2021－2022学年陕西省各地人教版数学九年级上册24.1 圆的有关性质 期末试题分类选编 (含解析)

24.1 圆的有关性质
1．（2022·陕西渭南·九年级期末）如图，半径为3的⊙O内有一点A，OA＝，点P在⊙O上，当∠OPA最大时，S△OPA等于（　　）
A． B． C． D．1
2．（2022·陕西渭南·九年级期末）如图，的直径弦于点，若，，则的长为（ ）
A． B．12 C．10 D．5
3．（2022·陕西·紫阳县师训教研中心九年级期末）如图，在⊙O中，AB是弦，半径于点D，若OC＝10，AB＝16，则CD的长为（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
4．（2022·陕西·西安高新第一中学初中校区九年级期末）如图，已知⊙O的半径等于2cm，AB是直径，C，D是⊙O上的两点，且，则四边形ABCD的周长等于（　　）
A．8cm B．10cm C．12cm D．16cm
5．（2022·陕西·西北工业大学附属中学九年级期末）如图，BC是的直径，A，D是上的两点，连接AB，AD，BD，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
6．（2022·陕西安康·九年级期末）如图，点A，B，C都在⊙O上，若∠C=35°，则∠AOB的度数为（　　）
A．35° B．55° C．145° D．70°
7．（2022·陕西·西安铁一中分校九年级期末）知图，AB为⊙O的直径，C、D为⊙O上两点，连接AC、CD，CD与AB相交于点E，若=2，∠C＝20°，则∠AED的度数为（ ）
A．50° B．53° C．55° D．58°
8．（2022·陕西渭南·九年级期末）下列说法：①等弧所对的圆心角相等；②经过三点可以作一个圆；③平分弦的直径垂直于这条弦；④圆的内接平行四边形是矩形．其中正确的有（ ）
A．①② B．②③ C．③④ D．①④
9．（2022·陕西·紫阳县师训教研中心九年级期末）如图，四边形ABCD内接于⊙O，若，则∠BCD的度数是（ ）
A．50° B．80° C．100° D．130°
10．（2022·陕西安康·九年级期末）如图，四边形ABCD内接于，弦BD，若，则的大小为（ ）
A．62° B．56° C．52° D．50°
11．（2022·陕西·西安高新第一中学初中校区九年级期末）已知⊙O的直径CD＝10，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M，且AB＝8，则AC的长为________________．
12．（2022·陕西渭南·九年级期末）如图，把一个以点为圆心的圆的面积四等分，请用尺规作图画出一种分割方法．（不写作法，保留作图痕迹）
13．（2022·陕西·西安铁一中分校九年级期末）如图，点C为以AB为直径的圆外一点，请用尺规作图法作一条直线l，使得直线过点C，且将圆的周长分成相等的两部分（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
14．（2022·陕西渭南·九年级期末）如图，在中，作出劣弧的中点D．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
15．（2022·陕西安康·九年级期末）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，D为⊙O上一点，OD⊥AC，垂足为E，连接BD．
（1）求证：BD平分∠ABC；
（2）当∠ODB=30°时，求证：BC=OD．
16．（2022·陕西·西安高新第一中学初中校区九年级期末）有这样一类特殊边角特征的四边形，它们有“一组邻边相等且对角互补”，我们称之为“等对补四边形”．
(1)如图1，四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，AD＝AB，AE⊥CD于点E，若AE＝4，则四边形ABCD的面积等于 　 　．
(2)等对补四边形中，经过两条相等邻边的公共顶点的一条对角线，必平分四边形的一个内角，即如图2，四边形ABCD中，AD＝DC，∠A+∠C＝180°，连接BD，求证：BD平分∠ABC．
(3)现准备在某地著名风景区开发一片国家稀有动物核心保护区，保护区的规划图如图3所示，该地规划部门要求：四边形ABCD是一个“等对补四边形”，满足AD＝DC，AB+AD＝12，∠BAD＝120°，因地势原因，要求3≤AD≤6，求该区域四边形ABCD面积的最大值．
17．（2022·陕西·西安铁一中分校九年级期末）问题提出
(1)如图1，A、B为⊙O外的两点，请在⊙O上画出所有使得AC＋BC的值最小的C点．
问题探究
(2)如图2，在四边形ABCD中，AB＝AD＝3，∠BCD＝∠BAD＝90°，AC＝4，求BC＋CD的值；
问题解决
(3)如图3，某城市要修建一块草坪，草坪由三条线段AB、BC、CD和圆弧AD周成，计划在圆弧AD段用花来布置成标志性造型，AB和CD段栽种观赏性树木，BC临湖．已知点E为BC上一点，BE＝CE＝6，长为4，且上任意一点F，满足∠BFE＝30°，为了降低成本，现计划使得AB＋CD最小，求AB＋CD的最小值．
参考答案：
1．B
【解析】当时，取得最大值，在直角三角形中利用勾股定理求的值，再根据三角形的面积公式即可得出答案．
解：如图所示：、是定值，
时，最大，
在直角三角形中，，，
，
．
故选：B．
本题考查了解直角三角形．解答此题的关键是找出“当时，最大”这一隐含条件．
2．C
【解析】如图所示，连接OD，设，先用勾股定理求出，再在△OED中利用勾股定理求解即可．
解：如图所示，连接OD，
设，
∵AB⊥CD，CD=8，
∴CE=DE=4，∠BED=∠OED=90°，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得，
∴AB=2r=10，
故选C．
本题主要考查了垂径定理和勾股定理，解题的关键在于能够熟练掌握垂径定理．
3．C
【解析】连接OA，如图，利用垂径定理得到AD=BD=AB=8，再利用勾股定理计算出OD，然后计算OC-OD即可．
解：连接OA，如图，
∵OC⊥AB，
∴AD=BD=AB=
在Rt△OAD中，OD=
∴CD=OC-OD=10-6=4．
故选C．
本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．
4．B
【解析】连接OD、OC，根据圆心角、弧、弦间的关系证得△AOD是等边三角形，然后由可得=2cm，于是可以求出结果．
解：如图,连接OD、OC．
，
∠AOD=∠DOC=∠COB，；
∠AOD+∠DOC+∠COB=180°，
∠AOD=∠DOC=∠COB=60°；
OA=OD，
△AOD是等边三角形，⊙O的半径等于2cm，
AD=OD=OA=2cm；
，
AD=CD=BC=OA=2cm；
四边形ABCD的周长为:AD+CD+BC+AB=cm;
故选：B．
本题考查了心角、弧、弦间的关系与等边三角形的判定与性质．在同圆中，等弧所对的圆心角相等．
5．A
【解析】连接AC，如图，根据圆周角定理得到，，然后利用互余计算的度数．
连接AC，如图，
∵BC是的直径，
∴，
∵，
∴．
故答案为．
故选A．
本题考查圆周角定理和推论，解题的关键是掌握圆周角定理和推论．
6．D
∵∠C=35°，
∴∠AOB=2∠C=70°．
故选D．
7．C
【解析】连接OD，OC，先利用圆周角定理求出∠AOD，从而求出∠DOB，再根据=2，求出∠BOC，进而求出∠CAO，最后利用三角形的外角进行计算即可解答．
解：连接OD，OC，
∵∠ACD=20°，
∴∠AOD=2∠ACD=40°，
∴∠DOB=180°-∠AOD=140°，
∵=2，
∴∠BOD=2∠BOC，
∴∠BOC=70°，
∴∠CAO=∠BOC=35°，
∴∠AED=∠ACD+∠CAO=55°，
故选：C．
本题考查了圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系、三角形外角的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
8．D
【解析】根据圆的有关概念及性质，对选项逐个判断即可．
①等弧是能够完全重合的弧，因此等弧所对的圆心角相等，正确；
②经过不在同一直线上的三点可以作一个圆，故原命题错误；
③平分弦（不是直径）的直径垂直于这条弦，故原命题错误；
④圆的内接平行四边形是矩形，正确；
正确的有①④，
故答案为：D．
此题考查了圆的有关概念及性质，解题的关键是熟练掌握圆的相关概念以及性质．
9．D
【解析】根据圆周角定理求出∠A的度数，根据圆内接四边形的性质得出∠A＋∠BCD＝180°即可解答．
解：∵弧BCD对的圆周角是∠A，圆心角是∠BOD＝100°，
∴∠A＝∠BOD＝50°，
∵A、B、C、D四点共圆，
∴∠A＋∠BCD＝180°，
∴∠BCD＝130°．
故选：D．
本题主要考查了圆周角定理、圆内接四边形的性质等知识点，根据圆周角定理求得∠A的度数和得出∠A＋∠BCD＝180°是解答本题的关键．
10．B
【解析】由垂径定理，即；由等腰三角形的性质可得，即，最后根据圆的内接四边形对角互补即可解答．
解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵四边形ABCD为的内接四边形，
∴．
故选：B．
本题主要考查了垂径定理、圆的内接四边形等知识点，掌握圆的内接四边形对角互补是解答本题的关键．
11．或
【解析】连结OA，由AB⊥CD，根据垂径定理得到AM=4，再根据勾股定理计算出OM=3，然后分类讨论：当如图1时，CM=8；当如图2时，CM=2，再利用勾股定理分别计算即可．
解：连结OA，
∵AB⊥CD，
∴AM=BM=AB=×8=4，
在Rt△OAM中，OA=5，
∴OM==3，
当如图1时，CM=OC+OM=5+3=8，
在Rt△ACM中，AC==；
当如图2时，CM=OC-OM=5-3=2，
在Rt△ACM中，AC==．
故答案为：或．
本题考查垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解题的关键．
12．见解析
【解析】由题意先过圆心作直径MN，进而作直径MN的垂直平分线EF即可.
解：如图，直线，直线即为所求．
本题考查圆以及垂直平分线的性质，熟练掌握垂直平分线的作图方法是解题的关键.
13．见解析
【解析】先作AB的垂直平分线得到AB的中点，然后连接OC得到直线l．
解：如图，直线l为所作．
本题考查了作图-复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．
14．见解析
【解析】连接AB，作AB的垂直平分线即可得到劣弧AB的中点D.
解：如图所示：
连接AB，分别以A、B为圆心，以大于AB长的一半为半径画弧，两弧交于M点，连接OM交圆于点D，即为所求.
本题主要考查了线段的垂直平分线的性质，圆心角、弧、弦之间的关系，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.
15．(1)证明见解析；(2)证明见解析．
【解析】（1）由OD⊥AC OD为半径，根据垂径定理，即可得，又由在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，即可证得BD平分∠ABC；
（2）首先由OB=OD，易求得∠AOD的度数，又由OD⊥AC于E，可求得∠A的度数，然后由AB是⊙O的直径，根据圆周角定理，可得∠ACB=90°，继而可证得BC=OD．
（1）∵OD⊥AC OD为半径，
∴，
∴∠CBD=∠ABD，
∴BD平分∠ABC；
（2）∵OB=OD，
∴∠OBD=∠0DB=30°，
∴∠AOD=∠OBD+∠ODB=30°+30°=60°，
又∵OD⊥AC于E，
∴∠OEA=90°，
∴∠A=180°﹣∠OEA﹣∠AOD=180°﹣90°﹣60°=30°，
又∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，在Rt△ACB中，BC=AB，
∵OD=AB，
∴BC=OD．
16．(1)9
(2)见解析
(3)
【解析】（1）过作，交的延长线于，求出四边形是矩形，根据矩形的性质得出，求出，根据得出，根据全等得出，，求出，求出，代入求出即可；
（2）如图1中，连接，．证明，，，四点共圆，利用圆周角定理即可解决问题．
（3）如图3中，延长到，使得，连接，过点作于，根点作于，于．设．构建二次函数，利用二次函数的性质即可解决问题．
（1）
解：如图1，过作，交的延长线于，
，
，
四边形是矩形，
，
，
，
在和中，
，
，
，，
四边形是矩形，
四边形是正方形，
，
．
故答案为：16；
（2）
解：证明：如图2中，连接．
，
，，，四点共圆，
，
，
，
平分．
（3）
解：如图3中，延长到，使得，连接，过点作于，过点作于，于．设．
，，
，
，
，
是等边三角形，
，
，
由（2）可知．平分，
，
，
，
，，
，，
，
，
，，
，
∵，
∴
∴时，有最大值，最大值．
本题属于四边形综合题，考查了“邻等对补四边形”的定义，解直角三角形，等边三角形的判定和性质，四点共圆，二次函数的应用等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，学会利用参数构建二次函数，利用二次函数的性质解决最值问题，属于中考压轴题．
17．(1)见解析
(2)
(3)
【解析】（1）利用两点之间线段最短求解；
（2）利用AAS证明，推出，，进而得出，再证四边形ANCM是正方形，结合AC＝4，利用勾股定理求出正方形ANCM的边长，即可求解；
（3）如图（见解析）作辅助线，找出点F所在圆的圆心，证明，推出，进而得出，从而将AB与CD转化为一个三角形的两个边，依靠三角形的三边关系进行求解．
（1）
解：如图所示，连接AB，AB与⊙O的交点和 为所求C点；
（2）
解：如图，作于点M，作交BC的延长线于点N，
则，
又∵，
∴四边形ANCM是矩形，
∴，，
∴，
即，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，
∵四边形ANCM是矩形，，
∴四边形ANCM是正方形，
∴，
∴，
即，
∴，
∴；
（3）
解：∵点F在运动的过程中，满足，
∴点F可看作是在以BE为弦的圆上运动，为弦BE所对的圆周角，
∴弦BE所对的圆心角为：，
以BE为边向上作等边三角形BEO，可得点O为动点F所在圆的圆心，圆O的半径为6．
连接OA，OD，延长EO与圆O交于点G，连接GD．
∵长为4，半径，
∴，
又由等边三角形的性质知，
∴，
又∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴当G，D，C三点共线时，取最小值，取最小值，最小值为GC．
连接GB，如下图所示：
此时，G点与D点重合，A点与B点重合，
∵GE是直径，
∴，
在中，， ，
∴，
∴中，，
∴的最小值为．
本题考查全等三角形的判定与性质，正方形的判定与性质，圆周角定理的应用，等边三角形的性质，勾股定理解直角三角形等知识点，综合性很强，属于压轴题，第三问难度很大，将转化为，得出的最小值为GC是解题的关键．