探究
（1）在中，，分别是与的平分线．
①若，，如图，试证明；
②将①中的条件“”去掉，其他条件不变，如图，问①中的结论是否成立？并说明理由．
迁移运用
（2）若四边形是圆的内接四边形，且，，如图，试探究线段，，之间的等量关系，并证明．
【答案】（1）①见解析；②结论成立，见解析；（2），见解析
【详解】
（1）①，，
．
又、分别是、的平分线．
点D、E分别是、的中点．
，．
．
②结论成立，理由如下：
设与交于点F，
由条件，得，．
又
．
．
．
∴．
在上截取．
由∵BF=BF，
∴．
．
．
又∵CF=CF，
∴．
∴．
（2），理由如下：
∵四边形是圆内接四边形，
∴．
∵，
∴，，
∴．
∴．
作点B关于的对称点E，连结，，的延长线与的延长线交于点M，与交于点F，
∴，．
∴．
∴
∴
∴
∵AE、DC分别是、的角平分线
由②得．
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