高中数学人教A版（2019）必修第一册第二章章末检测（含解析）

一、单选题（本大题共16小题，共80.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
下列命题正确的是( )
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则
已知，，且，则最大值为( )
A. B. C. D.
已知，则正确的结论是( )
A. B. C. D. 、大小不定
“”是“”的条件( )
A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D. 既不充分也不必要
某公司每个月的利润单位：万元关于月份的关系式为，则该公司某一年的个月中，利润大于万元的月份共有( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
已知正实数，满足，则的最小值为( )
A. B. C. D.
已知，，，是四个互不相等的正实数，满足，且，则下列选项正确的是( )
A. B.
C. D.
若不等式的解集为，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
设实数满足：，则下列不等式中不成立的是( )
A. B.
C. D.
正数，满足，则的最小值为( )
A. B. C. D.
已知三个互不相等的负数，，满足，设，，则( )
A. B. C. D.
若，，则“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
某文具店购进一批新型台灯，每盏最低售价为元，若按最低售价销售，每天能卖出盏；若售价每提高元，日销售量将减少盏，为了使这批台灯每天获得元以上不含元的销售收入，则这批台灯的销售单价单位：元的取值范围是( )
A. B. C. D.
若正数，满足，则的最小值为( )
A. B. C. D.
设，，则下列不等式中不恒成立的是( )
A. B.
C. D.
已知正数，，满足，则的最小值为( )
A. B. C. D.
二、多选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题有多项符合题目要求）
设，，则下列不等式中恒成立的是( )
A. B. C. D.
若，则下列不等式中恒成立的有( )
A. B.
C. D.
解关于的不等式：，下列说法正确的是( )
A. 当时，不等式的解集为
B. 当时，不等式的解集为
C. 当时，不等式的解集为
D. 当时，不等式的解集为
若不等式对一切实数恒成立，则实数的可能取值范围是( )
A. B. C. D.
对于实数，，，下列命题中正确的是( )
A. 若则；
B. 若，则；
C. 若，则；
D. 若，，则，．
已知、均为正实数，则下列不等式不一定成立的是( )
A. B.
C. D.
已知关于的不等式，下列结论正确的是( )
A. 当时，不等式的解集为
B. 当时，不等式的解集可以为的形式
C. 不等式的解集恰好为，那么
D. 不等式的解集恰好为，那么
设，，均为正数，且，则下列结论正确的是( )
A. B.
C. D.
三、填空题（本大题共8小题，共40.0分）
已知关于的不等式的解集是则 ．
若函数只有一个零点，则实数的取值集合是 ．
两个正实数，满足，则满足恒成立的取值范围为 ．
某汽车以的速度在高速公路上均速行驶考虑到高速公路行车安全，要求时，每小时的油耗所需要的汽油量为，其中为常数若汽车以的速度行驶，每小时油耗为，欲使每小时的油耗不超过，则速度的取值范围为
若不等式的解集是则不等式的解集为 ．
写出一个一元二次不等式，使它的解集为 ．
已知，，满足，且对于任意，，恒成立，则实数的最大值为 ．
长沙市为了支援边远山区的教育事业，组织了一支由名教师组成的队伍下乡支教，记者采访队长时询问这个团队的构成情况，队长回答：“队伍构成满足以下条件：有中学高级教师中学教师不多于小学教师小学高级教师少于中学中级教师小学中级教师少于小学高级教师支教队伍的职称只有小学中级、小学高级、中学中级、中学高级无论是否把我计算在内，以上条件都成立”由队长的叙述可以推测出他的学段及职称分别是 ．
四、解答题（本大题共12小题，共144.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
本小题分
湖北省天门市高一期末在，关于的不等式的解集为，一次函数的图象过，两点这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答．
问题：已知__________，求关于的不等式的解集．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
本小题分
已知，，为互不相等的正数，且，求证：．
本小题分
已知．
Ⅰ若的解集为，求关于的不等式的解集；
Ⅱ解关于的不等式．
本小题分
已知正数满足，求的最小值；
已知，求函数的最大值．
本小题分
如图，一份矩形宣传单的排版面积矩形为，它的两边都留有宽为的空白，顶部和底部都留有宽为的空白．
若，，且该宣传单的面积不超过，求的取值范围；
若，，则当长多少时，才能使纸的用量最少？
本小题分
已知二次函数．
是否存在实数，，使不等式的解集是？若存在，求实数，的值，若不存在，请说明理由；
若为整数，，且方程在上恰有一个实数根，求的值．
本小题分
已知全集，集合，，．
若，求；
在，这两个条件中任选一个，补充到下面问题中，并给出解答．
问题：已知：，：____，若是的充分不必要条件，求实数的取值范围．
本小题分
已知，，为正实数，且，证明下列不等式：
；
；
．
本小题分
已知不等式的解集为或
求，；
若，解不等式．
本小题分
已知正数、满足，求的最小值
求函数的最小值
已知，且求证：．
本小题分
十九大以来，国家深入推进精准脱贫，加大资金投入，强化社会帮扶，为了更好的服务于人民，派调查组到某农村去考察和指导工作该地区有户农民，且都从事水果种植，据了解，平均每户的年收入为万元为了调整产业结构，调查组和当地政府决定动员部分农民从事水果加工，据估计，若能动员户农民从事水果加工，则剩下的继续从事水果种植的农民平均每户的年收入有望提高，而从事水果加工的农民平均每户收入将为万元．
若动员户农民从事水果加工后，要使从事水果种植的农民的总年收入不低于动员前从事水果种植的农民的总年收入，求的取值范围；
在的条件下，要使这户农民中从事水果加工的农民的总收入始终不高于从事水果种植的农民的总收入，求的最大值．
本小题分
已知，，，求证：
．
1.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查不等式的性质，属于基础题．
利用不等式的性质和取特值法一一判定即可．
【解答】
解：当，时，，选项中的不等式都不成立；故不正确；
对于，若，则，则，故正确；
对于，取 不等式不成立，故D不正确；
故选C．

2.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查了基本不等式在求最值问题中的应用．考查了考生综合运用基础知识的能力，属于基础题．
根据基本不等式可知，，进而根据的值求得答案．
【解答】
解：，，且，
由基本不等式可得，，
当且仅当时，等号成立，
故最大值为．
故选：．

3.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查不等式的大小比较，利用分子有理化，将根式进行化简是解决本题的关键．
利用分子有理化，结合不等式的性质比较大小，即可得到结论．
【解答】
解：，
，
，
，，
，
，
即，
故选B

4.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查充分、必要条件，基本不等式，属基础题目．
结合题干，利用基本不等式及充分、必要条件的定义判断即可．
【解答】
解：由题意，
而，
“”是“”的充分不必要条件，
故选A．

5.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查一元二次不等式的实际应用及一元二次不等式解法，属于基础题．
结合题意得到关于的不等式，解出即可．
【解答】
解：根据题意得：，
解得：或，
因为，，
故，，，，，，，，共个月．
故选A．

6.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了“乘法”与基本不等式的性质，属于基础题．
利用“乘法”与基本不等式的性质即可得出．
【解答】
解：正实数，满足，
则，
，
，
当且仅当且即，时取等号，
故选：．

7.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查利用不等式的基本性质判断不等关系，属于中档题．
取特殊值排除即可得解．
【解答】
解：取，，，，
则此时，
，
，
因为，
所以，
可排除，；
取，，，，
则此时，
可排除；
故选：．

8.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查一元二次不等式的解法，运用了分类讨论的数学思想方法，本题的易错点是容易忽略对的讨论．属于中档题．
对进行分类讨论，当时，恒成立，当时，利用二次函数的性质，列出不等关系式，求解即可得答案，最后求两种情况的并集即可．
【解答】
解：不等式的解集为，
当，即时，不等式为恒成立，故符合题意；
当，即时，不等式的解集为，
即不等式的解集为，
则，
解得，
故符合题意．
综合可得，实数的取值范围是．
故选B．

9.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查综合法与分析法、不等式的性质，属于中档题．
利用不等式的性质，结合放缩法证明，，结论成立，令，，，分别求出，比较大小可判断不成立，即可得出结论．
【解答】
解：，，
，
，
不等式右边全部成立；
A. ，成立；
B. 由可得：，成立；
C.，成立．
D.令，，，则，
，
即，不成立
故选D．

10.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了基本不等式，注意满足条件“一正二定三相等”，属于中档题．
将已知变形为，得到，展开后再根据基本不等式求出代数式的最小值即可．
【解答】
解：正数，满足，
，，，，
，
当且仅当 ，即，时“”成立，
故选B．

11.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查作差法比较大小，属于基础题．
做差可得，因为，，都是负数且互不相等，可得，即可得出结果．
【解答】
解：
，
因为，，都是负数且互不相等，
所以，即．
故选C．

12.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了必要条件、充分条件的判断和基本不等式，属于基础题．
由结合基本不等式得，当且仅当时等号成立，可得充分性成立通过取特殊值，得到必要性不成立，即可得出结论．
【解答】
解：因为，，所以，当且仅当时等号成立，
由可得，解得，当且仅当时等号成立，所以充分性成立
当时，取，，满足，但，所以必要性不成立．
所以“”是“”的充分不必要条件．
故选A．

13.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查不等式的实际应用，考查一元二次不等式的解法，属于中档题．
首先根据题意建立不等关系，再利用一元二次不等式的解法求解即可．
【解答】
解：由题意可知，，
化简得，，
，解得，
又每盏最低售价为元，
，
故选B．

14.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查了换元法的应用，以及利用基本不等式求最值问题，其中解答中合理利用换元法，以及准确利用基本不等式求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于拔高题．
设，解得，，又由，得，再利用基本不等式，即可求解其最小值．
【解答】
解：由题意，设，解得，，其中，，
，，整理得，
又由
，
当且仅当，即，
即时，等号成立，
的最小值为．
故选：．

15.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查不等式性质和基本不等式，属于较难题．
可利用不等式的性质和特殊值法即可求解；
【解答】
解：由，，得，当且仅当时，等号成立，故选项A恒成立
由，得选项B恒成立
由，得，
即，故选项C恒成立
取，，则不成立，故选项D不恒成立，
故选D．

16.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查了利用基本不等式求最值，考查计算能力和推理能力，难度较大．
由以及进行变形即可求解，注意等号成立的条件．
【解答】
解：由题意可得，，
，
当且仅当，即时取等号，
又，
，当且仅当时取等号，
，
，即，
，当且仅当且时取等号，
的最小值为．
故选C．

17.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查不等式的性质，属于基础题．
通过举反例说明选项A，B错误，通过不等式的性质判断出、D正确．
【解答】
解：例如，，此时满足，有，故A错误；
B.例如，，此时满足，但，故B错误；
C.由，得，由，得，故C正确；
D.因为，，所以，则满足，故D正确．
故选CD．

18.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查基本不等式的运用．
利用基本不等式逐项判断即可．
【解答】
解：对于，，当且仅当时取等号，所以A正确
对于，虽然，只能说明，同号，若，都小于时，不成立
，，，
当且仅当且时，即或时等号成立，C正确，
，，，当且仅当时等号成立，D正确．
故选ACD．

19.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了一元二次不等式的解法，属于中档题．
对的取值进行分类讨论，利用选项A，，，分别进行判断，然后即可得．
【解答】
解：对：当时，，
即，故A正确；
对：当时，
，
即，
所以或，故B正确；
对：当时，
，
即，
因为，
所以 ，故C正确；
对：当时，
，
即，
因为，
所以，故D错误．
故选ABC．

20.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查一元二次不等式恒成立问题，属于中档题；
当，符合题意时，由题意得即可求解；
【解答】
解：，即时，，符合题意
时，由题意得：
，
解得：
综上所述：，
故选BC

21.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查命题真假，用到了不等式性质，特值的思想方法，属于中档题．
选项是不等式，可以利用不等式性质，结合特例逐项判断，得出正确结果．
【解答】
解：时不成立；
B.若，则，；
，，
，故B正确；
C.若，
则
，故C正确；
若，，则，
所以，，故D正确．
故选BCD．

22.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查基本不等式的变形及应用．
根据基本不等式当且仅当时取等及不等式当且仅当时取等以及不等式的性质即可判断每个不等式是否成立，从而得出结果．
【解答】
解：对于，，当且仅当时等号同时成立，
而，故不一定成立；
对于，，当且仅当时取等号；
对于，，当且仅当时取等号；
对于，当，时，
，，，此时．
故选AD．

23.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系．
在同一平面直角坐标系中作出函数的图象及直线和，根据函数图象逐项判断即可．
【解答】
解：在同一平面直角坐标系中作出函数的图象及直线和，如图所示，
由图知，，从而当时，不等式的解集为，故A正确；
当时，不等式的解集为的形式，故B错误；
由的解集为，知，
因此当，时函数值都是，
由当时函数值是，得，解得或．
当时，由，解得或，不满足，不符合题意，
所以，由，解得或，满足，
此时，故C错误，D正确．
故选AD．

24.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了利用基本不等式求最值，属难题．
利用基本不等式结合已知变形所求式子即可得解．
【解答】
解：，，，，且，
，
当且仅当时取等号，
，故A正确；
，，，，且，
，
当且仅当时取等号，故B正确；
，，，，且，
，
由可知，
故，
当且仅当时取等号，故C正确；
，当时，，故D错误．
故选ABC．

25.【答案】
【解析】
【分析】
此题考查了分式不等式的解法，考查了转化的数学思想，是一道基础题．
把代入不等式中得到解集不是原题的解集，故不为，所以把不等式转化为大于，根据已知解集的特点即可求出的值．
【解答】
解：由不等式判断可得，
所以原不等式等价于，
由解集特点可得且，
则．
故答案为：

26.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了函数零点和一次和二次函数，属于基础题．
利用函数零点的概念，结合二次函数和一元二次方程的关系得结论．
【解答】
解：当时， 函数有且仅有一个零点，所以为所求，
当时，函数有且仅有一个零点，即方程有两个相等的根，
则，所以．
因此实数的取值为、 ．
故答案为 ，

27.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查基本不等式的运用，以及不等式恒成立问题解法，考查运算能力，属于中档题．
由基本不等式和“”的代换，可得的最小值，再由不等式恒成立思想可得小于等于最小值，解不等式可得所求范围．
【解答】
解：由，，，
可得，
当且仅当，上式取得等号，
由题意可得恒成立，
即有，解得．
故答案为．

28.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查一元二次不等式在实际问题中的应用，考查运算求解能力，属于较难题．
将代入每小时的油耗，解方程可得，由题意可得，解不等式可得的范围．
【解答】
解：设每小时的油耗所需要的汽油量为，
由题意可得，
当时，，
，
解得，
，
每小时的油耗不超过，
，
即，
解得，
又，
可得，
欲使每小时的油耗不超过升，的取值范围为，
故答案为．

29.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查一元二次不等式与分式不等式的解法，属于中档题．
先根据不等式的解集是，求出，的值，再代入分式不等式，转化为一元二次不等式，得到不等式的解集．
【解答】
解：因为不等式的解集是，
所以，且，解得，，
所以可转化为，
解得，
故答案为．

30.【答案】答案不唯一
【解析】
【分析】
设满足题意的一元二次不等式为，则由题可知，方程的两根分别为，，因此结合韦达定理即可找出系数之间的关系，从而写出满足题意的不等式．
本题主要考查一元二次不等式的解集与对应二次方程的根之间的关系，考查韦达定理的应用，属于中档题．
【解答】
解：设满足题意的一元二次不等式为，
因为不等式的解集为，
所以方程的两根分别为，，
所以
令，则，，
故满足题意的一个不等式为：答案不唯一．
故答案为：．

31.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了基本不等式的应用问题，考查了转化与化归能力．
依题意求，由，应用基本不等式，后两项通分化为关于的关系式，求得，使得恒成立，即可得出的最大值．
【解答】
解：由，时，，
所以，当且仅当时取等号，
所以，
解得；
又对于任意，，恒成立，
所以，即
所以的最大值为．
故答案为．

32.【答案】小学中级
【解析】
【分析】
本题主要考查合情推理的应用，结合不等式组，利用分类讨论的思想是解决本题的关键，属于难题．
设小学中级、小学高级、中学中级、中学高级人数分别为，，，，根据条件分别讨论队长的学段和职称是否满足题意即可．
【解答】
解：设职称为小学中级、小学高级、中学中级、中学高级的人数分别为，，，，
则，，，，，
，
，，
若，则，
，，，，，
若，则，
，，
，，，与已知矛盾；
队长为小学中级时，去掉队长则，，，，
满足，，，
队长为小学高级时，去掉队长则，，，，不满足
队长为中学中级时，去掉队长则，，，，不满足
队长为中学高级时，去掉队长则，，，，不满足
综上可得队长为小学中级．
故答案为小学中级．

33.【答案】解：选若，解得，不符合题意
若，解得，则符合题意将代入不等式整理得，解得或，故原不等式的解集为或．
选因为不等式的解集为，所以，解得，将代入不等式整理得，解得或，故原不等式的解集为或．
选由题得解得将代入不等式整理得，解得或，故原不等式的解集为或．
【解析】选，分两种情况：，或，求得的值，把值代入一元二次不等式，即可求得答案．
选，由，求得的值，把值代入一元二次不等式，即可求得答案．
选，由，求得的值，把值代入一元二次不等式，即可求得答案．
本题考查了集合的关系与不等式的解法和应用问题，是中档题．
34.【答案】证：，，为互不相等的正数，且，

．
故原不等式成立．

【解析】本题考查不等式的证明，属于基础题．
根据基本不等式以及题干已知可得 ， ，，即可得证．
35.【答案】解：Ⅰ由题意得：，是方程的根，
代入方程，解得，
故原不等式等价于，
解得：或，
所以不等式的解集为；
Ⅱ当时，原不等式可化为，解集为，
当时，原不等式可化为，
解集为，
当时，原不等式可化为，
当，即时，解集为；
当，即时，解集为；
当，即时，解集为．
【解析】本题考查了解不等式问题，考查分类讨论思想，转化思想，属于基础题．
Ⅰ根据不等式和方程发关系求出的值，代入不等式，求出不等式的解集即可；
Ⅱ通过讨论的范围，求出不等式的解集即可．
36.【答案】解：，
，
又，
，
则，
，则，
当且仅当，时等号成立，
的最小值为．
由题意，
，
，，
，当且仅当时等号成立，
，
，
的最大值为．
【解析】本题主要考查了利用基本不等式求最值，属于基础题．
由题意，又，则，则，可得结果．
本题主要考查了利用基本不等式求最值，属于较易题．
由题意，，则，则，即可求解．
37.【答案】解：该宣传单的面积为，
由题意可得，
解得，
又，
故；
设，则，
则该宣传单的面积为
，
当且仅当，即时等号成立，
故当长，才能使纸的用量最少．
【解析】本题考查一元二次不等式的解法，考查利用基本不等式求最值，属于中档题．
由题意得到，求解即可；
设，则，则该宣传单的面积为，利用基本不等式求解即可．
38.【答案】解：不等式的解集为，
方程的两根是，．
则，解得，，
又当时，不等式的解集不可能为，
不存在实数，使不等式的解集是
，．
对于方程，
，
方程有两个不相等的实数根．
又方程在上恰有一个实数根，
，
解得，又，．
【解析】本题考查二次函数、二次方程、二次不等式之间的关系．
由一元二次不等式的解法可知的两根是，利用根与系数之间的关系求出，的值进行检验即可求解；
将代入原方程得：，由该方程的可知有两个不等的实数根，再由零点存在性定理列不等式，结合即可求解．
39.【答案】解：当时，不等式化为，解得或，
或，又，
或；
若选择条件．
是的充分不必要条件，即，
，或，
则或，，
从而，
，即；
若选择条件．
是的充分不必要条件，即，
由，得或，
或，，
从而，，
，即．
【解析】本题考查不等式的解法，考查集合的运算，考查充分不必要条件的判定及应用，考查数学转化思想，是中档题．
把代入一元二次不等式，求解化简，再由交集运算得答案；
分别选择条件，由是的充分不必要条件，可得集合间的关系，转化为关于的不等式组求解．
40.【答案】 证明：
，
当且仅当“”时取等号．
，
当且仅当“”时取等号．
，
所以
当且仅当“”时取等号．

【解析】本题考查利用基本不等式证明不等式，属于中档题．
根据已知，不等式转化为即可得证；
不等式转化为得证；
不等式转化为得证．
41.【答案】解：因为不等式的解集为，
所以方程的解为或且，
则有
解得，或舍，
所以，．
因为，，
则原不等式为，
即有，
因为，
不等式的解集为．
【解析】本题主要考查了一元二次不等式的解法．
根据题意可得方程的解为或，，即可得出，；
由知原不等式为，即有，结合，即可得出原不等式的解集．
42.【答案】解：，所以，，
则，
所以，
当且仅当，即当时，等号成立，
因此，的最小值为，
设，则，
所以，
当且仅当时取得等号．
所以函数的最小值是
因为，且，
由基本不等式，可得，当且仅当时，等号成立；
，当且仅当时，等号成立；
，当且仅当时，等号成立；
所以，
即，且当仅当时，等号成立，
因为，
所以．
即，
即，则不等式得证．

【解析】本题主要考查利用基本不等式求最值，以及不等式的证明．
由已知，则，由基本不等式可求得最值；
设，则，所以，由基本不等式可求得最值
结合基本不等式可得，从而得证．
43.【答案】解： 动员 户农民从事水果加工后，
要使从事水果种植的农民的总年收入不低于动员前从事水果种植的农民的总年收入，
则 ，
解得 ．
由于从事水果加工的农民的总收入始终不高于从事水果种植的农民的总收入，
则 ， ，
化简得 ， ，
由于，
当且仅当即 时等号成立，
所以 ，
所以的最大值为
【解析】本题考查利用基本不等式解决实际问题．
由题意列式得 ，解出 即可；
由于从事水果加工的农民的总收入始终不高于从事水果种植的农民的总收入，则化简得 ，，利用基本不等式求最值即可．
44.【答案】解：令，则，
由，
则结合可得，
而，若，则，与前面矛盾，
故，即，所以，
又由，所以，，
即，
又，则可得，化简可得，
故，
所以，得，从而，即．
由知，所以，
又因为，所以，即．
【解析】本题考查换元思想、不等式的综合应用，属于难题．
利用换元法以及不等式即可证明．
结合第一问证明得到的结论，利用条件即可证明要求的结论．
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