九师联盟2023届高三上学期开学考试文科数学试题（含答案）

高三文科数学
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．若集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．若复数满足，则（ ）
A． B． C． D．
3．在区间上随机取一个数，则事件“”的概率为（ ）
A． B． C． D．
4．“”成立的一个必要不充分条件为（ ）
A． B． C． D．
5．从某中学甲、乙两班中分别随机抽取10名同学，测量他们的身高（单位：cm），所得数据用茎叶图表示如下，由此估计甲、乙两班同学的身高情况．针对甲、乙两班分别抽取的10名同学的两组数据，下列结论正确的是（ ）
A．甲、乙两班同学身高的极差不相等 B．甲班同学身高的平均值较大
C．甲班同学身高的中位数较大 D．甲班同学身高在175cm以上的人数较多
6．如图，在四边形ABCD中，E，F分别为AB，CD的中点，若，，则（ ）
A． B． C． D．
7．已知定义在上的奇函数满足，当时，，则（ ）
A．3 B．0 C． D．
8．如图，在正方体中，点为棱的中点，则异面直线AC与DE所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
9．如图，函数的图象过，两点，为得到函数的图象，应将的图象（ ）
A．向右平移个单位长度 B．向左平移个单位长度
C．向右平移个单位长度 D．向左平移个单位长度
10．已知双曲线与斜率为1的直线交于A，B两点，若线段AB的中点为，则的离心率（ ）
A． B． C． D．
11．下列函数中，最小值不为2的是（ ）
A． B．
C． D．
12．如图，在三棱锥中，平面平面，，点在AC上，，过点作三棱锥外接球的截面，则截面圆面积的最小值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知x，y满足约束条件则的最大值为______．
14．已知，则曲线在点处的切线方程为______．
15．已知抛物线，过的焦点且斜率为1的直线交于A，B两点，若，则______．
16．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，D在边BC上，且AD平分，，，，则的面积为______．
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．
（一）必考题：共60分．
17．（本小题满分12分）
2022年7月6日~14日，素有“数学界奥运会”之称的第29届国际数学家大会，受疫情影响，在线上进行，世界各地的数学家们相聚云端、共襄盛举．某学校数学爱好者协会随机调查了学校100名学生，得到如下调查结果：男生占调查人数的55%，喜欢数学的有40人，其他的不喜欢数学：在调查的女生中，喜欢数学的有20人，其他的不喜欢数学
（1）请完成下面2×2列联表：
喜欢数学 不喜欢数学 合计
男生
女生
合计
（2）根据2×2列联表，判断是否有99.5%的把握认为该校学生喜欢数学与学生的性别有关？
参考公式：，其中．
临界值表：
0.10 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
18．（本小题满分12分）
如图，在直三棱柱中，为棱的中点．
（1）证明：平面；
（2）设为与的交点，若是边长为2的等边三角形，，求点到平面的距离．
19．（本小题满分12分）
在数列中，，且，．
（1）求的通项公式；
（2）若，且数列的前项和为，证明：．
20．（本小题满分12分）
已知函数．
（1）若是的极值点，求的值，并判断是的极大值点还是极小值点
（2）若在内有零点，求实数的取值范围．
21．（本小题满分12分）
已知椭圆的左、右焦点分别为，，且，与短轴的两个端点恰好为正方形的四个顶点，点在上．
（1）求的方程；
（2）过点作互相垂直且与轴均不重合的两条直线分别交于点A，B和C，D，若M，N分别是弦AB，CD的中点，证明：直线MN过定点．
（二）选考题：共10分．请考生在第22、23两题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．
22．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．
（1）求的普通方程和的直角坐标方程；
（2）若与交于相异两点A，B，且，求的值．
23．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
已知，，，证明：
（1）；
（2）．
高三文科数学参考答案、提示及评分细则
1．B 由题意知，所以．故选B．
2．C 由，得．故选C．
3．A 因为，，所以，故所求概率．故选A．
4．C 由，得，所以选项A是充要条件，选项B是既不充分又不必要条件，选项D是充分不必要条件，选项C是必要不充分条件．故选C．
5．A 甲班同学身高极差为182-157=25，乙班同学身高极差为182-159=23，即甲、乙两班同学身高的极差不相等，故A正确；易求甲、乙两班同学身高的平均值分别为169.2，171，故乙班同学身高平均值较大，故B错误；甲、乙两班同学身高的中位数分别为168，171.5，故C错误；甲、乙两班同学身高在175cm以上的人数分别为3和4，故D错误．故选A
6．A 由题意知，，，因为E，F分别为AB，CD的中点，所以，，所以，所以，即．故选A．
7．D 因为，所以的周期为4，所以；在中，令，得，所以，又，所以．故选D．
8．B 取的中点，连接，，，则，，所以，所以或其补角为AC与DE所成的角，设正方体的棱长为2，则，，所以．故选B．
9．D 设的最小正周期为，由图象知，所以，所以，又，所以，所以，又，所以，所以，．而，所以将函数的图象向左平移个单位长度可得函数的图象．故选D．
10．C 法一：设，，则，，所以，因为AB的中点为，所以，，所以，由题意知，所以，即，则的离心率．故选C．
法二：直线AB过点，斜率为1，所以其方程为，即．代入并整理得．因为为线段AB的中点，所以，整理得，所以的离心率．故选C．
11．D 对于A，，当且仅当时等号成立，故最小值为2；对于B，，所以在，上单调递增，在上单调递减，从而为极小值点，又当时，；当时，，所以函数的最小值为2；对于C，，因为可以看作点与点连线的斜率，又点在圆上，易求得PA斜率的最小值为，所以；对于D，，显然，又，所以的最小值为3，不是2．故选D．
12．A 由题意知和为等边三角形，取BD中点为，连接AE，CE，则，由平面平面CBD，平面平面，故平面，，易知球心在平面BCD的投影为的外心，过作于，易得，，则在中，，，所以外接球半径，连接OM，因为，，，所以H，O，M三点共线，所以，当为截面圆圆心时截面面积最小，此时截面圆半径，面积为．故选A．
13．5 画出可行域（如图阴影部分），当直线经过点时的取值最大，易求得，所以．
14． 因为，所以，又，故所求切线方程为，即．
15．4 由题意知，直线AB的方程为，代入的方程并整理得，设，，则，，因为，且，所以，即，所以，结合，解得
16． 由及正弦定理，得，即，由余弦定理得，又，所以，因为AD平分，所以，又因为，即，化简得；由及正弦定理，得，与联立，解得，所以．
17．解：（1）调查的男生人数为（人），
调查的女生人数为（人），
补全列联表如下：
喜欢数学 不喜欢数学 合计
男生 40 15 55
女生 20 25 45
合计 60 40 100
（2），
所以有99.5%的把握认为该校学生喜欢数学与学生的性别有关．
18．（1）证明：连接交于点，连接DE，则为的中点，
又为的中点，所以．
因为平面，平面，所以平面．
（2）解：由（1）知平面，且，
故点到平面的距离等于点到平面的距离，设为．
因为，，所以，，
所以，所以，所以的面积为．
连接，则三棱锥的体积
又三棱锥的体积等于三棱锥的体积，
所以，所以，所以点到平面的距离为．
19．（1）解：因为，，
所以当，，
两式相减，得，即，
当时，，
所以当时，，
所以当时，，
当时，上式成立；当时，上式不成立，
所以
（2）证明：由（1）知
当时，，
所以当时，；
当时，．
综上，．
20．解：（1），
由题意得，
解得．
当时，，
当时，；当时，；当时，，
所以在和上单调递增，在上单调递减，
所以是的极小值点．
（2）法一：．
①当时，，，所以，从而在上为减函数，
由解得，
所以当时，在内有一个零点．
②当时，，，所以，从而在上为增函数，
所以，
此时，在内没有零点．
③当时，，当时，；
当时，，所以在上为增函数，在上为减函数，
又，，
所以，此时在内没有零点．
综上，实数的取值范围为．
法二：考虑到在内有零点，令，
整理，得．
由，得，所以．
设，则．
设，则，
所以在上为减函数，从而，
所以，从而在上为增函数，
又，，
所以的值域为，于是，即，
故实数的取值范围为．
21．（1）解：设，因为两个焦点和短轴的两个端点为正方形的四个顶点，所以，
因为点在上，所以，又，
解得，，
所以的方程为．
（2）证明：由（1）知，由题意知直线AB和直线CD的斜率都存在且不为0，
设直线AB方程为：，与的方程联立
消去并整理，得，且，
设，，则，所以，
所以点的坐标为，
因为，则直线CD的方程为，
同理得，
当，即时，直线MN的斜率，
所以直线MN的方程为，
所以，
因为