数学北师大版（2019）必修第一册2.3函数的单调性 教案

第 二 章 函 数
第2.3节　函数的单调性教学设计
本小节是函数性质之一单调性，揭示了函数图像的趋势，表示了自变量和因变量之间的关系，是数形结合数学思想的基础，与函数的奇偶性呈并列的关系，他俩从不同侧面研究函数性质。在函数性质中具有举足轻重的地位。本节利用图像观察推导单调性判断方法，该方法再次体现了数形结合的主要思想。
教学目标
1、理解函数单调性的概念，会根据函数的图像判断函数的单调性；
2、能够根据函数单调性的定义证明函数在某一区间上的单调性。
二. 核心素养
1. 数学抽象：函数在区间上单调性概念的概述
2. 逻辑推理:本节课的教学，使学生能理性的描述生活中的增长、递减的现象；通过生活实例感受函数单调性的意义，培养学生的识图能力和数形语言转化的能力。
3. 数学运算：判断函数的单调性及证明
4. 直观想象：通过对函数单调性定义的探究，渗透数形结合的数学思想方法，培养学生的观察、归纳、抽象思维能力。
5. 数学建模:本节课的教学，启发学生养成细心观察，认真分析，严谨论证的良好习惯；通过问题链的引入，激发学生学习数学的兴趣，学生通过积极参与教学活动，获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立学习数学的自信心。
教学重点
函数单调性的概念、判断及证明
教学难点
归纳抽象函数单调性的定义以及根据定义证明函数的单调性
PPT
1.知识引入
函数是刻画变量关系的.研究函数y=f(x)时最关心的问题是：当自变量x变化时，函数值f(x)随之怎样变化.我们知道，一次函数y = kx+b,当k<0时，在R上y值随x值的增大而减小；当k>0时，在R上y值随x值的增大而增大.一元二次函数和反比例函数也有类似的性质.可见，用增大或减小来刻画函数在一个区间的变化是非常重要的.
如下图分析：
图2-9是函数f(x)的图象,直观上可以看出，对于区间[-6, -5],[-2,1],[3,4.5]，[7,8],每个区间上函数值f(x)都随x值的增大而增大；对于区间 [-5 , -2] , [1,3] , [ 4.5,7] , [ 8,9],每个区间上函数值f (x)都随x值的增大而减小.
2.函数的单调性定义概述
一般地，在函数y=f（x）定义域内的一个区间A上,如果对于任意的,当x1f(x2),那么就称函数y=f(x)在区间A上是减函数或递减的.
如果函数y=f(x)在区间A上是增函数或减函数,那么就称函数y=f(x)在区间A上是单调函数，或称函数y=f(x)在区间A上具有单调性.此时，区间A为函数y=f(x)的单调区间.
备注：1.概念中应该注意问题：任意的（不能写成“存在”）
2.在单调区间上，增函数的图象是上升的，减函数的图象是下降的.
知识扩充：
例1设,画出f(x+3)(x<-3)的图像，并通过图像直观判断
它的单调性。
解：依题意知,其图像可由的图像向左
平移3个单位长度得到（图2-10）。该函数在区间上是减函数
例2 根据函数图像直观判断y=|x-1|
解：函数y=|x-1|可以表示为
画出该函数的图像（如2-11），由图象可知该函数在区间上是减函数，在区间上是增函数
例3判断函数f(x)=-3x+2的单调性,并给出证明.
解 画出函数f(x)=-3x+2的图象(如图2-12).由图象可以看出，函数f(x)=-3x+2在定义域R上可能是减函数.下面用定义证明这一单调性.
任取,且x1所以： f(x1)-f(x2)=(-3x1+2)-(-3x2+2)=-3(x1-x2)>0
即：f(x1)>f(x2)
函数f(x)=-3x+2在定义域R上是减函数.
例4判断函数的单调性,并给出证明.
解 画出函数的图象(如图2-13).由图象可以看出，函数在定义域 上可能是增函数.
在定义域上任取x1 , x2,且x1x1-x2<0,
由 ,可知 f(x1)-f(x2)<0,即 f(x1)由定义可知，函数在定义域上是增函数.
例5
试用定义证明：函数在区间(0,1]上是减函数,在区间上是增函数
知识扩充：
证明函数在一个区间上的单调性证明方法：
取；2作差；3.定号；4 下结论
若函数f(x)与g(x)在区间A上都为增函数（或减函数），则f(x)+g(x)在区间A上也为增函数（或减函数）
若函数f(x)在区间A上都为增函数，g(x)在区间A上都为减函数，则f(x)-g(x)在区间A上也为增函数
若函数f(x)在区间A上都为减函数，g(x)在区间A上都为增函数，则f(x)-g(x)在区间A上也为减函数
易错点：1.若函数f（x）在区间A, B都为增函数（或减函数），则可以写成函数f(x)在区间A和B上为增函数（或减函数）【不能写成f(x)在区间上为增函数（或减函数）】
2.函数在整个定义域上是减函数？【答案：否，因为定义域不连续】
【题型归类】
根据函数图像，直观分析函数的单调性
1．如图是函数y＝f（x）的图象，则函数f（x）的单调递减区间是（　　）
A．（﹣1，0） B．（1，+∞）
C．（﹣1，0）∪（1，+∞） D．（﹣1，0），（1，+∞）
答案：D
【解析】解：若函数单调递减，则对应图象为下降的，
由图象知，函数在（﹣1，0），（1，+∞）上分别下降，
则对应的单调递减区间为（﹣1，0），（1，+∞），
故选：D．
2．已知函数f（x）＝，
（Ⅰ）画出f（x）的图象；
（Ⅱ）写出f（x）的单调递增区间．
【解析】解：（Ⅰ）函数f（x）＝
的图象如右：
（Ⅱ）f（x）的单调递增区间为[﹣1，0]，[2，5]．
证明：函数在定义域的单调性及区间最值
例：已知函数，
（Ⅰ） 证明f（x）在[1，+∞）上是增函数；
（Ⅱ） 求f（x）在[1，4]上的最大值及最小值．
【解答】（I）证明：在[1，+∞）上任取x1，x2，且x1＜x2
＝
∵x1＜x2∴x1﹣x2＜0
∵x1∈[1，+∞），x2∈[1，+∞）∴x1x2﹣1＞0
∴f（x1）﹣f（x2）＜0即f（x1）＜f（x2）
故f（x）在[1，+∞）上是增函数
（II）解：由（I）知：
f（x）在[1，4]上是增函数
∴当x＝1时，有最小值2；
当x＝4时，有最大值
根据函数单调性，求参数取值范围
例．已知函数f（x）＝x2+ax+2，若f（x）在（1，+∞）上是增函数，则a的取值范围为　a≥﹣2　．
解：根据题意，函数f（x）＝x2+ax+2，其对称轴为x＝﹣，
若f（x）在（1，+∞）上是增函数，则有﹣≤1，
解可得a≥﹣2，即a的取值范围为a≥﹣2；
故：a≥﹣2．
本节课主要学习了函数单调性的定义，单调区间的概念，能利用（1）图象法；（2）定义法来判定函数的单调性，从中体会了数形结合的思想，学会从“特殊到一般再到特殊”的思维方法来研究问题。