高中数学人教A版（2019）必修第一册3.1.2函数的表示法（含解析）

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
已知，，下列图形能表示以为定义域，为值域的函数的是( )
A. B.
C. D.
小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间，后为了赶时间加快速度行驶．与以上事件吻合得最好的图象是( )
A. B.
C. D.
函数的图象是( )
A. B.
C. D.
函数的图象的大致形状是( )
A. B. C. D.
已知函数，使函数值为的的值是( )
A. B. 或 C. 或 D. 或或
设，则的值是( )
A. B. C. D.
设，若，则( )
A. B. C. D.
已知，则如图中函数的图像错误的是( )
A. B.
C. D.
二、填空题（本大题共5小题，共25.0分）
一次社会实践活动中，数学应用调研小组在某厂办公室看到该厂年来某种产品的总产量与时间年的函数图象如图以下给出了关于该产品生产状况的几点判断：
前三年的年产量逐步增加；
前三年的年产量逐步减少；
后两年的年产量与第三年的年产量相同；
后两年均没有生产．
其中正确判断的序号是 ．
设函数，则 ．
设函数则不等式的解集是 ．
已知函数，分别由下表给出
则满足的为 ．
若函数满足方程，则 ．
三、解答题（本大题共7小题，共84.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
本小题分
已知函数为二次函数，若，且，试求的表达式．
本小题分
若对恒有，求．
本小题分
作出下列函数的图象：
；
．
本小题分
用分段函数表示并作出其图象，指出函数的定义域、值域．
本小题分
已知函数．
当时，求函数的解析式；
当时，求函数的解析式．
本小题分
已知函数，．
在平面直角坐标系里作出、的图象．
，用表示、中的较小者，记作，请用图象法和解析法表示．
本小题分
如图是边长为的正三角形，记位于直线左侧的图形的面积为．
试求函数的解析式；
画出函数图象．
1.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查函数的概念和定义域、值域，属于基础题．
由题意结合函数的概念逐个选项进行分析即可．
【解答】
解：是函数图象，其值域为，故不符合题意；
是函数的图象，定义域为，值域为，故符合题意；
是函数图象，值域为，故不符合题意；
是函数图象，值域为，故不符合题意．
故选B．

2.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查函数的表示方法--图象法，正确解答本题关键是理解坐标系的度量与小明上学的运动特征，属于基础题．
解答本题，可先研究四个选项中图象的特征，再对照小明上学路上的运动特征，两者对应即可选出正确选项．
【解答】
解：观察四个选项，横坐标表示时间，纵坐标表示的是距学校的距离，由此知，此函数图象一定是下降的，由此排除；
再由小明骑车上学，开始时匀速行驶可得出图象开始一段是直线下降型，又途中因交通堵塞停留了一段时间，故此时有一段函数图象与轴平行，由此排除，之后为了赶时间加快速度行驶，此一段时间段内函数图象下降的比较快，由此可确定C正确，不正确．
故选C

3.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查函数图象的平移、对称变换，以及学生的作图能力．
把函数先向右平移一个单位，再关于轴对称，再向上平移一个单位即可．
【解答】
解：把 的图象向右平移一个单位得到的图象，
把的图象关于轴对称得到的图象，
把的图象向上平移一个单位得到的图象，
故选：．

4.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查由函数解析式确定函数图象，属于基础题目．
利用分段函数表示出函数，得出函数图象即可．
【解答】
解：因为
所以函数的图象为选项C．
故选C．

5.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查分段函数求值，属基础题．
直接利用分段函数解析式进行求值即可．
【解答】
解：因为
当时，，得，
又，所以，
当时，，得舍去
故的值为，
故选 A．

6.【答案】
【解析】
【分析】
本题以分段函数为载体，考查函数的解析式以及函数值的计算，属于较难题．
根据题意代值计算即可．
【解答】
解：由题意，而，
计算可知
所以
从而
故选A．

7.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查分段函数的应用，考查转化思想分类讨论以及计算能力．属于基础题．
利用已知条件，求出的值，然后求解所求的表达式的值即可．
【解答】
解：当时，，，，
，
，解得或舍去．
．
当时，，
，，
，无解．
当时，，，，不符合题意．
综上，．
故选C．

8.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查函数图象的平移、对称变换，函数图象的识别，属于中档题．
先画出的函数图像，再根据图像变换可得正确的选项．
【解答】
解：因为，其图像如图所示：
要得到的图像，只要把的图像向右平移一个单位即可，故A正确；
要得到的图像，只要把的图像关于轴对称即可，故B正确；
要得到的图像，只要把的图像的左边部分去掉，再把右边部分关于对称，左边部分和右边部分合在一起即为所求图像，故C正确；
要得到的图像，只要把的图像在轴下方的图像翻折到上方即可，故D错误，
故选D．

9.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了函数图象的意义，属于基础题．
根据总产量的增长速度得出年产量的变化情况，得出答案．
【解答】
解：由图象可知前年总产量增加速度越来越慢，
而前三年的年产量逐步减少，
由于后年总产量不变，故而后年产量为，
故答案为：．

10.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查分段函数求值，属于基础题．
根据所给的函数解析式，代入求解，即可得到答案．
【解答】
解：因为函数，
所以．
故答案为．

11.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查分段函数，一元二次不等式的解法和应用，属于中档题．
把代入解析式得，分和两种情况解不等式．
【解答】
解：因为函数
所以，
当时，由，可得，
即，解得或，
因为，所以或，
当时，由，可得，
解得，
所以，
综上，或，
故答案为

12.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查函数的表示法：表格法；结合表格求函数值：先求内函数的值，再求外函数的值．
结合表格，先求出内函数的函数值，再求出外函数的函数值；分别将，，代入，，判断出满足的的值．
【解答】
解：当时，，，不满足，
当时，，，满足，
当时，，，不满足，
故满足的的值是，
故答案为：．

13.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查函数的解析式的求法，考查计算能力．
通过构造方程组直接求解函数的解析式即可．
【解答】
解：，，
，，
可得，
可得．
故答案为．

14.【答案】解：设，，
，
，
即，
，
，
即，
则，
即且，
即，且，
则
【解析】本题主要考查函数解析式的求解，根据一元二次函数的性质，利用待定系数法是解决本题的关键．
利用待定系数法进行求解即可．
15.【答案】解：因为，
将中的换为，得，
联立可得，．
故，
【解析】本题主要考查了利用解方程法求函数解析式，属于基础题．
由，将换为，联立可求．
16.【答案】解：
其图象如下图所示：
其图象如下图所示：

【解析】本题考查具体函数的图象，属于中档题．
去绝对值，得，进而画出函数的图象即可；
去绝对值，得，进而画出函数的图象即可．
17.【答案】解：由题意得，，定义域是，值域是．

【解析】本题主要考查绝对值函数转化为分段函数，研究其图象和性质．还考查了数形结合的思想与方法，属于基础题将绝对值函数转化为分段函数，根据函数解析式画出图象，根据图象，定义域即看横轴覆盖部分，值域即看纵轴覆盖部分．
18.【答案】解：由题意，得当时，，
所以，
即函数的解析式为．
由题意，得当时，，
所以，
即函数的解析式为．

【解析】当时，，将代入当时的解析式即可；
当时，，将代入当时的解析式即可．
本题考查分段函数的求解，考查复合函数解析式，分段函数问题的求解就是“分段求解”，即根据自变量的取值范围，选择相应的解析式来求解．
19.【答案】解：
．
则对应的图象如图：
函数的图象如图：
解析式为．

【解析】化简函数、的解析式，由此可作出这两个函数的图象；
根据函数的意义可作出该函数的图象，并结合图象可求出函数的解析式；
本题考查函数的解析式及函数的图像，当不等式问题不能用代数法求解或用代数法求解比较困难时，但其对应函数的图象可作出时，常将不等式问题转化为图象的位置关系问题，从而利用数形结合思想求解．
20.【答案】解：如图过点作直线垂直于轴交轴于点．
当时，
如图，设直线与分别交于两点，则，
又，，
；
当时，
如图，设直线与分别交于两点，则，
又，，
；
当时，；
综上所述；
图像如图：

【解析】本题考查利用分段函数模型解决实际问题．
在求的解析式时，关键是要根据图象，对的取值进行恰当的分类，然后分类讨论，进行求解即可；
根据解析式画出函数的图象．
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