人教版八年级上册12.3 角的平分线的性质课件(共20张PPT)

(共20张PPT)
12.3.2角平分线的判定
角的平分线上的点到角的两边的距离相等
角的平分线的性质
O
C
B
1
A
2
P
D
E
如图，∵ OC是∠AOB的平分线(或∠1=∠2.)
PD⊥OA=D，PE⊥OB=E.
∴ PD＝PE
用数学语言表述：
反过来，角的内部，到角的两边的距离相等的点是否一定在这个角的平分线上呢？（从角的顶点为原点，经过该点的射线，是否是该角的平分线呢？）
P
解：如图，PE⊥OB=E，PD⊥OA=D PD＝PE．
求证： 点P在∠AOB的平分线上（即OP平分∠AOB）.
证明: 如图，过点P作射线OC
∵ PD⊥OA=E，PE⊥OB=D
∴ Rt△PDO≌Rt△POE（HL）
∴ ∠ POD＝∠POE
∴点P在∠AOB的平分线上（即OP平∠AOB）。
∴在△PDO和△PEO中
∠PDO＝∠PEO＝90°（垂直定义）
OP＝OP （公共边）
PD=PE （已知）
P
C
角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上（角的内部，经过顶点和到角的两边距离相等的点的直线【或线段、射线】 是该角的平分线.）。
如图，∵ PD⊥OA=D，PE⊥OB=E，
PD＝PE． ∴OP平分∠AOB
(点P在∠AOB的平分线上)．
用几何语言表示：
角平分线的判定
角的平分线的性质
角的平分线的判定
图形
已知
条件
结论
P
C
P
C
OP平分∠AOB
PD⊥OA=D
PE⊥OB=E
PD=PE
OP平分∠AOB
PD=PE
PD⊥OA=D
PE⊥OB=E
如图，要在S区建一个贸易市场，使它到铁路和公路距离相等，离公路与铁路交叉处500米，这个集贸市场应建在何处？（比例尺为1︰20000）
C
S
O
A
B
∴OS=2.5CM
解：如图，（1）OC(OS)必平分∠AOB;（2）设OS=xcm,待定点图中S满足：
1:20000=x:50000
答：如图，点S在∠AOB的平分线上且OS=2.5cm.
又∵BM是△ABC的角平分线，
∴PD=PE.
同理，PE=PF.
∴PD＝PE=PF.
即点P到三边AB、BC、CA的距离相等.
证明：如图，过点P作 PD⊥AB=D，
PE⊥BC=E，PF⊥AC= F，
例题： 如图，△ABC的角平分线BM，CN相交于点P。求证：点P到三边AB、BC、CA的距离相等
D
P
M
N
A
B
C
F
E
如图，△ABC的角平分线BM，CN相交于点P。求证：点P到三边AB、BC、CA的距离相等
D
P
M
N
A
B
C
F
E
三角形的三条角平分线交于一点，并且这点（内心）到三边的距离相等.
点P在∠A的平分线上吗？这说明三角形的三条角平分线有什么关系？
证明：如图，过点F作FG⊥AE=G，FH⊥AD =H，FM⊥BC=M.
G
H
M
∵点F在∠BCE的平分线上， FG⊥AE=G， FM⊥BC=M.
∴FG=FM.
同理可得∴FM=FH.
∴FG=FH，
∴点F在∠DAE的平分线上（AF是∠BAC的平分线）.　　　
1.如图，已知△ABC的外角∠CBD和∠BCE的平分线相交于点F，求证：点F在∠BAC的平分上．
当堂练习
2.如图, 直线l1、l2、l3表示三条互相交叉的公路, 现要建一个货物中转站, 要求它到三条公路的距离相等, 可选择的地址有几处 画出它的位置.
P1
P2
P3
P4
l1
l2
l3
A
B
C
E
F
D
3.如图，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，且BE＝CF。
求证：AD是△ABC的角平分线
到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。
如图，∵ QD⊥OA=D，QE⊥OB=E，QD＝QE．
∴点Q在∠AOB的平分线上
(OQ平分∠AOB或OQ是∠AOB的平分线)．
用数学语言表示为：
角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
如图，∵ QD⊥OA=D,QE⊥OB=E,点Q在∠AOB的平分线上(OQ平分∠AOB).
∴ QD＝QE
3.角的平分线辅助线技巧：
见角平分线就作其上某点到角两边的垂线段（距离）。
小结
1.如图，BE⊥AC=E， CF⊥AB=F，
BE、CF相交于D， BD=CD 。
求证： AD平分∠BAC
A
B
C
F
E
D
当堂检测
2、已知：如图,在△ABC中， BD＝CD, ∠1= ∠2. （请仔细观察：还有潜在条件么？）
求证：AD平分∠BAC
D
E
F
A
B
C
1
2
3、如图，O是三条角平分线的交点，OD⊥BC=D，OD=3,△ABC的周长为15，求S△ABC =？
A
B
C
O
M
N
G
D
5.如图，在四边形ABCD中， ∠B=∠C=90°，M是BC的中点，DM平分∠ ADC。
求证：AM平分∠DAB
D
A
B
C
M
N