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第一章 勾 股 定 理
第3课时 一定是直角三角形吗
A组（基础过关）
1． 下面各组数中，是勾股数的是（ ）
A．9，16，25 B．0.3，0.4，0.5
C．1，3，2 D．7，24，25
2． 下列哪组数据能作为一个直角三角形的三边长（ ）
A．4，5，6 B．5，12，13
C．12，18，22 D．12，35，36
D
B
3． 已知一个三角形的三边长分别为k＋1，k＋2，k＋3，那么当k＝______时，此三角形是直角三角形．
4． 如图F1－3－1，AB＝3，BC＝4，CD＝12，DA＝13，且∠ABC＝90°，则四边形ABCD的面积是_______．
2
36
5． 如图F1－3－2，方格纸中每个小正方形的边长均为1，△ABC的顶点均为格点．判断△ABC的形状，并说明理由．
解：△ABC是直角三角形，理由如下.
由题意，得AC2＝22＋42＝20，
BC2＝22＋12＝5，AB2＝32＋42＝25，
所以AC2＋BC2＝AB2.
所以△ABC是直角三角形．
B组（中档过关）
6． 对于任意两个正整数m，n（m＞n），下列各组三个数为勾股数的一组是（ ）
A．m2＋mn，m2－1，2mn
B．m2－n2，2mn，m2＋n2
C．m＋n，m－n，2mn
D．n2－1，n2＋mn，2mn
B
7. 判断以a＝10,b＝8，c＝6为边长组成的三角形是不是直角三角形.
解：因为a2 ＋b2＝100＋64＝164≠c2，即a2＋b2≠c2，所以以a，b，c为边长不能组成直角三角形.
请问：上述解法对吗？为什么？
解： 不对.理由如下.
根据勾股定理的逆定理，判断一个三角形是不是直角三角形，要看两条较短边长的平方和是不是等于最长边长的平方. 此题中两条较短边为b，c，而a2＝b2＋c2,
所以以a，b，c为边长组成的三角形是直角三角形.
C组（教材创新）
8． 已知△ABC的三边a＝m2－1（m＞1），b＝2m，c＝m2＋1．
（1）△ABC是直角三角形吗？
（2）利用第（1）题的结论，写出两组直角三角形的三边长，要求它们的边长均为正整数．
解：（1）△ABC是直角三角形.理由如下.
因为△ABC的三边a＝m2－1（m＞1），b＝2m，c＝m2＋1，
当m＞1时，m2－1＜m2＋1，2m＜m2＋1.
所以（m2－1）2＋（2m）2＝m4＋1－2m2＋4m2＝（m2＋1）2，即a2＋b2＝c2.
所以△ABC是直角三角形.
（2）当m＝2时，直角三角形的三边长分别为3，4，5；
当m＝3时，直角三角形的三边长分别为8，6，
10（答案不唯一）．
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第一章 勾 股 定 理
第1课时 探索勾股定理（一）
A组（基础过关）
1． 在直角三角形中，若勾为3，股为4，则弦为（ ）
A．3 B．4
C．5 D．7
C
2． 下列各图是以直角三角形各边为边在三角形外部画正方形得到的，每个正方形中的数及字母S表示所在正方形的面积．其中S的值恰好等于10的是（ ）
B
3． 如图F1－1－1①与②，在△ABC中，AB＝20，AC＝13，高AD＝12，则△ABC的面积为（ ）
A．66
B．126
C．54或44
D．126或66
D
4． 如图F1－1－2，在△ABC，∠C＝90°，c＝2，则a2＋b2＋c2＝_________．
5． 在△ABC中，若∠B＝90°，AB＝15，AC＝17，则BC＝_________．
8
8
B组（中档过关）
6． 如图F1－1－3，CD是△ABC的边AB上的高，AC＝10，CD＝8，BC＝3AD．求BC的长．
解：因为CD是△ABC的边AB上的高，
所以CD⊥AB．
所以∠ADC＝90°.
在Rt△ACD中，由勾股定理, 得
AD2＝AC2－CD2＝36.
所以AD＝6.
所以BC＝3AD＝18.
所以BC的长为18．
C组（教材创新）
7． 如图F1－1－4，在△ABC中，∠ACB＝90°，
AC＝20，BC＝15，CD⊥AB于点D．求：
（1）CD的长；
（2）BD的长．
（2）因为CD⊥AB于点D，
所以∠CDB＝90°.
在Rt△BCD中，BC＝15，CD＝12，
由勾股定理, 得BD2＝BC2－CD2＝152－122＝81.
所以BD＝9.
所以BD的长为9．
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第一章 勾 股 定 理
第4课时 勾股定理的应用
A组（基础过关）
1． 如图F1－4－1，一棵大树在离地面5 m高的B处断裂，断裂后树顶A与树底C的距离为12 m，则大树断裂之前的高度为（ ）
A．17 m B．18 m
C．21 m D．24 m
B
2． 如图F1－4－2，长方体木箱的长、宽、高分别为12 m，4 m，3 m，则能放进木箱中的直木棒最长为（ ）
A．12 m B．13 m
C．15 m D．24 m
B
3． 如图F1－4－3，有一个圆桶，底面直径为16 cm，高为18 cm，一只小虫从下底部A处爬到上底B处，则小虫所爬的最短路径长是（π取3）（ ）
A．50 cm B．40 cm
C．30 cm D．20 cm
C
4． 如图F1－4－4，圆柱形容器高为7 dm，底面周长为48 dm.在容器内壁底部的点B处有一只蚊子，此时一只壁虎正好在容器的顶部点A处，则壁虎捕捉蚊子的最短路程是多少？
解：如答图F1－4－1，将圆柱形容器的侧面沿高展开，连接AB，则AB即为最短路程．
由题意，得AC＝7 dm，AD＝48÷2＝24 (dm).
在Rt△ABC中，
AB2＝AC2＋BC2＝72＋242＝625．
所以AB＝25 (dm).
答：壁虎捕捉蚊子的最
短路程是25 dm．
B组（中档过关）
5． 如图F1－4－5，台阶A处的蚂蚁要爬到B处搬运食物，它沿台阶面怎么走最近？并求出最近距离．
解：如答图F1－4－2，台阶平面展开图为长方形，AC＝20，BC＝3×(3＋2)＝15.
则蚂蚁沿台阶面爬行到B处的最短路程是此长方形的对角线长．
由勾股定理, 得
AB2＝AC2＋BC2＝202＋152＝225.
所以AB＝25.
所以最近距离为25．
C组（教材创新）
6． 如图F1－4－6，圆柱形玻璃容器高21 cm，底面周长为48 cm，在容器外侧距下底1 cm的点A处有一只蚂蚁，在蚂蚁正对面距容器上底2 cm的点B处有一滴蜂蜜，则蚂蚁要吃到蜂蜜所爬行的最短距离
为 _______cm．
30
7． 如图F1－4－7，长方体的长AB＝5 cm，宽BC＝3 cm，高CD＝6 cm，一只蚂蚁从顶点A处沿长方体的表面爬行到点D处，它爬行的最短距离为 ____________．
10 cm
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第一章 勾 股 定 理
第2课时 探索勾股定理（二）
A组（基础过关）
1． 图F1－2－1中能够验证勾股定理的有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
A
B
3． 我国古代著作《周髀算经》中记载了“赵爽弦图”．如图F1－2－5，若勾AE＝6，弦AD＝10，则小正方形EFGH的面积是____________．
4
4． 如图F1－2－4，小明和小方分别在C处同时出发，小明以40 km/h的速度向南走，小方以30 km/h的速度向西走，2小时后，小明在A处，小方在B处，请求出AB的距离．
解：由题意，得AC＝40×2＝
80（km），BC＝30×2＝60（km）.
根据勾股定理,得
AB2＝BC2＋AC2＝602＋802＝10 000.
所以AB＝100（km）.
答：AB的距离为100 km．
B
6． 用4个图F1－2－6①中的矩形组成图F1－2－6②，其中四边形ABCD，EFGH，MNPQ都是正方形. a2＋b2和c2相等吗？
C组（教材创新）
7． 图F1－2－7①是由边长均为1的小正方形和Rt△ABC构成的，可以用其面积关系验证勾股定理.将图F1－2－7①按图F1－2－7②所示“嵌入”长方形LMJK，则该长方形的面积为 ___________
110
谢 谢
