鲁教版（五四制）数学七年级下册 7.3 二元一次方程组的应用 教案

二元一次方程组的应用
【课时安排】
3课时
【第一课时】
【教学目标】
（一）使学生初步掌握列二元一次方程组解应用题。
（二）通过将实际问题转化成纯数学问题的应用训练，培养学生分析问题、解决问题的能力。
（三）通过对祖国文明史的了解，培养学生爱国主义精神，树立为中华崛起而学习的信心。
【教学重难点】
一、重点。
根据等量关系列二元一次方程组解应用题。
二、难点。
根据题意找出等量关系，列出方程。
【教学过程】
一、以历史背景引课。
我们伟大祖国具有五千年的文明史，在历史的长河中，为科学知识的创新和发展做出了巨大的贡献，特别在数学领域有[九章算术]、[孙子算经]等古代名著流传于世，普及趋于民众，许多问题浅显易懂，趣味性强，如[九章算术]下卷第三题目“雉兔同笼”等，漂洋过海传到了日本等国，对中国古代文明史的传播起了很大作用。
“雉兔同笼”题为：“今有雉兔同笼，上有三十五关，下有九十四足，问雉兔各几何？”
问题1：“上有三十五头”指的意思是什么？“下有九十四足”呢？
答：“上有三十五头”指的鸡和兔共有三十五个头，“下有九十四足”指的是鸡和兔共有九十四只脚。
这个古老的数学问题，用今天的方程解决，体现了古为今用的原则，为后人理解了数学的过去和现在，当代的著名的数学家陈省生教授在说起“鸡兔同笼”时，曾另有一番别有风趣的延伸：“全体鸡兔立正，兔子提起前面的两只脚，请问现在共有几只脚？”
二、畅所欲言。
从上面的问题的解决中，你得到了什么感悟，有什么收获？请与同学们交流。
用方程组解决实际问题时应该注意下列几个问题：
认真读题和审题，弄清古代问题的现实意义；
正确设出未知数；
找出相等关系，并列出方程组。
解此方程组。
写出答案。
三、动手动脑，练一练。
（一）古代有一个捕快，一天晚上他在野外的一个茅屋里，听到外边来了一群人，在分赃，在吵闹，他隐隐约约地听到几个声音，下面有这一古诗为证：
隔壁听到人分银，不知人数不知银。只知每人五两多六两，每人六两少五两，问你多少人数多少银？
（二）“今有牛五、羊二、直金十两，牛二、羊五，直金八两，牛、羊各直金几何？”
四、课堂小结，理一理
经过本节课的学习，你有什么收获和体会？
【第二课时】
【教学目标】
一、目标。
（一）会正确地运用表格分析与“增收节支”相似一类问题的数量关系，会列二元一次方程组这类问题。
（二）培养学生分析问题和解决问题的能力。
（三）让学生进一步经历和体验列方程组解决实际问题的过程，体会方程（组）是刻画现实世界的有效数学模型，培养学生的数学应用能力。
【教学重难点】
会正确地运用表格分析与“增收节支”相似一类问题的数量关系，会列二元一次方程组这类问题。
【教学过程】
一、议一议。
（一）增长（亏损）率问题的公式？
原量（1+增长率）=新量，或原量（1-亏损率）=新量。
（二）银行利率问题中的公式？
利息=本金×利率×期数，本息和本金+利息。
二、做一做。
（1）某工厂去年的利润（总产值-总支出）为200万元，今年总产值比去年增加了20%，总支出比去年减少了10%，今年的利润为780万元，去年的总产值、总支出各是多少万元？
设去年的总产值为x万元，总支出为y万元，则有
总产值/万元 总支出/万元 利润/万元
去年 x y 200
今年
（小组讨论，完成上表）
总产值/万元 总支出/万元 利润/万元
去年 x y 200
今年 （1+20%）x （1-10%）y 780
根据题意得：，解之得：。
答：去年的总产值为2000万元，总支出1800万元，
变式：若条件不变，求今年的总产值、总支出各是多少万元？
简析：如果设今年的总产值为x万元，总支出为y万元，则：
让学生动手解这个方程组，体验这种解法的繁琐，再让学生探索，受上例的启发，应该设间接未知数，设去年的总产值勤x万元，总支出为y万元，计算方便。
医院用甲、乙两种原料为手术后的病人配制营养品，每克甲原料含0.5单位蛋白质和1单位铁质，每克乙原料含0.7单位蛋白质和0.4单位铁质，若病人每餐需要35单位蛋白质和40单位铁质，那么每餐甲、乙两种原料各多少克恰好满足病人的需要？
解：设每餐需甲、乙两种原料各x、y克，则有下表：
甲原料各x克 乙原料各y克 所配制营养品
其中所含营养品 0.5x单位 0.7y单位 (0.5x+0.7y)单位
其中所含铁质 x单位 0.4y单位 (x+0.4y)单位
根据题意，可得方程组：
0.5x+0.7y=35
x+0.4y=40
化简，得，
5x+7y=350 ①
5x+2y=200 ②
①－②，得5y=150，y=30；
将y=30代入①，得x=28。
所以每餐需要甲原料28克、乙原料30克。
解此题需要注意以下两点：
（一）甲（乙）原料所含蛋白质（铁质）=甲（乙）原料的质量×每克所含蛋白质（铁质）的含量。
（二）甲原料所含蛋白质（铁质）+乙原料所含蛋白质（铁质）=营养品所含蛋白质（铁质）。
（2）甲、乙两相距6千米，两人同时出发，同向而行，甲3小时可追上乙；相向而行，1小时相遇，两人的平均速度各是多少？
解：设甲的平均速度是每小时行x千米，乙的平均速度是每小时行y，根据题意，得：
；
解这个方程组，得：。
答：平均每小时甲行4千米，乙行2千米。
四、小结。
（一）做应用题时应强调列表分析数量关系的重要性。
（二）设未知数有两种方法：
1．直接设元。
2．间接设元，当直接设元较繁时应间接设元。
（三）教后感：让学生进一步经历和体验列方程组解决实际问题的过程，体会方程（组）是刻画现实世界的有效数学模型，培养学生的数学应用能力。正确地运用表格分析与“增收节支”相似一类问题的数量关系，会列二元一次方程组这类问题。
【第三课时】
【教学目标】
一、教学知识点。
（一）用二元一次方程组解决“里程碑上的数”这一有趣场景中的数字问题和行程问题。
（二）归纳出用二元一次方程组解决实际问题的一般步骤。
二、能力训练要求。
（一）让学生进一步经历和体验列方程组解决实际问题的过程，体会方程(组)是刻画现实世界的有效数学模型。
（二）初步体会列方程组解决实际问题的一般步骤。
三、情感与价值观要求。
（一）“里程碑上的数”这一场景既是一个数字问题，又和行程有关。相对而言有一定难度，让学生体验把复杂问题化为简单问题策略的同时，培养学生克服困难的意志和勇气。
（二）鼓励学生合作交流，培养学生的团队精神。
【教学重难点】
一、重点。
（一）用二元一次方程组刻画数学问题和行程问题。
（二）初步体会列方程组解决实际问题的步骤。
二、难点。
将实际问题转化成二元一次方程组的数学模型。
【教学方法】
引导——讨论——发现法。
【教学过程】
一、创设情境，引入新课。
（一）出示：
［问题1］1．一个两位数，个位数字是a，十位数字是b，那么这个数可表示为_________；如果交换个位和十位上的数字，得到一个新的两位数可表示为_________。2．有两个两位数x和y，如果将x放在y的左边，就得到一个四位数，那么这个四位数就可以表示为_________；如果将x放在y的右边，得到一个新的四位数，那么这个新的四位数又可表示为_________。3．一个两位数，个位上的数为m，十位上的数为n，如果在它们之间添上一个零，就得到一个三位数，用代数式表示这个三位数为_________。
［师生共析］
1．个位上的数字是a，即有a个1，十位数字是b个10，所以这个两位数是b个10和a个1的和即10b+a；如果交换它们的位置，得到一个新的两位数，即a个10与b个1的和即10a+b。
2．两位数x放在两位数y的左边，组成一个四位数，这时，x的个位数就变成了百位，十位数就变成了千位，因此这个四位数里含有x个100，而两位数y在四位数中数位没有变化，因此这个四位数中还含有y个1。因此用x、y表示这个四位数为100x+y。同理，如果将x放在y的右边，得到一个新的四位数为100y+x。
3．一个两位数，个位上的数是m，十位上的数是n，如果在它们之间添上零，十位上的几便成了百位上的数。因此这个三位数是由n个100，0个10，m个1组成的，用代数式表示这个三位数即为100n+m。
［师］下面我们就用上面几个小知识解决下面的综合性问题。
二、讲援新课。
［师］翻开课本，我们来研究“里程碑上的数”。同学们先阅读课本上的第一段文字及文字下的三幅图片，然后我请一位同学陈述一下问题的内容。
［生］这个问题讲的是：小明的爸爸骑着摩托车带着小明在公路上匀速行驶。小明在12∶00时看到的里程碑上的数是一个两位数，它的两个数字之和是7；在13∶00时看到的里程碑上的数十位与个位数字与12∶00时看到的正好颠倒了；在14∶00时小明看到的里程碑上的数比12∶00时看到的两位数中间多个0。试确定小明12∶00时看到里程碑上的数。
［师］我们可以注意到“里程碑上的数”这一场景是非常有趣的，它既是一个数字问题，又和行程有关，同时，相对而言又有一定的难度。但我们知道一个复杂的问题往往是由几个简单的问题组合而成的，要想求出12∶00时小明看到的里程碑上的数，就得确定这个两位数个位和十位上的数字。我们不妨设小明在12∶00时看到的数十位数字是x，个位数字是y，根据题意，你能将12∶00、13∶00、14∶00时小明看到的里程碑上的数表示出来吗？
［生］小明12∶00时看到的里程碑上的数可以表示为10x+y；13∶00时看到的里程碑上的数可表示为10y+x；14∶00时看到的里程碑上的数可表示为100x+y。
［师］我们要想求出x、y的值，就得建立关于x、y的二元一次方程组这样的数学模型，为此，我们必须找出题目中的等量关系。
［生］12∶00时小明看到的里程碑上的数，它的两个数字之和是7，于是我们可得到一个等量关系，用x，y表示即为x+y=7。
［生］从题目中，我们还可以注意到小明的爸爸骑摩托车带着小明在公路上是匀速行驶的。说明12∶00～13∶00与13∶00～14∶00两段时间内所行驶的路程相等。现在我们最关键的是用x、y表示出12∶00～13∶00时间段所行驶的路程，13∶00～14∶00时间段所行驶的路程。
［生］根据12∶00、13∶00、14∶00时小明看到的里程碑上的数可得：12∶00～13∶00间摩托车行驶的路程为(10y+x)－(10x+y)；13：00～14：00间摩托车行驶的路程为(100x+y)－(10y+x)。因此可列出相应的方程为(10y+x)－(10x+y)=(100x+y)－(10y+x)。
［师］根据以上分析，同学们在练习本上列出方程组，解出方程组的解。
（由两位同学黑板上板演）。
解：设小明在12∶00时看到的十位数字是x，个位数字是y，根据题意，得方程组：
。
化简，得：
把②代入①，得：x=1；
把x=1代入②，得y=6；
所以，这个方程组的解为。
因此，小明在12：00时看到的里程碑上的数是16。
［师］从对上述问题的求解过程，我们可以得到一点启示：遇到较复杂的问题，我们通过把它化解为几个简单问题去分析，可以使思路清晰，使复杂问题在化解的过程中迎刃而解，下面我们再来看一下例题。
出示：
两个两位数的和是68，在较大的两位数的右边接着写较小的两位数，得到一个四位数；在较大的两位数的左边写上较小的两位数，也得到一个四位数。已知前一个四位数比后一个四位数大2718，求这两个两位数。
分析1．本题目中的两个等量关系为：较大的两位数+较小的两位数=68；前一个四位数－后一个四位数=2178。
2．设较大的两位数为x，较小的两位数为y，在较大的数的右边接着写较小的数，所写的数可表示为100x+y；在较大的数左边写上较小的数，所写的数可表示为100y+x。
解：设较大的两位数为x，较小的两位数为y，则
；
化简，得：
；
即；
解该方程组，得：
；
所以这两个两位数分别是45和23。
三、课时小结。
列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤是怎样的？
（引导学生回顾本章各个问题的解决过程，归纳出列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤。不一定要明晰一个十分具体的步骤。只要学生了解这个过程即可，不必要求学生回答规范化、统一化。）
［师生共同分析］
列二元一次方程组解应用题的主要步骤：
1．弄清题意和题目中的等量关系。用字母表示题目中的两个未知数。
2．找出能够表示应用题全部含义的两个相等关系。
3．根据这两个相等关系列出需要的代数式，从而列出方程并组成方程组。
4．解这个方程组并求出未知数的值。
5．根据应用题的实际意义，检查求得的结果是否合理？
6．写出符合题意的解释。
四、活动与探究。
北京和上海能制造同型号电子计算机，除本地使用外，北京支援外地10台，上海可支援外地4台，现在决定给重庆8台，武汉6台，每台运费如表所示。现在有一种调运方案的总运费为7600元。问：这种调运方案中北京、上海分别应调给武汉、重庆各多少台？
武汉 重庆
北京 4 8
上海 3 5
过程：如果设这种调运方案中北京应调x台到武汉，y台到重庆；上海则应调(6－x)台到武汉，(8－y)台到重庆。由每台运费的表格可知：
北京—→武汉，费用需4x百元。
北京—→重庆，费用需8y百元。
上海—→武汉，费用需3(6－x)百元。
上海—→重庆，费用需5(8－y)百元。
合计7600元即76百元。
结果：解：设这种调运方案中北京应调x台到武汉，y台到重庆；上海应调(6－x)台到武汉，(8－y)台到重庆，根据题意，得：
；
化简得；
解得。
所以从北京调6台到武汉，4台到重庆；上海不用给武汉调，只需给重庆调4台。
① ②
终
点
起
点
9 / 9