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24.4弧长和扇形面积
(
课后培优练
)
培优第一阶——基础过关练
一、单选题
1．在半径为6的圆中，120°的圆心角所对的弧长是（ ）
A．3π B．4π C．6π D．12π
2．如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形，若圆锥的底面圆的半径cm，扇形的圆心角为120°，则该圆锥的母线l长为（ ）．
A．4cm B．5cm C．6cm D．8cm
3．如图，圆锥的底面半径OB＝3cm，高OC＝4cm．则这个圆锥的侧面积是( )
A．15cm2 B．12πcm2 C．15πcm2 D．20πcm2
4．如图，△ABC中，AB=2，将△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△AB1C1，AB1恰好经过点C．则阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
5．将一个圆心角为120°，半径为6的扇形围成一个圆锥的侧面，则该圆锥底面圆的半径为（ ）
A．2 B．6 C．6 D．18
6．圆锥的底面圆半径是1，母线长是3，它的侧面展开图的圆心角是（ ）
A．90° B．100° C．120° D．150°
二、填空题
7．已知圆心角为的扇形面积为，则扇形的半径为______．
8．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝5，AC＝12，以边AC所在直线为轴将Rt△ABC旋转一周得到一个圆锥，则这个圆锥的侧面积是__________．
9．若一个扇形的圆心角是60°，半径为6，则该扇形的面积为__________．
10．已知圆锥的侧面积是8π，底面半径是2，则圆锥的母线长是_________．
三、解答题
11．如图，已知扇形AOB的圆心角为120°，半径OA为6cm．求扇形AOB的弧长和面积．
12．求下列图形中阴影部分的面积．
13．如图，正方形的边长为4，以点为圆心，为半径画圆弧得到扇形（阴影部分，点在对角线上）．若扇形正好是一个圆锥的侧面展开图，求圆锥的底面圆的半径．
培优第二阶——拓展培优练
一、单选题(共0分)
1．如图，从一张腰长为90cm，顶角为120°的等腰三角形铁皮OAB中剪出一个最大的扇形OCD，用此剪下的扇形铁皮围成一个圆锥的侧面（不计损耗），则该圆锥的底面圆的半径为（ ）cm．
A．15 B．30 C．45 D．30π
2．如图，圆锥的底面圆半径r为5cm，高h为12cm，则圆锥的侧面积为（ ）
A．cm2 B．cm2 C．cm2 D．cm2
3．如图，边长为2的菱形ABCD绕点A旋转，当B、C两点恰好落在扇形AEF的EF上时，弧BC的长度等于（ ）
A． B． C． D．
4．如图，把半径为3的⊙O沿弦AB，AC折叠，使和都经过圆心O，则阴影部分的面积为（ ）．
A． B． C． D．
5．如图，过⊙O外一点P作圆的两条切线PA，PB，切点为A，B，过PA上一点Q作切线QC交PB于T，切点为C，且QC⊥PA，若BT＝2，∠TOQ＝75°，则阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，在平面直角坐标系中， ，以点A为圆心，OA长为半径作圆，交x轴正半轴于点C，点D为上一动点，连接BD，以BD为边，在直线BD的上方作正方形BDEF，若点D从点O出发，按顺时针方向以每秒个单位长度的速度在上运动，则第2022秒结束时，点F的坐标为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题(共0分)
7．如图，点P为⊙O外一点，PA，PB分别与⊙O相切于点A，B，，若⊙O半径为3，则图中阴影部分的面积为__________（结果保留π）
8．如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的弦，先将沿BC翻折交AB于点D，再将沿AB翻折交BC于点E．若，AB＝4，则的长度为________．
9．如图，矩形ABCD中，以A为圆心，AB的长为半径画圆，交CD于点E，再以D为圆心，DA的长为半径画圆，恰好经过点E．已知，，则图中阴影部分的面积为_________．
10．如图，四边形ABCD是边长为的正方形，曲线DA1B1C1D1A2 …是由多段90°的圆心角所对的弧组成的．其中，弧DA1的圆心为A，半径为AD；弧A1B1的圆心为B，半径为BA1；弧B1C1的圆心为C，半径为CB1；弧C1D1的圆心为D，半径为DC1…．弧DA1、弧A1B1、弧B1C1、弧C1D1…的圆心依次按点A、B、C、D循环，则弧C2022D2022的长是___________（结果保留π）．
三、解答题(共0分)
11．如图，在等腰中，，O和D为线段AC的三等分点，以O为圆心，线段OC的长为半径画圆．
(1)求证：AB是圆O的切线；
(2)若圆O的半径为1，求阴影部分面积是多少？
12．如图，在中，点A是边BE上一点，以AB为直径的与CE相切于点D，，点F为OC与的交点．
(1)求证：CB是的切线；
(2)连接DB与OC交于点G，，，求阴影部分面积．
13．如图，已知AB是⊙O直径，且AB＝8.C，D是⊙O上的点，OCBD，交AD于点E，连接BC，∠CBD＝30°．
(1)求∠COA的度数．
(2)求出CE的长度．
(3)求出图中阴影部分的面积（结果保留π）．
培优第三阶——中考沙场点兵
一、单选题
1．（2022·山东济宁·中考真题）已知圆锥的母线长8cm，底面圆的直径6cm，则这个圆锥的侧面积是（ ）
A．96πcm2 B．48πcm2 C．33πcm2 D．24πcm2
2．（2022·甘肃兰州·中考真题）如图1是一块弘扬“社会主义核心价值观”的扇面宣传展板，该展板的部分示意图如图2所示，它是以O为圆心，OA，OB长分别为半径，圆心角形成的扇面，若，，则阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·广西柳州·中考真题）如图，圆锥底面圆的半径AB＝4，母线长AC＝12，则这个圆锥的侧面积为（ ）
A．16π B．24π C．48π D．96π
4．（2022·广西河池·中考真题）如图，在Rt△ABC中，，，，将绕点B顺时针旋转90°得到．在此旋转过程中所扫过的面积为( )
A．25π+24 B．5π+24 C．25π D．5π
5．（2022·内蒙古赤峰·中考真题）如图，是的直径，将弦绕点顺时针旋转得到，此时点的对应点落在上，延长，交于点，若，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
6．（2022·四川广安·中考真题）蒙古包可以近似地看作由圆锥和圆柱组成．下图是一个蒙古包的示意图，底面圆半径DE=2m，圆锥的高AC=1.5m，圆柱的高CD=2.5m，则下列说法错误的是（ ）
A．圆柱的底面积为4πm2 B．圆柱的侧面积为10πm2
C．圆锥的母线AB长为2.25m D．圆锥的侧面积为5πm2
二、填空题
7．（2022·江苏盐城·中考真题）如图，在矩形中，，将线段绕点按逆时针方向旋转，使得点落在边上的点处，线段扫过的面积为___________．
8．（2022·青海·中考真题）如图，从一个腰长为60cm，顶角为120°的等腰三角形铁皮OAB中剪出一个最大的扇形OCD，则此扇形的弧长为______cm.
9．（2022·湖北恩施·中考真题）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，⊙O为Rt△ABC的内切圆，则图中阴影部分的面积为（结果保留π）________．
10．（2022·山东聊城·中考真题）如图，线段，以AB为直径画半圆，圆心为，以为直径画半圆①；取的中点，以为直径画半圆②；取的中点，以为直径画半圆③…按照这样的规律画下去，大半圆内部依次画出的8个小半圆的弧长之和为______________．
三、解答题
11．（2022·江苏宿迁·中考真题）如图，在中，∠ =45°，，以为直径的⊙与边交于点．
(1)判断直线与⊙的位置关系，并说明理由；
(2)若，求图中阴影部分的面积．
12．（2022·浙江绍兴·中考真题）如图，半径为6的⊙O与Rt△ABC的边AB相切于点A，交边BC于点C，D，∠B=90°，连接OD，AD．
(1)若∠ACB=20°，求的长（结果保留）．
(2)求证：AD平分∠BDO．
13．（2022·江苏泰州·中考真题）如图①，矩形ABCD与以EF为直径的半圆O在直线l的上方，线段AB与点E、F都在直线l上，且AB=7，EF=10，BC＞5. 点B以1个单位/秒的速度从点E处出发，沿射线EF方向运动矩形ABCD随之运动，运动时间为t秒
(1)如图2，当t=2.5时，求半圆O在矩形ABCD内的弧的长度；
(2)在点B运动的过程中，当 AD、BC都与半圆O相交，设这两个交点为G、H连接OG，OH.若∠GOH为直角，求此时t的值.
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24.4弧长和扇形面积
(
课后培优练
)
培优第一阶——基础过关练
一、单选题
1．在半径为6的圆中，120°的圆心角所对的弧长是（ ）
A．3π B．4π C．6π D．12π
【答案】B
【详解】
解：根据弧长的公式l，
得到：l4π．
故选：B．
2．如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形，若圆锥的底面圆的半径cm，扇形的圆心角为120°，则该圆锥的母线l长为（ ）．
A．4cm B．5cm C．6cm D．8cm
【答案】C
【详解】
解：根据题意得：，
解得：l＝6，
即该圆锥母线l的长为6．
故选：C．
3．如图，圆锥的底面半径OB＝3cm，高OC＝4cm．则这个圆锥的侧面积是( )
A．15cm2 B．12πcm2 C．15πcm2 D．20πcm2
【答案】A
【详解】
解∶根据题意得：，
∴这个圆锥的侧面积是．
故选：A
4．如图，△ABC中，AB=2，将△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△AB1C1，AB1恰好经过点C．则阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】
由旋转得：∠B1AB＝60°，
∵，
∴＝＝．
故选：A．
5．将一个圆心角为120°，半径为6的扇形围成一个圆锥的侧面，则该圆锥底面圆的半径为（ ）
A．2 B．6 C．6 D．18
【答案】A
【详解】
解：设该圆锥底面圆的半径为，
根据题意得，
解得，
即该圆锥底面圆的半径为2．
故选：A．
6．圆锥的底面圆半径是1，母线长是3，它的侧面展开图的圆心角是（ ）
A．90° B．100° C．120° D．150°
【答案】C
【详解】
解：设这个圆锥的侧面展开图的圆心角是，
由题意得：，
解得，
则这个圆锥的侧面展开图的圆心角是，
故选：C．
二、填空题
7．已知圆心角为的扇形面积为，则扇形的半径为______．
【答案】8
【详解】
解：根据S＝ ，
可得：24π＝，
解得：r＝8．
故答案为：8．
8．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝5，AC＝12，以边AC所在直线为轴将Rt△ABC旋转一周得到一个圆锥，则这个圆锥的侧面积是__________．
【答案】65π
【详解】
解：由已知得，母线长AB=13，半径r为5，
∴圆锥的侧面积==65π，
故答案为：65π．
9．若一个扇形的圆心角是60°，半径为6，则该扇形的面积为__________．
【答案】
【详解】
解：该扇形的面积是：．
故答案是：6π．
10．已知圆锥的侧面积是8π，底面半径是2，则圆锥的母线长是_________．
【答案】4
【详解】
解：设母线长为R，
∵底面半径是2，
∴底面周长=2×2π=4π，
∵圆锥的侧面积是8π，
∴，解得：R=4．
故答案为：4
三、解答题
11．如图，已知扇形AOB的圆心角为120°，半径OA为6cm．求扇形AOB的弧长和面积．
【答案】弧长为4πcm；扇形面积为12πcm2．
【详解】
解：由题意可知：
扇形AOB的弧长（cm）；
扇形AOB的扇形面积（cm2）．
12．求下列图形中阴影部分的面积．
【答案】①；②26
【详解】
①∵△ABC为直角三角形，且，，，
∴，
∴；
②∵△ABC为直角三角形，且，，，
∴，
∴．
13．如图，正方形的边长为4，以点为圆心，为半径画圆弧得到扇形（阴影部分，点在对角线上）．若扇形正好是一个圆锥的侧面展开图，求圆锥的底面圆的半径．
【答案】
【详解】
解：∵正方形的边长为4
∴
∵是正方形的对角线
∴
∴
∴圆锥底面周长为，解得
∴该圆锥的底面圆的半径是
培优第二阶——拓展培优练
一、单选题(共0分)
1．如图，从一张腰长为90cm，顶角为120°的等腰三角形铁皮OAB中剪出一个最大的扇形OCD，用此剪下的扇形铁皮围成一个圆锥的侧面（不计损耗），则该圆锥的底面圆的半径为（ ）cm．
A．15 B．30 C．45 D．30π
【答案】A
【详解】
如图，过点O作OE⊥AB，垂足为E，
∵△OAB为顶角为120°的等腰三角形，
∴=30°，cm，
∴cm，
设圆锥的底面圆半径为rcm，根据题意得，
，
解得，
所以该圆锥的底面圆的半径为15cm，
故选A．
2．如图，圆锥的底面圆半径r为5cm，高h为12cm，则圆锥的侧面积为（ ）
A．cm2 B．cm2 C．cm2 D．cm2
【答案】A
【详解】
解：由圆锥底面半径r=5cm，高h=12cm，
根据勾股定理得到母线长l==13（cm），
根据圆锥的侧面积公式：πrl=π×5×13=65π（cm2），
故选：A．
3．如图，边长为2的菱形ABCD绕点A旋转，当B、C两点恰好落在扇形AEF的EF上时，弧BC的长度等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】
解：连接AC，
∵菱形ABCD中，AB=BC，
又AC=AB，
∴AB=BC=AC，即△ABC是等边三角形．
∴∠BAC=60°，
又∵AB=2，
∴
故选B．
4．如图，把半径为3的⊙O沿弦AB，AC折叠，使和都经过圆心O，则阴影部分的面积为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】
如图，连接OA，OB，OC，并做O点关于AC的对称点D点，连接OD，叫AC于点E．
∵OA=OB=OC，
∴，
∴，
∵O点、D点关于AC的对称，
∴OE=DE=1，
∴OE=OA=OC，
∴∠OCE=∠OAE =30°
∴∠AOC=120°
同理可得∠AOB=120°，
∴∠BOC=120°，
∴，
故选C．
5．如图，过⊙O外一点P作圆的两条切线PA，PB，切点为A，B，过PA上一点Q作切线QC交PB于T，切点为C，且QC⊥PA，若BT＝2，∠TOQ＝75°，则阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】
解：连接OC．
∵PA，QC 是⊙O的切线，
∴∠A＝∠QCO＝90°，
∵CQ⊥PA，
∴∠QCO＝90°，
∴四边形AOCQ是矩形，
∵OA＝OC，
∴四边形AOCQ是正方形，
∴∠QOC＝45°，
∵∠QOT＝75°，
∴∠COT＝30°，
∵TC，TB是⊙O的切线，
∴∠OBT＝∠OCT＝90°，∠COT＝∠BOT＝30°，
在Rt△OBT中，∠BOT＝30°，BT＝2，
∴OBBT＝2，
∴S阴＝2S△OBT﹣S扇形OBC＝22×242π．
故选：A．
6．如图，在平面直角坐标系中， ，以点A为圆心，OA长为半径作圆，交x轴正半轴于点C，点D为上一动点，连接BD，以BD为边，在直线BD的上方作正方形BDEF，若点D从点O出发，按顺时针方向以每秒个单位长度的速度在上运动，则第2022秒结束时，点F的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】
解：∵，
∴，
∴的周长为．
，，
∴第2022秒结束时和第6秒结束时，点D的位置相同，正方形BDEF的位置相同．
∵ ，
∴点D在x轴下方的圆弧上，且的长为．
连接AD，过点F作x轴的垂线，垂足为G，如下图所示．
设，则，
∴ ．
即．
∵ ，
∴ ．
又∵，
∴．
又∵
∴ ．
∴．
∴，
∴点F的坐标为，
故选A．
二、填空题(共0分)
7．如图，点P为⊙O外一点，PA，PB分别与⊙O相切于点A，B，，若⊙O半径为3，则图中阴影部分的面积为__________（结果保留π）
【答案】
【详解】
解：如图，连接，
分别与相切于点，
，
又，
四边形是正方形，
，
则图中阴影部分的面积为，
故答案为：．
8．如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的弦，先将沿BC翻折交AB于点D，再将沿AB翻折交BC于点E．若，AB＝4，则的长度为________．
【答案】
【详解】
∵、、、所在的圆是等圆
又∵、、所对的圆周角都是
∴==
又∵=
∴===
又∵ +++=
∴=
∴
又∵AB是的直径
∴所对的圆心角为
∴的长=
故答案为
9．如图，矩形ABCD中，以A为圆心，AB的长为半径画圆，交CD于点E，再以D为圆心，DA的长为半径画圆，恰好经过点E．已知，，则图中阴影部分的面积为_________．
【答案】2
【详解】
解：连接AE，
由题意可知：
阴影部分的面积＝△DAE的面积＋扇形EAB的面积 扇形EDA的面积，
∵以A为圆心，AB的长为半径画圆，交CD于点E，，
∴，
∵以D为圆心，DA的长为半径画圆，恰好经过点E，，
∴，
∴△DAE是等腰直角三角形，
∴∠DAE＝∠EAB＝45°，
∴，
故答案为：2．
10．如图，四边形ABCD是边长为的正方形，曲线DA1B1C1D1A2 …是由多段90°的圆心角所对的弧组成的．其中，弧DA1的圆心为A，半径为AD；弧A1B1的圆心为B，半径为BA1；弧B1C1的圆心为C，半径为CB1；弧C1D1的圆心为D，半径为DC1…．弧DA1、弧A1B1、弧B1C1、弧C1D1…的圆心依次按点A、B、C、D循环，则弧C2022D2022的长是___________（结果保留π）．
【答案】2022π
【详解】
根据题意有：
的半径，
的半径，
的半径，
的半径，
的半径，
的半径，
的半径，
的半径，
．．．
以此类推可知，故弧的半径为：，
即弧的半径为：，
即弧的长度为：，
故答案为：．
三、解答题(共0分)
11．如图，在等腰中，，O和D为线段AC的三等分点，以O为圆心，线段OC的长为半径画圆．
(1)求证：AB是圆O的切线；
(2)若圆O的半径为1，求阴影部分面积是多少？
【答案】(1)证明过程见详解；(2)．
【解析】
(1)证明：连接OB，如图，
∵等腰△ABC中，∠A=30°，
∴∠C=30°，
∵OB=OC，
∴∠OBC=∠C=30°，
∴∠AOB=∠C+∠OBC=60°，
∵∠OBA=180°-60°-30°=90°，
∴OB⊥AB，
∴AB是圆O的切线；
(2)解：在Rt△OBA中，AB=OB=，
∴阴影部分面积=S△AOB-S扇形OBD= 1 -．
12．如图，在中，点A是边BE上一点，以AB为直径的与CE相切于点D，，点F为OC与的交点．
(1)求证：CB是的切线；
(2)连接DB与OC交于点G，，，求阴影部分面积．
【答案】(1)证明见解析；(2)
【解析】
(1)连接OD，则OD=OA，
∴∠DAO=∠ADO，
，
，
，
∵在△COD和△COB中，
，
∴∠CBO=∠CDO，
∵CD是切线，
∴OD⊥CD，
∴∠CBO=∠CDO=90°，
∴CB是的切线；
(2)∵CD、CB都是圆O的切线，
∴CD=CB，OC垂直平分DB，
设圆O的半径为r，则OD=r，OG=OF-FG=r-2，
∵OD2=OG2+DG2
∴，解得r=4，
∴OG=2，
∴∠ODG=30°，
∴∠COD=60°，
∠DOB=2∠COD=120°，
∵，
∴，
∴，
∵S四边形CDOB，
S扇形DOB，
∴S阴影= S四边形CDOB- S扇形DOB=．
13．如图，已知AB是⊙O直径，且AB＝8.C，D是⊙O上的点，OCBD，交AD于点E，连接BC，∠CBD＝30°．
(1)求∠COA的度数．
(2)求出CE的长度．
(3)求出图中阴影部分的面积（结果保留π）．
【答案】(1)60°；(2)2；(3)
【解析】
(1)解：∵OCBD，
∴∠OCB＝∠CBD＝30°，
∵OC＝OB，
∴∠OCB＝∠OBC＝30°，
∴∠COA＝∠OCB＋∠OBC＝60°；
(2)解：∵AB是⊙O直径，
∴∠ADB＝90°，
∵OCBD，
∴∠AEO＝∠ADB＝90°，
∵∠AOC＝60°，
∴∠OAE＝30°，
∴OEOA，
∴CEOC2；
(3)解：连接OD，
∵∠CBD＝∠OBC＝30°，
∴∠BOD＝60°，
∵OB＝OD，
∴△BOD是等边三角形，
∴S阴影＝S扇形BOD﹣S△BODπ﹣4．
培优第三阶——中考沙场点兵
一、单选题
1．（2022·山东济宁·中考真题）已知圆锥的母线长8cm，底面圆的直径6cm，则这个圆锥的侧面积是（ ）
A．96πcm2 B．48πcm2 C．33πcm2 D．24πcm2
【答案】D
【详解】
解：底面直径为6cm，则底面周长=6π，
侧面面积=×6π×8=24πcm2．
故选D．
2．（2022·甘肃兰州·中考真题）如图1是一块弘扬“社会主义核心价值观”的扇面宣传展板，该展板的部分示意图如图2所示，它是以O为圆心，OA，OB长分别为半径，圆心角形成的扇面，若，，则阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】
解：S阴影=S扇形AOD-S扇形BOC
=
=
==2.25π（m2）
故选：D．
3．（2022·广西柳州·中考真题）如图，圆锥底面圆的半径AB＝4，母线长AC＝12，则这个圆锥的侧面积为（ ）
A．16π B．24π C．48π D．96π
【答案】C
【详解】
解：由题意可知：
圆锥的侧面积为：，其中l是圆锥的母线，r是底圆的半径，
．
故选：C
4．（2022·广西河池·中考真题）如图，在Rt△ABC中，，，，将绕点B顺时针旋转90°得到．在此旋转过程中所扫过的面积为( )
A．25π+24 B．5π+24 C．25π D．5π
【答案】A
【详解】
解：∵，，，
∴，
∴所扫过的面积为．
故选：A．
5．（2022·内蒙古赤峰·中考真题）如图，是的直径，将弦绕点顺时针旋转得到，此时点的对应点落在上，延长，交于点，若，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】
解：如图，连接OE，OC，过点O作OF⊥CE于点F，
则，
由旋转得，
∴∠，
∵∠
∴∠
∴∠
∴∠
又∠
∴∠
∴∠
∴
∴
∵
∴∠
∴∠
∴
故选：C．
6．（2022·四川广安·中考真题）蒙古包可以近似地看作由圆锥和圆柱组成．下图是一个蒙古包的示意图，底面圆半径DE=2m，圆锥的高AC=1.5m，圆柱的高CD=2.5m，则下列说法错误的是（ ）
A．圆柱的底面积为4πm2 B．圆柱的侧面积为10πm2
C．圆锥的母线AB长为2.25m D．圆锥的侧面积为5πm2
【答案】C
【详解】
解：根据题意，
∵底面圆半径DE=2m，
∴圆柱的底面积为：；故A正确；
圆柱的侧面积为：；故B正确；
圆锥的母线为：；故C错误；
圆锥的侧面积为：；故D正确；
故选：C
二、填空题
7．（2022·江苏盐城·中考真题）如图，在矩形中，，将线段绕点按逆时针方向旋转，使得点落在边上的点处，线段扫过的面积为___________．
【答案】
【详解】
解：
∵矩形中，
由旋转可知，
∵，
∴
∴线段AB扫过的面积
故答案为：
8．（2022·青海·中考真题）如图，从一个腰长为60cm，顶角为120°的等腰三角形铁皮OAB中剪出一个最大的扇形OCD，则此扇形的弧长为______cm.
【答案】
【详解】
解：过O作OE⊥AB于E，
∵OA=OB=60cm，∠AOB=120°，
∴∠A=∠B=30°，
∴OE=OA=30cm，
∴弧CD的长=(cm)，
故答案为：．
9．（2022·湖北恩施·中考真题）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，⊙O为Rt△ABC的内切圆，则图中阴影部分的面积为（结果保留π）________．
【答案】-
【详解】
解：设切点分别为D、E、F，连接OD、OE、OF，
∵⊙O为Rt△ABC的内切圆，
∴AE=AF、BD=BF、CD=CE，OD⊥BC，OE⊥AC，
∵∠C=90°，
∴四边形CDOE为正方形，
∴∠EOF+∠FOD=360°-90°=270°，
设⊙O的半径为x，则CD=CE=x，AE=AF=4-x，BD=BF=3-x，
∴4-x+3-x=5，解得x=1，
∴S阴影=S△ABC-( S扇形EOF+ S扇形DOF)- S正方形CDOE
=×3×4-×1×1
=-．
故答案为：-．
10．（2022·山东聊城·中考真题）如图，线段，以AB为直径画半圆，圆心为，以为直径画半圆①；取的中点，以为直径画半圆②；取的中点，以为直径画半圆③…按照这样的规律画下去，大半圆内部依次画出的8个小半圆的弧长之和为______________．
【答案】##
【详解】
解：∵，
∴，半圆①弧长为，
同理，半圆②弧长为，
，半圆③弧长为，
……
半圆⑧弧长为，
∴8个小半圆的弧长之和为．
故答案为：．
三、解答题
11．（2022·江苏宿迁·中考真题）如图，在中，∠ =45°，，以为直径的⊙与边交于点．
(1)判断直线与⊙的位置关系，并说明理由；
(2)若，求图中阴影部分的面积．
【答案】(1)证明见解析；(2)
【解析】
(1)证明： ∠ =45°，，
即
在上，
为的切线．
(2)如图，记BC与的交点为M，连接OM，
，
，
，
，，
，
．
12．（2022·浙江绍兴·中考真题）如图，半径为6的⊙O与Rt△ABC的边AB相切于点A，交边BC于点C，D，∠B=90°，连接OD，AD．
(1)若∠ACB=20°，求的长（结果保留）．
(2)求证：AD平分∠BDO．
【答案】(1)；(2)见解析
【解析】
(1)解：连接OA，
∵∠ACB＝20°，
∴∠AOD＝40°，
∴，
．
(2)证明：，
，
切于点，
，
，
，
，
，
平分．
13．（2022·江苏泰州·中考真题）如图①，矩形ABCD与以EF为直径的半圆O在直线l的上方，线段AB与点E、F都在直线l上，且AB=7，EF=10，BC＞5. 点B以1个单位/秒的速度从点E处出发，沿射线EF方向运动矩形ABCD随之运动，运动时间为t秒
(1)如图2，当t=2.5时，求半圆O在矩形ABCD内的弧的长度；
(2)在点B运动的过程中，当 AD、BC都与半圆O相交，设这两个交点为G、H连接OG，OH.若∠GOH为直角，求此时t的值.
【答案】(1)；(2)8或9秒
【解析】
(1)解：设BC与⊙O交于点M，如下图所示：
当t=2.5时，BE=2.5，
∵EF=10，
∴OE=EF=5，
∴OB=2.5，
∴EB=OB，
在正方形ABCD中，∠EBM=∠OBM=90°，且MB=MB，
∴△MBE≌△MBO(SAS)，
∴ME=MO，
∴ME=EO=MO，
∴△MOE是等边三角形，
∴∠EOM=60°，
∴．
(2)解：连接GO和HO，如下图所示：
∵∠GOH=90°，
∴∠AOG+∠BOH=90°，
∵∠AOG+∠AGO=90°，
∴∠AGO=∠BOH，
在△AGO和△OBH中，，
∴△AGO≌△BOH(AAS)，
∴AG=OB=BE-EO=t-5，
∵AB=7，
∴AE=BE-AB=t-7，
∴AO=EO-AE=5-(t-7)=12-t，
在Rt△AGO中，AG2+AO2=OG2，
∴(t-5)2+(12-t)2=52，
解得：t1=8，t2=9，
即t的值为8或9秒．
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