反比例函数[上学期]

北师大版九（上）第五章第一节-----反比例函数
课题：反比例函数
双流中学实验学校 陈国华
一、教材分析：
函数是在探索具体问题中数量关系和变化规律的基础上抽象出来的数学概念，是研究现实世界变化规律的重要内容和数学模型，在学生对函数已有认识的基础上，通过具体事例中量与量的关系分析，理解反比例函数的意义，从形式上形成反比例函数的概念.
学生曾在七年级下册和八年级上册学习过“变量之间的关系”和“一次函数”等内容，对函数已有了初步的认识.整个初中阶段“函数”概念的学习是呈螺旋上升的，这里的“反比例函数”在这个螺旋体系中扮演者重要的角色，不仅是本章学习反比例函数的图象与性质、反比例函数的应用的基础，而且可以进一步领悟函数的概念，并积累研究函数性质的方法及用函数观点处理实际问题的经验，为后继学习二次函数、高中阶段学习其他初等函数等产生积极的影响.
教学目标：
1.知识与技能目标：
（1）从现实情境和学生已有的知识经验出发，讨论两个变量之间的相互关系，加深对函数概念的理解.
（2）经历抽象反比例函数概念的过程，领会反比例函数的意义，理解反比例函数的概念.
（3）能根据具体问题中的条件，求出反比例函数关系式.
2.过程与方法目标：
经历分析具体实例，形成反比例函数的概念的过程，让学生初步体会从具体到抽象的数学思考方法.
3.情感、态度与价值观目标：
通过具体实例分析突破抽象概念难点，让学生树立学好函数的信心和决心；同时体验数学活动与人类生活的密切联系.
教学重点、难点：
教学重点：通过具体实例分析形成反比例函数的概念．（确立依据：课标对本部分的要求，以及本节教学目标.）
教学难点：结合具体情境理解反比例函数的意义．（确立依据：标和学生已有的认知水平）
突出重点于突破难点的策略：设置四个有效的学生活动，从现实情境入手，探索两个变量之间的相依关系，理解反比例函数的意义，概括反比例函数的概念，实现具体到抽象的跨跃.
二、学情分析：
学生已有的认知结构是：曾在七年级下册和八年级上册学习过“变量之间的关系”和“一次函数”等内容，对函数已有了初步的认识，所以学生是有能力有基础研究反比例函数的.但另一方面，反比例函数的概念比较抽象，这个年龄段的学生对于抽象概念的理解是有困难的.学生学习“函数”“一次函数”时也遇到了同样的困难.进行教学时，引进学生熟知的、感兴趣的反比例函数实例，通过对这些实例的探究，分析量与量间的关系，把感性认识上升到理性认识，实现具体问题到数学概念的飞跃.
三、教法与学法分析：
教法：由于概念比较生疏，理解比较困难，所以教学中教师应通过创设情境，组织学生活动，在活动中师生共同探究、学生合作交流，逐步加深对反比例函数的意义的理解；教师的作用是一个组织者、引导者和合作者的作用.因而采用师生共同探究的教法.
学法：数学的学习应该是一个自主学习的过程，学生具有一定的学习基础，但对抽象概念的理解有一定的困难，因而在整个过程中引导学生动手实践、自主探究、合作交流.
教学媒体：多媒体课件、实物投影仪.
四、教学程序：
（1）教学流程
（2）教学过程
程序 教学内容及教师活动 学生活动 设计意图
㈠创设问题情 境 为了体验红军生活，二十多个青年组团沿红军当年长征的路线前进，途中遇到了一片几十米的沼泽地，怎样才能安全的通过这片沼泽地呢？他们是这样做的：他们沿前进路线铺垫了若干块木板，构成了一条临时通道，从而顺利完成了任务.你能解释其中的道理吗？当人和木板的压力一定时，随着木板面积S（m2）的变化，人和木板对地面的压强P（Pa）将如何变化？从今天开始我们将从数学的角度研究这些问题——反比例函数. 听故事，思考故事中的问题，并顺理成章进入新课学习. 利用多媒体技术，通过一个学生感兴趣的情境问题，引起学生的思考，激发学生的求知欲，并把学生的注意力吸引到课堂，变“要我学”为“我要学”.
㈡经历探究活动，形成数学概念 活动一：学生动手操作：改变滑动变阻器上滑片的位置，调节灯光的明暗.提问:你知道其中的奥妙吗？提示：我们知道，电流I、电阻R、电压U之间满足关系式U=IR，当U=220V时，（1）请你用含有R的代数式表示I；（2）利用你写出的关系式完成下表：R/Ω20406080100I/A学生填表完成，提出当R越来越大时，I是怎样变化的？当R越来越小呢？（3）变量I是R的函数吗？为什么？活动二：我班羊小聪同学家是双流养殖麻羊的大户，由于每年都要举办“双流麻羊节”，他家的麻羊年年供不应求.今年爸爸决定扩大养殖规模，需要建造一个100平方米的长方形羊圈，你能帮他设计吗？分析长方形的长y(m)与宽x(m)之间的关系.（1）请你用含有x的代数式表示y；（2）利用你写出的关系式完成下表：X45102050Y学生填表完成，提出当x越来越大时，y是怎样变化的？（3）变量y是x的函数吗？为什么？ 1.参与活动，感受变化.根据公式和题设可得：.通过计算，知道当R变大时，电流I变小，当R变小时，电流I变大，感受I是R的变化关系.根据函数的定义，对于每一个确定的R的值，I都有唯一确定的值与之对应，所以I是R的函数.2.分析情境中的问题，计算，填表，感知和理解y与x之间的函数关系. 整个过程设计四个学生活动，让学生在活动中逐步抽象出反比例函数的概念.活动一是探究物理学中的电流与电阻的关系，活动二是探究面积一定的长方形“羊圈”的长和宽之间的关系.两个活动都是从学生熟知的来自生活的具体事例，学生在活动中逐渐变具体为抽象，把看似枯燥无味的数学概念变成有声有色、有血有肉的具体事例.
活动三：学生分组讨论交流：数学来源于生活，请同学们在生活中找出类似的例子.分组讨论交流. 学生可以引进的实例，如：①小明家到学校有5km，小明骑车从家到学校走完全程需要的时间t(h)与骑车的速度v（km/h）之间的关系. ② 食堂有1000千克大米，这些大米所用的天数y（天）与平均每天用大米的质量x（千克）之间的关系.活动四：形成反比例函数的概念.提出问题：①前面这些变量之间的关系具有什么特点？引导学生得出：两个变量的乘积等于非零常数．②如何给反比例函数下定义？ 教师总结并和学生一起探索出反比例函数的概念：一般地，如果两个变量x，y之间的关系可以表示成：的形式，那么称y是x的反比例函数.提问：①其中k可以取哪些数？强调在理解概念时要注意：常数K≠0；②自变量x可以取哪些数？任意非零值. 3.根据前面的例子，举一反三，鼓励学生畅所欲言，在学生打不开思路时，可以适时引导. 4．思考和回答问题，尝试给反比例函数下定义.学生可能会从量的变化关系的角度进行定义，应给与鼓励，并引导学生从函数形式角度定义. 活动三是让学生类比列举身边的具体事例，通过大量的具体的实例分析，达到理解反比例函数意义的教学目的；同时把数学知识生活化，使学生学习“自己身边的数学”.活动四是尝试给反比例函数下定义，这一个比较抽象的过程，但通过前面的具体事例分析，了解这些量都有一个共同特点：积为非0常数，在此基础上再从形式上给反比例函数下定义，就克服克服可这个困难.
㈢强化认识概念 1. 有奖抢答题：下列函数表达式中，x均表示自变量，那么哪些是反比例函数，如果是请在括号内填上k的值，如果不是，请填上“不是”①；（ ） ②；（ ） ③； （ ） ④（ ）⑤；（ ）⑥（ ）（找一个同学主持，教师（评委）给与点评）2. 做一做:（1）某村有耕地346.2公顷，人口数量n逐年发生变化，那么该村人均占有耕地面积m（公顷/人）是全村人口数n的函数吗？为什么？（2）y是x的反比例函数，下表给出了x与y的一些值：X-2-113Y2-1（1）写出这个反比例函数的表达式；（2）根据表达式完成上表. （现场观测：教师巡视个别辅导，学生完毕教师给予评价.） 1.积极参与小组有奖竞赛活动.当可写为时注意x的指数为　－1.2.独立思考，完成“做一做”，由定义不难看出，k可以从两个变量相对应的任意一对对应值的积来求得，只要k确定了，这个函数就确定了. 通过小组竞赛活动，活跃课堂气氛，轻轻松松学数学；通过这个活动，认清反比例函数的“脸”，为后继学习待定系数法确定解析式打下伏笔.“做一做”第一题旨在强化函数和反比例函数的概念，体会反比例函数的的实际意义；第二题进一步明确：确定一个反比例函数关系的关键是求得非零常数k的值.同时初步体会函数表达式与表格之间的相互转化.
㈣知识小结 通过本节课的学习，你有哪些收获？1．数学知识：2．数学方法：3.学习方法： （对于参与的学生给予鼓励，适当评价.） 积极思考、总结，大胆发言. 培养学生分析、归纳概括能力，训练语言表达能力，照应开头，有始有终.
㈤反馈与应用 1. 当m 时，是反比例函数.2.你能解释这节课开始提出的问题吗？当人和木板的压力一定时，随着木板面积S（m2）的变化，人和木板对地面的压强P（Pa）将如何变化？它们之间有什么关系？写出关系式，并判断它是不是反比例函数. 学生独立完成练习，教师巡视，辅导. 检测学生是否认识了反比例函数的表示形式，检测学生能否在具体情境中写出反比例函数表达式.照应开头，有始有终，善始善终.
㈥板书设计
㈦作业设 计 1、下列函数表达式中，x均表示自变量，那么哪些是反比例函数？每一个反比例函数相应的k值是多少？（1）（2）（3）（4）（5）2、近视眼镜的度数y（度）与焦距x（米）成反比例，已知400度的近视眼镜镜片的焦距为0.25米，则眼镜的度数y（度）与焦距x（米）之间的关系是什么？写出关系式.3．学习了反比例函数，请你仿照课本中的例子，另举一个在日常生活、生产或学习中具有反比例函数关系的量的实例，并写出它的函数关系式. 第1题旨在检测反比例函数的表达形式认识，第2题、第3题旨在检测学生能否熟练写出具体情境中的反比例函数表达式.
对教学设计的几点补充说明：
数学教学是数学活动的教学，是师生之间、学生之间交往互动与共同发展的过程.围绕这一理念，本设计努力从以下几个方面展开：
（一）力求体现数学知识的形成过程
本课围绕所要学习的数学主题——反比例函数，选择学生身边的、感兴趣的、有挑战性的有利于学生能力发展的几个事例，使学生在自主探究和合作交流中逐步，理解反比例函数的意义，建立数学模型.整个教学过程重视知识形成的过程，而不仅仅是知识本身.
（二）创造性地使用教材，合理选用多学科素材
数学教学又是数学文化的教学，可以涵盖自然、社会等多领域的知识.教材在这里提供了大量素材，进行教学设计时作了一些选择与变化，比如：把章头引例改编成一个“过草地”的问题，激发学生的兴趣；把面积一定的长方形的长与宽的关系问题改编成一个“建羊圈”的问题；整个过程中大量引进物理的、化学的数学内部的一些科学事例.
（三）给学生提供广阔的空间，鼓励自主探索和合作交流
通过设置具有挑战性的问题情境，激发学生进行思考；提出有一定跨度的问题串引导学生进行自主探索；通过小组交流进行抢答让学生品尝集体主义的甘甜……
（四）重视学生学习过程的评价
整个教学过程中重点观察学生是否积极参与，关注学生是否敢于表达自己的观点，是否乐于与人合作，是否能够通过独立思考获得解决问题的途径，一句话，关注的是学生的学习过程而不仅仅是结果.
2006年6月28日
自主探究
直观感受
激发兴趣
提出问题
反馈练习
知识小结
强化概念
创设情境
抽象概念
学生活动三
学生活动一、二
1、定义：一般地，如果两个变量x，y之间的关系可以表示成：（k为常数，K≠0）的形式，那么称y是x的反比例函数.
2、注意：
①常数K≠0；
②自变量x不能为零；
③当可写为时注意x的指数为—1.
④确定了k，这个函数就确定了.
活动一：
活动二：
自
由
空
间
（供作教学过程演练用）
§5.1反比例函数
类比列举
加深理解
数学定义
强化认识
解决问题
反馈
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