2022-2023学年京改版八年级数学上册10.5可化为一元一次方程的分式方程及其应用课堂提升训练（含答案）

2022-2023学年度北京课改版版八年级数学上册
课堂提升训练
第十章　分式
二　分式的运算及其应用
10.5　可化为一元一次方程的分式方程及其应用
知识点1　分式方程的概念及解法
1.(2022独家原创)下列方程是分式方程的是(　　)
A.1-=　　　B.=+
C.x2+=1　　　D.=11-
2.(2021四川阿坝中考)已知关于x的分式方程=3的解是x=3,则m的值为(　　)
A.3　　　B.-3　　　C.-1　　　D.1
3.(2022河北石家庄八十一中期末)解分式方程=-2时,去分母得(　　)
A.-2+x=-1-2(x-1)
B.2-x=1-2(x-1)
C.2-x=-1-2(x-1)
D.-2+x=1+2(1-x)
4.(2021广西贺州中考)若关于x的分式方程=+2有增根,则m的值为(　　)
A.2　　　B.3　　　C.4　　　D.5
5.(2022北京平谷期中)在正数范围内定义一种运算☆,其规则为a☆b=,根据这个规则,x☆(x+1)=的解为(　　)
A.x=　　　B.x=1　　　C.x=-　　　D.x=
6.(2021广西河池中考)分式方程=1的解是x=　　　　.
7.解方程:
(1)(2022北京延庆期末)+1=;
(2)-=;
(3)(2022北京大兴期末)-=.
知识点2　列分式方程解应用题
8.(2021辽宁抚顺中考)自带水杯已成为人们良好的健康卫生习惯.某公司为员工购买甲、乙两种型号的水杯,用720元购买甲种水杯的数量和用540元购买乙种水杯的数量相同,已知甲种水杯的单价比乙种水杯的单价多15元.设甲种水杯的单价为x元,则列出方程正确的是(　　)
A.=　　　B.=
C.=　　　D.=+15
9.(2021山东德州中考)为响应“绿色出行”的号召,小王上班方式由自驾车改为乘坐公交车.已知小王家距上班地点18 km,他乘公交车平均每小时行驶的路程比他自驾车平均每小时行驶的路程多10 km.他从家出发到上班地点,乘公交车所用的时间是自驾车所用时间的.小王乘公交车上班平均每小时行驶(　　)
A.30 km　　　B.36 km　　　C.40 km　　　D.46 km
10.(2021辽宁鞍山中考)习近平总书记指出,中华优秀传统文化是中华民族的“根”和“魂”.为了大力弘扬中华优秀传统文化,某校决定开展名著阅读活动.用3 600元购买“四大名著”若干套后,发现这批图书满足不了学生的阅读需求,图书管理员在购买第二批时正赶上图书城八折销售该套书,于是用2 400元购买的套数只比第一批少4套.设第一批购买的“四大名著”每套的价格为x元,则可列方程为　　　　　　　　　　　　.
11.(2022独家原创)某校决定举行冬季越野长跑比赛,选手A跑完840 m的用时比选手B跑完728 m的用时还少4 s,已知选手A的速度是选手B的速度的1.2倍.求选手A的速度.
12.(2021四川眉山中考)为进一步落实“德、智、体、美、劳”五育并举工作,某中学以体育为突破口,准备从体育用品商场一次性购买若干个足球和篮球,用于学校球类比赛活动.每个足球的价格都相同,每个篮球的价格也相同.已知篮球的单价比足球的单价的2倍少30元,用1 200元购买足球的数量是用900元购买篮球的数量的2倍.
(1)足球和篮球的单价各是多少元
(2)根据学校实际情况,需一次性购买足球和篮球共200个,但要求足
知识点3　公式变形
13.在等式=+中,若f1,f2都为正数,且f1≠f2,则F=(　　)
A.　　　B.　　　C.　　　D.
14.(2022北京房山期末)=+是物理学中的一个公式,其中各个字母都不为零,且R1+R2≠0.用R1,R2表示R,则R=　　　　.
15.在公式v=中,v1,v2均为正数,2v2-v≠0,用v,v2表示v1.
能力提升全练
16.(2021湖南怀化中考,6,)定义a b=2a+,则方程3 x=4 2的解为(　　)
A.x=　　　B.x=　　　C.x=　　　D.x=
17.(2021内蒙古兴安盟中考,11,)若关于x的分式方程+=2无解,则a的值为(　　)
A.-1　　　B.0　　　C.3　　　D.0或3
18.(2021山东临沂中考,12,)某工厂生产A、B两种型号的扫地机器人.B型机器人比A型机器人每小时的清扫面积多50%;清扫100 m2所用的时间A型机器人比B型机器人多用40分钟.两种型号的扫地机器人每小时分别清扫多少面积 若设A型扫地机器人每小时清扫x m2,根据题意可列方程为(　　)
A.=+　　　B.+=
C.+=　　　D.=+
19.(2021重庆中考B卷,11,)关于x的分式方程+1=的解为正数,且使关于y的一元一次不等式组有解,则所有满足条件的整数a的值之和是(　　)
A.-5　　　B.-4　　　C.-3　　　D.-2
20.(2021山东潍坊中考,14,)若x<2,且+|x-2|+x-1=0,则x=　　　　.
21.解方程:
(1)(2021黑龙江大庆中考 )+=4;
(2)-1=;
(3)(2021北京昌平马池口中学期中 )+=.
22.(2021湖南郴州中考 )“七·一”建党节前夕,某校决定购买A,B两种奖品,用于表彰在“童心向党”活动中表现突出的学生.已知A奖品比B奖品每件贵25元,预算资金为1 700元,其中800元购买A奖品,其余资金购买B奖品,且购买B奖品的数量是A奖品的3倍.
(1)求A,B两种奖品的单价;
(2)购买当日,正逢该店搞促销活动,所有商品均按原价八折销售,故学校调整了购买方案:不超过预算资金且购买A奖品的资金不少于720元,A,B两种奖品共100件,求A,B两种奖品的购买方案.
素养探究全练
23.[数学建模](2021辽宁营口中考)为增加学生阅读量,某校购买了“科普类”和“文学类”两种图书,购买“科普类”图书花费了3 600元,购买“文学类”图书花费了2 700元,其中“科普类”图书的单价比“文学类”图书的单价多20%,购买“科普类”图书的数量比“文学类”图书的数量多20本.
(1)这两种图书的单价分别是多少元
(2)学校决定再次购买这两种图书共100本,且总费用不超过1 600元,最多能购买“科普类”图书多少本
24.[数学运算](2022北京西城期末)阅读:
对于两个不等的非零数a,b,若分式的值为零,则x=a或x=b.又因为==x+-(a+b),所以关于x的方程x+=a+b有两个解,分别为x1=a,x2=b.
应用上面的结论解答下列问题:
(1)方程x+=6有两个解x1,x2(x1(2)关于x的方程x+=(m≠n)的两个解分别为x1,x2(x1(3)关于x的方程2x+=2n(n≠0且n≠1)的两个解分别为x1,x2(x1答案全解全析
基础过关全练
1.D　方程x2+=1,1-=,=+的分母不含未知数,不是分式方程;方程=11-的分母含有未知数,是分式方程.故选D.
2.B　把x=3代入分式方程=3,得=3,整理得6+m=3,解得m=-3.故选B.
3.C　两边同时乘x-1,得2-x=-1-2(x-1).
4.D　方程两边同时乘x-3,将分式方程转化为整式方程,求出方程的解为x=m+2,根据分式方程有增根可知x=3,∴m+2=3,∴m=5.
5.C　∵a☆b=,∴x☆(x+1)==,方程两边同乘2(2x+1),得2=3(2x+1),解得x=-,检验:当x=-时,2(2x+1)≠0,∴原方程的解为x=-.
6.5
解析　方程两边同乘x-2,得3=x-2,解得x=5,检验:当x=5时,x-2≠0,所以原方程的解为x=5.
7.解析　(1)方程两边同乘2(x+3),得4x+2(x+3)=7,解得x=,
检验:当x=时,2(x+3)≠0,∴分式方程的解是x=.
(2)方程两边同乘(x+2)(x-2),得(x-2)2-16=(x+2)2,解这个方程,得x=-2.
检验:当x=-2时,(x+2)(x-2)=0,故x=-2不是原分式方程的解,∴原分式方程无解.
(3)方程两边同乘(x+1)(x-1),得2x-3-(x-1)=2(x+1),解得x=-4,
检验:当x=-4时,(x+1)(x-1)≠0,∴分式方程的解为x=-4.
8.A　由题可知,甲种水杯的单价为x元,乙种水杯的单价为(x-15)元,利用数量=总价÷单价,结合用720元购买甲种水杯的数量和用540元购买乙种水杯的数量相同得=.
9.C　设小王自驾车上班平均每小时行驶x km,则乘公交车上班平均每小时行驶(x+10)km,根据小王家距上班地点18 km,乘公交车所用的时间是自驾车所用时间的,得=×,解得x=30,经检验,x=30是原方程的解,且符合实际意义,x+10=40,故小王乘公交车上班平均每小时行驶40 km.
10.-=4
解析　由题可知,第一批购买的“四大名著”每套的价格为x元,第二批购买的“四大名著”每套的价格为0.8x元,利用数量=总价÷单价,结合第二批购买的套数比第一批少4套,得-=4.
11.解析　设选手B的速度为x m/s,则选手A的速度为1.2x m/s,根据题意,得-=4,解得x=7,经检验,x=7是原方程的解,且符合题意,∴1.2x=1.2×7=8.4.
答:选手A的速度为8.4 m/s.
12.解析　(1)设足球的单价是x元,则篮球的单价是(2x-30)元,依题意得=2×,解得x=60,经检验,x=60是原方程的解,且符合题意,∴2x-30=90.答:足球的单价是60元,篮球的单价是90元.
(2)设学校购买m个篮球,则购买(200-m)个足球,依题意得90m+60(200-m)≤15 500,解得m≤.∵m为正整数,∴m可以取的最大值为116.答:学校最多可以购买116个篮球.
13.B　因为=+=,所以F=.
14.
解析　两边同乘RR1R2,得R1R2=RR2+RR1,∴R1R2=R(R2+R1),∴R=.
15.解析　两边同乘v1+v2,得v(v1+v2)=2v1v2,去括号,得2v1v2=vv1+vv2,移项,得2v1v2-vv1=vv2,∴v1(2v2-v)=vv2.∵2v2-v≠0,∴v1=.
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16.B　根据题中的新定义,得3 x=2×3+,4 2=2×4+,∵3 x=4 2,∴2×3+=2×4+,解得x=,经检验,x=是分式方程的解.故选B.
17.A　将原分式方程去分母、去括号、移项、合并同类项得3x=8-a,由于方程无解,所以x=3,所以9=8-a,所以a=-1,故选A.
18.D　由题可知,A型扫地机器人每小时清扫x m2,B型扫地机器人每小时清扫(1+50%)x m2,根据“清扫100 m2所用的时间A型机器人比B型机器人多用40分钟”列方程得=+.故选D.
19.B　解关于y的一元一次不等式组得根据不等式组有解得到a<2,解关于x的分式方程+1=,得x=,根据分式方程的解为正数得到a>-4,∵x-2≠0,∴-2≠0,∴a≠-1,∴-420.1
解析　+|x-2|+x-1=0,∵x<2,∴方程为+2-x+x-1=0,即=-1,方程两边都乘x-2,得1=-(x-2),解得x=1,检验:当x=1时,x-2≠0,∴原方程的解为x=1.
21.解析　(1)将分式方程两边同乘2x-3,得x-5=4(2x-3),解得x=1,检验:当x=1时,2x-3≠0,所以原分式方程的解为x=1.
(2)将分式方程两边同乘(x+3)(x-3),得5x-8-(x+3)(x-3)=(3-x)(x-3),解得x=10,检验:当x=10时,最简公分母(x+3)(x-3)≠0,所以原方程的解为x=10.
(3)将分式方程两边同乘(x+1)(x-1),得2(x-1)+3(x+1)=6,解得x=1,检验:当x=1时,最简公分母(x+1)(x-1)=0,所以x=1为增根,所以原方程无解.
22.解析　(1)设A奖品的单价为x元,则B奖品的单价为(x-25)元,由题意得×3=,解得x=40,经检验,x=40是原方程的解,且符合实际意义,∴x-25=15.答:A奖品的单价为40元,B奖品的单价为15元.(2)设购买A奖品m件,则购买B奖品(100-m)件,由题意得解得22.5≤m≤25,∵m为正整数,∴m的值为23,24,25,∴有三种购买方案:①购买A奖品23件,B奖品77件;②购买A奖品24件,B奖品76件;③购买A奖品25件,B奖品75件.
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23.解析　(1)设“文学类”图书的单价为x元,则“科普类”图书的单价为(1+20%)x元,依题意,得-20=,解得x=15.经检验,x=15是所列方程的根,且符合题意,所以(1+20%)x=18.答:“科普类”图书的单价为18元,“文学类”图书的单价为15元.(2)设“科普类”图书购买a本,则“文学类”图书购买(100-a)本,依题意,得18a+15(100-a)≤1 600,解得a≤.因为a是正整数,所以a的最大值为33.答:最多可购买“科普类”图书33本.
24.解析　(1)∵2×4=8,2+4=6,∴方程x+=6的两个解分别为x1=2,x2=4.(2)方程可变形为x+=+2,∵方程的两个根互为倒数,∴方程有一根为2,另一根为,∵x1