高中数学人教A版（2019）必修第一册2.2基本不等式（含解析）

一、单选题（本大题共6小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
已知，，若，则( )
A. 有最小值 B. 有最小值
C. 有最大值 D. 有最大值
已知，且 ，则的最小值为( )
A. B. C. D.
若，都为正实数，，则的最大值是( )
A. B. C. D.
设，，且，，则下列不等式成立的是( )
A. B.
C. D.
已知，，且满足，则的最小值是( )
A. B. C. D.
已知正数，满足，则的最小值是( )
A. B. C. D.
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
若，且满足，则( )
A. 的最小值为 B. 的最小值为
C. 的最小值为 D. 的最小值为
下列不等式正确的是( )
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则
设，，且，那么( )
A. 有最小值 B. 有最小值
C. 有最小值 D. 有最大值
设，均为正数，且，则下列结论正确的是( )
A. 有最大值 B. 有最大值
C. 有最小值 D. 有最小值
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
已知、为两个正实数，且恒成立，则实数的取值范围是 ．
已知不等式的解集为，则 ；的最小值为 ．
设，，，则的最大值为 ．
不等式：；；中，一定成立的是 ．
四、解答题（本大题共3小题，共36.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
本小题分
已知，，，为正常数，且．
若，，求的最小值；
若，的最小值为，求，的值；
若，，且不等式恒成立，求实数的取值范围．
本小题分
若正数，满足，求：
的最小值；
求的最小值．
本小题分
已知，，且．
求的最小值；
证明：．
1.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查利用基本不等式求最值，是中档题．
根据题意，结合基本不等式，逐项判断即可．
【解答】
解：，，且，
，，，当且仅当时取等号，
，
有最小值，故A正确；
由上可知，当且仅当时取等号，当逐渐接近于，此时逐渐接近于，逐渐接近于，没有最小值，故有最大值，没有最小值，故B错误；
同样当逐渐接近于，此时逐渐接近于，趋近于，
没有最大值，故C错误；
，
由于只有最大值，没有最小值，
只有最大值，没有最小值，
没有最大值，故D错误．
故选：．

2.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查利用基本不等式求最值，属于基础题．
根据由得，则，展开后利用基本不等式求最值即可，注意等号成立条件．
【解答】
解：由得，
则
，
当且仅当，即，时取“”．
故选C．

3.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查了利用基本不等式求解最值，属于基础题．
由已知结合基本不等式可得，可得结果．
【解答】
解：因为，都为正实数，，
则，
当且仅当时取等号．
故选：．

4.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了基本不等式，属于基础题．
根据基本不等式，分别判断大小关系，即可得解．
【解答】
解：，，
；
，
，
，
．
综上可知：．
故选B．

5.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查基本不等式的运用：求最值，考查运算能力，属于基础题．
运用三元基本不等式，结合不等式的解法，可得所求最小值．
【解答】
解：，，且满足，
可得，即有，
可得，当且仅当取得等号，
则的最小值为．
故选：．

6.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了利用基本不等式求最值，属中档题．
根据条件可得，再由，利用基本不等式求出的最小值．
【解答】
解：正数，满足，
，
，
当且仅当，
即，时取等号，
的最小值为．
故选：．

7.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查基本不等式的应用，还考查了转化化归思想和运算求解的能力．
将，变形为，然后利用“”的代换，由利用基本不等式求解；根据，再用“”的代换，由利用基本不等式求解．
【解答】
解：因为，且满足，所以，
所以，
当且仅当，即时取等号，
所以的最小值为，
因为，
所以，
当且仅当，即时取等号，
所以的最小值为
故选：．

8.【答案】
【解析】
【分析】
本题重点考查基本不等式，属于基础题．
利用基本不等式和特殊值法逐个判断即可．
【解答】
解：对于、若，则，当且仅当时取等号，故正确；
对于、，由于取等条件无法满足，故，故错误；
对于、当时，，故错误；
对于、若，则，当且仅当时取等号，故正确，
故选AD．

9.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查了利用基本不等式求解最值，解题的关键是公式的灵活应用．
由已知结合基本不等式分别检验各选项即可判断．
【解答】
解：因为，，且，
所以，当且仅当时取等号，
解得，或舍，
故有最小值，A正确，B错误；
由，当且仅当时取等号，
解得，
即有最小值，C正确，D错误．
故选：．

10.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查基本不等式的应用和函数的最值，注意检验等号成立的条件，式子的变形是解题的关键，属于中档题．
利用基本不等式分别判断选项AB的对错，对于，由，且，转化为关于的二次函数，由函数的性质可得最值，可判断对错．
【解答】
解：正实数，满足，
由基本不等式可得，
，
当且仅当，即，时等号成立，
故有最大值，故A正确；
由于，
，
当且仅当，时等号成立，
故有最大值为，故B正确；
由，均为正数，且，
则，且，
则
，
当，时，
有最小值，故C正确；
，
，
，，，
没有最小值，故D错误．
故选 ABC．

11.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了不等式的恒成立问题，基本不等式的应用，属于中档题．
由参变量分离法可得，利用基本不等式求出的最小值，由此可得出实数的取值范围．
【解答】
解：因为、为两个正实数，由可得，
因为，当且仅当时，等号成立．
所以，，因此，实数的取值范围是
故答案为：

12.【答案】

【解析】
【分析】
本题考查了一元二次不等式的解集与相应方程的根与系数的关系和基本不等式，属一般题．
根据不等式的解集可得，，之间的关系，可以求出然后将用表示，再用基本不等式求其最小值即可．
【解答】
解：的解集为，
，，，
则，，
所以，
，
，
当且仅当，即时取等号，
故的最小值为．
故答案为：

13.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查利用基本不等式求最值，属于基础题．
利用基本不等式，即可求出的最大值．
【解答】
解：由题意，，，，
所以，
当且仅当时，等号成立，
的最大值为，
故答案为．

14.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了不等式性质、基本不等式的相关知识，属于基础题．
利用基本不等式以及不等式的性质可解．
【解答】
解：，故成立；
，故成立；
取，可排除，故不成立．
故答案为：．

15.【答案】解：由题意：，
则
，
当且仅当，即，时取等号，
所以的最小值为；
因为，且，，，，
则
，
当且仅当时取等号，
则，即，
解得：或；
解法一：由题意，，
则，则；
因为不等式恒成立，
则，
又
；
且
，
当且仅当，
即，时取等号；
所以的取值范围是；
法二：因为不等式恒成立，
则，
则；
因为，，
当
即，时，，
所以的取值范围是．
【解析】 本题考查利用基本不等式求最值，也考查了不等式恒成立问题，属于较难题．
由题意，利用基本不等式求得的最小值；
由题意，利用基本不等式求得取最小值时、的值；
解法一，由题意，利用分离常数法和基本不等式，求得的取值范围；
解法二，利用分离常数法和构造函数求函数的最值，从而求得的取值范围．
16.【答案】解：，，，
，
当且仅当时，即时取等号，
的最小值为；
正数，满足，
，
解得：，当且仅当时取等号．
的最小值为
【解析】本题主要考查基本不等式在求最值的应用．
由，，，可得，利用基本不等式的性质即可得出；
由正数，满足，利用基本不等式可得，求解即可．
17.【答案】解：解法：因为，，且，
所以．
当且仅当，即时，等号成立，
由解得
所以的最小值为．
解法：因为，，且，
所以，
当且仅当，即时，等号成立．
由解得
所以的最小值为．
证明：证法：因为，，
所以
．
当且仅当时，等号成立，解得，，此时
所以．
证法：由于，，，得，
要证明，只要证明，
即证，只要证．
由于，则只要证明，
即，
因为，
所以成立，
所以．
【解析】本题考查基本不等式，利用基本不等式求最值，涉及二次不等式恒成立问题，考查逻辑推理能力和变形转化的能力．
解法：由，，且，，再利用基本不等式求最小值；
解法：由，，且，利用乘“”法，，再利用基本不等式求最小值；
证法：将的分母变为，分母利用基本不等式得，注意等号成立的条件可得结论；
证法：利用分析法要证明，通过变形只要证，利用恒成立可得结论．
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