2022-2023学年人教版数学七年级上册 1.4 有理数的乘除法 学案（含答案）
文档属性
| 名称 | 2022-2023学年人教版数学七年级上册 1.4 有理数的乘除法 学案（含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 1.6MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-09-25 19:43:12 | ||
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文档简介
1.4有理数的乘除法
1.4.1 有理数的乘法
基础矢D识m细角军读
知识点一有理数的乘法
有理数乘法法则
注意：(1)当积的符号确定后，就转化为小学学过的数的乘法了.
(2)任何数同1相乘仍得原数，任何数同一1相乘得原数的相反数.
有理数乘法的运算步骤
第1步：确定积的符号；
第2步：绝对值相乘.
【例1】计算：(1)(-4)×(-5)；
(2)(-12)×(-1.75)；
(3)-2020×0；
（4）2×(-1).
解：（1）（-4）×（-5）＝+（4×5）-20.
(2)(-12)×(-1.75)＝12×＝21.
(3)-2020×0＝0.
（4）2×(-1)＝×(-)=-(×)＝-3.
总结
有理数相乘看这里
(1)当乘数中有负号时，必须用括号括起来.
(2)当有小数或带分数的因数时，一般先化为分数或假分数.
(3)乘法运算的最后结果一定是最简分数或整数.
特别提醒
不要与加法法则混为一谈，错误地理解为“同号取原来的符号”，如把(-2)×(-3)的符号错判为“-”.
知识点二倒数
1.倒数
乘积是1的两个数互为倒数.如-5与-互为倒数，因为这两个数乘积为1.
注意：(1)倒数是两个数之间的关系，可以说一个数是另一个数的倒数.单独一个数不能说成倒数，当三个或三个以上的数的乘积为1时，也不能说它们互为倒数.
(2)0没有倒数.
(3)若a≠0，则a的倒数是.
(4)相反数与倒数的区别：
名称 意义 性质 判定
相反数 只有符号不同的两个数 若a，b互为相反数，则a+b=0 若a+b=O，则a，b互为相反数
倒数 乘积是l的两个数 若a，b互为倒数，则ab=1 若ab=1，则a，b互为倒数
特别提醒
(1)倒数等于它本身的数是1或-1.
(2)互为倒数的两个数一定同号，即正数的倒数是正数，负数的倒数是负数.
【例2】(山东菏泽中考)下列各对数互为倒数的是 ( )
A.4和-4 B.-3和 C.-2和- D.0和0
解析：因为(-2)×(-)=1，所以-2和-互为倒数，故选C.
答案：C
2.求一个数的倒数的方法
数的特点 方法 举例
非零整数a(a≠0) 直接写成 -2的倒数是-
分数(m≠0，n≠0) 分子、分母颠倒位置 -的倒数是-
带分数先化为假分数 -1的倒数是-
小数先化为分数 0.45的倒数是
特别提醒
以后会经常遇到两个数互为倒数，首先要想到的便是它们的乘积为l.
知识点三有理数乘法法则的推广
注意：(1)进行多个有理数的乘法运算时，一定要注意观察因数中是否有0.
(2)多个非零有理数相乘，一定要先确定积的符号，再将绝对值相乘.
特别提醒
几个不是O的数相乘时，积的符号只与负因数的个数有关.
【例3】计算：(1)(-1)×302×(-2020)×0；
(2)(-5.6)×(-4.2)×2×(-).
解：(1)(-1)×302×(-2020)×0=0.
(2)(-5.6)×(-4.2)×2×(-)=-5.6×4.2×2×＝-＝-18.
总结
三步轻松搞定多个有理数相乘
第1步：看因数中有没有0，
第2步：判断积的符号(根据负因数的个数)；
第3步：计算积的绝对值.
巧记口诀
积的符号口诀
负号是奇，积为负；
负号是偶，积为正.
也可以用“偶正奇负，有0为0”巧记.
知识点四有理数的乘法运算律
有理数的乘法运算律
运算律 语言叙述 字母表示
交换律 两个数相乘，交换因数的位置，积相等 ab=ba
结合律 三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等 (ab)c=a(bc)
分配律 一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加 a(b+c)=ab+ac
注意：(1)运用乘法运算律时不要弄错符号.
(2)运用乘法分配律时，要将括号外的数和括号内的每一个数都相乘，切不可漏乘.
特别提醒
运用乘法运算律时，不要漏乘因数或者把结果的符号弄错.
【例4】计算：(1)43×(-8)×0.125；
(2)(-+-1)×(-36).
解：(1)43×(-8)×0.125
=-(43×8×0.125)
=-[43×(8×0.125)]
=-43.
(2)(-+-1)×(-36).
=(-+-)×(-36）
=(-)×(-36)+×(-36)+(-)×(-36)
=12-8+42
=46.
拓展
乘法运算律可推广到三个或三个以上的有理数的乘法中，如abcd=adcb，(ab)cd=a(bc)d，a(b+c+d)=ab+ac+ad.
总结
运用乘法运算律时的两点注意
(1)乘法运算中经常把两个互为倒数或积为整百、整千的数先结合在一起.
(2)运用乘法交换律和结合律的目的是把容易计算的几个因数先进行计算.应用乘法分配律可以打破“先算括号”的计算习惯，大大简化乘法与加法的运算.
特别提醒
乘洙运算律是简化有理数乘法运算的依据，要注意灵活运用.
应用能力·巧提升
题型一与绝对值、相反数、倒数有关的混合运算
【例1】已知a，b互为相反数，c，d互为倒数，x的绝对值为5，求a+b+cd-2x的值.
审题关键：利用相反数、倒数以及绝对值的定义求值即可，注意绝对值为5的数有两个.
破题思路：由a，b互为相反数，得a，b之和为0；由c，d互为倒数，得c，d之积为1；由x的绝对值为5可得x为5或-5.
解：根据题意，得
a+b=0，cd=1，x=5或-5.
当x=5时，原式=0+1-2×5=-9；
当x=-5时，原式=0+1-2×(-5)=11.
解后反思
遇到与相反数、绝对值及倒数等相关的题目，它们的定义是解题关键，牢记互为相反数的两数之和为0，互为倒数的两数之积为1，还需注意绝对值为正数的数有两个.
变式训练
1.已知a与b互为相反数，c与d互为倒数，e为绝对值最小的数，求2018×(a+b)+cd+e的值.
题型二运用有理数的乘法运算律简化运算
角度1 交换律、结合律的灵活运用
【例2】计算：（-3）×(-)×(-)×.
审题关键：题目中含有结合起来方便运算的数，可考虑运用乘法交换律和结合律简化运算.
变式训练
2.计算：(1)(-1.4)×(+1)×(-1)×（-5.5）×(+)；
(2)25×0.125×(-4)×(-)×(-8)×1.
3.计算：(1)(-24)×(-++)；
(2)(-19)×240；
(3)25×-(-25)×+25×(-)；
(4)-3.2×35.5+6.4×(-23.1)-0.32×183.
破题思路：此题可先用乘法交换律、结合律将算式变形为[(-3)×(-)]×[(-)×]再计算，也可以先确定积的符号，再计算积的绝对值.
解：方法1：（-3）×(-)×(-)×
=[（-3）×(-)]×[(-)×]
=1×(-)
=-.
方法2：（-3）×(-)×(-)×
=-(3×××)
=-.
解后反思
几个数相乘，常把互为倒数或积为整数的数先结合相乘，以简化运算，提高运算的正确率.
角度2 灵活运用乘法分配律
【例3】计算：
(1)999×(-15)：
(2)999×118+999×(-)-999×118；
(3)57×+27×.
审题关键：在运算时，首先观察题中数字的特点，然后考虑能否正用、逆用或变形后使用乘法分配律.
破题思路：(1)将式子变形为(1 000-1)×(-15)，再根据乘法分配律计算即可求解.
(2)三个乘积形式中均含有999这一项，可以提取999，将118，-和-118相加，即逆用乘法分配律.
(3)有两种拆分方法，其一是将整数拆分成两个整数的和或差，并使其中一个整数能与分数的分母约分，其二是将分数拆分成整数与真分数之差，然后用分配律计算，从而简化运算.
解：(1)999×(-15)
=(1 000-1)×(-15)
＝-15 000+15
＝-14 985.
(2)999×118+999×(-)-999×118.
=999×[118+(-)+(-118）]
＝999×0
＝0.
(3)方法1(将整数拆分成两个整数的和或差)：
原式＝(56+1)×+(28-1)×
＝56×+1×+28×-1×
＝55++27-
＝82+
＝82.
方法2（将分数拆分成一个整数与真分数之差）：
原式＝57×(1-)+27×(1-)
＝57×1-57×+27×1-27×
＝57-+27-
＝(57+27)-（+)
＝84-1
＝82.
方法技巧
运用乘法运算律。简化运算很容易
当一个算式按常规的解法较复杂时，我们可以正向、反向运用运算律，或将式子变形，运用相关运算律简化运算.
题型三有理数乘法在实际问题中的应用
【例4】某小商店试营业的第一周内，有4天每天盈利200元，有3天每天亏损50元，则该商店这一周盈利总额是 元.
审题关键：本题中既有盈利又有亏损，需要规定一个为正，另一个为负，利用有理数的乘法进行计算.
解析：盈利记为正，亏损记为负，则盈利总额为4×200+3×(-50)＝800-150＝650(元).
答案：650
变式训练
4.一条小虫在一根东西方向放置的木条上沿直线爬行，先以每分钟2.5m的速度向东爬行，后来又以这个速度向西爬行.试求它先向东爬行3 min又向西爬行5 min后相对于出发点的位置和距离.
规律总结
利用有理数乘法解决实际问题的一般步骤
第1步：分析题意；
第2步：列出算式；
第3步：运用有理数的乘法法则或运算律进行计算；
第4步：写出答案.
题型四与有理数乘法有关的新定义题
【例5】若“!”是一种数学运算符号，并且1 ！=1，2！=2×1=2，3！=3×2×1=6，4！=4×3×2×1＝24……则＝ .
审题关键：解题的关键是正确理解“!”的含义：“!”前面的数是几，结果就是从这个数开始连续乘比它小的正整数，一直乘到1.
解析：＝＝100.
答案：100
方法技巧
理解新定义。转化很重要
新定义题的本质是一种规定，规定某种运算方式，然后按照规定去计算、求值.解决此类问题，关键是理解新定义，将其转化为我们所熟知的加、减、乘、除等运算.
变式训练
5.已知两个有理数a，b(b≠0)，规定一种新的运算“*”：a*b=a+.
例如：1*2=1+=，
2*3=2+=，
-3*6=-3+=-.
(1)请仿照上例计算：
①3*5； ②-4*3；
③(1*2)*3； ④1*(2*3).
(2)通过以上计算，请回答：
①“*”运算是否满足（m*n)*x=m*(n*x)
②当m，n为何值时，满足m*n=n*m
易误易混·精辨析
易错点一因混淆乘法的符号法则出错
【例1】计算：(-1)×(-2)×(-1).
解：原式=(-)×(-)×(-1)
=-(××1)
=-4.
防错警示
易因对乘法法则中“两数相乘，同号得正，异号得负”理解不透彻而出错，三个有理数相乘，应根据负因数的个数确定符号，而不能只看是同号还是异号.
易错点二运用乘法分配律运算因符号出错
【例2】计算：（-48）×(--).
解：原式=-48×-(-48)×-(-48)×
=-16+12+8=4.
防错警示
容易产生错解的原因是在使用分配律时忽略括号内各数的符号，误认为(-48)×(--)=-48×-48×-48×，从而导致计算出错.
真题解密·探源头
中考真题
(陕西中考)计算：(-)×2＝ ( )
A.-1 B.1 C.4 D.-4
解析：(-)×2＝-(×2)＝-1.
答案：A
教材原型
教材第30页练习第1(2)题
计算：(-4)×6.
解：(-4)×6＝-(4×6)＝-24.
命题人解密：教材练习题很典型地考查了有理数的乘法，中考题就是针对这一考点进行设置.
阅卷人解密：这类问题在中考中为基础题，很少失分.在求解时要注意积的符号.
中考真题
(山东东营中考)-的倒数是 ( )
A.-2 B.2 C. D.-
解析：因为-×(-2)＝1，所以-与-2互为倒数，即-的倒数是-2.
答案：A
教材原型
教材第30页练习第3题
写出下列各数的倒数：
1，-1，，-，5，-5，，-.
解：以上各数的倒数分别是1，-1，3，-3，，-，，-.
命题人解密：教材练习题很典型地考查了求一个数的倒数，中考题就是针对这一考点进行设置.
阅卷人解密：这类问题在中考中为基础题，很少失分.在求解时要注意两点：(1)不要与相反数混淆；(2)负数的倒数仍是负数.
高效训练·速提能
【基础达标】
1.计算2×(-3)的结果是 ( )
A.6 B.-6 C.-1 D.5
2.-的相反数的倒数是 ( )
A.1 B.-1 C.2021 D.-2021
3.(江苏扬州中考)与-2的乘积为1的数是( )
A.2 B.-2 C. D.-
4.下列运算错误的是 ( )
A.(-2)×(-3)=6
B.(-)×(-6)=-3
C.(-5)×(-2)×(-4)=-40
D.(-3)×(-2)×(-4)=-24
5.如果两个有理数的积是负数，和也是负数，那么这两个数 ( )
A.都是负数
B.其中绝对值大的数是正数，另一个是负数
C.互为相反数
D.其中绝对值大的数是负数，另一个是正数
6.(浙江金华中考改编)若有理数a，b在数轴上的位置如图1.4.1-1所示，则下列判断错误的是( )
A.a<0 B.ab<0
C.a7.计算(-6)×0.75×(-)×(-1)的结果是( )
A.-7 B.-5 C.5 D.6
8.计算(-2.5)×0.37×1.25×(-4)×(-8)的值为 .
9.计算：
(1)(-)×31×(+)×；
(2)(-+)×(-63)；
(3)19×(-)+19×(-)；
(4)-100.75×(-16).
【能力提升】
10.若口×(-)=1，则口内应填的有理数是 ( )
A.- B.- C. D.
11.若5个有理数的积为负数，则5个数中负数的个数是 ( )
A.1 B.3 C.5 D.1或3或5
12.在数轴上的三点A，B，C所表示的数分别为a，b，c.根据图1.4.1-2中各点位置，判断下列各式正确的是 ( )
A.(a-1)(b-1)>0
B.(b-1)(c-1)>0
C.(a+1)(b+1)<0
D.(b+1)(c+1)<0
13.已知：==3，==10，==15……观察上面的计算过程，寻找规律并计算：= .
14.某公司2020年第一季度平均每月亏损1.5万元，第二季度在全体员工的努力下，平均每月盈利2万元，第三季度平均每月盈利1.7万元，第四季度共亏损2.9万元，那么这个公司2020年总的盈亏情况如何
【素养创新题】
15.小明有7张卡片，上面分别写着数字：-5，-3，-1，0，+2，+4，+6.他想从中抽取3张，使这3张卡片上的数字之积最大，应如何抽取 积最大是多少
1.4.2 有理数的除法
基础知识·细解读
知识点一有理数的除法
1.有理数除法法则1：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数，即a÷b=a·(b≠0).
2.有理数除法法则2：两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除.0除以任何一个不等于0的数，都得0.
注意：(1)两数相除要先确定商的符号，再确定商的绝对值.
(2)当除法运算中既有小数又有分数时，一般先将小数统一化成分数，有带分数的将带分数统一化成假分数，再进行运算.
特别提醒
在有理数的除法运算中应特别注意：除数不能为0.
【例1】计算：(1)(-60)÷(-30)；
(2)0÷(-2020)；
(3)(+18)÷(-)；
(4)(-0.72)÷0.9；
(5)(-8)÷(-)÷(-10).
解：(1)(-60)÷(-30)
=(-60)×(-)
=2.
(2)0÷(-2 020)=0.
(3)(+18)÷(-)
=18×(-6)
=-108.
(4)(-0.72)÷0.9
=-(0.72÷0.9)
=-0.8.
(5)(-8)÷(-)÷(-10)
=(-8)×(-4)÷(-10)
=32÷(-10)
=-3.2.
总结
“一定二除”搞定有理数的除法
(1)一定：确定商的符号；
(2)二除：把绝对值相除.
拓展
有理数除法法则的选择
(1)一般在不能整除的情况下应用法则1，在能整除的情况下应用法则2.
(2)乘除混合运算中一般选用法则1.
特别提醒
(1)两个数相除，若结果为1，则这两个数相等；若结果为-1，则这两个数互为相反数.
(2)有理数除法没有交换律、结合律，更没有分配律.
知识点二有理数的乘除混合运算
在进行有理数的乘除混合运算时，可先将除法转化为乘法，再运用乘法法则和运算律进行计算.
注意：(1)积的符号由负因数的个数确定，可借用口诀“偶正奇负，有0为0”.
(2)结果能化简的要化简.
示范如下：
特别提醒
(1)乘除混合运算是同级运算，运算时按从左到右的顺序进行.
(2)除法转化为乘法后可以运用乘法运算律简化运算.
知识点三有理数四则混合运算
有理数的加减乘除混合运算，如无括号指出先做什么运算，则与小学所学的混合运算一样，按照“先乘除，后加减”的顺序进行.
【例2】计算：（1）-×(0.5-)÷(-)；
（2）(-)÷(-1)-(-)×(1).
解：(1)原式＝-×(-)×(-)
＝-××＝-.
（2）原式＝-×(-)+×＝+＝2.
无括号，先乘除，后加减.
总结
有理数四则混合运算的“一按照，二统一”
(1)要按照有理数的运算法则和运算顺序运算，同时正确利用运算律可简化计算；
(2)统一运算，都用加法或乘法计算，即将减法转化为加法，将除法转化为乘法.
特别提醒
(1)运算顺序：先乘除，后加减，如果有括号，先计算括号内的部分.
(2)在计算时，时刻注意符号问题.
应用能力·巧提升
题型一灵活运用加减乘除法的法则进行混合运算
【例1】计算：
（1）-27×(-)÷(-)×(-)；
（2）[(-2)+(-3)]÷（-4）×.
审题关键：两个式子都是带括号的混合运算，去掉括号并将除法转化为乘法是解答的关键.
破题思路：按规定的运算顺序和运算法则，并灵活运用运算律进行计算.
解：（1）-27×(-)÷(-)×(-)
＝-27×(-)×(-)×
＝-(27×××)
＝-1.
（2）[(-2)+(-3)]÷（-4）×
＝-6÷(-4)×＝×＝.
变式训练
1.计算：
(1)(-81)+(-2)×(-9)-（-6）÷(-)；
(2)74×l042÷37×(-)÷(-521）-38×.
题型二 用简便方法进行有理数的除法运算
【例2】计算：999÷(-1).
审题关键：直接计算运算量较大，可考虑将除法转化为乘法后，通过拆项和乘法分配律进行计算.
破题思路：把999写成1000-，把除法转化为乘法，利用乘法运算律进行运算.
解：999÷(-1)-(1000-)×(-)
＝1000×(-)-×(-)＝-900+＝-899.
方法技巧
除法变乘法，巧用分配律
通过前面的学习知道，只有乘法有分配律，但通过本题我们可以发现，将除法转化为乘法后，我们就可以利用分配律来计算，这体现了数学中的转化思想.
变式训练
2.计算：
(1)(-+)÷；
（2）（-49）÷7.
题型三 有理数除法在实际问题中的应用
【例3】根据实验测定：高度每增加1 km，气温大约降低6℃.一登山运动员在攀登某山峰的途中发回信息，报告他所在位置的气温为-15℃，如果当时地面温度为3℃，那么该登山运动员所在位置的高度大约是多少
审题关键：温度差有多少个6℃即有多少个1 km.
破题思路：由地面温度是3℃，登山运动员所在位置的气温是-15℃，可求出温差.根据高度与气温的关系，可求得登山运动员所在位置的高度.
解：[3-(-15)]÷6×l=(3+15)÷6×1=3(km).
答：该登山运动员所在位置的高度大约是3 km.
解后反思
将实际问题转化为数学问题时，往往需要利用建模思想，解答此类问题时，关键是发现温度与高度之间的关系，既可以根据高度求出温度，也可以根据温度求出高度.
变式训练
3.某果品仓库的温度是-2℃，现有一批水果要在13℃的温度下储藏，如果仓库每小时升温3℃，那么几小时后能达到所要求的温度
易误易混·精辨析
易错点一 运算顺序出现错误
【例1】计算：(-24)÷6×.
解：(-24)÷6×=(-4)×=-.
防错警示
在有理数的混合运算中，要牢记运算顺序：先乘除，后加减，如果有括号，先计算括号内的部分；同一级运算中，按照从左到右的顺序进行.本题易错解为原式-(-24)÷l=-24.
易错点二误认为除法也有分配律
【例2】计算：-15÷(-).
解：-15÷(-)=-15÷(-)
=15×6
=90.
防错警示
有理数的除法运算是没有分配律的.在计算本题时会错解为原式=-15×3-15×2=-45-30=-75或原式=-15×3+15×2=-45+30=-15.
高效训练·速提能
【基础达标】
1.(山西中考)计算(-6)÷(-)的结果是( )
A.-18 B.2 C.18 D.-2
2.下列各题计算正确的有 ( )
①(-24)÷(-8)=-3；②(+36)÷(-9)=-4；
③-3×4÷=-4；④-5.25×0=-5.25.
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
3.一个数与-4的乘积等于1，这个数是 ( )
A. B.- C. D.-
4.(河北中考)点A，B在数轴上的位置如图1.4.2-1所示，其对应的数分别是a和b.对于以下结论：
甲：b-a<0； 乙：a+b>0；
丙：｜a｜<｜b｜； 丁：>0.
其中正确的是 ( )
A.甲、乙 B.丙、丁
C.甲、丙 D.乙、丁
5.计算-1÷2×(-3)的结果等于 ( )
A. B.-5 C.7 D.-7
6.计事：(-6)÷(-0.25)×＝ .
7.（浙江杭州中考)计算：6÷（-+).
方方同学的计算过程如下：
原式＝6÷(-)+6÷＝-12+18＝6.
请你判断方方的计算过程是否正确，若不正确，请你写出正确的计算过程.
8.计算：
（1）÷(-)÷(-)÷(-)；
(2)-13÷-0.34÷+×(-13)-×0.34；
(3)(-+-)÷(-).
【能力提升】
9.下列计算正确的是 ( )
A.-5÷(-1)=-20
B.-2÷(-8)×(-)=-2
C.-×(-2)÷(-)=-40
D.(-++1)÷(-8)=-
10.计算：｜-2｜÷（-3）×= .
11.有一食品冷冻库，原来的室温是-20℃，现有一批食品要求在-28℃下冷藏，若食品冷冻库每小时能降温4℃，则需 h才能降到所需温度.
12.如果x13.当a=-2，b=0，c=-5时，求(a-b)÷(a÷c)的值.
14.气象资料表明，高度每增加1 km，气温大约下降6℃.
(1)我国著名风景区黄山的天都峰高约为1 800m，当地面气温约为15℃时，求山顶气温；
(2)小明和小颖想出一个测量山峰高度的方法，小颖在山脚，小明在峰顶，他们同时在上午10点测得山脚和峰顶的气温分别为22℃和7℃，你知道山峰高约为多少千米吗
【素养创新题】
15.数学老师布置了一道思考题“计算：(-)÷(-)”，小明仔细思考了一番，用了一种特殊的方法解决了这个问题.
小明的解法：原式的倒数为(-)÷(-)=(-)×(-12)=-4+10=6，
所以(-)÷(-)=.
(1)请你判断小明的解答是否正确，并说明理由；
(2)请你运用小明的解法解答下面的问题.
计算：(-)÷(-+).
本书习题参考答案
1.4有理数的乘除法
1.4.1有理数的乘法
1.解：根据题意，得a+b=0，cd=1，e=0，
所以2018×(a+b)+cd+e=2018×0+1+0＝1.
2.解：(1)(-1.4)×(+1)×(-1)×(-5.5)×(+)
＝-（1.4×1×1×5.5×)
＝-××××＝-8.
(2)25×0.125×(-4)×(-)×(-8)×1
＝-25×0.125×4××8×
＝-(25×4)×(0.125×8)×(×)
＝-100×1×1＝-100.
3.解：（1）原式＝[(-24×(-)]+[(-24×]+[（-24）×]＝16-18-2＝-4.
(2)原式＝（-20+)×240=-20×240+×240＝-4800+75=-4725.
(3)原式＝25×+25×+25×(-)＝25×[++(-)]＝25.
(4)原式＝3.2×35.5+(-3.2)×46.2+(-3.2)×18.3＝-3.2×(35.5+46.2+18.3)＝-3.2×100＝-320.
4.解：设向东为正，根据题意，得
3×2.5+5×(-2.5)
＝(3-5)×2.5
＝-2×2.5
＝-5(m)，
即小虫在出发点西边，距出发点5 m处.
5.解：(1)①3*5=3+=.
②-4*3=-4+=-.
③(1*2)*3=(1+)*3=+=.
④1*(2*3)＝1*(2+)＝1+＝.
(2)①由(1)中③④可知，“*”运算不满足(m*n)*x=m*(n*x).
②当m=n≠0或mn=-1时，m*n=n*m.
高效训练·速提能
1.B解析：根据有理数的乘法法则，得2×(-3)＝-6.故选B.
2.C 解析：-的相反数是，的倒数是2021.故选C.
3.D解析：与-2乘积为1的数就是-2的倒数，等于-，故选D.
4.B解析：根据有理数的乘法法则，计算得选项B错误.
5.D解析：因为两个有理数的积是负数，所以这两个数符号相反.又因为这两个数的和也是负数，所以其中绝对值大的数是负数，另一个是正数。
6.D解析：观察数轴可以确定a<0，b>0，所以ab<0，故选项A，B，C正确；显然a，b的乘积不可能为1，所以选项D错误.故选D.
7.B 解析：原式=[(-6)×(-)]×[0.75×(-1)]=5×(-1)=-5.故选B
8.-37 解析：原式=[(-2.5)×(-4)]×[1.25×(-8)]×0.37＝10×(-10)×0.37＝-37.
9.解：(1)原式＝-（×)×(31×)＝-33.
(2)原式＝-×63+×63-×63＝-36+7-6＝-35.
（3）原式＝19×[(-)+(-)]
＝19×(-1)＝-19.
(4)原式＝(100+0.75)×16
＝100×164+0.75×16＝1612.
10.B 解析：乘积为1的两个数互为倒数，和互为倒数.故选B.
11.D 解析：5个有理数的积为负数，则负数的个数是奇数，故5个数中负数的个数是1或3或5.故选I).
12.D 解析：由数轴上三个点的位置，知a-1<0，b-1>0，c-1<0，a+1>0，b+1>0，c+1<0.根据两个有理数相乘，同号得正，异号得负，依次判断，(b+1)(c+1)<0成立.故选D.
13.210 解析：根据题意，得==210.
14.解：规定“+”表示盈利，“-”表示亏损.根据题意，得-1.5×3+3×2+3×1.7-2.9=-4.5+6+5.1-2.9=3.7(万元).
因此，这个公司2020年共盈利3.7万元.
15.解：3张卡片上的数字之积最大为
(-5)×(-3)×(+6)=5×3×6=90.
所以抽取写着数字-5，-3，+6的3张卡片，上面的数字之积最大，积最大是90.
1.4.2有理数的除法
应用能力·巧提升
1.解：(1)原式＝(-81)+18-
＝(-63)-=-67.
(2)原式=74×1042×××-38×
=(74×)×(1042×)×-38×
＝2×2×-38×
＝-38×
＝×（1-27）
＝×（-37）
＝-36.
2.解：(1)(-+)÷
＝(-+)×60。
＝×60-×60+×60＝23.
（2）(-49)÷7＝(-49-)×
=-49×-×＝-7-＝-7.
3.解：[13-(-2)]÷3＝15÷3=5(h).
答：5 h后能达到所要求的温度.
高效训练·速提能
1.C解析：(-6)÷(-)＝(-6)×(-3)＝18.
2.A 3.B
4.C解析：根据点A，B在数轴上的位置，可假设a=2，b=-4，
所以b-a=-4-2=-6<0，a+b=2+(-4)=-2<0，故结论甲正确，结论乙不正确；|a|=|2|=2，|b|=|-4|=4，
因为2<4，所以|a|<|b|，故结论丙正确；
==-2<0，故结论丁不正确.综上可知，答案为选项C
5.A 解析：-1÷2×(-3)＝-×(-3)＝.
6.11 解析：(-6)÷(-0.25)×＝6×4×＝11.
7.解：不正确.计算过程如下：
原式＝6÷(-)＝6×(-6)＝-36.
8.解：（1）÷(-)÷(-)÷(-)
＝×(-)×(-)×(-)
＝-(×××)
＝-.
(2)-13÷-0.34÷+×(-13)-×0.34
=-13×-0.34×+×(-13)-×0.34
＝[-13×+×（-13）]+(-0.34×-×0.34)
＝-13×(+)+0.34×(--)
＝(-13)×1+0.34×(-1)
＝-13-0.34
＝-13.34.
（3）(-+-)÷(-)
＝×（-42）-×（-42）+×(-42)-×(-42)
=-7+9-28+12
=-14.
9.C 解析：-5÷(-1)=，所以选项A错误；
-2÷(-8)×(-)＝-，所以选项B错误；
(-++1)÷(-8)＝-，所以选项D错误.
10.- 解析：原式＝×(-)×＝-.
11.2 解析：根据题意，得[(-20)-(-28)]÷4＝2(h).
12.0 解析：因为x所以=-1，= l，
所以=0.
13.解：(a-b)÷(a÷c)＝(-2-0)÷[(-2)÷(-5)]＝(-2)÷=-5.
14.解：(1)1 800 m＝1.8 km，
15-6×1.8＝4.2(℃).
故山顶气温约为4.2℃.
(2)(22-7)÷6×l＝2.5(km).
故山峰高约为2.5 km.
15.解：(1)正确.理由：一个数的倒数的倒数等于原数.
(2)原式的倒数为
(-+）÷(-)
＝(-+）×(-24)
＝-8+4-9＝13，
则(-)÷(-+）＝.
教材参考答案
1.4 有理数的乘除法
思考(第28页)
-6 -9
思考(第28页)
-3 -6 -9
思考(第29页)
-9 -6 - 3 0 3 6 9
练习(第30页)
1.解：(1)6×(-9)＝-54.
(2)(-4)×6＝-24.
(3)(-6)×(-1)＝6.
(4)(-6)×0＝0.
(5)×(-)=-.
(6)(-)×=-.
2.解：(-5)×60=300(元).
答：销售额减少了300元.
3.解：1的倒数为1；-l的倒数为-1；
的倒数为3；-的倒数为-3；
5的倒数为；-5的倒数为-；
的倒数为；-的倒数为-.
问题(第31页)
先确定积的符号，再把各个因数的绝对值相乘，作为积的绝对值.
练习(第32页)
1.解：(1)24；(2)-120；(3)16；(4)81.
2.解：(1)(-5)×8×(-7)×(-0.25)
＝-(5×8×0.25)×7
＝-10×7＝-70.
（2）(-)×××(-)
＝×××＝.
（3）(-1)×(-)×××(-)×0×(-1)=0.
思考(第33页)
解法1先做加法运算，再做乘法运算；解法2先做乘法运算，再做加法运算，运用了分配律.解法2的运算量小，因为解法1要先通分计算三个分数的和.
练习(第33页)
解：(1)(-85)×(-25)×(-4)
=-85×100=-8 500.
(2)(-)×30
＝×30-×30
＝27-2＝25.
(3)(-)×15×(-1)
＝×15×=15.
(4)(-)×(-)+(-)×(+)
＝(-)×[(-)+]
＝-×5=-6.
问题(第34页)
有.例如，①3÷(-2)＝＝-，3×(-)＝-，得3÷（-2）=3×(-).
②(-)÷(-7)==，(-)×(-)=×=，得(-)÷(-7)=(-)×(-).
练习(第35页)
解：(1)(-18)÷6=-3.
(2)(-63)÷(-7)=9.
(3)1÷(-9)=-.
(4)0÷(-8)=0.
(5)(-6.5)÷0.13=-50.
(6)(-)÷(-)=(-)×(-)=3.
练习(第36页)
1解：(1)＝-8.
(2)=.
(3)=0.
2.解：(1)(-36)÷9=(-36-)×=-36×-×=-4-=-4.
(2)(-12)÷(-4)÷(-1)=-12××=-.
(3)(-)×(-)÷(-0.25)=-××4=-.
练习(第36页)
解：(1)6-(-12)÷(-3)＝6-4＝2.
(2)3×(-4)+(-28)÷7＝-12-4＝-16.
(3)(-48)÷8-(-25)×(-6)＝-6-150＝-156.
(4)42×(-)+(-)÷(-0.25)＝-28+3＝-25.
练习(第37页)
解：(1)17. (2)-6.68. (3)-471.
(4)-1 816.354 985.
习题1.4(第37页)
1.解：(1)(-8)×(-7)＝56.
(2)12×(-5)＝-60.
(3)2.9×(-0.4)＝-1.16.
(4)-30.5×0.2＝-6.1.
(5)100×(-0.001)＝-0.1.
(6)-4.8×(-1.25)＝6.
2.解：(1)×(-)＝-.
(2)(-)×(-)=.
(3)-×25=-.
(4)(-0.3)×(-)=.
3.解：(1)-15的倒数为-.
(2)-的倒数为-.
(3)-0.25的倒数为-4.
(4)0.17的倒数为.
(5)4的倒数为.
(6)-5的倒数为-.
4.解：(1)-91÷13=-7.
(2)-56÷(-14)=4.
(3)16÷(-3)=-.
(4)(-48)÷(-16)=3.
(5)÷(-1)=-.
(6)-0.25÷=-×＝-.
5.-5 - -4 6 5 -6 4
6.解：(1)＝-3.
(2)=-.
(3)=.
(4)=20.
7.解：(1)-2×3×(-4)=2×3×4=24.
(2)-6×(-5)×(-7)＝-6×5×7＝-210.
(3)(-)×1.25×(-8)=××8=.
(4)0.1÷(-0.001)÷(-1)=×1 000×1＝100.
(5)(-)×(-1)÷(-2)＝-××＝-.
(6)-6×(-0.25)×＝6××＝.
(7)(-7)×(-56)×0÷(-13)＝0.
(8)-9×(-11)÷3÷(-3)＝-99××＝-11.
8.解：(1)23×(-5)-(-3)÷
＝-115-(-3)×
＝-115+128=13.
(2)-7×(-3)×(-0.5)+(-12)×(-2.6)
＝-+12×
＝-+
＝＝＝20.7.
(3)(1--)÷(-)+(-)÷(1--)
=(--)×(-)+(-)÷(--)
=-2+1++(-)×
=-2+1+-3
=-3.
(4)-
=----3
=-1--3
=-4.
9.解：(1)62.27； (2)23 424.80； (3)0.49； (4)81.97.
10.(1)7 500 (2)-140 (3)200 (4)-120
11.解：450+20×60-12×120=450+1 200-1 440=1 650-l 440=210(m).
答：这时直升机所在高度是210 m.
12.解：(1)< < (2)< <
(3)> > (4)= =
13.解：2×1=2，2×＝1，2×(-1)＝-2，2×(-)＝-1.
不一定，如果这个数是负数，那么这个负数一定大于它的2倍.
14.解：-2a+3a＝(-2+3)a＝a.
15.解：(-4)÷2=-2，4÷(-2)=-2，
(-4)÷(-2)=2.
(1)(2)中的式子都成立.从它们可以总结出：分子、分母与分数这三者的符号，任意改变其中两个，分数的值不变.
1.4.1 有理数的乘法
基础矢D识m细角军读
知识点一有理数的乘法
有理数乘法法则
注意：(1)当积的符号确定后，就转化为小学学过的数的乘法了.
(2)任何数同1相乘仍得原数，任何数同一1相乘得原数的相反数.
有理数乘法的运算步骤
第1步：确定积的符号；
第2步：绝对值相乘.
【例1】计算：(1)(-4)×(-5)；
(2)(-12)×(-1.75)；
(3)-2020×0；
（4）2×(-1).
解：（1）（-4）×（-5）＝+（4×5）-20.
(2)(-12)×(-1.75)＝12×＝21.
(3)-2020×0＝0.
（4）2×(-1)＝×(-)=-(×)＝-3.
总结
有理数相乘看这里
(1)当乘数中有负号时，必须用括号括起来.
(2)当有小数或带分数的因数时，一般先化为分数或假分数.
(3)乘法运算的最后结果一定是最简分数或整数.
特别提醒
不要与加法法则混为一谈，错误地理解为“同号取原来的符号”，如把(-2)×(-3)的符号错判为“-”.
知识点二倒数
1.倒数
乘积是1的两个数互为倒数.如-5与-互为倒数，因为这两个数乘积为1.
注意：(1)倒数是两个数之间的关系，可以说一个数是另一个数的倒数.单独一个数不能说成倒数，当三个或三个以上的数的乘积为1时，也不能说它们互为倒数.
(2)0没有倒数.
(3)若a≠0，则a的倒数是.
(4)相反数与倒数的区别：
名称 意义 性质 判定
相反数 只有符号不同的两个数 若a，b互为相反数，则a+b=0 若a+b=O，则a，b互为相反数
倒数 乘积是l的两个数 若a，b互为倒数，则ab=1 若ab=1，则a，b互为倒数
特别提醒
(1)倒数等于它本身的数是1或-1.
(2)互为倒数的两个数一定同号，即正数的倒数是正数，负数的倒数是负数.
【例2】(山东菏泽中考)下列各对数互为倒数的是 ( )
A.4和-4 B.-3和 C.-2和- D.0和0
解析：因为(-2)×(-)=1，所以-2和-互为倒数，故选C.
答案：C
2.求一个数的倒数的方法
数的特点 方法 举例
非零整数a(a≠0) 直接写成 -2的倒数是-
分数(m≠0，n≠0) 分子、分母颠倒位置 -的倒数是-
带分数先化为假分数 -1的倒数是-
小数先化为分数 0.45的倒数是
特别提醒
以后会经常遇到两个数互为倒数，首先要想到的便是它们的乘积为l.
知识点三有理数乘法法则的推广
注意：(1)进行多个有理数的乘法运算时，一定要注意观察因数中是否有0.
(2)多个非零有理数相乘，一定要先确定积的符号，再将绝对值相乘.
特别提醒
几个不是O的数相乘时，积的符号只与负因数的个数有关.
【例3】计算：(1)(-1)×302×(-2020)×0；
(2)(-5.6)×(-4.2)×2×(-).
解：(1)(-1)×302×(-2020)×0=0.
(2)(-5.6)×(-4.2)×2×(-)=-5.6×4.2×2×＝-＝-18.
总结
三步轻松搞定多个有理数相乘
第1步：看因数中有没有0，
第2步：判断积的符号(根据负因数的个数)；
第3步：计算积的绝对值.
巧记口诀
积的符号口诀
负号是奇，积为负；
负号是偶，积为正.
也可以用“偶正奇负，有0为0”巧记.
知识点四有理数的乘法运算律
有理数的乘法运算律
运算律 语言叙述 字母表示
交换律 两个数相乘，交换因数的位置，积相等 ab=ba
结合律 三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等 (ab)c=a(bc)
分配律 一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加 a(b+c)=ab+ac
注意：(1)运用乘法运算律时不要弄错符号.
(2)运用乘法分配律时，要将括号外的数和括号内的每一个数都相乘，切不可漏乘.
特别提醒
运用乘法运算律时，不要漏乘因数或者把结果的符号弄错.
【例4】计算：(1)43×(-8)×0.125；
(2)(-+-1)×(-36).
解：(1)43×(-8)×0.125
=-(43×8×0.125)
=-[43×(8×0.125)]
=-43.
(2)(-+-1)×(-36).
=(-+-)×(-36）
=(-)×(-36)+×(-36)+(-)×(-36)
=12-8+42
=46.
拓展
乘法运算律可推广到三个或三个以上的有理数的乘法中，如abcd=adcb，(ab)cd=a(bc)d，a(b+c+d)=ab+ac+ad.
总结
运用乘法运算律时的两点注意
(1)乘法运算中经常把两个互为倒数或积为整百、整千的数先结合在一起.
(2)运用乘法交换律和结合律的目的是把容易计算的几个因数先进行计算.应用乘法分配律可以打破“先算括号”的计算习惯，大大简化乘法与加法的运算.
特别提醒
乘洙运算律是简化有理数乘法运算的依据，要注意灵活运用.
应用能力·巧提升
题型一与绝对值、相反数、倒数有关的混合运算
【例1】已知a，b互为相反数，c，d互为倒数，x的绝对值为5，求a+b+cd-2x的值.
审题关键：利用相反数、倒数以及绝对值的定义求值即可，注意绝对值为5的数有两个.
破题思路：由a，b互为相反数，得a，b之和为0；由c，d互为倒数，得c，d之积为1；由x的绝对值为5可得x为5或-5.
解：根据题意，得
a+b=0，cd=1，x=5或-5.
当x=5时，原式=0+1-2×5=-9；
当x=-5时，原式=0+1-2×(-5)=11.
解后反思
遇到与相反数、绝对值及倒数等相关的题目，它们的定义是解题关键，牢记互为相反数的两数之和为0，互为倒数的两数之积为1，还需注意绝对值为正数的数有两个.
变式训练
1.已知a与b互为相反数，c与d互为倒数，e为绝对值最小的数，求2018×(a+b)+cd+e的值.
题型二运用有理数的乘法运算律简化运算
角度1 交换律、结合律的灵活运用
【例2】计算：（-3）×(-)×(-)×.
审题关键：题目中含有结合起来方便运算的数，可考虑运用乘法交换律和结合律简化运算.
变式训练
2.计算：(1)(-1.4)×(+1)×(-1)×（-5.5）×(+)；
(2)25×0.125×(-4)×(-)×(-8)×1.
3.计算：(1)(-24)×(-++)；
(2)(-19)×240；
(3)25×-(-25)×+25×(-)；
(4)-3.2×35.5+6.4×(-23.1)-0.32×183.
破题思路：此题可先用乘法交换律、结合律将算式变形为[(-3)×(-)]×[(-)×]再计算，也可以先确定积的符号，再计算积的绝对值.
解：方法1：（-3）×(-)×(-)×
=[（-3）×(-)]×[(-)×]
=1×(-)
=-.
方法2：（-3）×(-)×(-)×
=-(3×××)
=-.
解后反思
几个数相乘，常把互为倒数或积为整数的数先结合相乘，以简化运算，提高运算的正确率.
角度2 灵活运用乘法分配律
【例3】计算：
(1)999×(-15)：
(2)999×118+999×(-)-999×118；
(3)57×+27×.
审题关键：在运算时，首先观察题中数字的特点，然后考虑能否正用、逆用或变形后使用乘法分配律.
破题思路：(1)将式子变形为(1 000-1)×(-15)，再根据乘法分配律计算即可求解.
(2)三个乘积形式中均含有999这一项，可以提取999，将118，-和-118相加，即逆用乘法分配律.
(3)有两种拆分方法，其一是将整数拆分成两个整数的和或差，并使其中一个整数能与分数的分母约分，其二是将分数拆分成整数与真分数之差，然后用分配律计算，从而简化运算.
解：(1)999×(-15)
=(1 000-1)×(-15)
＝-15 000+15
＝-14 985.
(2)999×118+999×(-)-999×118.
=999×[118+(-)+(-118）]
＝999×0
＝0.
(3)方法1(将整数拆分成两个整数的和或差)：
原式＝(56+1)×+(28-1)×
＝56×+1×+28×-1×
＝55++27-
＝82+
＝82.
方法2（将分数拆分成一个整数与真分数之差）：
原式＝57×(1-)+27×(1-)
＝57×1-57×+27×1-27×
＝57-+27-
＝(57+27)-（+)
＝84-1
＝82.
方法技巧
运用乘法运算律。简化运算很容易
当一个算式按常规的解法较复杂时，我们可以正向、反向运用运算律，或将式子变形，运用相关运算律简化运算.
题型三有理数乘法在实际问题中的应用
【例4】某小商店试营业的第一周内，有4天每天盈利200元，有3天每天亏损50元，则该商店这一周盈利总额是 元.
审题关键：本题中既有盈利又有亏损，需要规定一个为正，另一个为负，利用有理数的乘法进行计算.
解析：盈利记为正，亏损记为负，则盈利总额为4×200+3×(-50)＝800-150＝650(元).
答案：650
变式训练
4.一条小虫在一根东西方向放置的木条上沿直线爬行，先以每分钟2.5m的速度向东爬行，后来又以这个速度向西爬行.试求它先向东爬行3 min又向西爬行5 min后相对于出发点的位置和距离.
规律总结
利用有理数乘法解决实际问题的一般步骤
第1步：分析题意；
第2步：列出算式；
第3步：运用有理数的乘法法则或运算律进行计算；
第4步：写出答案.
题型四与有理数乘法有关的新定义题
【例5】若“!”是一种数学运算符号，并且1 ！=1，2！=2×1=2，3！=3×2×1=6，4！=4×3×2×1＝24……则＝ .
审题关键：解题的关键是正确理解“!”的含义：“!”前面的数是几，结果就是从这个数开始连续乘比它小的正整数，一直乘到1.
解析：＝＝100.
答案：100
方法技巧
理解新定义。转化很重要
新定义题的本质是一种规定，规定某种运算方式，然后按照规定去计算、求值.解决此类问题，关键是理解新定义，将其转化为我们所熟知的加、减、乘、除等运算.
变式训练
5.已知两个有理数a，b(b≠0)，规定一种新的运算“*”：a*b=a+.
例如：1*2=1+=，
2*3=2+=，
-3*6=-3+=-.
(1)请仿照上例计算：
①3*5； ②-4*3；
③(1*2)*3； ④1*(2*3).
(2)通过以上计算，请回答：
①“*”运算是否满足（m*n)*x=m*(n*x)
②当m，n为何值时，满足m*n=n*m
易误易混·精辨析
易错点一因混淆乘法的符号法则出错
【例1】计算：(-1)×(-2)×(-1).
解：原式=(-)×(-)×(-1)
=-(××1)
=-4.
防错警示
易因对乘法法则中“两数相乘，同号得正，异号得负”理解不透彻而出错，三个有理数相乘，应根据负因数的个数确定符号，而不能只看是同号还是异号.
易错点二运用乘法分配律运算因符号出错
【例2】计算：（-48）×(--).
解：原式=-48×-(-48)×-(-48)×
=-16+12+8=4.
防错警示
容易产生错解的原因是在使用分配律时忽略括号内各数的符号，误认为(-48)×(--)=-48×-48×-48×，从而导致计算出错.
真题解密·探源头
中考真题
(陕西中考)计算：(-)×2＝ ( )
A.-1 B.1 C.4 D.-4
解析：(-)×2＝-(×2)＝-1.
答案：A
教材原型
教材第30页练习第1(2)题
计算：(-4)×6.
解：(-4)×6＝-(4×6)＝-24.
命题人解密：教材练习题很典型地考查了有理数的乘法，中考题就是针对这一考点进行设置.
阅卷人解密：这类问题在中考中为基础题，很少失分.在求解时要注意积的符号.
中考真题
(山东东营中考)-的倒数是 ( )
A.-2 B.2 C. D.-
解析：因为-×(-2)＝1，所以-与-2互为倒数，即-的倒数是-2.
答案：A
教材原型
教材第30页练习第3题
写出下列各数的倒数：
1，-1，，-，5，-5，，-.
解：以上各数的倒数分别是1，-1，3，-3，，-，，-.
命题人解密：教材练习题很典型地考查了求一个数的倒数，中考题就是针对这一考点进行设置.
阅卷人解密：这类问题在中考中为基础题，很少失分.在求解时要注意两点：(1)不要与相反数混淆；(2)负数的倒数仍是负数.
高效训练·速提能
【基础达标】
1.计算2×(-3)的结果是 ( )
A.6 B.-6 C.-1 D.5
2.-的相反数的倒数是 ( )
A.1 B.-1 C.2021 D.-2021
3.(江苏扬州中考)与-2的乘积为1的数是( )
A.2 B.-2 C. D.-
4.下列运算错误的是 ( )
A.(-2)×(-3)=6
B.(-)×(-6)=-3
C.(-5)×(-2)×(-4)=-40
D.(-3)×(-2)×(-4)=-24
5.如果两个有理数的积是负数，和也是负数，那么这两个数 ( )
A.都是负数
B.其中绝对值大的数是正数，另一个是负数
C.互为相反数
D.其中绝对值大的数是负数，另一个是正数
6.(浙江金华中考改编)若有理数a，b在数轴上的位置如图1.4.1-1所示，则下列判断错误的是( )
A.a<0 B.ab<0
C.a7.计算(-6)×0.75×(-)×(-1)的结果是( )
A.-7 B.-5 C.5 D.6
8.计算(-2.5)×0.37×1.25×(-4)×(-8)的值为 .
9.计算：
(1)(-)×31×(+)×；
(2)(-+)×(-63)；
(3)19×(-)+19×(-)；
(4)-100.75×(-16).
【能力提升】
10.若口×(-)=1，则口内应填的有理数是 ( )
A.- B.- C. D.
11.若5个有理数的积为负数，则5个数中负数的个数是 ( )
A.1 B.3 C.5 D.1或3或5
12.在数轴上的三点A，B，C所表示的数分别为a，b，c.根据图1.4.1-2中各点位置，判断下列各式正确的是 ( )
A.(a-1)(b-1)>0
B.(b-1)(c-1)>0
C.(a+1)(b+1)<0
D.(b+1)(c+1)<0
13.已知：==3，==10，==15……观察上面的计算过程，寻找规律并计算：= .
14.某公司2020年第一季度平均每月亏损1.5万元，第二季度在全体员工的努力下，平均每月盈利2万元，第三季度平均每月盈利1.7万元，第四季度共亏损2.9万元，那么这个公司2020年总的盈亏情况如何
【素养创新题】
15.小明有7张卡片，上面分别写着数字：-5，-3，-1，0，+2，+4，+6.他想从中抽取3张，使这3张卡片上的数字之积最大，应如何抽取 积最大是多少
1.4.2 有理数的除法
基础知识·细解读
知识点一有理数的除法
1.有理数除法法则1：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数，即a÷b=a·(b≠0).
2.有理数除法法则2：两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除.0除以任何一个不等于0的数，都得0.
注意：(1)两数相除要先确定商的符号，再确定商的绝对值.
(2)当除法运算中既有小数又有分数时，一般先将小数统一化成分数，有带分数的将带分数统一化成假分数，再进行运算.
特别提醒
在有理数的除法运算中应特别注意：除数不能为0.
【例1】计算：(1)(-60)÷(-30)；
(2)0÷(-2020)；
(3)(+18)÷(-)；
(4)(-0.72)÷0.9；
(5)(-8)÷(-)÷(-10).
解：(1)(-60)÷(-30)
=(-60)×(-)
=2.
(2)0÷(-2 020)=0.
(3)(+18)÷(-)
=18×(-6)
=-108.
(4)(-0.72)÷0.9
=-(0.72÷0.9)
=-0.8.
(5)(-8)÷(-)÷(-10)
=(-8)×(-4)÷(-10)
=32÷(-10)
=-3.2.
总结
“一定二除”搞定有理数的除法
(1)一定：确定商的符号；
(2)二除：把绝对值相除.
拓展
有理数除法法则的选择
(1)一般在不能整除的情况下应用法则1，在能整除的情况下应用法则2.
(2)乘除混合运算中一般选用法则1.
特别提醒
(1)两个数相除，若结果为1，则这两个数相等；若结果为-1，则这两个数互为相反数.
(2)有理数除法没有交换律、结合律，更没有分配律.
知识点二有理数的乘除混合运算
在进行有理数的乘除混合运算时，可先将除法转化为乘法，再运用乘法法则和运算律进行计算.
注意：(1)积的符号由负因数的个数确定，可借用口诀“偶正奇负，有0为0”.
(2)结果能化简的要化简.
示范如下：
特别提醒
(1)乘除混合运算是同级运算，运算时按从左到右的顺序进行.
(2)除法转化为乘法后可以运用乘法运算律简化运算.
知识点三有理数四则混合运算
有理数的加减乘除混合运算，如无括号指出先做什么运算，则与小学所学的混合运算一样，按照“先乘除，后加减”的顺序进行.
【例2】计算：（1）-×(0.5-)÷(-)；
（2）(-)÷(-1)-(-)×(1).
解：(1)原式＝-×(-)×(-)
＝-××＝-.
（2）原式＝-×(-)+×＝+＝2.
无括号，先乘除，后加减.
总结
有理数四则混合运算的“一按照，二统一”
(1)要按照有理数的运算法则和运算顺序运算，同时正确利用运算律可简化计算；
(2)统一运算，都用加法或乘法计算，即将减法转化为加法，将除法转化为乘法.
特别提醒
(1)运算顺序：先乘除，后加减，如果有括号，先计算括号内的部分.
(2)在计算时，时刻注意符号问题.
应用能力·巧提升
题型一灵活运用加减乘除法的法则进行混合运算
【例1】计算：
（1）-27×(-)÷(-)×(-)；
（2）[(-2)+(-3)]÷（-4）×.
审题关键：两个式子都是带括号的混合运算，去掉括号并将除法转化为乘法是解答的关键.
破题思路：按规定的运算顺序和运算法则，并灵活运用运算律进行计算.
解：（1）-27×(-)÷(-)×(-)
＝-27×(-)×(-)×
＝-(27×××)
＝-1.
（2）[(-2)+(-3)]÷（-4）×
＝-6÷(-4)×＝×＝.
变式训练
1.计算：
(1)(-81)+(-2)×(-9)-（-6）÷(-)；
(2)74×l042÷37×(-)÷(-521）-38×.
题型二 用简便方法进行有理数的除法运算
【例2】计算：999÷(-1).
审题关键：直接计算运算量较大，可考虑将除法转化为乘法后，通过拆项和乘法分配律进行计算.
破题思路：把999写成1000-，把除法转化为乘法，利用乘法运算律进行运算.
解：999÷(-1)-(1000-)×(-)
＝1000×(-)-×(-)＝-900+＝-899.
方法技巧
除法变乘法，巧用分配律
通过前面的学习知道，只有乘法有分配律，但通过本题我们可以发现，将除法转化为乘法后，我们就可以利用分配律来计算，这体现了数学中的转化思想.
变式训练
2.计算：
(1)(-+)÷；
（2）（-49）÷7.
题型三 有理数除法在实际问题中的应用
【例3】根据实验测定：高度每增加1 km，气温大约降低6℃.一登山运动员在攀登某山峰的途中发回信息，报告他所在位置的气温为-15℃，如果当时地面温度为3℃，那么该登山运动员所在位置的高度大约是多少
审题关键：温度差有多少个6℃即有多少个1 km.
破题思路：由地面温度是3℃，登山运动员所在位置的气温是-15℃，可求出温差.根据高度与气温的关系，可求得登山运动员所在位置的高度.
解：[3-(-15)]÷6×l=(3+15)÷6×1=3(km).
答：该登山运动员所在位置的高度大约是3 km.
解后反思
将实际问题转化为数学问题时，往往需要利用建模思想，解答此类问题时，关键是发现温度与高度之间的关系，既可以根据高度求出温度，也可以根据温度求出高度.
变式训练
3.某果品仓库的温度是-2℃，现有一批水果要在13℃的温度下储藏，如果仓库每小时升温3℃，那么几小时后能达到所要求的温度
易误易混·精辨析
易错点一 运算顺序出现错误
【例1】计算：(-24)÷6×.
解：(-24)÷6×=(-4)×=-.
防错警示
在有理数的混合运算中，要牢记运算顺序：先乘除，后加减，如果有括号，先计算括号内的部分；同一级运算中，按照从左到右的顺序进行.本题易错解为原式-(-24)÷l=-24.
易错点二误认为除法也有分配律
【例2】计算：-15÷(-).
解：-15÷(-)=-15÷(-)
=15×6
=90.
防错警示
有理数的除法运算是没有分配律的.在计算本题时会错解为原式=-15×3-15×2=-45-30=-75或原式=-15×3+15×2=-45+30=-15.
高效训练·速提能
【基础达标】
1.(山西中考)计算(-6)÷(-)的结果是( )
A.-18 B.2 C.18 D.-2
2.下列各题计算正确的有 ( )
①(-24)÷(-8)=-3；②(+36)÷(-9)=-4；
③-3×4÷=-4；④-5.25×0=-5.25.
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
3.一个数与-4的乘积等于1，这个数是 ( )
A. B.- C. D.-
4.(河北中考)点A，B在数轴上的位置如图1.4.2-1所示，其对应的数分别是a和b.对于以下结论：
甲：b-a<0； 乙：a+b>0；
丙：｜a｜<｜b｜； 丁：>0.
其中正确的是 ( )
A.甲、乙 B.丙、丁
C.甲、丙 D.乙、丁
5.计算-1÷2×(-3)的结果等于 ( )
A. B.-5 C.7 D.-7
6.计事：(-6)÷(-0.25)×＝ .
7.（浙江杭州中考)计算：6÷（-+).
方方同学的计算过程如下：
原式＝6÷(-)+6÷＝-12+18＝6.
请你判断方方的计算过程是否正确，若不正确，请你写出正确的计算过程.
8.计算：
（1）÷(-)÷(-)÷(-)；
(2)-13÷-0.34÷+×(-13)-×0.34；
(3)(-+-)÷(-).
【能力提升】
9.下列计算正确的是 ( )
A.-5÷(-1)=-20
B.-2÷(-8)×(-)=-2
C.-×(-2)÷(-)=-40
D.(-++1)÷(-8)=-
10.计算：｜-2｜÷（-3）×= .
11.有一食品冷冻库，原来的室温是-20℃，现有一批食品要求在-28℃下冷藏，若食品冷冻库每小时能降温4℃，则需 h才能降到所需温度.
12.如果x
14.气象资料表明，高度每增加1 km，气温大约下降6℃.
(1)我国著名风景区黄山的天都峰高约为1 800m，当地面气温约为15℃时，求山顶气温；
(2)小明和小颖想出一个测量山峰高度的方法，小颖在山脚，小明在峰顶，他们同时在上午10点测得山脚和峰顶的气温分别为22℃和7℃，你知道山峰高约为多少千米吗
【素养创新题】
15.数学老师布置了一道思考题“计算：(-)÷(-)”，小明仔细思考了一番，用了一种特殊的方法解决了这个问题.
小明的解法：原式的倒数为(-)÷(-)=(-)×(-12)=-4+10=6，
所以(-)÷(-)=.
(1)请你判断小明的解答是否正确，并说明理由；
(2)请你运用小明的解法解答下面的问题.
计算：(-)÷(-+).
本书习题参考答案
1.4有理数的乘除法
1.4.1有理数的乘法
1.解：根据题意，得a+b=0，cd=1，e=0，
所以2018×(a+b)+cd+e=2018×0+1+0＝1.
2.解：(1)(-1.4)×(+1)×(-1)×(-5.5)×(+)
＝-（1.4×1×1×5.5×)
＝-××××＝-8.
(2)25×0.125×(-4)×(-)×(-8)×1
＝-25×0.125×4××8×
＝-(25×4)×(0.125×8)×(×)
＝-100×1×1＝-100.
3.解：（1）原式＝[(-24×(-)]+[(-24×]+[（-24）×]＝16-18-2＝-4.
(2)原式＝（-20+)×240=-20×240+×240＝-4800+75=-4725.
(3)原式＝25×+25×+25×(-)＝25×[++(-)]＝25.
(4)原式＝3.2×35.5+(-3.2)×46.2+(-3.2)×18.3＝-3.2×(35.5+46.2+18.3)＝-3.2×100＝-320.
4.解：设向东为正，根据题意，得
3×2.5+5×(-2.5)
＝(3-5)×2.5
＝-2×2.5
＝-5(m)，
即小虫在出发点西边，距出发点5 m处.
5.解：(1)①3*5=3+=.
②-4*3=-4+=-.
③(1*2)*3=(1+)*3=+=.
④1*(2*3)＝1*(2+)＝1+＝.
(2)①由(1)中③④可知，“*”运算不满足(m*n)*x=m*(n*x).
②当m=n≠0或mn=-1时，m*n=n*m.
高效训练·速提能
1.B解析：根据有理数的乘法法则，得2×(-3)＝-6.故选B.
2.C 解析：-的相反数是，的倒数是2021.故选C.
3.D解析：与-2乘积为1的数就是-2的倒数，等于-，故选D.
4.B解析：根据有理数的乘法法则，计算得选项B错误.
5.D解析：因为两个有理数的积是负数，所以这两个数符号相反.又因为这两个数的和也是负数，所以其中绝对值大的数是负数，另一个是正数。
6.D解析：观察数轴可以确定a<0，b>0，所以ab<0，故选项A，B，C正确；显然a，b的乘积不可能为1，所以选项D错误.故选D.
7.B 解析：原式=[(-6)×(-)]×[0.75×(-1)]=5×(-1)=-5.故选B
8.-37 解析：原式=[(-2.5)×(-4)]×[1.25×(-8)]×0.37＝10×(-10)×0.37＝-37.
9.解：(1)原式＝-（×)×(31×)＝-33.
(2)原式＝-×63+×63-×63＝-36+7-6＝-35.
（3）原式＝19×[(-)+(-)]
＝19×(-1)＝-19.
(4)原式＝(100+0.75)×16
＝100×164+0.75×16＝1612.
10.B 解析：乘积为1的两个数互为倒数，和互为倒数.故选B.
11.D 解析：5个有理数的积为负数，则负数的个数是奇数，故5个数中负数的个数是1或3或5.故选I).
12.D 解析：由数轴上三个点的位置，知a-1<0，b-1>0，c-1<0，a+1>0，b+1>0，c+1<0.根据两个有理数相乘，同号得正，异号得负，依次判断，(b+1)(c+1)<0成立.故选D.
13.210 解析：根据题意，得==210.
14.解：规定“+”表示盈利，“-”表示亏损.根据题意，得-1.5×3+3×2+3×1.7-2.9=-4.5+6+5.1-2.9=3.7(万元).
因此，这个公司2020年共盈利3.7万元.
15.解：3张卡片上的数字之积最大为
(-5)×(-3)×(+6)=5×3×6=90.
所以抽取写着数字-5，-3，+6的3张卡片，上面的数字之积最大，积最大是90.
1.4.2有理数的除法
应用能力·巧提升
1.解：(1)原式＝(-81)+18-
＝(-63)-=-67.
(2)原式=74×1042×××-38×
=(74×)×(1042×)×-38×
＝2×2×-38×
＝-38×
＝×（1-27）
＝×（-37）
＝-36.
2.解：(1)(-+)÷
＝(-+)×60。
＝×60-×60+×60＝23.
（2）(-49)÷7＝(-49-)×
=-49×-×＝-7-＝-7.
3.解：[13-(-2)]÷3＝15÷3=5(h).
答：5 h后能达到所要求的温度.
高效训练·速提能
1.C解析：(-6)÷(-)＝(-6)×(-3)＝18.
2.A 3.B
4.C解析：根据点A，B在数轴上的位置，可假设a=2，b=-4，
所以b-a=-4-2=-6<0，a+b=2+(-4)=-2<0，故结论甲正确，结论乙不正确；|a|=|2|=2，|b|=|-4|=4，
因为2<4，所以|a|<|b|，故结论丙正确；
==-2<0，故结论丁不正确.综上可知，答案为选项C
5.A 解析：-1÷2×(-3)＝-×(-3)＝.
6.11 解析：(-6)÷(-0.25)×＝6×4×＝11.
7.解：不正确.计算过程如下：
原式＝6÷(-)＝6×(-6)＝-36.
8.解：（1）÷(-)÷(-)÷(-)
＝×(-)×(-)×(-)
＝-(×××)
＝-.
(2)-13÷-0.34÷+×(-13)-×0.34
=-13×-0.34×+×(-13)-×0.34
＝[-13×+×（-13）]+(-0.34×-×0.34)
＝-13×(+)+0.34×(--)
＝(-13)×1+0.34×(-1)
＝-13-0.34
＝-13.34.
（3）(-+-)÷(-)
＝×（-42）-×（-42）+×(-42)-×(-42)
=-7+9-28+12
=-14.
9.C 解析：-5÷(-1)=，所以选项A错误；
-2÷(-8)×(-)＝-，所以选项B错误；
(-++1)÷(-8)＝-，所以选项D错误.
10.- 解析：原式＝×(-)×＝-.
11.2 解析：根据题意，得[(-20)-(-28)]÷4＝2(h).
12.0 解析：因为x
所以=0.
13.解：(a-b)÷(a÷c)＝(-2-0)÷[(-2)÷(-5)]＝(-2)÷=-5.
14.解：(1)1 800 m＝1.8 km，
15-6×1.8＝4.2(℃).
故山顶气温约为4.2℃.
(2)(22-7)÷6×l＝2.5(km).
故山峰高约为2.5 km.
15.解：(1)正确.理由：一个数的倒数的倒数等于原数.
(2)原式的倒数为
(-+）÷(-)
＝(-+）×(-24)
＝-8+4-9＝13，
则(-)÷(-+）＝.
教材参考答案
1.4 有理数的乘除法
思考(第28页)
-6 -9
思考(第28页)
-3 -6 -9
思考(第29页)
-9 -6 - 3 0 3 6 9
练习(第30页)
1.解：(1)6×(-9)＝-54.
(2)(-4)×6＝-24.
(3)(-6)×(-1)＝6.
(4)(-6)×0＝0.
(5)×(-)=-.
(6)(-)×=-.
2.解：(-5)×60=300(元).
答：销售额减少了300元.
3.解：1的倒数为1；-l的倒数为-1；
的倒数为3；-的倒数为-3；
5的倒数为；-5的倒数为-；
的倒数为；-的倒数为-.
问题(第31页)
先确定积的符号，再把各个因数的绝对值相乘，作为积的绝对值.
练习(第32页)
1.解：(1)24；(2)-120；(3)16；(4)81.
2.解：(1)(-5)×8×(-7)×(-0.25)
＝-(5×8×0.25)×7
＝-10×7＝-70.
（2）(-)×××(-)
＝×××＝.
（3）(-1)×(-)×××(-)×0×(-1)=0.
思考(第33页)
解法1先做加法运算，再做乘法运算；解法2先做乘法运算，再做加法运算，运用了分配律.解法2的运算量小，因为解法1要先通分计算三个分数的和.
练习(第33页)
解：(1)(-85)×(-25)×(-4)
=-85×100=-8 500.
(2)(-)×30
＝×30-×30
＝27-2＝25.
(3)(-)×15×(-1)
＝×15×=15.
(4)(-)×(-)+(-)×(+)
＝(-)×[(-)+]
＝-×5=-6.
问题(第34页)
有.例如，①3÷(-2)＝＝-，3×(-)＝-，得3÷（-2）=3×(-).
②(-)÷(-7)==，(-)×(-)=×=，得(-)÷(-7)=(-)×(-).
练习(第35页)
解：(1)(-18)÷6=-3.
(2)(-63)÷(-7)=9.
(3)1÷(-9)=-.
(4)0÷(-8)=0.
(5)(-6.5)÷0.13=-50.
(6)(-)÷(-)=(-)×(-)=3.
练习(第36页)
1解：(1)＝-8.
(2)=.
(3)=0.
2.解：(1)(-36)÷9=(-36-)×=-36×-×=-4-=-4.
(2)(-12)÷(-4)÷(-1)=-12××=-.
(3)(-)×(-)÷(-0.25)=-××4=-.
练习(第36页)
解：(1)6-(-12)÷(-3)＝6-4＝2.
(2)3×(-4)+(-28)÷7＝-12-4＝-16.
(3)(-48)÷8-(-25)×(-6)＝-6-150＝-156.
(4)42×(-)+(-)÷(-0.25)＝-28+3＝-25.
练习(第37页)
解：(1)17. (2)-6.68. (3)-471.
(4)-1 816.354 985.
习题1.4(第37页)
1.解：(1)(-8)×(-7)＝56.
(2)12×(-5)＝-60.
(3)2.9×(-0.4)＝-1.16.
(4)-30.5×0.2＝-6.1.
(5)100×(-0.001)＝-0.1.
(6)-4.8×(-1.25)＝6.
2.解：(1)×(-)＝-.
(2)(-)×(-)=.
(3)-×25=-.
(4)(-0.3)×(-)=.
3.解：(1)-15的倒数为-.
(2)-的倒数为-.
(3)-0.25的倒数为-4.
(4)0.17的倒数为.
(5)4的倒数为.
(6)-5的倒数为-.
4.解：(1)-91÷13=-7.
(2)-56÷(-14)=4.
(3)16÷(-3)=-.
(4)(-48)÷(-16)=3.
(5)÷(-1)=-.
(6)-0.25÷=-×＝-.
5.-5 - -4 6 5 -6 4
6.解：(1)＝-3.
(2)=-.
(3)=.
(4)=20.
7.解：(1)-2×3×(-4)=2×3×4=24.
(2)-6×(-5)×(-7)＝-6×5×7＝-210.
(3)(-)×1.25×(-8)=××8=.
(4)0.1÷(-0.001)÷(-1)=×1 000×1＝100.
(5)(-)×(-1)÷(-2)＝-××＝-.
(6)-6×(-0.25)×＝6××＝.
(7)(-7)×(-56)×0÷(-13)＝0.
(8)-9×(-11)÷3÷(-3)＝-99××＝-11.
8.解：(1)23×(-5)-(-3)÷
＝-115-(-3)×
＝-115+128=13.
(2)-7×(-3)×(-0.5)+(-12)×(-2.6)
＝-+12×
＝-+
＝＝＝20.7.
(3)(1--)÷(-)+(-)÷(1--)
=(--)×(-)+(-)÷(--)
=-2+1++(-)×
=-2+1+-3
=-3.
(4)-
=----3
=-1--3
=-4.
9.解：(1)62.27； (2)23 424.80； (3)0.49； (4)81.97.
10.(1)7 500 (2)-140 (3)200 (4)-120
11.解：450+20×60-12×120=450+1 200-1 440=1 650-l 440=210(m).
答：这时直升机所在高度是210 m.
12.解：(1)< < (2)< <
(3)> > (4)= =
13.解：2×1=2，2×＝1，2×(-1)＝-2，2×(-)＝-1.
不一定，如果这个数是负数，那么这个负数一定大于它的2倍.
14.解：-2a+3a＝(-2+3)a＝a.
15.解：(-4)÷2=-2，4÷(-2)=-2，
(-4)÷(-2)=2.
(1)(2)中的式子都成立.从它们可以总结出：分子、分母与分数这三者的符号，任意改变其中两个，分数的值不变.