2022-2023学年京改版八年级数学上册 第十二章 三角形 素养综合测试 (含答案)

2022-2023学年度北京课改版版八年级数学上册
素养综合检测
第十二章　三角形
(满分100,限时60分钟)
一、选择题(每小题3分,共30分)
1.(2022独家原创)下面和体育有关的图案是轴对称图形的是(　　)
A B C D
2.一个三角形的一个内角等于另外两个内角的和,这个三角形是(　　)
A.直角三角形　　　B.锐角三角形
C.钝角三角形　　　D.无法确定
3.(2021江苏南京中考)下列长度的三条线段与长度为5的线段首尾顺次相连能组成四边形的是(　　)
A.1,1,1　　　B.1,1,8　　　C.1,2,2　　　D.2,2,2
4.已知|a-6|+|b-8|+(c-10)2=0,则以a、b、c为三边长的三角形是(　　)
A.直角三角形　　　B.锐角三角形
C.等腰三角形　　　D.钝角三角形
5.(2021内蒙古赤峰中考)如图,AB∥CD,点E在线段BC上,CD=CE.若∠ABC=30°,则∠D的度数为(　　)
A.85°　　　B.75°　　　C.65°　　　D.30°
6.如图,OP平分∠AOB,PA⊥OA,PB⊥OB,垂足分别为A,B.下列结论中不一定成立的是(　　)
A.PA=PB　　　B.PO平分∠APB
C.OA=OB　　　D.AB垂直平分OP
7.(2022北京海淀期末)如图,△ABC≌△DEC,点E在线段AB上,∠B=75°,则∠ACD的度数为(　　)
A.20°　　　B.25°
C.30°　　　D.40°
8.(2022山东淄博张店期末)如图,BD是△ABC的中线,点E,F分别为BD,CE的中点,若△ABC的面积为8,则△AEF的面积是(　　)
A.2　　　B.3　　　C.4　　　D.6
9.(2019河南中考)如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,∠D=90°,AD=4,BC=3.分别以点A,C为圆心,大于AC的长为半径作弧,两弧交于点E,作射线BE交AD于点F,交AC于点O.若点O是AC的中点,则CD的长为(　　)
A.2　　　B.4　　　C.3　　　D.2
10.如图,点P是∠AOB外的一点,点M,N分别是∠AOB两边OA,OB上的点,点P关于OA的对称点Q恰好落在线段MN上,点P关于OB的对称点R恰好落在MN的延长线上.若PM=2.5 cm,PN=3 cm,MN=4 cm,则线段QR的长为(　　)
A.4.5 cm　　　B.5.5 cm　　　C.6.5 cm　　　D.7 cm
二、填空题(每小题3分,共24分)
11.如图,为使人字梯更为牢固,在梯子中间安装横向“拉杆”,所根据的数学原理是　　　　　　　　.

12. 命题“三角形的三个内角中至少有两个锐角”是　　　　　　.(填“真命题”或“假命题”)
13.(2021山东滨州中考)如图,在△ABC中,点D是边BC上的一点.若AB=AD=DC,∠BAD=44°,则∠C的度数为　　　　.
14.(2021北京顺义期末)用直尺和圆规作一个角等于已知角,如图,可证△O'C'D'≌△OCD,进而得出∠A'O'B'=∠AOB,证明△O'C'D'≌△OCD的依据是　　　　　　　　　.
15.(2022北京延庆期末)等腰三角形一边长为5,另一边长为8,则其周长为　　　　.
16.在△ABC中,AB=AC=6 cm,∠B=60°,则BC边上的高AD=　　　　cm.
17.(2022独家原创)一个圆柱形无盖桶的底面半径为5 cm,高为24 cm,将一根长为30 cm的筷子放入此桶中,最多露出　　　　cm,最少露出　　　　cm.
18.如图,在等边三角形ABC中,AB=6,D是BC的中点,将△ABD绕点A旋转后得到△ACE,则线段DE的长为　　　　.
三、解答题(共46分)
19.(6分)如图所示,已知△ABC的角平分线BM、CN相交于点P,连接AP.
(1)判断AP是否平分∠BAC,请说明理由;
(2)由此题可得到的结论是　.
20. (6分)如图,点M和点N在∠AOB内部.
(1)请你作出点P,使点P到点M和点N的距离相等,且到∠AOB两边的距离也相等(保留作图痕迹,不写作法);
(2)请说明作图理由.
21.(2021广西百色中考)(8分)如图,点D、E分别是AB、AC上的点,BE、CD相交于点O,∠B=∠C,BD=CE.
求证:(1)OD=OE;
(2)△ABE≌△ACD.
22.(2021安徽合肥包河期末)(8分)如图,在△ABC中,已知点D在线段AB的反向延长线上,过AC的中点F作线段GE交∠DAC的平分线于E,交BC于G,且AE∥BC.
(1)求证:△ABC是等腰三角形;
(2)若AE=8,AB=10,GC=2BG,求△ABC的周长.
23.(2021广东潮州饶平期末)(8分)如图,在△ABC中,AB=AC,DE是过点A的直线,BD⊥DE于D,CE⊥DE于E.
(1)如图1,若B、C在DE的同侧,且AD=CE.求证:AB⊥AC;
(2)如图2,若B、C在DE的两侧,且AD=CE,AB与AC仍垂直吗 若垂直,请给出证明;若不垂直,请说明理由.
图1 图2
24.(10分)在同一平面内的图形M,N,给出如下定义:P为图形M上任意一点,Q为图形N上任意一点,如果P,Q两点间的距离有最小值,那么称这个最小值为图形M,N间的“闭距离”,记作d(M,N).
如图,等腰直角三角形ABC的一条直角边AB垂直数轴于点D,斜边AC与数轴交于点E,数轴上点O表示的有理数是0,若AB=BC=8,AD=6,OD=2,点O到边BC的距离与线段DB的长相等.
(1)求d(点O,点E);
(2)求d(点O,△ABC).
答案全解全析
1.B　根据轴对称图形的概念可知,选项B中的图案是轴对称图形.
2.A　设这个三角形的最大的内角的度数为x°,由题可知,另外两个内角的和为x°,∴x+x=180,∴x=90,
∴这个三角形的最大的内角的度数为90°,故这个三角形是直角三角形.故选A.
3.D　若四条线段能组成四边形,则三条较短的线段的长度之和大于最长的线段的长度,∵2+2+2=6>5,∴长度为2,2,2的线段与长度为5的线段能组成四边形.故选D.
4.A　∵|a-6|+|b-8|+(c-10)2=0,∴a=6,b=8,c=10.∵62+82=102,∴a2+b2=c2,∴以a、b、c为三边长的三角形是直角三角形.
5.B　∵AB∥CD,∴∠C=∠ABC=30°,∵CD=CE,∴∠D=∠CED,∵∠C+∠D+∠CED
=180°,∴30°+2∠D=180°,∴∠D=75°.故选B.
6.D　∵OP平分∠AOB,PA⊥OA,PB⊥OB,∴PB=PA,故A中的结论正确;易证得△AOP≌△BOP,∴OA=OB,∠APO=∠BPO,∴PO平分∠APB,故B、C中的结论正确;根据题中条件无法推出AB垂直平分OP,故D中的结论不一定成立.故选D.
7.C　由全等三角形的性质可得∠ACB=∠DCE,BC=EC,所以∠BCE=∠ACD,∠BEC=∠B=75°,由三角形内角和定理可求得∠BCE=30°,所以∠ACD=30°.故选C.
8.A　根据三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分,利用E为BD的中点得到S△ABE=S△ADE,S△CBE=S△CDE,所以S△ACE=S△ADE+S△CDE=S△ABD+S△BCD=S△ABC=4,然后利用F为CE的中点得到S△AEF=S△ACE=×4=2.故选A.
9.A　如图,连接FC,由题可知,OE垂直平分AC,由垂直平分线的性质得出AF=FC.易证△FOA≌△BOC,所以AF=BC=3,所以FC=AF=3,FD=AD-AF=1.在Rt△FDC中,利用勾股定理求得CD===2.故选A.
10.A　∵点P关于OA的对称点Q恰好落在线段MN上,点P关于OB的对称点R恰好落在MN的延长线上,∴PM=MQ,PN=RN.∵PM=2.5 cm,PN=3 cm,
∴RN=3 cm,MQ=2.5 cm,∵MN=4 cm,∴NQ=MN-MQ=4-2.5=1.5(cm),
∴QR=RN+NQ=3+1.5=4.5(cm).
11.三角形的稳定性
解析　安装横向“拉杆”后,出现三角形结构,利用三角形的稳定性,使梯子更牢固.
12.真命题
解析　三角形的三个内角中,可能有两个锐角,也可能有三个锐角,故“三角形的三个内角中至少有两个锐角”是真命题.
13.34°
解析　∵AB=AD,∴∠B=∠ADB,
∵∠BAD=44°,∴∠ADB==68°,
∵AD=DC,∠ADB=∠C+∠DAC,
∴∠C=∠DAC=∠ADB=34°.
14.有三边分别相等的两个三角形全等(或SSS)
解析　根据作图过程可知,利用SSS证明△OCD≌△O'C'D',所以∠AOB=∠A'O'B'.故答案为有三边分别相等的两个三角形全等(或SSS).
15.18或21
解析　分两种情况讨论:①当5为底边长时,腰长为8,此时三边长为5,8,8,满足三角形的三边关系,则这个等腰三角形的周长=5+8+8=21;
②当8为底边长时,腰长为5,此时三边长为8,5,5,满足三角形的三边关系,则这个等腰三角形的周长=5+5+8=18.
综上,这个等腰三角形的周长为18或21.
16.3
解析　如图,∵AB=AC=6 cm,∠B=60°,
∴△ABC是等边三角形,∴BC=AB=AC=6 cm,
∵AD⊥BC,∴BD=DC,∴BD=BC=3 cm.
在Rt△ABD中,∠ADB=90°,
∴AD====3(cm).
17.6;4
解析　当筷子与桶底垂直时,露出的最多,最多露出30-24=6(cm).当筷子按如图所示的方式放置时,露出的最少,此时露出30-=30-26=4(cm).
18.3
解析　由题意知△ABD≌△ACE,
∴∠BAD=∠CAE,AD=AE.
∵△ABC为等边三角形,D为BC的中点,∴AD⊥BC,AD平分∠BAC,∠BAC=60°,BC=AB,
∴∠CAE=∠BAD=∠DAC=∠BAC=30°,
∴∠DAE=60°,∵AD=AE,∴△ADE是等边三角形,∴DE=AD.
∵D为BC的中点,∴BD=BC=AB=3,
在Rt△ABD中,∠ADB=90°,
∴AD===3,∴DE=3.
19.解析　(1)AP平分∠BAC.理由如下:
如图,过点P作PQ⊥BC、PK⊥AB、PL⊥AC,
∵△ABC的角平分线BM、CN相交于点P,
∴PK=PQ,PL=PQ,∴PK=PL,
∴AP平分∠BAC.
(2)三角形的三条角平分线相交于一点.
20.解析　(1)如图所示.
(2)作图的理由:点P既在∠AOB的平分线上,又在线段MN的垂直平分线上,∠AOB的平分线和线段MN的垂直平分线的交点即为所求.
21.证明　(1)在△BOD和△COE中,
∴△BOD≌△COE(AAS),
∴OD=OE.
(2)由(1)知△BOD≌△COE,
∴OD=OE,OB=OC,∴CD=BE,
在△ABE和△ACD中,
∴△ABE≌△ACD(AAS).
22.解析　(1)证明:∵AE∥BC,
∴∠B=∠DAE,∠C=∠CAE.
∵AE平分∠DAC,∴∠DAE=∠CAE.
∴∠B=∠C.∴AB=AC.
∴△ABC是等腰三角形.
(2)∵F是AC的中点,∴AF=CF.
∵AE∥BC,∴∠C=∠CAE.
由对顶角相等可知:∠AFE=∠GFC.
在△AFE和△CFG中,
∴△AFE≌△CFG(ASA),∴AE=GC.
∵AE=8,∴GC=8,
∵GC=2BG,∴BG=4.∴BC=12.
由(1)知AC=AB,∴AC=10,
∴△ABC的周长=AB+AC+BC=10+10+12=32.
23.解析　(1)证明:∵BD⊥DE,CE⊥DE,
∴∠ADB=∠AEC=90°,
在Rt△ABD和Rt△CAE中,
∵∴Rt△ABD≌Rt△CAE(HL).
∴∠DBA=∠EAC.
∵∠DAB+∠DBA=90°,∴∠BAD+∠CAE=90°.
∴∠BAC=180°-(∠BAD+∠CAE)=90°.∴AB⊥AC.
(2)AB⊥AC.证明如下:
易证Rt△ABD≌Rt△CAE.
∴∠DAB=∠ECA,
∵∠CAE+∠ECA=90°,
∴∠CAE+∠BAD=90°,即∠BAC=90°,
∴AB⊥AC.
24.解析　(1)∵△ABC是等腰直角三角形,AB=BC=8,
∴∠C=∠A=45°,∠ABC=90°.
∵AB垂直数轴于点D,∴∠ADE=90°,
∵∠A=45°,∴∠AED=45°,∴∠A=∠AED,∴AD=DE.
∵AD=6,∴DE=AD=6.
∵OD=2,∴OE=4,∴d(点O,点E)=4.
(2)过点O作OF⊥AC于点F(图略),
∵∠AED=45°,∴∠FOE=∠AED=45°,∴OF=FE.
设OF=x(x>0),则FE=x,
在Rt△OEF中,OE=4,∴x2+x2=16,∴x=2,
∴点O到边AC的距离OF是2.
∵AB=8,AD=6,∴DB=AB-AD=2.
∵点O到边BC的距离与线段DB的长相等,
∴点O到边BC的距离是2.
∵点O到边AB的距离是2,
∴对于△ABC三边上任意一点Q,O,Q两点间的距离的最小值为2,∴d(点O,△ABC)=2.