2022-2023学年京改版八年级数学上册12.11 勾股定理课堂提升训练(含答案解析)

2022-2023学年度北京课改版版八年级数学上册
课堂提升训练
第十二章　三角形
五　勾股定理
12.11　勾股定理
基础过关全练
知识点1　勾股定理
1.在△ABC中,∠A,∠B,∠C对边的长分别是a,b,c,若∠A+∠C=90°,则有(　　)
A.a2+b2=c2　　　B.b2+c2=a2
C.a2+c2=b2　　　D.a+b=c
2.(2022四川眉山仁寿期末)如图,在由边长为1的正方形组成的网格中,下列选项中最短的线段是(　　)
A.AB　　　B.BC　　　C.AE　　　D.CD
3.(2021四川成都中考)如图,数字代表所在正方形的面积,则A所代表的正方形的面积为　　　　.
4.如图所示,学校有一块长方形花圃,有极少数人为了避开拐角走“捷径”,在花圃内走出了“一条路”.他们仅仅少走了　　　　步的路(假设2步为1 m),却踩坏了花圃.
5. 在Rt△ABC中,∠C=90°,若AB-AC=2,BC=8,则AB的长是　　　　.
6.(2021江苏宿迁中考改编)《九章算术》中一道“引葭赴岸”问题:“今有池一丈,葭生其中央,出水一尺,引葭赴岸,适与岸齐,问水深,葭长各几何 ”题意:如图,有一个池塘,其底面是边长为10尺的正方形,一棵芦苇AC生长在池塘的中央,高出水面的部分BC为1尺,如果把该芦苇沿与池塘边垂直的方向拉向池塘边,那么芦苇的顶部C恰好碰到池塘边的C'处,问水深和芦苇长各多少尺 该问题的水深为　　　　尺,芦苇长为　　　　尺.
7.(2022独家原创)直角三角形的两边长分别为7和24,则这个三角形的周长为　　　　,面积为　　　　.
8.(2020江苏苏州中考)如图,在△ABC中,已知AB=2,AD⊥BC,垂足为D,BD=2CD.若E是AD的中点,则EC=　　　　.
9.如图所示,试求出下列各直角三角形的未知边的长.
图① 图② 图③
10.如图,一架梯子AB的长为2.5米,顶端A靠在墙AC上(墙与地面垂直),这时梯子底端B与墙角C的距离为1.5米,梯子滑动后停在DE的位置上,测得梯子底端移动的距离BD为0.5米,问梯子顶端移动的距离也是0.5米吗 用你所学的知识说明理由.
11.(2021北京西城期末)如图1,把两个边长为1的小正方形沿着对角线剪开,再把所得的4个直角三角形拼成一个面积为2的大正方形,由此得到了一种能在数轴上画出无理数对应的点的方法.
(1)图2中A,B两点表示的数分别为　　　　,　　　　;
图1
图2
(2)请你参考以上方法,解决下面问题:
把图3中的长方形进行裁剪,并拼成一个大正方形,在图3中画出裁剪线,并在图4的正方形网格中画出拼成的大正方形,拼成的大正方形的边长a=　　　　;(小正方形边长都是1,拼接不重叠也无空隙)
图3
图4
(3)在(2)的基础上,参考图2的画法,在数轴(图5)上用点M表示数a,并标出必要的线段长.
图5
12.(2022独家原创)如图,意大利著名画家达·芬奇用两张一样的纸片,拼出不一样的空洞(图②中的空洞可看成由两个正方形和两个直角三角形组成,图③中的空洞可看成由一个正方形和两个直角三角形组成).
(1)a,b,c之间满足的等量关系是　　　　;
(2)若图③中的空洞的面积为36,∠α=45°,求图③中正方形的边长c.
　 图①　　　　 　 　图②　　　　　 　图③
知识点2　勾股定理的验证
13.(2021辽宁抚顺期末)勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一.下面四幅图中,不能证明勾股定理的是(　　)
A B C D
14.(2022吉林长春朝阳期末)【阅读理解】我国古人运用各种方法证明勾股定理,如图①,用四个全等的直角三角形拼成正方形,通过证明可得中间的四边形也是一个正方形.其中直角三角形的直角边长分别为a、b,斜边长为c.图中大正方形的面积可表示为(a+b)2,也可表示为c2+4×ab,即(a+b)2=c2+4×ab,所以a2+b2=c2.
【尝试探究】如图②所示,用两个全等的直角三角形拼成一个直角梯形BCDE,其中∠BAE=∠C=∠D=90°,请利用图②证明a2+b2=c2.
【定理应用】在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A、∠B、∠C所对的边的长分别为a、b、c.
求证:a2c2+a2b2=c4-b4.
图① 图②
能力提升全练
15. 如图,点E在正方形ABCD的边AB上,若EB=1,EC=2,则正方形ABCD的面积为(　　)
A.　　　B.3　　　C.　　　D.5
16.(2021山东滨州中考,2,)在Rt△ABC中,若∠C=90°,AC=3,BC=4,则点C到直线AB的距离为(　　)
A.3　　　B.4　　　C.5　　　D.2.4
17.(2021山西中考,8,)在勾股定理的学习过程中,我们已经学会了运用如图所示的图形去验证勾股定理,这种根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法,简称为“无字证明”.实际上它也可用于验证数与代数,图形与几何等领域中的许多数学公式和规律,它体现的数学思想是(　　)
A.统计思想　　　B.分类思想
C.数形结合思想　　　D.函数思想
18. 勾股定理是人类最伟大的科学发现之一,在我国古算书《周髀算经》中早有记载.如图1,以直角三角形的各边为边分别向外作正方形,再把较小的两个正方形按图2的方式放置在最大的正方形内.若知道图中阴影部分的面积,则一定能求出(　　)
图1 图2
A.直角三角形的面积
B.最大的正方形的面积
C.较小的两个正方形重叠部分的面积
D.最大的正方形与直角三角形的面积和
19.(2021湖南常德中考,14,)如图,在△ABC中,∠C=90°,AD平分∠CAB,DE⊥AB于E,若CD=3,BD=5,则BE的长为　　　　.
20.(2022北京延庆期末,15,)小丽同学在学习了利用勾股定理在数轴上表示无理数的方法后,进行如下操作:如图,首先画出数轴(用点O表示数0),在数轴上找到表示数2的点A,然后过点A作AB⊥OA,且AB=1,连接OB,再以O为圆心,OB的长为半径作弧,交数轴正半轴于点P,那么点P表示的数是　　　　.
21.(2021黑龙江齐齐哈尔中考,15,)直角三角形的两条边长分别为3和4,则这个直角三角形斜边上的高为　　　　.
22.(2021湖南娄底月考,18,)如图,△A1OM是腰长为1的等腰直角三角形,过点A1作A1A2⊥A1M,且A1A2=1,连接A2M,再过点A2,作A2A3⊥A2M,且A2A3=1,连接A3M,……,则A1M=　　　,照此规律操作下去,则AnM=　　　　.
23.(2022北京延庆期末,25,)如图,AD、BE为△ABC的高,∠ABC=45°,F是AD与BE的交点,AC=,BD=2.求线段DF的长度.
素养探究全练
24.[逻辑推理](2022北京门头沟期末)如图,在△ABC中,∠C=90°,AD平分∠BAC交BC于D,过D作DE∥AC交AB于E.
(1)求证:AE=DE;
(2)如果AC=3,AD=2,求AE的长.
答案全解全析
基础过关全练
1.C　根据三角形内角和定理求得∠B=90°,根据勾股定理得a2+c2=b2.故选C.
2.C　根据勾股定理,得AB2=22+42=20,BC2=32+42=25,AE2=12+42=17,CD2=32+32=18.所以最短的线段是AE.故选C.
3.100
解析　三个正方形的边长正好是直角三角形的三边长,根据勾股定理得到A所代表的正方形的面积=36+64=100.
4.4
解析　根据勾股定理可得,“捷径”的长为=5(m),则少走的路程是3+4-5=2(m),2×2=4(步).
5.17
解析　∵在Rt△ABC中,∠C=90°,
∴AC2+BC2=AB2,∵AB-AC=2,BC=8,
∴(AB-2)2+82=AB2,解得AB=17.
6.12;13
解析　设芦苇长为x尺,则水深为(x-1)尺,
由题可知,C'B=×10=5(尺),∠ABC'=90°,
在Rt△AC'B中,∠ABC'=90°,∴BC'2+AB2=AC'2,
∴52+(x-1)2=x2,解得x=13,∴x-1=12.
故芦苇长为13尺,水深为12尺.
7.56或31+;84或
解析　设第三边长为x,分情况讨论:①当24为直角边长时,x为斜边长,由勾股定理可得x==25,此时周长为24+25+7=56,面积为×24×7=84;②当24为斜边长时,x为直角边长,由勾股定理可得x==,此时周长为24+7+=31+,面积为×7×=.综上,三角形的周长为56或31+,面积为84或.
8.1
解析　∵E为AD的中点,∴AE=ED,
设AE=ED=x,CD=y,则BD=2y,
∵AD⊥BC,∴∠ADB=∠ADC=90°,
在Rt△ABD中,∠ADB=90°,∴AB2=AD2+BD2,
∴22=(2x)2+(2y)2,∴x2+y2=1,
在Rt△CDE中,∠CDE=90°,∴EC2=DE2+CD2,
∴EC2=x2+y2=1,∴EC=1.
9.解析　题图①:∵a2=122+52=169,∴a=13.
题图②:∵(9)2=b2+(8)2,
∴b2=243-128=115,∴b=.
题图③:∵82=()2+c2,∴64=39+c2,
∴c2=25,∴c=5.
10.解析　梯子顶端移动的距离也是0.5米.理由如下:
在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=2.5米,BC=1.5米,
则AC===2(米).
在Rt△DCE中,∠C=90°,
DE=AB=2.5米,CD=BC+BD=1.5+0.5=2(米),
则CE===1.5(米),
∴AE=AC-CE=2-1.5=0.5(米),
∴梯子顶端移动的距离也是0.5米.
11.解析　(1)-;.
(2)裁剪线如图①所示(裁剪方法不唯一),拼成的大正方形如图②所示(拼接成的大正方形不唯一,需要与裁剪方式相对应).大正方形的边长a==.
图①
图②
(3)如图③,点M即为所求.
图③
12.解析　(1)a2+b2=c2.
(2)由题可知三角形为直角三角形,且∠α=45°,∴a=b.又∵a2+b2=c2,∴c2=2a2.
∵空洞的面积为36,∴c2+2×ab=2a2+a2=36,
∴a2=12,∴c2=24,∴c==2.
13.D　A.ab+c2+ab=(a+b)(a+b),整理得a2+b2=c2,能证明勾股定理,故本选项不符合题意;B.4×ab+c2=(a+b)2,整理得a2+b2=c2,能证明勾股定理,故本选项不符合题意;C.4×ab+(b-a)2=c2,整理得a2+b2=c2,能证明勾股定理,故本选项不符合题意;D.根据图形不能证明勾股定理,故本选项符合题意.故选D.
14.证明　【尝试探究】梯形的面积=(a+b)(b+a),
梯形的面积=S△ABC+S△ABE+S△ADE=ab+c2+ab=ab+c2,∴(a+b)(b+a)=ab+c2,∴a2+b2=c2.
【定理应用】易知a2+b2=c2.∵a2c2+a2b2=a2(c2+b2),c4-b4=(c2+b2)·(c2-b2)=(c2+b2)a2,∴a2c2+a2b2=c4-b4.
能力提升全练
15.B　由题可知∠B=90°,在Rt△BCE中,利用勾股定理得出BC2=CE2-BE2=22-12=3,所以正方形ABCD的面积=BC2=3.故选B.
16.D　作CD⊥AB于点D,如图所示,∵∠ACB=90°,AC=3,BC=4,∴AB===5,∵S△ABC=AC·BC,S△ABC=AB·CD,∴=,∴=,∴CD=2.4,故选D.
17.C　这种根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法,简称为“无字证明”,它体现的数学思想是数形结合思想,故选C.
18.C　设直角三角形的斜边长为c,较长的直角边长为b,较短的直角边长为a,
由勾股定理得,c2=a2+b2,
阴影部分的面积=c2-b2-a(c-b)=a2-ac+ab=a(a+b-c),较小的两个正方形重叠部分(长方形)的宽=a-(c-b),长=a,
则较小的两个正方形重叠部分(长方形)的面积=a(a+b-c),
∴知道题图中阴影部分的面积,则一定能求出较小的两个正方形重叠部分(长方形)的面积.故选C.
19.4
解析　∵∠C=90°,∴DC⊥AC,
∵AD平分∠CAB,DE⊥AB,DC⊥AC,
∴DE=DC=3,∠DEB=90°,
在Rt△BDE中,∠DEB=90°,BD=5,DE=3,
∴BE===4.
20.
解析　在Rt△OAB中,∠OAB=90°,OA=2,AB=1,
∴OB===.
∴OP=OB=,∴点P表示的数为.
21.或
解析　设直角三角形斜边上的高为h,分两种情况讨论:
①当4为直角边长时,斜边长==5,
则×3×4=×5·h,解得h=;
②当4为斜边长时,另一条直角边长==,
则×3×=×4·h,解得h=.
综上所述,直角三角形斜边上的高为或.
22.;
解析　根据勾股定理可得,A1M==,A2M==,A3M==,A4M==,……,AnM=.
23.解析　∵AD、BE是△ABC的高,
∴∠ADB=∠ADC=∠BEC=90°.
∴∠C+∠DAC=90°,∠C+∠DBF=90°,
∴∠DAC=∠DBF,
∵∠ABC=45°,∴∠DAB=45°.
∴∠ABC=∠DAB.∴DA=DB,
在△ADC与△BDF中,
∴△ADC≌△BDF(ASA),∴AC=BF,∴BF=,
在Rt△BDF中,∠BDF=90°,
∴DF===1.
素养探究全练
24.解析　(1)证明:∵DE∥AC,∴∠CAD=∠ADE,
∵AD平分∠BAC,∴∠CAD=∠EAD.
∴∠EAD=∠ADE.∴AE=DE.
(2)如图,过点D作DF⊥AB于F.
在Rt△ACD中,∠C=90°,AC=3,AD=2,
∴CD===.
∵AD平分∠BAC,∴∠CAD=∠FAD.
又∵∠C=∠AFD=90°,AD=AD,
∴△DAC≌△DAF(AAS).
∴AF=AC,CD=FD,∴AF=3,DF=,
设AE=x,则DE=x,EF=3-x,
在Rt△DEF中,∠DFE=90°,∴EF2+DF2=DE2,
∴(3-x)2+()2=x2,∴x=2.∴AE=2.